25.3 课时1 数字、几何问题课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦“实际问题与一元二次方程”，核心内容为数字问题和几何问题。课堂导入通过回顾解一元一次方程应用题的一般步骤，搭建新旧知识联系的学习支架，帮助学生迁移方法至新内容。 其亮点在于采用多维度探究模式，如面积问题中对比从周长、面积、对称性出发的设元方法，培养数学思维中的推理能力与运算能力。结合连续正整数直角三角形、月历表数字等实例，引导学生用数学眼光抽象数量关系，总结解题流程强化模型意识，助力学生理解应用，便于教师高效教学。

25.3 实际问题与一元二次方程 课时1 数字、几何问题 第一步：弄清题意和题目中的已知数、未知数，用字母表示题目中的一个未知数； 第二步：找出能够表示应用题全部含义的相等关系； 第三步：根据这些相等关系列出需要的代数式（简称关系式）从而列出方程； 第四步：解这个方程，求出未知数的值； 第五步：在检查求得的答数是否符合应用题的实际意义后，写出答案（及单位名称）. 回顾解一元一次方程应用题的一般步骤： 一元二次方程也可以作为反映某些实际问题中数量关系的数学模型 问题1：是否存在三边长是三个连续正整数的直角三角形？如果存在，这样的三角形有多少个？ 解：若存在这样的三角形，设其三边长依次为 , 其中 为正整数. 由勾股定理，得 解方程，得 (不符合题意，舍去) 因此，三边长是三个连续正整数的直角三角形存在且只有一个，其三边长为 . 探究1 数字问题 1.如图所示的是一张月历表，在此月历表上用一个矩形任意圈出2×2 个数(如17，18，24，25)，如果圈出的四个数中最小数与最大数的积为153，那么这四个数的和为_________. 解：设最小数为，则另外三个数为(＋1)，(＋7)，(＋8)，根据题意可得： (＋8)＝153 ， 解得， (不符合题意，舍去)， ∴当 时，＋1=10 ，＋7=16 ，＋8=17， ∴四个数分别为9，10，16，17， ∵ 9＋10 ＋ 16 ＋ 17＝52. 52 问题2：有一个两位数等于其各位数字之积的3倍，其十位数字比个位数字小2，求这个两位数. 解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为 (x－2)，这个两位数字是 10 (x－2) + x. 根据题意，得 10 (x－2) +x=3x (x－2)， 整理，得 3x2－17x + 20=0， 解得 x1=4，x2= (不合题意，舍去)， 当 x=4时，x－2=2，∴这个两位数是24. 2.已知两个相邻奇数的积是195，则较大的一个奇数是多少？ 解：设较大的奇数为x，则较小的奇数为(x-2). 由题意得：x(x-2)=195， 解得：x1=15，x2=-13(不符合题意，舍去)， 所以较大的一个奇数是15. 问题：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 分析：假设细绳能围成面积为 的矩形区域，则矩形的周长就是细绳的长度. 设矩形的一边长为 ，由周长为，可用含 的式子表示出该边的邻边长，再利用面积列方程求解. 探究2 面积问题 问题：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 解：设矩形的一边长为 ，由矩形的周长为，可得此边的邻边长为 ；再由矩形的面积为 ，得 解方程，得 因此，用一根为 40m 的细绳可以围成面积为 的矩形区域，这样的矩形唯一. 其两邻边长分别为 ，. 方程有两个根，是否表示可以围成两个满足条件的矩形区域？ 问题：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ （1）从面积出发：可设一边长为 ，那么其邻边长为 （2）利用对称性：可设一边长为 ，那么其邻边长为 思考 还有其它设未知数的方法吗？请你试着列方程求解. 并比较这些设法，说说它们各自的特点. （1）从面积出发：可设一边长为 ，那么其邻边长为 根据题意，得 解方程，得 因此，用一根为 40m 的细绳可以围成面积为 的矩形区域，这样的矩形唯一. 其两邻边长分别为 ，. 问题：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 根据题意，得 解方程，得 当=2时，=12，=8；当=2时，=8，=12. 因此，用一根为 40m 的细绳可以围成面积为 的矩形区域，这样的矩形唯一. 其两邻边长分别为 ，. （2）利用对称性：可设一边长为，那么其邻边长为. 问题：用一根长为 的细绳，能否围成一个面积为 的矩形区域？如果能围成，这样的矩形是否唯一？ 设法 设元思路 方程形式 特点 从周长出发 从面积出发 利用对称性 利用半周长关系设元，面积关系列一元二次方程，思路最直接，最通用 利用面积关系设元，周长关系列方程，方程含有分式，需先转化为整式方程；需强调的隐含条件 利用长宽和为定值设元，面积关系列方程，可直接用平方差公式化简运算，计算最简便，也能直观体现解的对称性 3.如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m的门，所围矩形猪舍的长、宽分别为多少时，猪舍面积为80平方米？ 1m 住房墙 解：设矩形猪舍垂直于住房墙的一边长为x m， 由题意得 x(25-2x+1)=80 解得 x1=5 , x2=8 当x=5时，26-2x=16>12 (舍去） 当x=8时，26-2x=10<12 答：所围矩形猪舍的长为10m,宽为8m. 则平行于住房墙的一边长(25-2x+1)m. 1m 住房墙 建立一元二次方程模型 实际问题 分析数量关系 设未知数 实际问题的解 解一元二次方程 一元二次方程的根 检 验 运用一元二次方程模型解决实际问题的流程 20 32 x x 解：设道路的宽为x m．可列方程 例 如图，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为多少？ 还有其他列方程的方法吗？ 方法一： 整理，得x2－52x＋100＝0， 解得x1＝2，x2＝50． 当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去． ∴x＝2． 答：道路的宽为2 m． 16 解：设道路的宽为x m．可列方程 (32－x)(20－x)＝540， 整理，得x2－52x＋100＝0， 解得x1＝2，x2＝50． 当x＝50时，32－x＝－18，不合题意，舍去． ∴x＝2． 答：道路的宽为2 m． 方法二： 20 32 x x 20－x 32－x 例 如图，在一块宽为20 m，长为32 m的矩形地面上修筑同样宽的两条道路，余下的部分种上草坪，要使草坪的面积为540 m2，则道路的宽为多少？ 我们利用“图形经过移动，它的面积大小不会改变”的性质，把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出水渠的宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）． 一元二次方程解应用题 审题、设元（未知数）、列方程、解方程、检验、作答.要检验根的合理性. 数字问题 关键要设数位上的数字，要准确地表示出原数. 步骤 类型 几何问题 运用常见几何图形的面积公式构建等量关系. 1.如图，小区物业规划在一个长60 m，宽22 m的矩形场地ABCD上，修建一个小型停车场，阴影部分为停车位所在区域，两侧是宽x m的道路，中间是宽2x m的道路．如果阴影部分的总面积是600m2，那么x满足的方程是( ) A. x 2－ 41 x＋180 = 0 B. x 2－ 41 x＋225 = 0 C. x 2－ 41 x＋30 = 0 D. x 2－ 41 x－270 = 0 A 2.如图, 某校课外生物小组的试验园是长35米、宽20米的矩形.为便于管理, 要在中间开辟一横两纵共三条等宽的小道, 使种植面积为600平方米, 则小道的宽为多少米? 若设小道的宽为x米, 则根据题意可列方程为( ). A. 35×20−35x−20x＋2x2＝600; B. 35×20−35x−2×20x＝600; C. (35−2x)(20−x)＝600; D. (35−x)(20−2x)＝600. C 21 3.在学习一元二次方程的课堂上，老师设计了“猜数字”游戏. 下面是小红同学给出的信息，请“猜一猜”小红所写的两位数是多少？ 规则：由一名同学写出一个两位数，然后告诉大家这个两位数个位与十位上的数字之和，再将之位置交换，告诉大家交换后的新两位数与开始的两位数的乘积，最后大家根据已知信息猜一猜原来的两位数是多少. 信息1：个位与十位上的数字之和为3； 信息2：个位与十位上的数字交换位置后组成的新两位数与开始写的两位数的乘积为252； 信息3：原数个位上的数字小于十位上的数字. 解：设小红所写的两位数十位上的数字为 x，则个位上的数字为( 3 - x )， 交换位置前的两位数为 10x+(3-x) = 9x + 3， 交换位置后的两位数为 10(3-x)+x = 30 - 9x， 由题意可知，(9x+3)(30-9x)=252，解得x1=2，x2=1(不合题意，舍去) ∵3-x=1， ∴这个两位数是21. 信息1：个位与十位上的数字之和为3； 信息2：个位与十位上的数字交换位置后组成的新两位数与开始写的两位数的乘积为252； 信息3：原数个位上的数字小于十位上的数字. $