重庆市2025-2026学年八年级数学下学期期末自编模拟卷一

**基本信息** 以秋千绳索测量、风筝高度计算等实际情境和箱线图分析为载体，融合二次根式、勾股定理、一次函数等核心知识，注重推理能力与模型意识的考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|最简二次根式、直角三角形判定、箱线图分析|结合统计图表考查数据意识| |填空题|6/24|函数自变量范围、一次函数不等式解集|设置“方佳数”新定义题，培养创新意识| |解答题|9/86|勾股定理应用（风筝高度）、统计分析（AI竞赛成绩）、几何综合（矩形与菱形证明）|第19题通过实际测量问题发展模型意识，第25题几何综合题提升推理能力|

《铜梁区27届八下期末模拟一》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C A C D D C C B 1．A 【分析】最简二次根式需要同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：∵选项A中同时满足上述两个条件，∴是最简二次根式； ∵选项B中，被开方数是小数即分数，含分母，不满足条件，可化为，因此不是最简二次根式； ∵选项C中，被开方数含分母，不满足条件，可化为，因此不是最简二次根式； ∵选项D中，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件，可化为，因此不是最简二次根式． 2．D 【分析】根据勾股定理的逆定理，只需验证每组中两短边的平方和是否等于最长边的平方，若不等则不能构成直角三角形. 【详解】解：A，，能构成直角三角形，不符合题意； B，，能构成直角三角形，不符合题意； C，，能构成直角三角形，不符合题意； D，，，，不能构成直角三角形，符合题意. 3．C 【分析】根据箱线图的特征，分别观察甲、乙两组数据的极差（波动情况）、中位数位置、下四分位数位置及最大值位置，结合选项逐一判断即可． 【详解】解：由箱线图可知：甲组数据的极差约为，乙组数据的极差约为，且甲组箱体长度大于乙组， 则甲组跳绳次数的波动比乙组大， 故A选项说法正确； 甲组中位数（箱体内横线）约为180，乙组中位数约为170， ， 乙组跳绳次数的中位数比甲组小， 故B选项说法正确； 甲组下四分位数（箱体下边缘）对应数值约为170， 甲组跳绳次数的下四分位数小于180， 故C选项说法错误； 乙组最大值（上须顶端）对应数值约为195， 乙组跳绳次数的最大值大于190， 故D选项说法正确． 4．A 【分析】本题考查平行四边形，菱形，矩形，正方形的基本性质，只需对比各图形的性质，找出四个图形共同具备的性质即可. 【详解】解：∵ 平行四边形的对角线互相平分，对角线不相等也不垂直，四条边不都相等； 菱形的对角线互相垂直平分，对角线不相等，四个角不都相等； 矩形的对角线相等且互相平分，对角线不垂直，四条边不都相等； 正方形的对角线互相垂直平分且相等，四条边相等，四个角相等； ∴ 四个图形都具有的性质只有对角线互相平分，因此选项A正确. 5．C 【分析】设绳索的长为，根据题意表示出和的长，在中利用勾股定理建立方程求解． 【详解】解：设绳索的长为， ∵绳索长度保持不变， ∴， ∵点与点的高度差， ∴， ∵推送的水平距离，且竖直下垂， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴绳索的长度为． 6．D 【分析】先利用二次根式乘法运算法则化简原式，再利用相邻整数的平方数估算无理数的范围，即可得到原式的取值范围． 【详解】首先化简原式，根据二次根式乘法运算规则： ∵ ， 又∵ ， ∴ ， 即 不等式两边同时加2，得 ， 即 因此原式的值在7和8之间． 7．D 【分析】根据正方形的面积可求得的长，利用直角三角形斜边的中线求得斜边的长，利用勾股定理求得的长，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵中，点M是斜边的中点， ∴， ∴， ∴． 8．C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数图象平移规律，根据一次函数的相关性质，逐一判断各选项即可． 【详解】解：判断A选项：当时，， ∴函数图象与轴的交点坐标是，故A错误； 判断B选项：∵，， ∴函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故B错误； 判断C选项：∵， ∴随的增大而增大， ∵，在函数图象上，且， ∴，故C正确； 判断D选项：将函数图象向下平移个单位长度，得到的解析式为：，不是，故D错误； 故选：C． 9．C 【分析】连接，由对称的性质得：，根据正方形的性质得到，，可知，根据等边对等角得到，根据三角形内角和得到，进而得到，根据等边对等角得到，根据计算即可． 【详解】解：连接，如图所示： 由对称的性质得：， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∴． 10．B 【分析】根据题目条件，用枚举法分别判断三个说法的正误，结合整式化简求值得到结果。 【详解】解：已知条件：是非负整数，是正整数，且 。 判断①： 当时，共4个系数，若，最小和为，仅时有两组符合条件的系数： ，共2个整式，①错误； 判断②： 若是单项式，则仅有1个非零项，因均为正整数，仅存在两种情况：时（1个）， 时 （1个），共2个单项式，②错误； 判断③： 当时，枚举所有符合条件的系数组合： ， 所有整式的和， 加上得：总和 。 ， ，平方得， ， 代入得： ，③正确． 11．且 【分析】根据同时满足二次根式被开方数非负、分式分母不为零列不等式组求解即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴，解得：且， ∴函数中自变量的取值范围是且． 12．68 【详解】解：由箱线图可知，下四分位数是68分． 13． 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，根据函数图象找到函数的图象在函数的图象上方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可得，当时，函数的图象在函数的图象上方， ∴不等式的解集为． 14． 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，熟知一次函数的图象与性质是解题的关键． 依据题意，由所给一次函数图象经过的象限，得出，的正负，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，一次函数图象不经过第二象限， 一次函数必过第一、三象限． ，， ． 故答案为：． 15． 【分析】作，根据题意可得是等腰直角三角形，再根据得到，得到，即可求解；过点作，作，交延长线于点，利用勾股定理求得，的长度，即可求解． 【详解】解：作，则， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 在中，； 过点作，则， ∵， ∴， 又 ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， 作，交延长线于点， 在中，，， ， 在中，，， ， ， ． 16． 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、一元一次方程的应用等知识点，理解新定义、正确推理计算是解题关键． 根据“方佳数”的定义可得，即，再确定的最大值及的值即可解答；设这个四位数，则，再结合“方佳数”的定义，得出， 再由能被整除可知 是整数，得到满足条件的的值为，进而得出满足条件的等式，即可得到的最小值． 【详解】解： 是“方佳数”， 即 ， ∴当 时，有最大值， ∴这个数最小是； 设这个四位数则 ， ∵四位数是“方佳数”， ， ， 能被整除， 是整数， 是整数且 ∴满足条件的的值为， ， ∵要求的最小值，则， ∴满足条件的的最小值是， 故答案为： ；． 17．(1) (2) 【分析】（1）原式先化简各二次根式，再合并即可； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．；；； 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以原不等式组的解集为：， 所以满足条件的整数解为：． 19．(1)米 (2)8米 【分析】（1）在中，利用勾股定理求出的长，即可解决问题； （2）连接，由题意可知，米，则米，根据勾股定理求出的长，即可得到结论． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得：米， 由题意得：米， （米， 答：风筝的垂直高度为米； （2）解：如图，设下降到，连接， 由题意可知，米， （米）， （米， （米， 答：他应该往回收线8米． 20．(1)见解析 (2)①；②；③平行四边形；④有一组邻边相等的平行四边形是菱形 【分析】（1）根据垂线的基本作图，解答即可； （2）根据一组邻边相等的平行四边形是菱形证明即可． 【详解】（1）解：根据垂线的基本作图，作图如下： 则点O，点H即为所求； （2）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ 又∵ ∴ 即且． ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形为菱形．（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）． 21．(1)；； (2)八年级的成绩更好，理由见解析 (3)322 【分析】（1）根据八年级抽取学生A组、B组占比，以及 C组人数，算出D组人数及占比，得到m；根据人数占比，确定第10、11名的分数处于C组成绩排名的第3名、第4名，取两数的平均数，求出a；已知七年级成绩，91分出现次数最多，所以众数； （2）比较两个年级的平均数、中位数和众数即可； （3）根据七八年级样本中优秀成绩的占比估计总体的占比，计算人数即可． 【详解】（1）解：已知八年级抽取学生A组、B组占比， A组人数为， B组人数为 八年级抽取学生C组人数为6， D组人数为， 占比，即， 八年级抽取学生中位数为成绩排名第10名、11名的平均分， 又A组2人，B组5人，C组6人， 第10名、11名为C组成绩排名的第3名、第4名， 八年级C组按成绩大小排序为：81，85，87，88，88，89， ， 已知七年级抽取学生成绩，91分出现次数最多， 众数． （2）解：八年级的成绩更好，原因是：虽然七八年级抽样平均数相同，但是八年级中位数大于七年级的中位数． （3）解：七年级抽样成绩中优秀学生占比为， 八年级抽样成绩中优秀学生占比为， ． 22．(1)甜口粽子每袋进价25元，咸口粽子每袋进价20元 (2)应该购进甜口粽子24袋 【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，设出咸口粽子的进价，根据两种粽子的购进袋数相等的关系列分式方程求解即可； （2）本题考查一元一次不等式组与一次函数最值的实际应用，先根据资金和数量限制列出不等式组，得到甜口粽子进货量的取值范围，再根据一次函数的增减性求出总利润最大时的进货量． 【详解】（1）解：设咸口粽子每袋进价为元，则甜口粽子每袋进价为元， 由题意得， 解得， 经检验是原方程的解， （元）， 答：甜口粽子每袋进价25元，咸口粽子每袋进价20元． （2）解：设购进甜口粽子袋，则购进咸口粽子袋， 由题意得， 解得 ， 设售完60袋粽子的总利润为元， 由题意得 ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最大值， 答：要使总利润最大，应该购进甜口粽子24袋． 23．(1) (2)函数图象见解析，当时，的面积取得最大值 (3)或 【分析】（1）当时，，当时，由，，得，，设在中，边上的高为，由，得，即，化简得，，故； （2）先描点再连线，画出图象即可，注意空心点；性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小；任选一条即可； （3）或，理由：由直线与的图象只有一个交点得，即当时，直线与只有一个交点，得；当时，直线与只有一个交点，得，故或． 【详解】（1）解：当时，， 如图，当时， ，，， ，， 设在中，边上的高为， ，， ， ，即， ； （2）解：函数图象如图， 性质：当时，的面积取得最大值；当时，的面积随点P运动的时间增大而增大；当时，的面积随点P运动的时间增大而减小； （3）解：或，理由如下： 直线与的图象只有一个交点，如图， 当时，，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 把代入直线得，把代入直线得， 故当时，直线与的图象只有一个交点， 若直线与的图象只有一个交点，或． 24．(1)； (2)或； (3)存在，或，见解析． 【分析】（）利用待定系数法求解即可； （）先求出，，然后分当点在直线下方时，当点在直线上方时，两种情况求解即可； （）设，，然后分当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的边，为对角线时，当为平行四边形的边，为对角线时，三种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴， 令，则，令，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为，且点在直线上， ∴， 将，代入， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：由（）得，， ∴， ∵， ∴， 当点在直线下方时，如图，， ∴， ∴， ∴, ∴； 当点在直线上方时，，如图， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，符合条件的点或； （3）解：存在，或，理由如下： 设，， 当为平行四边形的对角线时，如图， ∴， 解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴， 解得， ∴； 当为平行四边形的边，为对角线时，如图， ∴， 解得， ∴； 综上可得：存在，或． 25．(1)见解析 (2)①等腰直角三角形，理由见解析； ②见解析 【分析】（1）根据四边形 是正方形得到，结合，即可得到答案； （2）①根据即可得到，结合，可得，结合平分即可得到，即可证明是等腰直角三角形；②过点作交的延长线于点，易得是等腰直角三角形，从而得到，易证  ，进而，等量代换后即可得到答案； 【详解】（1）证明：∵四边形 是正方形， ∴， ∵， ∴； （2）①是等腰直角三角形； 理由如下：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵正方形中， ∴， ∴即：， ∵， ∴即：， ∴， ∴是等腰直角三角形； ②如图所示， 过点作交的延长线于点， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ∴是等腰直角三角形 ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 铜梁区27届八下期末模拟一 学校:___________姓名：___________班级：___________分数：___________ 一、单选题（共40分） 1．（本题4分）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（本题4分）下列三组长度的线段不能构成直角三角形的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 3．（本题4分）八年级某班组织了一场一分钟跳绳比赛，参赛学生被分成了甲、乙两组，如图是甲、乙两组学生一分钟跳绳次数的箱线图，下列说法错误的是（     ） A．甲组跳绳次数的波动比乙组大 B．乙组跳绳次数的中位数比甲组小 C．甲组跳绳次数的下四分位数大于180 D．乙组跳绳次数的最大值大于190 4．（本题4分）平行四边形、菱形、矩形、正方形都具有的性质是（   ） A．对角线互相平分 B．对角线互相平分且相等 C．对角线互相垂直平分且相等 D．四条边相等，四个角相等 5．（本题4分）小明想利用所学的勾股定理的知识测算公园里一架秋千的绳索的长度．如图，他发现秋千静止时，绳索竖直下垂；将踏板往前推送，绳索到达点的位置，绳索长度保持不变．已知推送的水平距离，点与点的高度差，且，那么绳索的长度为（    ） A． B．3.5m C． D． 6．（本题4分）估计的值应在（     ） A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间 7．（本题4分）如图，在中，，点M是斜边的中点，以为边作正方形，若，则（ ） A．4 B． C．8 D． 8．（本题4分）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．函数的图象与轴的交点坐标是 B．函数的图象经过第一、二、三象限 C．若，两点都在该函数的图象上，且，则 D．将该函数的图象向下平移个单位长度得到直线 9．（本题4分）如图，正方形中，点E在边上（不与端点A，D重合），点A关于直线的对称点为点F，连接，设，则为（　　） A． B． C． D． 10．（本题4分）已知整式，其中与为非负整数，为正整数，且，，下列说法： ①当时，满足条件的整式有3个； ②满足条件的所有整式中有4个单项式； ③当时，满足条件的所有整式的和再与整式相加后值为5． 其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（共24分） 11．（本题4分）函数中，自变量的取值范围是__________． 12．（本题4分）在数学学科单元模拟测试中，总分为100分，八年级某班学生成绩的箱线图如下图所示，则该班学生成绩的下四分位数是__________分． 13．（本题4分）如图，函数和的图象交于点，则关于的不等式的解集为________． 14．（本题4分）若一次函数的图象不经过第二象限，则______0．（用“、、、”填空） 15．（本题4分）如图，平行四边形中，对角线，相交于点O．，E是上一点，连接交于点F，，连接交于点P，，若，则____，____． 16．（本题4分）如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最大是_________；若四位自然数是“方佳数”，将“方佳数”的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数，若能被33整除，则满足条件的的最小值_________． 三、解答题（共86分） 17．（本题8分）计算： (1)； (2)． 18．（本题8分）解不等式组：，按要求填空． 解：解①得：________________； 解②得：________________； 不等式组的解集为：________________； 满足条件的整数解为：________________． 19．（本题10分）长清的园博园广场视野开阔，阻挡物少，成为不少市民放风筝的最佳场所，某校七年级（1）班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度，他们进行了如下操作： ①测得水平距离的长为米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为米； ③牵线放风筝的小明的身高为米． (1)求风筝的垂直高度； (2)如果小明想风筝沿方向下降米，则他应该往回收线多少米？ 20．（本题10分）在矩形中，为边上的一点，连接，． (1)用尺规完成以下基本作图：过点作垂直于点，交于点，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)证明：四边形为菱形． 证明：∵四边形是矩形， ∴①________， ∴ ∵， ∴②________， ∴ ∴ 又∵ ∴ 即且． ∴四边形为③________， 又∵， ∴四边形为菱形．（④________）． 21．（本题10分）某校开展了“青少年AI知识竞赛”活动，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩的数据是：66，68，74，76，78，79，83，83，86，87，87，88，89，91，91，91，93，94，97，99． 八年级20名学生竞赛成绩在C组中的数据是：81，87，85，89，88，88． 七、八年级所抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 87 b 八年级 85 a 92 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，_______，_______，_______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生AI知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有420名学生、八年级有500名学生参加了此次AI知识竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次AI知识竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人？ 22．（本题10分）端午节来临之际，重百超市准备大量购进咸口和甜口两种口味粽子，一袋甜口的进价比咸口的进价多5元，用750元购进甜口粽子和用600元购进咸口粽子的袋数相同． (1)求甜口和咸口的粽子每袋的进价各是多少？ (2)超市计划用不超过1320元的资金购进两种口味粽子共60袋，其中咸口粽子的数量不超过甜口粽子数量的两倍，该超市将甜口粽子每袋的售价定为40元，咸口粽子每袋的售价定为32元，并计划在端午节期间开展优惠促销活动，对每袋甜口粽子售价优惠2元，咸口不变，要使售完这60袋粽子总利润最大，应该购进甜口粽子多少袋？ 23．（本题10分）如图1，在中，，，动点P从A出发，沿着折线运动，速度为每秒1个单位长度，到达C点停止运动，设P点的运动时间为秒（），的面积为． (1)请直接写出关于的函数表达式并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，如图2，画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质； (3)若直线与的图象只有一个交点，请直接写出的取值范围． 24．（本题10分）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，且直线经过点，与直线相交于点，点的纵坐标为，直线交轴负半轴于点，且． (1)求直线的解析式； (2)若点在直线的图象上，且满足，求出点的坐标； (3)为直线上一动点，轴上是否存在一点，使以为顶点的四边形是平行四边形？如果不存在，请说明理由；如果存在，请写出所有符合条件的点的坐标，并写出其中一个点的坐标的求解过程． 25．（本题10分）正方形中，点在上，且与交于点． (1)如图1，求证； (2)如图2，在上截取，连接，的平分线交于点，交的延长线于点，连接， ①判断的形状，并证明； ②求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $