精品解析：重庆市文德中学2024-2025学年八年级下学期数学 期末试题

2025年重庆市文德中学八年级下期期末试题 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 已知分式 满足下列表格中的信息： 的取值 分式的取值 无意义 则分式 有可能是（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考了分式的值，分式无意义的条件，分式的值为零的条件，掌握知识点的应用是解题的关键． 由表格可知，当时，分式无意义，当时，分式的值为零，从而得出分式 有可能是． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∴分式 的分母可能为， 当时，分式的值为零， ∴分式 的分子可能为， ∴分式 有可能是， 故选：． 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念判断． 【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意； B、不是中心对称图形，不符合题意； C、不是中心对称图形，不符合题意； D、是中心对称图形，符合题意． 3. 根据下列表格中的对应值判断关于 的一元二次方程的一个解 的取值范围是（ ） 3.86 3.87 3.88 0.02 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据ax2+bx+c的符号即可估算该方程的解． 【详解】解：由表格可知：当x＝3.87时，ax2+bx+c＝﹣0.05， 当x＝3.88时，ax2+bx+c＝0.02， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的一个解x的范围是3.87＜x＜3.88， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的估算，掌握估算方法是解题的关键． 4. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线相等且垂直的四边形是正方形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊四边形与平行四边形的判定定理逐一判断选项正误，找出错误说法即可． 【详解】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，∴A说法正确，不符合题意； B、∵对角线相等的平行四边形是矩形是矩形的判定定理，∴B说法正确，不符合题意； C、∵正方形的判定要求对角线互相垂直平分且相等，仅对角线相等且垂直的四边形不一定是正方形，∴C说法错误，符合题意； D、∵一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是平行四边形的判定定理，∴D说法正确，不符合题意． 5. 某校组织九年级学生开展红色研学活动，参观大青山抗日战争纪念馆．已知该学校离纪念馆千米，位于乌兰察布市卓资县的红石崖旅游风景区内．师生乘大巴车前往，某老师因临时有事，推迟了 分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为 千米/时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意得，， 故选：A． 6. 如图，正方形，正方形，正方形，按如图方式排列，点在直线上，点在x轴上，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得，，，即可． 【详解】解：∵直线与y轴交于点， ∴，， 当时，， ∴，， 当 时，， ∴，， …， ∴， 即正方形的边长为． 7. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的同一桌客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与 之间的函数图像如图所示，则下列说法中不正确的是（ ） A. 慧慧比聪聪晚出发15秒 B. 慧慧提速后的速度为30厘米/秒 C. D. 从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题关键．根据图像信息求出运动速度进而判断选项A，B，C；分别求得以及各段的函数解析式，结合函数图像即可判断D选项． 【详解】解：根据题意，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍，结合图像可知，慧慧比聪聪晚出发15秒，故选项A正确，不符合题意； ∵当秒时，，当秒时，厘米， 故慧慧提速前的速度是厘米/秒， ∵慧慧发一段时间后速度提高为原来的2倍， ∴慧慧提速后速度为30厘米/秒，故选项B正确，不符合题意； 故提速后慧慧行走所用时间为：秒， ∴秒， ∴， 则聪聪的速度为厘米/秒 ∴秒，故选项C正确，不符合题意； 设 段对应的函数表达式为， 将点代入，可得 可得， ∴可有， 当时，聪聪和慧慧之间距离最大值为厘米； 当时，设， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， ∴聪聪和慧慧之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 设段对应的函数表达式为， 将，代入， 可得，解得， ∴此阶段有， 当时，聪聪和慧慧之间距离， 当时，取最大值，最大值为厘米； 当时，聪聪和慧慧之间距离最大值为厘米． 综上所述，从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为150厘米，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 8. 如果关于x的分式方程有负整数解，且关于x的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数a的和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求解分式方程，根据分式方程有负整数解的条件得到a的初步范围，再解不等式组，根据已知解集确定a的取值范围，最后找出所有符合条件的整数a求和即可． 【详解】解：， 方程两边同乘 去分母得：， 整理得：， 解得：， ∵分式方程有负整数解，且分母不为零， ∴ ，且， 解得：，且； 解不等式组， 解第一个不等式得： ， 解第二个不等式得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， 综上可得，且， 又∵是负整数，因此为偶数，即 为偶数， ∴符合条件的整数 为：， 计算和为：． 9. 在等腰 中，，， 、 分别为 、边上的中点，连接并延长到，使得，连接 、 ，则 长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由等腰三角形三线合一得AE⊥BC，CE=BE=，在Rt△ABE中，由勾股定理AE=，根据DE为直角△ABE斜边中线，DE=，可得EF=AC，由三角形中位线，可证四边形AEFC为平行四边形即可． 【详解】解：∵，， 为边上的中点， ∴AE⊥BC，CE=BE=， ∴∠BEA=∠CEA=90°， 在Rt△ABE中，由勾股定理AE=， ∵ 为 边上的中点， ∴DE为直角△ABE斜边中线， ∴DE=， ∴EF=2DE=5=AC， ∵ 、 分别为 、边上的中点， ∴， ∴，且EF=AC， ∴四边形AEFC为平行四边形， ∴AE=CF=4． 故选择A． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质，勾股定理，平行四边形判定与性质，掌握等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线性质，三角形中位线性质，勾股定理，平行四边形判定与性质是解题关键． 10. 对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LotharCollatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．下列说法： ①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，； ②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值只有4个； ③若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值中最大是512，最小是13． 其中正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的运算，归纳推理的应用，利用变换规则，逆向推理计算求出所有可能的取值，再判断结果即可． 【详解】解：∵对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数， ∴由新自然数求原来的数计算方法为：新自然数乘以，或新自然数减去1的差再除以3（取整数）， 若输入正整数n，则最后一次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第二次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第三次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第四次计算过程为：，上一步结果为； 倒数第五次计算过程为：，或，上一步结果为 或； 倒数第六计算过程为：，或，上一步结果为或 ； 倒数第七次计算过程为：，或，或，或，上一步结果为或或 或 ； 倒数第八次计算过程为：，或，或，或，上一步结果为或或 或； 倒数第九次计算过程为：，或，或，或，或，或，上一步结果为或或或 或或 ； ∴①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，，说法正确； ②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值为或或 或，只有4个，说法正确； ③若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值为或或或 或或 ，其中最大是512，最小是12，说法错误； ∴正确的个数是2个， 故选：B． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 因式分解:= __________. 【答案】(2x+3y)(2x-3y) 【解析】 【详解】原式=（2x+3y）（2x-3y）． 故答案为（2x+3y）（2x-3y） 12. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是____． 【答案】10 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为，根据多边形内角和公式与多边形外角和恒为 ，结合题目给出的倍数关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意可得， 解得． 13. 若，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了分式的化简求值，把分式变形为，整体代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴ 故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，，将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上，则平移的距离__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质、平移的性质及求一次函数的值，理解题意，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． 根据平行四边形的性质得出，确定，再由题意确定当时，，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的边在x轴上，， ∴， ∴， ∵将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上， ∴当时，， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，在矩形中，F是边上一点，将沿 翻折，点C的对应点恰好落在线段上，已知，，则的长是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】先证出，然后在中，利用勾股定理，列方程即可求出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵将沿 翻折，点C的对应点恰好落在线段上， ∴，，， ∴， ∴， 在中， 由勾股定理，得， 即， 解得． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最小是________；若四位自然数M是“方佳数”，将“方佳数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值________． 【答案】 ①. 3162 ②. 4961 【解析】 【分析】本题考查了新定义下的实数运算、一元一次方程的应用、因式分解的应用等知识点，理解新定义、正确推理计算是解题关键． 根据“方佳数”的定义可得，即，再确定a的最小值及b的值即可解答；设这个四位数，则，再结合“和方数”的定义，得出，再由能被33整除可知是整数，得到满足条件的a的值为4，进而得出满足条件的等式，即可得到M的最大值． 【详解】解：∵是“方佳数”， ∴，即， ∴当时，a有最小值3， ∴这个数最小是3162； 设这个四位数，则， ， ∵四位数M是“方佳数”， ∴， ∴， ∵能被33整除， ∴是整数， ∴是整数且，，，，， ∴满足条件的a的值为4， ∴， ∵要求M的最大值，则 ∴满足条件的M的最大值是． 故答案为：3162；4961． 三、解答题：（本大题8个小题，第17，18题8分；其余每小题10分,共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）原方程无解 【解析】 【分析】（1）方程运用配方法求解即可； （2）方程去分母得整式方程，解整式方程，得整式方程的解，再进行检验即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 方程去分母得：， 解得：， 经检验：是原方程的增根， ∴原方程无解． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式 19. 某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论．其中他们发现，任意一个三角形 （三边均不相等），以一边的端点 为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点 为顶点的三角形的内角，射线 与这条边上的中线的延长线相交于一点 ，则以 、 、 、 四个点为顶点的四边形是平行四边形．基本思路就是利用三角形全等和平行四边形平行线的判定加以解决．请根据这个思路完成作图和填空． 如图，在 中，点 为边上的中点，连接． （1）尺规作图：在下方作射线 ，使得，且射线 交的延长线于点 （不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接 ，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点 为边上的中点， ∴，在和中， ∴________， ∴________， ∵， ∴________． ∴四边形是平行四边形． 兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，以则该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是________． 【答案】（1）见解析 （2）；；；菱形； 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，菱形的判定，尺规作图—作与已知角相等的角： （1）根据尺规作图—作与已知角相等的角的作图方法作图即可； （2）证明得到，再证明．即可证明四边形是平行四边形；根据有一组邻边相等的四边形是菱形可得答案． 【小问1详解】 如图所示，即为所求； 【小问2详解】 证明：∵点 为边上的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴四边形是平行四边形． 如图所示，当 时，则，故平行四边形是菱形． 故答案为：； ；；菱形． 20. 目前，新能源汽车发展迅速，在新能源汽车渗透率持续上升的趋势下，智能驾驶辅助系统（以下简称智驾系统）越发受到大家关注．有关人员开展了对“”、“”两款智驾系统的使用满意度评分（百分制）调查，从中各随机抽取了20个评分分数，并对数据进行了整理和分析，得到下列信息：（评分分数用x表示，共分为五个等级：，，，，），下面给出了部分信息： 抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据： 57，69，70，78，79，80，88，89，90，91，93，93，93，93，93，94，94，97，99，100，抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据中B等级的数据：85，87，88，89，89，89，90，抽取的“”、“”两款智驾系统的使用满意度评分统计表 智驾系统 平均数 中位数 众数 “”款 87 92 a “”款 87 b 89 抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分扇形统计图 （1）填空： ； ； （2）根据以上数据，你认为哪款智驾系统更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次调查中，有840人对“”智驾系统进行评分，有1100人对“”智驾系统进行评分，请通过计算，估计此次调查中对智驾系统的使用满意度评分等级为“A”的共有多少人？ 【答案】（1） （2）“”款智驾系统，理由见详解 （3）人 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数，运用中位数，众数做决策，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）出现次数最多的数为众数，先把数据排序，位于中间位置的数（如果中间位置有两个数，那么求出它们的平均数）作为中位数，据此进行分析，即可作答． （2）再结合平均数相等的情况下，运用中位数，众数做决策，即可作答． （3）先分别求出对“”款和“”款智驾系统的使用满意度评分等级为“A”的人数，再求出它们的和，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意，在抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据中，93分出现次数最多，故， 在 个数据中，位于中间位置的数在第10和11位， 观察扇形统计图，得出， ∵抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据中B等级的数据：85，87，88，89，89，89，90， ∴在第10和11位的数都是89， 则， 即； ∵B等级的数据有个，即所在的百分数为， ∴， 即， 故答案为：． 【小问2详解】 解：依题意，“”款智驾系统更受用户喜爱，理由如下： 在平均数都是分的前提下，但“”款的中位数和众数都比“”款的要高， ∴“”款智驾系统更受用户喜爱． 【小问3详解】 解：∵在此次调查中，有840人对“”智驾系统进行评分，有1100人对“”智驾系统进行评分， ∴（人），（人）， ∴（人）， 即估计此次调查中对智驾系统的使用满意度评分等级为“A”的共有人． 21. 如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米． （1）若水流速度为每小时5千米，这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度． （2）若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米，段河流水速为每小时a千米，段因受降水影响，水速变为每小时b千米．设货轮在段的逆水航行时间为，在段的逆水航行时间为，请判断与的大小关系，通过计算说明理由． 【答案】（1）该货轮在静水中的航行速度为千米/时． （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程与异分母分式的加减．解题的关键在于正确的列分式方程与分式的比较大小． （1）设轮船在静水中的航行速度为 千米/时，故可知顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时，列分式方程，求解即可； （2）由题意知，然后代入作减法比较即可． 【小问1详解】 解：设货轮在静水中的航行速度为 ， 则顺流速度为千米/时，逆流速度为千米/时； 故有， 解得， 经检验得是原方程的解， ∴该货轮在静水中的航行速度为千米/时． 【小问2详解】 由题意知， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴． 22. 如图1，在四边形中， ，，，，，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达C点时停止运动．点P在线段 上的运动速度为每秒个单位长度，在线段上的运动速度为每秒3个单位长度．设点P的运动时间为x秒（），的面积为y： （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质 （3）结合函数图象，若直线与该函数图象有1个交点，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2） 函数图象如下所示： 当时，y随x的增大而增大 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质与判定及二次根式的运算，熟练掌握一次函数的图象与性质、等腰直角三角形的性质与判定及二次根式的运算是解题的关键； （1）过点A作于点E，由题意易得，然后分当点P在线段 上时，当点P在线段上时，进而分类求解即可； （2）根据（1）中函数解析式可进行画函数图象，然后问题可求解； （3）根据（2）中函数图象可进行求解． 【小问1详解】 解：过点A作于点E，如图所示： ∵ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 当点P在线段 上时，由题意得：，则，过点P作于点F，延长交的延长线于点G，如图所示， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴ ； 当点P在线段上时，如图， 由题意得：， ∴； 综上所述：； 【小问2详解】 该函数的一条性质是当时，y随x的增大而增大； 【小问3详解】 解：当经过点时，则，即， 当经过点时，则， 当经过点时，则，即， ∴要使与该函数图象有1个交点，则需满足或． 23. 例如：多项式可以分解为与另外一个整式M的乘积，即，令时，可知为该方程的一个根． 关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 观察知，显然时，原式，因此原式可分解为与另一个整式的积． 令：， 而，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而． 此时，不难发现是方程的一个根． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）若是多项式的因式，求a的值并将多项式分解因式． （2）若多项式含有因式及，求的值． （3）若多项式可以分解为两个一次因式之积，求a的值将该多项式分解因式． 【答案】（1） ，分解结果为 （2） （3） ，分解结果为 【解析】 【分析】(1)设多项式能分解为，利用因式分解与整式的关系得关于a、b的方程，求解得a，代入后得分解结果； (2)设可分解为，利用因式分解与整式的关系得关于a、b、c的方程，求解后代入计算得结果． （3）由多项式可得部分因式之积，根据笛卡尔的“待定系数法”原理，可得设分解为两个一次因式之积，即可求得对应系数，进一步将多项式分解因式． 【小问1详解】 解：∵是多项式的因式，设多项式能分解为， ∴． ∴，． ∴，． ∴． 【小问2详解】 解：∵多项式含有因式及，， 设可分解为， ∴ ． ∴， ∴． ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴可以分解为， 则， ∴， 解得， 则 ． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． （1）求直线的解析式及点C的坐标； （2）若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，，当四边形周长最小时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，将绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握待定系数法求解析式及图形的平移性质是解题的关键． （1）由直线与直线平行，可设直线的解析式为，根据直线交 轴于点，可求出解析式，再根据解析式求出 点坐标即可； （2）四边形周长中和长度固定，所以求出长度后四边形周长由决定，将 向右平移两个单位至，则，过 轴作点的对称点，连接交 轴于点 ，此时最小，即最小，求出直线的解析式，即可确定 点坐标，进而确定 点坐标； （3）由题意确定点坐标，再分当 为对角线时，当为对角线时，当为对角线时三种情况分别计算出点的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵直线与直线平行， ∴设直线的解析式为， ∵直线交 轴于点， ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵直线交于点 ， ， 解得， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， 即， 则， 解得： ， ， ∵与 轴交于点 ， ， ∴， ∴， 当最小时，四边形的周长最小，将 向右平移两个单位至，如图 1 ， 则， 过 轴作点的对称点，连接交 轴于点 ， 此时最小，即最小， 设直线的解析式为， 代入坐标，得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 令时，， 解得：， ， ． 【小问3详解】 解：存在，点的坐标为或或． 理由如下： 过作轴，图2， 由题知，， ， ， ， ， 设， 当 为对角线时，， ， 解得， ； 当为对角线时，， ， 解得， ； 当为对角线时，， ， 解得， ， 综上，点的坐标为或或． 25. 如图， 四边形是平行四边形，对角线相交于点O， E在线段上． （1）如图1， 连接， 若，求； （2）如图2， 若， 延长交 于点N， 且， 求证： （3）如图3，若，P为内一点，请直接写出的最小值． 【答案】（1）2 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，从而得到，即可求解； （2）延长 至点F，使，连接 ，证明是等腰直角三角形，可得，，进而得到，证明，可得，然后证明，可得，即可求证； （3）取的中点K，则，证明是等边三角形，可得，从而得到，把绕点C逆时针旋转得到，连接，则，可得到是等边三角形，从而得到，进而得到当点D，P，G，H四点共线时，的值最小，最小值为的长，在中，由勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴， 是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ 是的中点， ∴； 【小问2详解】 证明：如图，延长 至点F，使，连接 ， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴，，垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； 【小问3详解】 解：如图，取的中点K，则， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 如图，把绕点C逆时针旋转得到，连接，则， ∴，，，是等边三角形， ∴， ∴， 即当点D，P，G，H四点共线时，的值最小，最小值为的长， 在中，， 即的最小值为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的性质，勾股定理，图形的旋转问题，直角三角形的性质等知识，第（2）问得到，第（3）问利用旋转的性质解答是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年重庆市文德中学八年级下期期末试题 数 学 试 卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．试题卷上各题的答案用签字笔书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．答题前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面，都给出了代号为A、B、C、D 的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 已知分式 满足下列表格中的信息： 的取值 分式的取值 无意义 则分式 有可能是（ ）． A. B. C. D. 2. 下列图形中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 根据下列表格中的对应值判断关于 的一元二次方程的一个解 的取值范围是（ ） 3.86 3.87 3.88 0.02 A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 对角线垂直且互相平分的四边形是菱形 B. 对角线相等的平行四边形是矩形 C. 对角线相等且垂直的四边形是正方形 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 5. 某校组织九年级学生开展红色研学活动，参观大青山抗日战争纪念馆．已知该学校离纪念馆千米，位于乌兰察布市卓资县的红石崖旅游风景区内．师生乘大巴车前往，某老师因临时有事，推迟了 分钟出发，自驾小车以大巴车速度的倍前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为 千米/时，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，正方形，正方形，正方形，按如图方式排列，点在直线上，点在x轴上，则正方形的边长为（ ） A. B. C. D. 7. 随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．如图是某餐厅的机器人聪聪和慧慧，他们从厨房门口出发，准备给相距的同一桌客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，与 之间的函数图像如图所示，则下列说法中不正确的是（ ） A. 慧慧比聪聪晚出发15秒 B. 慧慧提速后的速度为30厘米/秒 C. D. 从聪聪出发直至送餐结束，聪聪和慧慧之间距离的最大值为 8. 如果关于x的分式方程有负整数解，且关于x的不等式组的解集为，那么符合条件的所有整数a的和为（ ） A. B. C. D. 9. 在等腰 中，，，、 分别为 、 边上的中点，连接 并延长 到，使得，连接 、，则长为（ ） A. 4 B. C. 5 D. 10. 对任意正整数n，若n为偶数则除以2，若n为奇数则乘3再加1，在这样一次变化下，我们得到一个新的自然数，在1937年LotharCollatz提出了一个问题：如此反复这种变换，是否对于所有的正整数，最终都能变换到1呢？这就是数学中著名的“考拉兹猜想”．如果某个正整数通过上述变换能变成1，我们就把第一次变成1时所经过的变换次数称为它的路径长，例如5经过5次变成1，则路径长．下列说法： ①无论输入的正整数n是奇数还是偶数，当路径长时，总能得到连续四次变换的结果依次是，，，； ②若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值只有4个； ③若输入正整数n，变换次数m，当时，n的所有可能值中最大是512，最小是13． 其中正确的个数是（ ） A. 3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 因式分解:= __________. 12. 一个多边形的内角和是其外角和的4倍，则这个多边形的边数是____． 13. 若，，则__________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在x轴上，，将平行四边形向上平移m个单位，点C的对应点恰好落在直线上，则平移的距离__________． 15. 如图，在矩形 中，F是边 上一点，将沿 翻折，点C的对应点恰好落在线段 上，已知，，则的长是 _______． 16. 如果一个四位自然数的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足，那么称这个四位数为“方佳数”．例如：四位数4385，因为，所以4385是“方佳数”；四位数4238，因为，所以4238不是“方佳数”．若是“方佳数”，则这个数最小是________；若四位自然数M是“方佳数”，将“方佳数”M的千位数字与百位数字对调，十位数字与个位数字对调，得到新数N，若能被33整除，则满足条件的M的最大值________． 三、解答题：（本大题8个小题，第17，18题8分；其余每小题10分,共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 某数学兴趣小组同学定期进行课外扩展讨论，并发现了一些有趣的结论．其中他们发现，任意一个三角形 （三边均不相等），以一边的端点 为顶点在三角形外作角，使其等于这条边另一端点 为顶点的三角形的内角，射线 与这条边上的中线 的延长线相交于一点 ，则以 、 、 、 四个点为顶点的四边形是平行四边形．基本思路就是利用三角形全等和平行四边形平行线的判定加以解决．请根据这个思路完成作图和填空． 如图，在 中，点为 边上的中点，连接 ． （1）尺规作图：在 下方作射线 ，使得，且射线 交 的延长线于点 （不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，连接 ，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点为 边上的中点， ∴，在和中， ∴________， ∴________， ∵， ∴________． ∴四边形是平行四边形． 兴趣小组进一步研究发现，作了上述的相等角之后，当三角形有两边相等时，必然会形成一个特殊的四边形，请根据这个发现完成以下命题： 以等腰三角形底边的一个端点为顶点向外作角，使其等于底角，且与底边上中线的延长线相交于一点，以则该点和三角形的三个顶点为顶点的特殊四边形是________． 20. 目前，新能源汽车发展迅速，在新能源汽车渗透率持续上升的趋势下，智能驾驶辅助系统（以下简称智驾系统）越发受到大家关注．有关人员开展了对“”、“”两款智驾系统的使用满意度评分（百分制）调查，从中各随机抽取了20个评分分数，并对数据进行了整理和分析，得到下列信息：（评分分数用x表示，共分为五个等级：，，，，），下面给出了部分信息： 抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据： 57，69，70，78，79，80，88，89，90，91，93，93，93，93，93，94，94，97，99，100，抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分数据中B等级的数据：85，87，88，89，89，89，90，抽取的“”、“”两款智驾系统的使用满意度评分统计表 智驾系统 平均数 中位数 众数 “”款 87 92 a “”款 87 b 89 抽取的“”款智驾系统的使用满意度评分扇形统计图 （1）填空： ； ； （2）根据以上数据，你认为哪款智驾系统更受用户喜爱？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）在此次调查中，有840人对“”智驾系统进行评分，有1100人对“”智驾系统进行评分，请通过计算，估计此次调查中对智驾系统的使用满意度评分等级为“A”的共有多少人？ 21. 如图，某货轮往返于长江的A、B两港之间，已知A、B相距2000千米． （1）若水流速度为每小时5千米，这艘货轮从A到B顺水所用的时间是从B到A逆水所用时间的，求该货轮在静水中的速度． （2）若港口C到A、B两港的距离相等，货轮在静水中的速度为每小时v千米， 段河流水速为每小时a千米， 段因受降水影响，水速变为每小时b千米．设货轮在 段的逆水航行时间为，在 段的逆水航行时间为，请判断与的大小关系，通过计算说明理由． 22. 如图1，在四边形 中，，，，，，动点P从点A出发，沿折线A→B→C运动，到达C点时停止运动．点P在线段 上的运动速度为每秒个单位长度，在线段 上的运动速度为每秒3个单位长度．设点P的运动时间为x秒（），的面积为y： （1）请直接写出y与x的函数关系式； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质 （3）结合函数图象，若直线与该函数图象有1个交点，请直接写出m的取值范围． 23. 例如：多项式可以分解为与另外一个整式M的乘积，即，令时，可知为该方程的一个根． 关于笛卡尔的“待定系数法”原理，举例说明如下： 分解因式：． 观察知，显然时，原式，因此原式可分解为与另一个整式的积． 令：， 而，因等式两边x同次幂的系数相等，则有：，得，从而． 此时，不难发现是方程的一个根． 根据以上材料，理解并运用材料提供的方法，解答以下问题： （1）若是多项式的因式，求a的值并将多项式分解因式． （2）若多项式含有因式及，求的值． （3）若多项式可以分解为两个一次因式之积，求a的值将该多项式分解因式． 24. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，D，直线与直线平行，交x轴于点，交于点C． （1）求直线的解析式及点C的坐标； （2）若点P是线段上动点，当时，在x轴上有两动点M、N（M在N的左侧），且，连接，，当四边形周长最小时，求点M的坐标； （3）在（2）的条件下，将 绕O点顺时针旋转得到，点E是y轴上的一个动点，点F是直线上的一个动点，是否存在这样的点F，使以G，M，E，F为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图， 四边形 是平行四边形，对角线相交于点O， E在线段 上． （1）如图1， 连接， 若，求； （2）如图2， 若， 延长 交 于点N， 且， 求证： （3）如图3，若，P为内一点，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $