精品解析：陕西省西电中学26届高三数学第一次模拟考

西电中学高三数学模拟考试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据： 4 6 7 8 根据上表可得经验回归方程，据此估计，当投入万元广告费时，销售额为（ ） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 4. 在中，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（ ） A. B. 8 C. 10 D. 6. 记为等差数列的前项和，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列是公差为1的等差数列 10. 已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 在上单调递增 11. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，点在上，与轴垂直．若直线的斜率是直线的斜率的3倍，且，，点在的左支上，则（ ） A. B. 的渐近线方程为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 若，则______. 13. 已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 14. 已知的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为___________ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，已知． （1）求角的大小； （2）求的周长． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，点是棱上的一点. （1）求证：为直角三角形； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有两个零点，求实数的取值范围. 18. 年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； （3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 19. 已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3. （1）求椭圆的方程 （2）已知点，过点的直线交椭圆于两点（在轴下方），直线交直线于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西电中学高三数学模拟考试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】已知集合，，在数轴上合并两个集合的范围可得： 所有元素覆盖的区间是从（包含）到（不包含），即. 2. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意知，再依次计算，即可. 【详解】由题知， 所以， 所以. 3. 已知某种商品的广告费支出（单位：万元）与销售额（单位：万元）之间有如下对应数据： 4 6 7 8 根据上表可得经验回归方程，据此估计，当投入万元广告费时，销售额为（ ） A. 万元 B. 万元 C. 万元 D. 万元 【答案】D 【解析】 【详解】由上表可知：，， 样本点的中心为， 代入经验回归方程，得， 经验回归方程为， 将代入可得， 当投入万元广告费时，销售额为万元． 4. 在中，，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，得， 整理为， 即，，即. 5. 若直线与抛物线交于，两点，为抛物线的焦点，则（ ） A. B. 8 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程，根据抛物线的定义结合韦达定理即可求得结果. 【详解】由题意可知，抛物线的准线为，设， 则根据抛物线的定义可知. 因为直线与抛物线交于，两点， 所以联立方程可得，化简得. 根据韦达定理得，所以. 6. 记为等差数列的前项和，若，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设等差数列的公差为，由题知，，再令，，则，进而根据二次方程有解问题，结合判别式即可求得答案. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，所以， 因为， 设，则，解得， 令，，则， 令，则， 将代入得， 整理得，由题知该方程有解， 所以，即，解得， 所以，即的最大值为. 7. 已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面圆的圆周在圆锥的侧面上，则圆柱的侧面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将圆柱侧面积的最大值问题，转化为关于圆柱底面半径的二次函数的最值问题. 【详解】由的底面半径，母线长， 所以圆锥的高. 由题可设圆柱的底面半径为()，高为. 由得，即，截得. 所以圆柱的侧面积 所以当时，侧面积取得最大值为. 8. 若函数有且只有一个零点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据因式分解，结合有且只有一个零点，即无解或有等根，分类计算后即可参数的取值范围． 【详解】， 因为有且只有一个零点，即无解，或有两个等根为 所以，或，解得． 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 数列是公差为1的等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】先结合已知条件求得，，再依次讨论各选项即可得答案． 【详解】因为， 所以，解得，故A正确； 所以，解得， 所以，，故B选项正确； 因为， 所以，故C选项错误； 因为，， 所以， 即数列是公差为1的等差数列，故D选项正确． 10. 已知函数的最小正周期为，若将其图象向左平移个单位长度后得到的图象关于直线对称，则（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. D. 在上单调递增 【答案】BD 【解析】 【分析】利用周期公式求出，利用平移得到，利用图象关于直线对称，结合余弦函数的图像和性质得到，由得到的值，从而得到和的表达式，利用正余弦函数的图像和性质分别对选项一一求解. 【详解】函数的最小正周期为， ，， 将其图象向左平移个单位长度后得到的， ， 图象关于直线对称， ，， ，， ，， 选项A，，故选项A错误； 选项B，，故选项B正确； 选项C，， ， ，故选项C错误； 选项D，，，， 在上单调递增，故选项D正确. 11. 已知双曲线的左、右顶点分别为，，右焦点为，点在上，与轴垂直．若直线的斜率是直线的斜率的3倍，且，，点在的左支上，则（ ） A. B. 的渐近线方程为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据双曲线的性质，结合已知条件求出双曲线的方程，再根据双曲线的性质逐一分析选项. 【详解】由已知得，，， 因为点在双曲线上，且轴，， 不妨设，则，， 由，解得，又，所以， 所以双曲线方程为，将代入，得， 所以，所以，所以选项A错误； 双曲线的渐近线方程为，所以选项B正确； 由，所以， 设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义， ，所以， 所以， 当三点共线时，最小， 最小值为，所以选项C正确； 设，则， ， 所以当时，最小，最小值为，所以选项D错误. 故选：BC 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 12. 若，则______. 【答案】0 【解析】 【分析】利用两角和的余弦公式可得，提取化简即可求解. 【详解】 . 故答案为：0 【点睛】本题考查了两角和的余弦公式、齐次式，需熟记公式，属于基础题. 13. 已知圆，直线.设为圆上的一动点，则到直线的最大距离为____. 【答案】 【解析】 【分析】先求得圆心到直线的最大距离，再根据圆周上的点到直线距离的最大值为即可求解． 【详解】圆心，半径为， 直线过定点， 圆心到直线的最大距离， 所以到直线的最大距离为. 14. 已知的二项式系数和为64，则二项式系数最大值为___________ 【答案】20 【解析】 【分析】根据二项式系数和为可得，再结合二项式系数的性质即可求解. 【详解】因为的二项式系数和为64，则，解得， 所以二项式系数最大值为. 故答案为：20. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别是，已知． （1）求角的大小； （2）求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和定理和诱导公式，两角和差的正弦公式求解； （2）利用正弦定理得到，结合已知得到，利用余弦定理得到，利用求出，从而得到的周长. 【小问1详解】 已知， 结合， 可得， ， 又，则， 得． 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）知，根据正弦定理， 则， 结合， 得． ， 由余弦定理，可得， 即， 则， 代入和，得， 则，故， 因此，的周长为． 16. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，为等边三角形，平面平面，点是棱上的一点. （1）求证：为直角三角形； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，由面面垂直的性质定理及线面垂直的判定定理，可证平面，从而证得，得为直角三角形； （2）建立空间直角坐标系，设（），由线面角的向量求法列得关于的方程，求出，即可得线段的长.. 【小问1详解】 取的中点，连接，，由等边可得， 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又平面，所以. 在中，，，，由余弦定理可得， 因为，所以， 又，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 故为直角三角形. 【小问2详解】 由（1）得，，两两垂直， 如图，以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，， 设（），则. 设平面的一个法向量，则 令，解得，， 所以平面的一个法向量. 因为直线与平面所成角的正弦值为， 所以， 解得或（舍），所以， ， 即线段的长为. 17. 已知函数. （1）当时，求函数的单调区间； （2）若有两个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数分析函数的单调性即可； （2）令，分离参数，构造函数，将问题转化为与函数有两个交点；利用导数分析函数的单调性及取值情况，可得的取值范围，从而得到实数的取值范围. 【小问1详解】 的定义域为. 时，，， 令，易知在上单调递减，且， 所以当时，；当时，. 所以时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问2详解】 由有两个零点得，方程在上有两个根， 所以，所以在上有两个根. 设，，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 且的极大值为， 又，当时，，且时，. 所以要使方程在上有两个根， 则直线与的图象有两个交点， 所以，故实数的取值范围为. 18. 年被业界公认为“具身智能元年”，得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟，人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活．新华中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动，活动分两轮进行．第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格．已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率均为，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为，假设他们之间通过与否相互独立． （1）求这3人中至多有2人通过第一轮的概率； （2）从3人中随机选出一人，求他通过第二轮的概率； （3）设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望． 【答案】（1） （2） （3）分布列为： 0 1 2 3 数学期望为 【解析】 【分析】（1）先求出“3人中最多2人通过第一轮”的对立事件的概率，进而求出“3人中最多2人通过第一轮”的概率； （2）先由乘法公式求出三人通过第二轮的概率，再利用全概率公式计算求解； （3）求出的可能取值为，计算各可能值的概率，进而求出分布列及期望． 【小问1详解】 “3人中最多2人通过第一轮”的对立事件为“3人全部通过第一轮”， 每人通过第一轮的概率为，且相互独立，故全部通过的概率为：， “3人中最多2人通过第一轮”的概率为：． 【小问2详解】 小明通过第二轮的概率为：， 小华通过第二轮的概率为：， 小方通过第二轮的概率为：， 从3人中任选1人，每人被选中概率为，由全概率公式： ． 【小问3详解】 的可能取值为，三人通过第二轮的事件相互独立， ， ， ， ， 分布列为： 0 1 2 3 期望为：． 19. 已知椭圆的离心率为，直线被椭圆所截得的线段的长为3. （1）求椭圆的方程 （2）已知点，过点的直线交椭圆于两点（在轴下方），直线交直线于点，设直线的斜率为，直线的斜率为，判断是否为定值，并说明理由 【答案】（1） （2）不为定值，理由如下： 设，直线， 联立方程，得到， 即，解得或， 又因为在轴下方，所以， 由韦达定理得到， 得到，即， 又因为， 所以 . 所以不为定值. 【解析】 【分析】（1）列方程求解即可求解； （2）设，直线，联立椭圆的方程，进而将斜率表示出来，得到，与点的坐标有关，从而不为定值. 【小问1详解】 因为直线被椭圆所截得的线段的长为3， 所以在椭圆上，则，即 又因为离心率为，即，且， 所以， 所以椭圆的方程. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $