陕西西安市第八十五中学2026届高三第二学期第一次模考数学试题

答案和解析 1.【答案】C 2.【答案】C  【解析】【分析】利用复数的运算先计算，进而得z，再由纯虚数的概念即可求解. 【详解】因为，所以，因为 为纯虚数，所以 3.【答案】A  【解析】【分析】根据共线向量的坐标表示，列出方程求得，得到的坐标，结合向量模的坐标运算公式，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得， 所以，则，所以 4.【答案】B  【解析】解：由，， 可得， 所以， 所以 故选 5.【答案】C  【解析】解：由已知可得，直线，圆，圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为直线与圆有2个公共点， 所以，整理可得 若，则 若，则 若，则 若，则 若，则 若，则 所以直线与圆有2个公共点的概率是， 故选 6.【答案】B  【解析】由题易知，，，， 数列、3、5、7、9、11、 数列、2、5、10、17、26、 数列、2、4、9、19、36、62、 7.【答案】B  【解析】解：因为为定义在R上的奇函数， 所以，， 又，所以， 所以，所以， 所以，所以的周期为4， 因为， 所以，故A选项错误； ，故B选项正确； ，故C选项错误； ，故D选项错误． 故选： 8.【答案】D  【解析】解：将整理为， 构造函数， ， 令，则，令，则， 故在上单调递增，在上单调递减， 所以， 由，可知， 令，则，令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以由题意可得， 所以，当且仅当时，不等式成立． 此时，，所以 故选： 9.【答案】BC 【分析】根据等比数列片段和的性质及已知得，进而得到、，再依次判断各项的正误. 【详解】由题设，，而，则， 所以，又，则，A错，且，所以，B对，，，C对，D错. 故选：BC 10.【答案】BCD  【解析】【详解】如图：   对于选项A，因为平面ABE，平面ABE，所以平面ABE，又因为平面ABE，但不过A，所以与BE是异面直线，故A错误； 对于选项B，因为底面ABC，因为底面ABC，所以； 又，且平面， 所以平面 因为平面，所以 因为，所以侧面是正方形，所以 因为，且平面， 所以平面，故B正确. 对于选项C，由选项B下的证明得到，平面，因为平面BFC 所以平面平面，故C正确. 对于选项D，当F为线段的中点时，设， 则，所以，故四边形为平行四边形， 所以，而平面平面，所以平面，故D正确. 11.【答案】AC  【解析】【分析】由及结合降幂公式、和差化积公式得到，即可判断C；进而得到即可判断B；再结合及三角形的面积公式可求解判断A；结合求出，再结合正弦定理求解判断即可. 【详解】由知，， 化简可得， 根据和差化积公式可得：， 则，即， 由知，， 所以，即，故C正确； 由，得：，所以，故B不正确； 在中，由，知，故A正确； 由知，， 又，则，又， 由正弦定理得，，故D不正确. 12.【答案】2  【解析】【分析】由偶函数的定义恒成立，化简得到恒成立，即可求解. 【详解】因为为偶函数，所以， ， 即， 化简可得对于任意恒成立， 所以，所以 13.【答案】  【解析】设焦半径长度：设，由得。 应用椭圆定义：椭圆上任意一点到两焦点距离之和为2a，故，解得，因此，。 利用垂直条件和勾股定理：由知，在中，勾股定理得。 代入长度得：。 计算左边：；右边：。 求离心率：等式化简为，两边除以得。 椭圆离心率，故。 14.【答案】  【解析】解：设为第n天选A套餐，为第n天选B套餐则，，， 从而，， 15.【答案】解：由题意，， 则， ， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则 由， 则， 所以 即   16.【答案】解：样本的相关系数为： 由于相关系数，故销售金额单位：万元和月份编号x具有很强的正相关性； 由题意得：X的可能取值为0，1，2， 18个月中有10个月的销售金额高于平均数， 所以， ， ， 所以X的分布列为： X 0 1 2 P   17.【答案】证明：设O为BC的中点，连接AC，OA，OE， 由题得，，，所以为正三角形， 则，，，OA，平面EOA， 所以平面EOA， 平面EOA， 因为，平面平面ABCD，平面平面， 则平面ABCD，而平面ABCD，故， 由可知OA，OB，OE两两垂直， 故以O为坐标原点，OA，OB，OE所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，， 则，， 设平面ADE的法向量为， 则，， 令，则，，则， 设直线AB和平面ADE所成角为， 则，， 所以直线AB和平面ADE所成角的正弦值为 设外接球的球心为Q，分别过和外心作平面ABC和平面BCE的垂线， 垂线的交点就是球心，易求，则外接球的半径， 又， 所以点Q到平面ADE的距离， 所以点P到平面ADE距离的最大值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 18.【答案】解：因为，又，所以， 又面积取得最大值，所以， 在中，，所以，所以， 又，所以，所以，解得， 所以，所以椭圆C的方程为； ⅰ当过点的直线l不与x轴重合时， 设直线l的方程为，， 由，得， 整理得， 由韦达定理得， 因为为点A关于x轴的对称点，所以，所以， 所以直线的方程为， 由对称性，直线所过定点一定在x轴上， 令，可得 ， 所以直线过定点； 当过点的直线与x轴重合时，显然过点； 综上所述：直线过定点； ⅱ记直线过定点为， 则 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为 19.【答案】解：由题易知：， 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 当时，，所以当时，取最大值； 先证： 令，，则，所以函数在上单调递增， 故，即在上恒成立； 又， 由知，， 所以，即，得证； 当时，， 令，则，， 其中，令，则且， 令，则，其中， 令，，则，故在上单调递减，其中， ①若，则，上恒成立，故， 在上单调递增，且， 所以在上也单调递增，且， 所以，故恒成立； ②若，则，且，使得当时，，所以函数在上单调递减，故时，， 所以函数在上单调递减，所以时，，所以时，，与，恒成立矛盾， 综上所述：a的最大值为  【解析】详细解答和解析过程见【答案】 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市第八十五中学 2025-2026学年度第二学期高三年级第一次模考数学试题 命题人：欧晓斌 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的真子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 已知复数，若是纯虚数，则实数（ ） A. -1 B. 0 C. 2 D. 1 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 随机抛掷质地均匀的两枚骰子，向上点数分别记为和，则直线与圆有2个公共点的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为一阶等差数列），或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列（则称数列为二阶等差数列），依次类推，可以得到高阶等差数列．根据以上定义，解决如下问题．已知数列为二阶等差数列，且，则（ ） A. 35 B. 36 C. 37 D. 38 7. 已知奇函数对任意，都有，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知实数满足，则的值为（ ） A. -2 B. -1 C. 2 D. 1 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 9. 已知等比数列的首项为4，公比为，前项和为.若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在直三棱柱中，为的中点，为线段上的动点，下列结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 平面平面 D. 存在点，使得平面 11. 在中，三个内角所对的边分别为，若，，的面积为1，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数是偶函数，则___________． 13. 已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为，P是C上一点，且，，则C的离心率为_______． 14. 学校食堂每餐推出两种套餐，某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，若他前1天选择了套餐，则第2天选择套餐的概率为；若他前1天选择了套餐，则第2天选择了套餐的概率为．已知他开学第1天中午选择套餐的概率为，在该同学第3天选择了套餐的条件下，他第2天选择套餐的概率为___________． 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列中，，满足． （1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式： （2）设为数列的前项和，求． 16. 随着科技的发展，人工智能生成的虚拟角色正逐步取代传统的真人直播带货．某公司使用虚拟角色直播带货后销售金额逐步提升，根据该公司使用虚拟角色直播带货后18个月的销售金额的情况统计，得到一组样本数据，其中和分别表示月份编号和销售金额数量（单位：万元），并计算得， . （1）求样本的相关系数（精确到0.01），并推断销售金额（单位：万元）和月份编号是否线性相关（当时，即可认为线性相关）； （2）已知这18个月中有10个月的销售金额高于平均数，从这18个月中随机抽取2个月的销售金额，记抽到销售金额高于平均数的月份数为，求随机变量的分布列． 附：相关系数． 17. 如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，为正三角形，且平面平面． （1）求证：； （2）求直线和平面所成角的正弦值； （3）设点是三棱锥外接球上一点，求点到平面距离的最大值． 18. 已知椭圆的两个焦点分别为，，点P是C上的一个动点，当面积取得最大值时，． （1）求C的方程； （2）过点的直线l与C交于A，B两点，点A关于x轴的对称点为（与B不重合）． （ⅰ）求证：直线过定点； （ⅱ）求面积的最大值． 19. 已知函数． （1）求在上的最大值； （2）求证：恒成立； （3）若都有恒成立，求的最大值． 西安市第八十五中学 2025-2026学年度第二学期高三年级第一次模考数学试题 命题人：欧晓斌 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】A 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】B 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】2 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本小题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） 由题意，， 则， ， 所以是以为首项，3为公比的等比数列. 所以，则. （2） 【16题答案】 【答案】（1），具有很强的正相关性 （2） 0 1 2 【17题答案】 【答案】（1） 设O为的中点，连接， 由题得， 所以为正三角形，则， 所以平面，平面，． （2） （3） 【18题答案】 【答案】（1） （2） （ⅰ）当过点的直线l不与x轴重合时， 设直线l的方程为，， 由，得， 整理得， 由韦达定理得， 因为为点A关于x轴的对称点，所以，所以， 所以直线的方程为， 由对称性，直线所过定点一定在轴上， 令，可得 ， 所以直线过定点； 当过点的直线与x轴重合时，显然过点； 综上所述：直线过定点； （ⅱ） 【19题答案】 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $