精品解析：陕西省汉中市西乡县第一中学2025届高三下学期诊断性考试数学试题

2025届高三年级诊断性考试 数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】由对数函数定义域求得集合，然后得到，由集合子集个数公式求得结果. 【详解】∵，即，∴， ∴，一共有3个元素， ∴的子集个数为. 故选：C. 2. 已知复数满足，则复数的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简复数，再得共轭复数，即可得其虚部. 【详解】复数满足， 则， 所以，故复数的共轭复数的虚部是. 故选：D. 3. 已知，则函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】令，，利用基本初等函数的单调性及复合函数的单调性，求出的单调区间，即可求解. 【详解】令，，易知是减函数， 因为，又在上单调递增，在上单调递减， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 又当时，，当时，， 则函数的最大值是， 故选：C. 4. 已知，且：关于的不等式无解；：直线的斜率非负，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出成立时 的取值范围，再判断充分必要性. 【详解】对于：关于的不等式无解， 则，即， 对于：直线的斜率非负， 即，得， 所以，但， 所以是的充分不必要条件. 故选：A 5. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A. B. 3 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导，根据极值点及根与系数关系得，再由等比数列的性质有，，即可得. 【详解】由，则， 因为在等比数列中，是函数的极值点， 所以，故，且， 故，故. 故选：D 6. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得到，再结合范围即可求解. 【详解】因为函数的图象关于直线对称 所以，故，， 又因为，令得， 故选：A 7. 已知的三个内角，，所对的边分别是 ， ，，若，，则该三角形的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理化简得，再根据三角形内角关系结合恒等变换最终求得角的大小，从而得外接圆的半径，即可得所求. 【详解】因为，所以， 由正弦定理得， 则， 所以， 整理得， 所以， 因为，所以， 故，即， 则该三角形的外接圆的半径，所以外接圆的面积为. 故选：B. 8. 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于 、 两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，确定 的关系，求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设直线 与圆的切点为，作，交 于点，则 . 因为，，所以. 又为中点，所以，. 又，， 所以可设：，，. 由. 根据双曲线的定义：. 所以. 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分；有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量坐标是 【答案】BD 【解析】 【分析】应用向量的坐标运算求模长、夹角，结合投影向量的定义求投影向量，即可判断各项正误. 【详解】对于A：，错误； 对于B：，正确； 对于C：，错误； 对于D：在方向上的投影向量坐标是，正确. 故选：BD. 10. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数据的30%分位数为5 C. 数据的标准差为3 D. 若，随机变量，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法即可求解A，根据二项式展开式的通项特征，可求解，根据百分位数以及方差的计算公式即可求解BC，根据正态分布的对称性即可求解D. 【详解】对于A，令 ，则，故A正确， 对于B, 将其从小到大排列为，且，故30%分位数为第2个数1，B错误， 对于C，分别为，则平均数为， 故方差为，故标准差为3，C正确， 对于D， ， 故，故D正确， 故选：ACD 11. 随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等领域，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.已知某种信号的波形可以利用函数的图象近似模拟，则（ ） A. 是非奇非偶函数 B. 的值域为 C. 当时，关于x的方程在区间上所有不等实根的和为 D. 的图象与的图象恰有个交点 【答案】BD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义即可判定A，根据函数的周期性，结合对讨论去绝对值，即可利用辅助角公式，结合三角函数的性质，利用整体法即可求解B，根据函数的图象，结合对称性即可求解CD. 【详解】对于A，由于，所以是偶函数，故A错误； 对于B，当 时，， 故当 时，是一个周期函数，其中一个周期为，故只需考察这个函数在内的情况. 当时，. 此时，故， 当时，，此时，故， 综上可得时，的值域为，故B正确； 对于C，作出在上的图象，故当，时，由图可知直线 与的图象有个交点，设这个交点的横坐标分别为，，，，由图可知，，和，分别关于直线，对称，故，故C错误； 对于D，当时，，由图可知的图象与的图象在区间内恰有个交点，又为偶函数，故的图象与的图象恰有个交点，故D正确. 故选：BD. 【点睛】 方法点睛：已知函数交点问题常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数（）的最小正周期为，则______ 【答案】## 【解析】 【分析】利用余弦型函数周期公式计算得解. 【详解】由函数的最小正周期为4，得，所以. 故答案为： 13. 函数的最小值为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据导数判断函数的单调性，再求函数的最值. 【详解】，， 令 ，得， 当时， ，单调递减， 当时， ，单调递增， 所以当时，函数取得最小值. 故答案为： 14. 已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为5:3，则该圆锥的母线长为______ 【答案】10 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积、底面积和体积公式列式求解得圆锥的高为 ，底面圆半径为，即可求解母线长. 【详解】设圆锥的高为h，底面圆半径为r，则母线长为， 故圆锥的底面积，侧面积，体积， 故， 得，故，解得 ，， 所以该圆锥的母线长为. 故答案为：10 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若数列对于任意的，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．设数列的前 项和为，，对于任意的，都有． （1）求证：数列为准等差数列； （2）求数列的通项公式及前 项和． 【答案】（1） 已知对于任意的，都有. 将 换为，可得. 用减去， 可得： 因为，，所以 . 根据准等差数列的定义，可知数列是公差为 的准等差数列. （2），． 【解析】 【分析】（1）需要根据已知条件推导出为常数，从而证明数列为准等差数列； （2）先根据递推关系求出奇数项和偶数项的通项公式，再分别计算奇数项和偶数项的前 项和，进而得到前2n项和. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由可得. 当时，，又，所以. 当 为奇数时，. 当 为偶数时，. 所以.  . 对于奇数项，是以为首项， 为公差的等差数列， 根据等差数列前 项和公式可得其前 项和为： . 对于偶数项，是以为首项， 为公差的等差数列，其前 项和为： . 所以. 16. 已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于 两点. （1）求椭圆C的方程； （2）求证为定值. 【答案】（1） （2） 设，依题可设直线方程为， 由，消去可得：， 故 于是，， 故 ， 故为定值. 【解析】 【分析】（1）由题意，列方程组，求出的值，即得椭圆方程； （2）设，直线方程为并与椭圆方程联立，写出韦达定理，求出弦长，利用两点之间距离公式化简 ，将韦达定理代入计算即得证. 【小问1详解】 由题可知，解得， 故椭圆C的标准方程是 【小问2详解】 略 17. 已知函数 的导函数为. （1）证明：函数有且只有一个极值点； （2）若恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）证明如下： 由题意知的定义域为，且， 令，则 ， 所以（即）在上单调递增， 又 所以在上有唯一零点， 当时， ，当时， ， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有且只有一个极值点. （2） 【解析】 【分析】（1）求导，结合函数单调性及零点存在定理说明的单调性即可证明； （2）换元 ，并分离参数求函数最值即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 恒成立， 即恒成立， 即恒成立，即恒成立. 令 ，则 ，所以， 令 ，则， 令，得，令，得 ， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 ，所以 ，解得 ， 即实数 的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数的极值点及不等式恒成立问题，关键是利用函数特点同构，得到恒成立.. 18. 在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为 （其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，直三棱柱中， ，点E，F分别为棱AC，的中点，. （1）求证：平面平面ABF； （2）若. ①求平面的点法式方程和一般式方程； ②求平面与平面所成二面角的正弦值. 【答案】（1） 由四边形是正方形，所以 ， 由于 ，，故， 所以，即， 由题得平面，又平面，所以， 因为，且，平面， 所以平面，又平面，所以． 因为，且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. （2）①平面的点法式方程为，平面的一般式方程为；② 【解析】 【分析】（1）根据已知及线面垂直的性质有、，进而有平面，再由线面垂直的性质得，最后由线面、面面垂直的判定证明结论； （2）根据已知构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值，进而可求正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①由于，且平面， 以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系，    则， 所以． 设平面的法向量为 ， 则，令，则， 所以平面的法向量为． 因为平面过定点 ， 所以平面的点法式方程为， 即平面的一般式方程为； ②设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的法向量为． 所以， 所以平面与平面所成二面角的正弦值为． 19. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． （1）求该运动员第二次投篮命中的概率； （2）记该运动员前两次投篮命中的次数为 ，求 的分布列和数学期望； （3）设第 次投篮命中的概率为，求证：． 【答案】（1） （2） 0 1 2 数学期望为 （3） 由题意得，； 当 时， 即， 变形为，所以数列是以为公比的等比数列， 又，于是， 即，所以． 【解析】 【分析】（1）设事件“第 次投篮命中”，再根据全概率公式求解即可； （2）由题意 的所有取值为0,1,2，再求分布列与数学期望即可； （3）由题意得，；再根据题意得出递推公式，进而构造数列求解即可. 【小问1详解】 设事件“第 次投篮命中”，则“第 次投篮未命中”，， 易知与是互斥事件， 所以由全概率公式得 该运动员第二次投篮命中的概率为． 【小问2详解】 由题意得，， 的所有取值为0,1,2， , 所以 的分布列为 0 1 2 ……所以． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三年级诊断性考试 数学试题 注意事项： 1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题不回收. 第Ⅰ卷（选择题共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则的子集个数为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 2. 已知复数满足，则复数的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则函数的最大值是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且：关于的不等式无解；：直线的斜率非负，则是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 在等比数列中，，是函数的极值点，则（ ） A. B. 3 C. D. 6. 已知函数的图象关于直线对称，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的三个内角，，所对的边分别是 ，，，若，，则该三角形的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分；有选错的得0分. 9. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 在方向上的投影向量坐标是 10. 若，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数据的30%分位数为5 C. 数据的标准差为3 D. 若，随机变量，则 11. 随着时代与科技的发展，信号处理以各种方式被广泛应用于医学、声学、密码学、计算机科学、量子力学等领域，而信号处理背后的“功臣”就是正弦型函数.已知某种信号的波形可以利用函数的图象近似模拟，则（ ） A. 是非奇非偶函数 B. 的值域为 C. 当时，关于x的方程在区间上所有不等实根的和为 D. 的图象与的图象恰有个交点 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若函数（）的最小正周期为，则______ 13. 函数的最小值为__________． 14. 已知圆锥的体积为，其侧面积与底面积的比为5:3，则该圆锥的母线长为______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 若数列对于任意的，都有（常数），则称数列是公差为的准等差数列．设数列的前 项和为，，对于任意的，都有． （1）求证：数列为准等差数列； （2）求数列的通项公式及前 项和． 16. 已知，是椭圆（）的左，右焦点，焦距为2，离心率，过左焦点的直线交椭圆于 两点. （1）求椭圆C的方程； （2）求证为定值. 17. 已知函数 的导函数为. （1）证明：函数有且只有一个极值点； （2）若恒成立，求实数 的取值范围. 18. 在空间直角坐标系中，若平面过点，且平面的一个法向量为，则平面的方程为，该方程称为平面的点法式方程，整理后为 （其中），该方程称为平面的一般式方程.如图，直三棱柱中， ，点E，F分别为棱AC，的中点，. （1）求证：平面平面ABF； （2）若. ①求平面的点法式方程和一般式方程； ②求平面与平面所成二面角的正弦值. 19. 某篮球运动员进行定点投篮训练，据以往训练结果，第一次投篮命中的概率为．若前一次投篮命中，那么下次投篮命中的概率为；若前一次投篮未命中，那么下次投篮命中的概率为． （1）求该运动员第二次投篮命中的概率； （2）记该运动员前两次投篮命中的次数为 ，求 的分布列和数学期望； （3）设第 次投篮命中的概率为，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $