2025-2026学年浙教版数学七年级下册期末自编模拟卷（浙江舟山卷）（考试范围：浙教版七下全册）

**基本信息** 以浙教版七下数学全章为范围，融合新能源汽车行程、可再生能源投资等时代情境，通过动态铁丝折叠探究、统计图表分析等综合题，考查抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|二元一次方程组、抽样调查、科学记数法|基础概念辨析，如第3题考查总体与个体| |填空|6/18|分式求值、整式运算、频数计算|结合生活情境，如第13题中考时间数串频数| |解答|8/52|因式分解、统计图表、行程问题、动态几何|分层设计，24题铁丝折叠探究考查空间观念与创新意识，23题购书盈利问题体现模型意识|

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七下数学期末模拟卷 考试范围：浙教版新教材七下全章 总分：100分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．对某中学1350名学生进行身高调查，随机抽取了200名学生，下列说法错误的是（     ） A．总体是该中学1350名学生的身高 B．个体是每个学生 C．样本是所抽取的200名学生的身高 D．样本容量是200 4．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 5．年全球可再生能源投资报告显示，某新型薄膜太阳能电池的光电转换效率突破世界纪录，达到，而其核心光电转换层厚度仅为米．数用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（     ） A． B． C． D． 7．随着生活水平的提高和环保意识的增强，小安家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了20分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的3倍，小安家到学校的距离为10千米．若设公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．若分式的值为，则的值为_____． 12．计算的结果是________． 13．我市今年中考数学学科开考时间是6月14日9时，数串“202606140900”中“0”出现的频数是___． 14．，则的值为______． 15．如图，已知直线，那么________度． 16．如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图1和图2两种方式放置在长方形内，（图1和图2中两张长方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为、；设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，当，时，_____．（用含的代数式表示） 三、解答题：本题共8小题，共52分. 17．（6分）计算、化简： (1)； (2)． 18．（6分）因式分解： (1)； (2)． 19．（6分）解方程（组）： (1) (2) 20．（6分）先化简，再求值：，其中． 21．（6分）如图，在五边形中，连接，已知，且． (1)求证：； (2)连接，恰好满足平分．若，求的度数． 22．（6分）为深入推进阳光体育锻炼、引导学生坚持日常运动、增强体质健康，某校以七年级学生《国家学生体质健康标准》测试成绩为依据，开展体质健康达标情况调研，按测试总分将学生体质等级划分为优秀（分及以上）、良好（ 分）、及格（ 分）、不及格（ 分）四个等级，随机抽取该校部分七年级学生的测试成绩为样本，整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是__________．“良好”等级对应的圆心角度数是__________； (2)补全条形统计图； (3)若该校七年级共有名学生，估计该校七年级体质测试等级为“良好”和“优秀”的学生共计约有多少人？ 23．（8分）某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本，并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了，用15000元购买该书比第一次多了100本． (1)求第一次购书的进价是多少元一本？ (2)若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利元（n、m为正整数），求相应的n、m的值． 24．（8分）【数学活动与探究】甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在点处弯折得到如图的形状，其中，； 第二步：将绕点旋转一定角度，再将绕点旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如图的形状； 第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如图的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题： (1)如图，若，求； (2)如图，若，请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，若，，，设，，求．（用含的式子表示） 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七下数学期末模拟卷 总分：100分（参考答案） 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C D B D B B D A A D 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 12. / 13. 5 14. 15. 16. 三、解答题：本题共8小题，共52分. 17．（6分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：；（3分） （2）解：．（6分） 18．（6分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （3分） （2）解： （6分） 19．（6分） 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为；（3分） （2）解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，当时，， 则原分式方程的解是．（6分） 20．（6分） 【答案】， 【详解】解：原式 （4分） 当时，（6分） 21．（6分） 【答案】(1)证明：， ， 又， ， ． (2) 【分析】（1）由平行线的性质得到，等量代换得到，即可推出； （2）由平行线的性质得到，然后由角平分线的定义得到，然后利用平行线的性质求解． 【详解】（1）略（3分） （2）解：，， ， CE平分， ， 由（1）知：， ．（6分） 22．（6分） 【答案】(1)， (2)图见解析 (3)估计等级为“良好”和“优秀”的学生共计约有350人 【分析】本题主要考查的是根据表格和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）设总人数为，根据占比求出总人数，再根据扇形统计图，求出等级为“优秀”的人数，等级为“良好”的人数，根据圆心角度数等于乘以百分比，即可； （2）补全条形统计图； （3）根据样本估计总体，即可． 【详解】（1）解：总人数为 ∴样本容量为； 由扇形统计图可得：等级为“优秀”的人数：（人）， ∴等级为“良好”的人数为：， ∴“良好”等级对应的圆心角度数为： ．（2分） （2）解：补全统计图如下： （4分） （3）解： （人）． 估计等级为“良好”和“优秀”的学生共计约有人．（6分） 23．（8分） 【答案】(1)第一次购书的进价是元一本 (2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）设第一次购书的单价为元，根据第一次用12000元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用15000元所购该书的数量比第一次多100本，列出方程，求出的值即可得出答案； （2）根据（1）先求出第二次购书数目，再根据卖书数目（实际售价当次进价）等于二次赚的钱数列出方程探讨得出答案． 【详解】（1）解：设第一次购书的单价为元一本，根据题意得： ． 解得：． 经检验，是原方程的解， 答：第一次购书的进价是5元一本；（4分） （2）解：第二次购书进价为（元）， 数量为（本）， 根据题意，得 整理得， 、为正整数，且， 当，； 当时，； 当时，．（8分） 24．（8分） 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）由平行线的性质求解即可； （2）由平行线性质、四边形内角和为及邻补角定义，数形结合求解即可； （3）先由字形的和中，，根据题意，设，则，再由（2）中结论得到，消去即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ，解得， ， ；（2分） （2）解：， 理由如下： 延长交于点，如图所示： ， ， 在四边形中，，且， ， 则；（5分） （3）解：如图所示： 在字形的和中，，则， ，， 设，则， ，即， ，，由（2）知， ，则， ．（8分） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七下数学期末模拟卷 考试范围：浙教版新教材七下全章 总分：100分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．对某中学1350名学生进行身高调查，随机抽取了200名学生，下列说法错误的是（     ） A．总体是该中学1350名学生的身高 B．个体是每个学生 C．样本是所抽取的200名学生的身高 D．样本容量是200 4．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 5．年全球可再生能源投资报告显示，某新型薄膜太阳能电池的光电转换效率突破世界纪录，达到，而其核心光电转换层厚度仅为米．数用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（     ） A． B． C． D． 7．随着生活水平的提高和环保意识的增强，小安家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了20分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的3倍，小安家到学校的距离为10千米．若设公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 8．如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 9．若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．若分式的值为，则的值为_____． 12．计算的结果是________． 13．我市今年中考数学学科开考时间是6月14日9时，数串“202606140900”中“0”出现的频数是___． 14．，则的值为______． 15．如图，已知直线，那么________度． 16．如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图1和图2两种方式放置在长方形内，（图1和图2中两张长方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为、；设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，当，时，_____．（用含的代数式表示） 三、解答题：本题共8小题，共52分. 17．（6分）计算、化简： (1)； (2)． 18．（6分）因式分解： (1)； (2)． 19．（6分）解方程（组）： (1) (2) 20．（6分）先化简，再求值：，其中． 21．（6分）如图，在五边形中，连接，已知，且． (1)求证：； (2)连接，恰好满足平分．若，求的度数． 22．（6分）为深入推进阳光体育锻炼、引导学生坚持日常运动、增强体质健康，某校以七年级学生《国家学生体质健康标准》测试成绩为依据，开展体质健康达标情况调研，按测试总分将学生体质等级划分为优秀（分及以上）、良好（ 分）、及格（ 分）、不及格（ 分）四个等级，随机抽取该校部分七年级学生的测试成绩为样本，整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是__________．“良好”等级对应的圆心角度数是__________； (2)补全条形统计图； (3)若该校七年级共有名学生，估计该校七年级体质测试等级为“良好”和“优秀”的学生共计约有多少人？ 23．（8分）某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本，并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了，用15000元购买该书比第一次多了100本． (1)求第一次购书的进价是多少元一本？ (2)若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利元（n、m为正整数），求相应的n、m的值． 24．（8分）【数学活动与探究】甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在点处弯折得到如图的形状，其中，； 第二步：将绕点旋转一定角度，再将绕点旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如图的形状； 第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如图的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题： (1)如图，若，求； (2)如图，若，请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，若，，，设，，求．（用含的式子表示） 1 / 2 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七下数学期末模拟卷 考试时间：90分钟 考试范围：浙教版新教材七下全章 总分：100分 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 1．下列是二元一次方程组的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程组的定义判断，二元一次方程组需满足：一共含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，由两个方程组成，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A中，第一个式子不是等式，不是方程，且项的次数为2，不满足定义，故A不符合题意； 选项B中，方程组共含有三个未知数，不满足二元的要求，故B不符合题意； 选项C中，方程组共含两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且都是整式方程，满足二元一次方程组的定义，故C符合题意； 选项D中，第二个方程是分式方程，不是整式方程，不满足定义，故D不符合题意． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除运算法则逐一判断选项即可． 【详解】A、与不是同类项，不能合并，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、，故选项C错误； D、，故选项D正确． 3．对某中学1350名学生进行身高调查，随机抽取了200名学生，下列说法错误的是（     ） A．总体是该中学1350名学生的身高 B．个体是每个学生 C．样本是所抽取的200名学生的身高 D．样本容量是200 【答案】B 【详解】解：A．总体是该中学1350名学生的身高，正确，不符合题意； B．个体应为每个学生的身高，不是每个学生，错误，符合题意； C．样本是所抽取的200名学生的身高，正确，不符合题意； D．样本容量是样本包含的个体数量，因此样本容量是200，正确，不符合题意． 4．下列因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解定义（因式分解要求结果为几个整式的乘积形式）以及平方差公式，完全平方公式等知识内容，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、等式本身成立，但右边不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的定义，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意． 5．年全球可再生能源投资报告显示，某新型薄膜太阳能电池的光电转换效率突破世界纪录，达到，而其核心光电转换层厚度仅为米．数用科学记数法表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】比较小的数也能用科学记数法表示，一般形式为，其中，为整数，由原数左边起第一个不为零的数字前面的的个数所决定． 【详解】解：． 6．如图，将沿方向平移到，若，，则平移距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质可知对应线段相等，对应点之间的距离即为平移距离，结合图形利用线段的和差关系即可求解． 【详解】解：∵将沿方向平移到， ∴平移距离为线段的长，且， 由图可知，点在线段上 ∵，， ∴， ∴平移距离为3． 7．随着生活水平的提高和环保意识的增强，小安家购置了新能源电动汽车，这样他乘电动汽车比乘公交车上学所需的时间少用了20分钟，已知电动汽车的平均速度是公交车的3倍，小安家到学校的距离为10千米．若设公交车平均每小时走x千米，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：20分钟小时， 设公交车平均每小时走x千米，则电动汽车平均每小时走千米， 根据题意得，． 8．如图，长方形纸片沿线折叠，，两点分别与，对应，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据长方形对边平行，得，故；由折叠的性质得，再结合以及平角的定义，列方程求解得出，进而求得的度数． 【详解】解： 四边形是长方形， ， ． 由折叠的性质可知，， ． ，且， ， 即， ， ， ， ∴ ∴． 9．若关于x，y的方程组的解满足，则m的值为（     ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】先解二元一次方程组，得到用表示的，再代入，建立关于的一元一次方程，求解即可． 【详解】解：关于x，y的方程组： ， 由，得， ，解得． 把代入②，得 ，解得． 把，代入，得 ， 化简，得，解得． 10．如图，四边形ABCD是长方形，四边形ABMN是面积为15的正方形，点M，N分别在BC，AD上，点E，F在MN上，点G，H在CD上，且四边形EFGH是正方形，连接AE，DE，BF，CF．若图中阴影部分的总面积为6，则正方形EFGH的面积为（    ） A．6 B．9 C．5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式，正方形的面积，三角形的面积，解答的关键是掌握平方差公式并熟练运用． 设大正方形的边长为，小正方形的边长为，进而利用平方差公式和三角形的面积公式得到，再根据正方形的面积公式求解即可． 【详解】设大正方形的边长为，小正方形的边长为， 则阴影部分的面积的底为，高之和为， 所以阴影部分的面积为，即． 因为大正方形的面积为， 所以，即小正方形的面积为． 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11．若分式的值为，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题利用分式值为的条件解题，即分子等于且分母不等于，先求出分子为时的值，再验证分母是否满足不为的条件，即可得到最终结果． 【详解】解：根据分式值为的条件，可得 由，解得 对任意实数，都有， 因此，即恒不为 所以的值为． 12．计算的结果是________． 【答案】 / 【详解】解：． 13．我市今年中考数学学科开考时间是6月14日9时，数串“202606140900”中“0”出现的频数是___． 【答案】5 【分析】根据频数的概念，数出数串中数字出现的次数即可求解. 【详解】解: 数串“”中，数字“”共出现次，因此“”出现的频数是. 故答案为：5. 14．，则的值为______． 【答案】 【分析】对所求多项式因式分解后，将已知条件整体代入计算即可得到结果． 【详解】解： 将代入上式得， 原式． 15．如图，已知直线，那么________度． 【答案】 【分析】根据平行线性质得出，，再根据即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 16．如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图1和图2两种方式放置在长方形内，（图1和图2中两张长方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为、；设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，当，时，_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，面积的定义，根据平移的知识和面积的定义，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分的面积， 图2中阴影部分的面积， ． ∵ ∴ 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共52分. 17．（6分）计算、化简： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：；（3分） （2）解：．（6分） 18．（6分）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （3分） （2）解： （6分） 19．（6分）解方程（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为；（3分） （2）解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，当时，， 则原分式方程的解是．（6分） 20．（6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式 （4分） 当时，（6分） 21．（6分）如图，在五边形中，连接，已知，且． (1)求证：； (2)连接，恰好满足平分．若，求的度数． 【答案】(1)证明：， ， 又， ， ． (2) 【分析】（1）由平行线的性质得到，等量代换得到，即可推出； （2）由平行线的性质得到，然后由角平分线的定义得到，然后利用平行线的性质求解． 【详解】（1）略（3分） （2）解：，， ， CE平分， ， 由（1）知：， ．（6分） 22．（6分）为深入推进阳光体育锻炼、引导学生坚持日常运动、增强体质健康，某校以七年级学生《国家学生体质健康标准》测试成绩为依据，开展体质健康达标情况调研，按测试总分将学生体质等级划分为优秀（分及以上）、良好（ 分）、及格（ 分）、不及格（ 分）四个等级，随机抽取该校部分七年级学生的测试成绩为样本，整理并绘制成如下两幅不完整的统计图． 请根据图中信息解答下列问题： (1)本次抽样调查的样本容量是__________．“良好”等级对应的圆心角度数是__________； (2)补全条形统计图； (3)若该校七年级共有名学生，估计该校七年级体质测试等级为“良好”和“优秀”的学生共计约有多少人？ 【答案】(1)， (2)图见解析 (3)估计等级为“良好”和“优秀”的学生共计约有350人 【分析】本题主要考查的是根据表格和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）设总人数为，根据占比求出总人数，再根据扇形统计图，求出等级为“优秀”的人数，等级为“良好”的人数，根据圆心角度数等于乘以百分比，即可； （2）补全条形统计图； （3）根据样本估计总体，即可． 【详解】（1）解：总人数为 ∴样本容量为； 由扇形统计图可得：等级为“优秀”的人数：（人）， ∴等级为“良好”的人数为：， ∴“良好”等级对应的圆心角度数为： ．（2分） （2）解：补全统计图如下： （4分） （3）解： （人）． 估计等级为“良好”和“优秀”的学生共计约有人．（6分） 23．（8分）某书商去批发市场购买某本图书，第一次用12000元购买了若干本，并按该书定价为7元出售，很快售完，由于该书畅销，第二次购书时，每本书的批发价比第一次提高了，用15000元购买该书比第一次多了100本． (1)求第一次购书的进价是多少元一本？ (2)若第二次进书后，按定价售出2000本时，出现滞销，书商便以定价的n折售完剩余的书，结果第二次共盈利元（n、m为正整数），求相应的n、m的值． 【答案】(1)第一次购书的进价是元一本 (2)当时，；当时，；当时， 【分析】（1）设第一次购书的单价为元，根据第一次用12000元购书若干本，第二次购书时，每本书的批发价已比第一次提高了，他用15000元所购该书的数量比第一次多100本，列出方程，求出的值即可得出答案； （2）根据（1）先求出第二次购书数目，再根据卖书数目（实际售价当次进价）等于二次赚的钱数列出方程探讨得出答案． 【详解】（1）解：设第一次购书的单价为元一本，根据题意得： ． 解得：． 经检验，是原方程的解， 答：第一次购书的进价是5元一本；（4分） （2）解：第二次购书进价为（元）， 数量为（本）， 根据题意，得 整理得， 、为正整数，且， 当，； 当时，； 当时，．（8分） 24．（8分）【数学活动与探究】甲同学在学完《相交线与平行线》后，想通过折铁丝的方式进一步探索相交线与平行线的知识，他的具体操作步骤如下： 第一步：将一根铁丝在点处弯折得到如图的形状，其中，； 第二步：将绕点旋转一定角度，再将绕点旋转一定角度并在上某点处弯折，得到如图的形状； 第三步：再拿出另外一根铁丝弯折成，跟前面弯折的铁丝叠放成如图的形状． 请根据上面的操作步骤，解答下列问题： (1)如图，若，求； (2)如图，若，请判断之间的数量关系，并说明理由； (3)如图，若，，，设，，求．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】（1）由平行线的性质求解即可； （2）由平行线性质、四边形内角和为及邻补角定义，数形结合求解即可； （3）先由字形的和中，，根据题意，设，则，再由（2）中结论得到，消去即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ，解得， ， ；（2分） （2）解：， 理由如下： 延长交于点，如图所示： ， ， 在四边形中，，且， ， 则；（5分） （3）解：如图所示： 在字形的和中，，则， ，， 设，则， ，即， ，，由（2）知， ，则， ．（8分） 16 学科网（北京）股份有限公司 $