第四章 三角形期末高频必刷题（十大题型）-2025-2026学年北师大版数学七年级下册期末高频必刷题

**基本信息** 聚焦三角形核心知识，以10类题型构建从基础概念到综合应用的递进训练体系，强化逻辑推理与实际应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角形基本性质|4题型（三边关系等）|选择/填空为主，考查概念辨析与简单计算|从三角形定义出发，构建三边、内角、三线的基础认知| |全等三角形|6题型（性质到综合）|解答题占比高，含证明、应用、探究|以全等判定为核心，衔接性质应用，延伸至实际测距离与动态综合题|

第四章 三角形期末高频必刷题 【题型1:三角形三边关系的判断与应用】 【题型2:三角形内角和与外角性质的计算】 【题型3:三角形的高、中线、角平分线的辨析与应用】 【题型4:全等三角形的性质应用(对应边、对应角计算)】 【题型5:全等三角形判定条件的辨析(SSS/SAS/ASA/AAS/HL)】 【题型6:利用 SSS/SAS/ASA/AAS 证明三角形全等】 【题型7:利用全等三角形证明线段/角相等】 【题型8:全等三角形的实际应用(测距离、方案设计)】 【题型9:全等三角形中的开放探究题(补充条件/判断结论)】 【题型10:三角形的折叠/旋转类全等综合题】 【题型1:三角形三边关系的判断与应用】 1．下列长度的条线段，能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么，间的距离不可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．三角形一边长为，另一边长为，它的第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 4．已知三角形三边长分别为2，x，8，若x为奇数，则这样的三角形个数为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【题型2:三角形内角和与外角性质的计算】 5．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 6．如图，，，，求的度数． 7．如图1，直线，按如图放置，，、分别与、相交于点、，若． （1）求的度数； （2）如图2，将绕点逆时针旋转，使点落在上得，若，求的度数． 【题型3:三角形的高、中线、角平分线的辨析与应用】 8．在中，边上的高表示正确的是（ ） A． B． C． D． 9．如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 11．如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点，则阴影部分的面积为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 12．如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【题型4:全等三角形的性质应用(对应边、对应角计算)】 13．如图，，若，，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．6 14．图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 15．如图，，则对于结论，，，， 其中正确结论的个数是（    ） A．1   个 B．2  个 C．3  个 D．4    个 16．如图，已知线段米，于点，米，线段上有一点，射线于点，点从向运动，每秒走米，点从向运动，每秒走米，、同时从出发，当出发秒后，使以点、、为顶点的与全等，则的值为(   ) A．6或10 B．10 C．5或10 D．5 【题型5:全等三角形判定条件的辨析(SSS/SAS/ASA/AAS/HL)】 17．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．， B．，， C．，， D．，， 18．下列三角形中，全等的是（   ） A． B． C． D． 19．如图，在和中，，，下列条件中不能判断与全等的是（    ）． A． B． C． D． 20．如图，三个三角形叠在一起，部分图形被遮盖了，要作出与图中三角形①，②，③完全相同的三角形，下列说法不正确的是（   ） A．只有①，②可以 B．作出三角形①的依据是 C．作出三角形②的依据是 D．作出三角形③的依据是 21．如图，要用“”判定和全等的条件（   ） A．， B．， C．， D．， 22．如图，用尺规作的依据是（    ） A． B． C． D． 【题型6:利用 SSS/SAS/ASA/AAS 证明三角形全等】 23．如图，在中，D是边上一点，E是边的中点，作交的延长线于点F．证明：． 24．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 25．如图，已知，平分．求证：． 26．已知：如图，点、在上，与交于点，，，．求证：． 【题型7:利用全等三角形证明线段/角相等】 27．与的位置如图所示，点在边上，，，．求证：． 28．如图，在中，，平分交于点D，E为上一点，，连接．求证：． 29．如图：在四边形中对角线平分，；求证：． 30．如图，，，，点在边上． (1)求证：； (2)判断与的数量关系，并说明理由． 【题型8:全等三角形的实际应用(测距离、方案设计)】 31．综合与实践： 【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离． 【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由． 32．在学习全等三角形后，八年级某数学兴趣小组开展了测量学校五星红旗旗杆顶端离地面高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量五星红旗旗杆高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 方案 示意图 （假设：地面水平，垂直于地面，点B，C，D在水平地面上） 测量步骤 （1）在距旗杆底部 B 点水平地面上，选定一点 C； （2）测量旗杆顶点 A 视线与水平地面所成的角的度数； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B，C，D 三点共线）； （5）测量标杆顶部 E 视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 请你根据该数学兴趣小组测量方案及数据，计算旗杆高度的值． 33．根据以下材料，完成探究任务． 背景 为测量某池塘A，B之间的距离，小颖设计出如下方案 测量示意图 测量步骤 如图，在平地上取、两点，连接、交于点O，测得，，测量的周长为，即可计算的距离． 问题解决 任务一：该方案是否可行？若可行，直接回答；若不可行，说明原因； 任务二：若方案可行，请写出计算距离的过程；若不可行，请修改方案并说明理由． 34．利用三角形全等测距离． 任务1 目测出操场上与你距离相等的两个点 方案 第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图    原理 ∵，，∴______， 又∵，，∴（______），∴______． 任务2 测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案 第一步：______； 第二步：______； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整）    【题型9:全等三角形中的开放探究题(补充条件/判断结论)】 35．如图，，，若要使，需添加一个条件，请从“条件：”，“条件：”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 36．如图所示，点，在线段上，，，_____．求证：． 请在上面横线中添加一个使和全等的条件，并完成证明过程． 37．如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 38．如图，已知，点，在线段上，且． (1)请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由； (2)利用（1）的结论，求证：． 【题型10:三角形的折叠/旋转类全等综合题】 39．阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    40．（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 41．数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 42．（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章 三角形期末高频必刷题 【题型1:三角形三边关系的判断与应用】 【题型2:三角形内角和与外角性质的计算】 【题型3:三角形的高、中线、角平分线的辨析与应用】 【题型4:全等三角形的性质应用(对应边、对应角计算)】 【题型5:全等三角形判定条件的辨析(SSS/SAS/ASA/AAS/HL)】 【题型6:利用 SSS/SAS/ASA/AAS 证明三角形全等】 【题型7:利用全等三角形证明线段/角相等】 【题型8:全等三角形的实际应用(测距离、方案设计)】 【题型9:全等三角形中的开放探究题(补充条件/判断结论)】 【题型10:三角形的折叠/旋转类全等综合题】 【题型1:三角形三边关系的判断与应用】 1．下列长度的条线段，能组成三角形的是（ ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系定理，判定三条线段能否组成三角形，只需验证两条较短边的和大于最长边即可. 【详解】解：根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，只需比较两条较短边的和与最长边的大小关系. A选项 ∵，∴不能组成三角形. B选项 ∵，∴不能组成三角形. C选项 ∵，∴不能组成三角形. D选项 ∵，满足三边关系，∴能组成三角形. 2．如图，为了估计池塘两岸，间的距离，在池塘的一侧选取点，测得米，米，那么，间的距离不可能是（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：依题意，，即 ∴，间的距离不可能是米 故选：B． 3．三角形一边长为，另一边长为，它的第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设它的第三边的长为， ∴， ∴， ∴选项中符合题意， 故选：． 4．已知三角形三边长分别为2，x，8，若x为奇数，则这样的三角形个数为（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形三边之间的关系．根据三角形三边关系，第三边x需满足两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，结合x为奇数的条件，确定符合条件的x值个数．熟练掌握三角形三边之间关系是解题的关键． 【详解】解：∵三角形三边长分别为2，x，8， ∴， 解得， ∴x可以为7或9共2个， ∴这样的三角形个数为2个， 故选A． 【题型2:三角形内角和与外角性质的计算】 5．如图，，，为三角形的内角，求：_______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 6．如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理． 先根据可知，再由三角形外角的性质求出的度数，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：， ，                   ， ， ，     ， ． 7．如图1，直线，按如图放置，，、分别与、相交于点、，若． （1）求的度数； （2）如图2，将绕点逆时针旋转，使点落在上得，若，求的度数． 【答案】（1）50°；（2）118° 【分析】（1）连接DE，由，根据平行线的性质证得，在中，利用三角形内角和定理进一步证得，最后不难求得的度数； （2）利用（1）的结论，由三角形内角和定理求出，再根据旋转的性质得出，不难求出的度数． 【详解】解：（1）如图1，连接 ∵， ∴ 即 ∵ ∴ ∴ （2）如图2， 由（1）知 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵是由旋转得到 ∴ ∴ 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理及旋转的性质，正确理解平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补及三角形内角和定理是解本题的关键． 【题型3:三角形的高、中线、角平分线的辨析与应用】 8．在中，边上的高表示正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据经过三角形的顶点（与底相对的点）向对边（底）作垂线，顶点和垂足之间的线段就是三角形的一条高，则中边上的高是过C点作的垂线，据此判断即可． 【详解】解：A、不是边上的高，故A不符合题意； B、不是边上的高，故B不符合题意； C、为边上的高，故C不符合题意； D、为边上的高，故D符合题意． 9．如图，在三角形中，分别是这个三角形的两条高，，，则三角形的面积等于（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】利用等面积法，求出之间的关系，并设值，再利用已知求出的长度，套用三角形的面积公式求解． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 设，则， ∵， ∴，解得，， ． 10．如图，若是的中线，，则的长度为（   ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了中线的定义和性质，掌握三角形中线的定义和性质是解题的关键． 根据三角形中线的性质可知． 【详解】解：∵是的中线，即 ∴ ∵ ∴． 故选：D． 11．如图，若的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点，则阴影部分的面积为（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了与三角形中线有关的面积的计算，连接、、，由点A，B，C分别是，，的中点得出，，，从而得出，，，即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、、， ， ∵的面积为2，且点A，B，C分别是，，的中点， ∴，，， ∴，，， ∴阴影部分的面积为， 故选：C． 12．如图，是的角平分线，是的中点，过点作于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理及角平分线的定义求出，进而求出，利用垂直的定义进行计算即可解答； （2）根据三角形的面积公式进行计算即可解答． 【详解】（1）解：∵是的角平分线， ∴， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ； （2）解：∵，，， ∴ ， ∵是的中点， ∴， ∵的边上的高与的边上的高相同， ∴． 【题型4:全等三角形的性质应用(对应边、对应角计算)】 13．如图，，若，，则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】A 【分析】利用全等三角形的性质以及线段的和差求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 14．图中的两个三角形全等，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，对应边所夹的角，即为，再根据全等三角形对应角相等，即可求解． 【详解】解：∵两个三角形全等，对应边所夹的角，即为，对应第一个三角形中的角， ∴． 故选：D． 15．如图，，则对于结论，，，， 其中正确结论的个数是（    ） A．1   个 B．2  个 C．3  个 D．4    个 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，两个全等三角形，它们的对应边相等，对应角相等，据此逐项判断即可． 【详解】解： ， ，，， ， ， 正确， 而不是对应角，不一定相等， 故选：C． 16．如图，已知线段米，于点，米，线段上有一点，射线于点，点从向运动，每秒走米，点从向运动，每秒走米，、同时从出发，当出发秒后，使以点、、为顶点的与全等，则的值为(   ) A．6或10 B．10 C．5或10 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．分和两种情况，分别根据全等三角形的性质确定出时间即可． 【详解】解：设出发时间为x秒，由题意得：， 当时，，即，解得：； 当时，米， 此时所用时间为10秒，，不合题意，舍去； 综上，出发5秒后，在线段上有一点C，使与全等． 故选：D． 【题型5:全等三角形判定条件的辨析(SSS/SAS/ASA/AAS/HL)】 17．根据下列已知条件，能画出唯一的的是（   ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A：，，缺少直角边的条件，无法唯一确定三角形，故该选项不合题意； B：，，不是和的夹角，无法唯一确定三角形，故该选项不合题意； C：，，是和的夹边，符合，能画出唯一的，故该选项符合题意； D：，不满足三角形三边关系，这三边不能构成三角形，故该选项不合题意． 故选：C． 18．下列三角形中，全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 根据全等三角形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：根据“”可判断图①的三角形与图②的三角形全等． ②③，③④，①④均不符合题意． 故选：A． 19．如图，在和中，，，下列条件中不能判断与全等的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定定理，运用分析推理思想，根据 逐一分析选项；解题关键是准确识别判定定理的适用条件；易错点是对 判定全等的错误应用；结合已知，，根据各选项条件判断是否符合全等三角形判定定理． 【详解】解：选项 A：结合，符合判定； 选项 B：则即，结合，符合判定，能判断全等； 选项 C：结合，是不能判断三角形全等； 选项 D：结合，符合判定，能判断全等． 故选C． 20．如图，三个三角形叠在一起，部分图形被遮盖了，要作出与图中三角形①，②，③完全相同的三角形，下列说法不正确的是（   ） A．只有①，②可以 B．作出三角形①的依据是 C．作出三角形②的依据是 D．作出三角形③的依据是 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，根据全等三角形的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：三角形①知道三个角的大小，知道两条边的大小，可利用，作图， 三角形②知道两个角的大小，且知道这两个角的夹边的大小，可利用作图， 三角形③只知道一个角的大小，不能作出与③完全相同的三角形， 故选：D． 21．如图，要用“”判定和全等的条件（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，根据三角形全等的判定方法即可直接得出答案． 【详解】解：A. ∵，，， ∴， ∴不能运用“”判定和，故此选项不符合题意； B. 能运用“”判定和，故此选项符合题意； C. ∵，， ∴， ∴不能运用“”判定和，故此选项不符合题意； D. ∵，，， ∴， ∴不能运用“”判定和，故此选项不符合题意； 故选：B． 22．如图，用尺规作的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据尺规作图步骤，得到相等线段关系． 【详解】解：由尺规作图得： 在和中： ， ， ， 故用尺规作的依据是． 【题型6:利用 SSS/SAS/ASA/AAS 证明三角形全等】 23．如图，在中，D是边上一点，E是边的中点，作交的延长线于点F．证明：． 【答案】证明：∵E是边的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【分析】首先根据题意和平行线的性质得到，，，然后证明即可； 【详解】略． 24．已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】根据，得到，利用即可得证. 【详解】略 25．如图，已知，平分．求证：． 【答案】证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】先根据角平分线得出，进而利用证明即可． 【详解】略 26．已知：如图，点、在上，与交于点，，，．求证：． 【答案】答案见解析 【分析】先证明，再利用“角边角”证明即可． 【详解】解：， ， ， 在和中， ． 【题型7:利用全等三角形证明线段/角相等】 27．与的位置如图所示，点在边上，，，．求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴． 【分析】根据等角的补角相等得出，利用证明，即可得出结论． 【详解】证明：略 28．如图，在中，，平分交于点D，E为上一点，，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】是角平分线可得，已知，且两个三角形有公共边．所以可根据判定定理证明．由全等三角形对应角相等，可得，如果，那么，即可推出． 【详解】证明：∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 29．如图：在四边形中对角线平分，；求证：． 【答案】见解析 【分析】由平分得，结合，，根据证明，进而得． 【详解】证明：平分， ， 在和中， ， ， ． 30．如图，，，，点在边上． (1)求证：； (2)判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）利用证明两个三角形全等即可； （2）根据全等三角形的性质，即可得证. 【详解】（1）解：∵， ∴ ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：，理由如下： 由（1）知：， ∴. 【题型8:全等三角形的实际应用(测距离、方案设计)】 31．综合与实践： 【问题情境】如图1所示，池塘的两端有，两点，现需要测量该池塘的两端，之间的距离，需要如何进行呢？ 【提出方案】如图2所示，先在平地上取一个可直接到达，的点，再连接，，并分别延长至点，至点，使，，最后量出的距离就是的距离． 【问题解决】请你判断此方案是否可行，并说明理由． 【答案】此方案可行，详见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的应用．根据证明，再根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】解：此方案可行，理由如下： 在和中， ， 所以， 所以， 所以的长即是的距离． 32．在学习全等三角形后，八年级某数学兴趣小组开展了测量学校五星红旗旗杆顶端离地面高度的实践活动，测量方案如下表： 课题 测量五星红旗旗杆高度 测量工具 测角仪、皮尺等 测量 方案 示意图 （假设：地面水平，垂直于地面，点B，C，D在水平地面上） 测量步骤 （1）在距旗杆底部 B 点水平地面上，选定一点 C； （2）测量旗杆顶点 A 视线与水平地面所成的角的度数； （3）测量的长度； （4）放置一根与长度相同的标杆，垂直于水平地面（B，C，D 三点共线）； （5）测量标杆顶部 E 视线与水平地面所成的角，再测量的长度． 测量数据 请你根据该数学兴趣小组测量方案及数据，计算旗杆高度的值． 【答案】15米 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，证明即可得出结果，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由题意知， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：旗杆高度为15米． 33．根据以下材料，完成探究任务． 背景 为测量某池塘A，B之间的距离，小颖设计出如下方案 测量示意图 测量步骤 如图，在平地上取、两点，连接、交于点O，测得，，测量的周长为，即可计算的距离． 问题解决 任务一：该方案是否可行？若可行，直接回答；若不可行，说明原因； 任务二：若方案可行，请写出计算距离的过程；若不可行，请修改方案并说明理由． 【答案】任务一：可行；任务二：见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的实际应用，熟练掌握全等三角形判定方法是解本题的关键． 任务一：根据已知条件分析即得该方案可行； 任务二：根据，，得，可得，即得小颖同学的方案可行． 【详解】任务一：解：∵该方案可以证明， ∴． 故答案为：可行． 任务二：解：理由如下， ∵，，且， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故该方案可行． 34．利用三角形全等测距离． 任务1 目测出操场上与你距离相等的两个点 方案 第一步：在C点处面向B点的方向站好，调整帽子，使视线从A点通过帽檐正好落在B点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从D点通过帽檐正好落在F点． 示意图    原理 ∵，，∴______， 又∵，，∴（______），∴______． 任务2 测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧A、B处各立有一根电线杆，但利用现有皮尺无法直接量出A、B间的距离，请你设计一个方案，测出A、B间的距离，并作出示意图． 方案 第一步：______； 第二步：______； （可适当添加步骤）…… 示意图（请按方案补充完整）    【答案】任务一：见解析；任务二：设计方案；第一步：在平地上取一个可以到达的点；第二步：连接，并延长，使，，连接；证明见解析； 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质的应用，熟练的利用全等三角形的性质解决问题是关键； 任务一：根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可； 任务二：根据全等三角形的性质设计方案；第一步：在平地上取一个可以到达的点； 第二步：连接，并延长，使，，连接；再画图，最后证明即可； 【详解】任务一： 解：∵，， ∴ ， 又∵，， ∴（）， ∴． 任务二： 方案： 第一步：在平地上取一个可以到达的点； 第二步：连接，并延长，使，，连接； 如图，则的长度即为的长度；    理由：∵，，， ∴， ∴． 【题型9:全等三角形中的开放探究题(补充条件/判断结论)】 35．如图，，，若要使，需添加一个条件，请从“条件：”，“条件：”，“条件：”中选择添加一个你认为正确的条件，并写出相应的证明过程． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，选择条件，可利用证明；选择条件，可利用证明，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 【详解】解：选择条件：，证明如下： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 选择条件：，证明如下： ∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴ ∴． 36．如图所示，点，在线段上，，，_____．求证：． 请在上面横线中添加一个使和全等的条件，并完成证明过程． 【答案】见解析（答案不唯一） 【分析】本题考查全等三角形的证明，熟练掌握全等三角形的证明方法是解题关键；利用全等三角形的证明方法添加条件证明即可． 【详解】解：可添加，证明如下： ，点，在线段上， ， ， ，， ． 37．如图，在中，点D在上，点E在上，且． (1)请你再添加一个条件，使得，并说明理由，你添加的条件是______；依据是______． (2)根据你添加的条件，再写出图中的一对全等三角形，并说明理由． 【答案】(1)，（答案不唯一） (2)，理由见解析 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键 （1）根据已知条件，在和中，已有一组对角和一组对边相等，仅需再添加一组对角相等即可（也可添加）； （2）由得，，进而可得，即可证明． 【详解】（1）解：添加的条件是，依据是； 在和中， ； 故答案为：，； （2）解：，理由如下： ， ，， ， ，即， 在和中， ． 38．如图，已知，点，在线段上，且． (1)请从①；②；③中．选择一个合适的选项作为已知条件，使得．你添加的条件是：（填写序号）_____（只需选一个条件，多选不得分），请说明理由； (2)利用（1）的结论，求证：． 【答案】(1)①或②，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质及平行线的判定． （1）利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行求解， （2）根据全等三角形的性质及平行线的判定证明即可． 【详解】（1）解：可选取①或②； 证明：当选取①时， 在与中， ， ； 当选取②时， 在与中， ， ； （2）证明：当选取①时， ∵， ， ， ， ， 在与中， ， ， ， ； 当选取②时， ∵， ，， ， ， 在与中， ， ， ， ． 【题型10:三角形的折叠/旋转类全等综合题】 39．阅读理解 半角模型：半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角两边相等，通过翻折或旋转，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构造全等三角形，使条件弱化，这样可把握问题的本质．    【问题背景】 如图1，在四边形中，分别是上的点，，试探究图1中线段之间的数量关系． 【初步探索】 小亮同学认为解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到线段之间的数量关系是______________． 【探索延伸】 如图2，在四边形中，，分别是上的点，，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【结论运用】 如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以海里/小时的速度前进，小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达处，且两舰艇之间的夹角为，则此时两舰艇之间的距离为__________海里．    【答案】【问题背景】，理由见详解；【初步探索】；【探索延伸】仍然成立，理由见详解；【结论运用】 【问题背景】将绕点逆时针旋转得，与重合，可证点共线，可证，，由此即可求证；【初步探索】根据作图可证，再证即可；【探索延伸】证明方法与“初步探索”的证明方法相同；【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，证明，，由此即可求解． 【详解】解：【问题背景】，理由如下， 如图所示，    ∵，， ∴将绕点逆时针旋转得，与重合， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴点共线， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； 【初步探索】根据题意，，延长至点， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； 【探索延伸】仍然成立，理由如下， 如图所示，延长至点，使得，    ∵，， ∴， 在中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴，且， ∴； 【结论运用】如图所示，连接，过点作轴于点，    根据题意可得，，，，， ∴在中，，，则， ∴， ∵， ∴， ∵舰艇甲向正东方向以海里/小时的速度前进，舰艇乙以海里/小时的速度前进，形式小时， ∴（海里），（海里）， 如图所示，延长至点，使得，则，    在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴在中， ， ∴， ∴， ∴（海里）， ∴此时两舰艇之间的距离为海里， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查四边形的综合，全等三角形的判定和性质的综合，方位角的运用，理解图示，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 40．（1）如图1，在中，，，直线经过点A，分别从点B，C向直线作垂线，垂足分别为D，E．求证：； （2）如图2，在中，，直线经过点A，点D，E分别在直线上，如果，猜想，，有何数量关系，并给予证明； （3）如图3，，，点B的坐标为，点C的坐标为，直接写出点A的坐标______． 【答案】（1）证明见解析． （2），证明见解析． （3） 【分析】本题考查了一线三等角模型，结合已知条件运用等量代换找到相等的角是解题关键． （1）利用同角的余角相等得出，再利用角角边证明全等即可． （2）利用和可得，证明，得到，等量代换即可． （3）过点A和点B向轴作垂线，借助一线三等角得到全等三角形，并利用边长相等求坐标即可． 【详解】解：（1）， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）过点A作轴点D，过点B作轴于点E， 由（1）可得：， ， ， ， ， ， ， ． 41．数学教材中有这样一道习题：“如图1，，垂足分别为，若，，求的长．”在计算时，我们通过证明，得到一些线段之间的数量关系，然后进行求解． 【类比探究】 （1）如图2，在等腰三角形中，，，为过点的直线，于，于，求证：； 【拓展应用】 （2）如图3，在中，，分别以和为直角边作等腰和等腰，连交延长线于点．猜想与的数量关系，并说明理由； 【知识迁移】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图4所示，以的，边向外作等腰和等腰，其中，是边上的高．延长交于点，若，直接写出的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） (或)；见解析；（3）60 【分析】（1）因为于D，，所以，因为，即可通过证明作答； （2）过点D作于点T，连接．证明，推出，，再证明，即可得结论； （3）作辅助线，过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】（1）证明：∵于D，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：结论：．理由如下： 如图，过点D作于点T，连接． ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点D作交的延长线于点M，过点E作于点N，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证明：， ∴， ∴， ∵， ∴的面积等于60． 【点睛】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． 42．（1）问题提出：小明和小华在一次数学学习中遇到了以下问题：如图，是的中线，若，，求长和长的取值范围．他们利用所学知识很快计算出了长的取值范围为______； （2）方法探究：但是他们怎么也算不出长的取值范围，经小组讨论后发现：延长至点．使，连接，如图．可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出长的取值范围，请写出解答过程； （3）方法应用：如图，在中，点在上，且，过点作，交于点，且．求证：平分． 【答案】（1）；（2）；（3）见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的三边关系，角平分线的判定，解题的关键是掌握全等三角形的性质与判定． （1）根据三角形的三边关系即可解答； （2）延长至点，使，连接，可证出，利用全等三角形的性质可将已知的边长与转化到中，进而求出的取值范围； （3）延长，取，连接，可证出，则，，证明，得出，根据平行线的性质得出，证明，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， 即； 故答案为：； （2）解：如图，延长至点，使，连接， 是的中线， ， ，，， ， ， 在中，， ，即， ， ； （3）证明：如图所示，延长，取，连接， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 平分． 1 学科网（北京）股份有限公司 $