1.3乘法公式 期末复习综合练习题 2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦乘法公式的系统性应用，通过"概念理解-变式训练-几何验证-规律探究-实际应用"五级进阶，培养运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |公式应用|单选1-4、填空9-12|直接应用、公式变形、整体代入|从平方差/完全平方公式到多形式参数计算| |几何验证|单选7-8、解答22|数形结合法|通过图形面积推导代数公式，体现直观想象| |规律探究|填空16、解答19-20|归纳推理法|从特例观察到一般规律建模，培养推理意识| |实际应用|填空15、解答21-23|模型构建法|将实际问题转化为公式应用，发展应用意识|

2025-2026学年北师大版七年级数学下册《1.3乘法公式》期末复习综合练习题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．若，则的值为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 2．将变形正确的是（   ） A． B． C． D． 3．利用完全平方公式计算，下列变形最恰当的是（   ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（    ） A．49 B． C．7 D． 5．能整除代数式（n为正整数）的正整数为（   ） A．4 B．3 C．8 D．5 6．如果一个正整数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”．如：，所以8和16都是“幸福数”．下列数是“幸福数”的是（   ） A．205 B．250 C．508 D．520 7．如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证（   ） A． B． C． D． 8．如图，大正方形与小正方形的面积之差是8，则阴影部分的面积是（   ） A．8 B．4 C．2 D．1 二、填空题（满分24分） 9．如果，那么 ． 10．已知代数式是一个完全平方式，则实数a的值为 ． 11．已知，，则的值为 ． 12．化简： ． 13．已知，，则的值为 ． 14．定义：，若，则 ． 15．一个长方体的游泳池长为，宽为，高为，则这个游泳池的容积为 ． 16．观察下列各个式子的规律： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式： ； …… 第202个等式： ． 三、解答题（满分72分） 17．（12分）利用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（8分）先化简，再求值：，其中． 19．（9分）观察两个连续偶数的平方差：①，②，③… (1)写出第④个等式：_______； (2)填空：（_______）（_______）； (3)用含n的等式表示上述规律，并加以证明． 20．（9分）阅读下面各式，寻找其中的计算规律． ① ②   ③ (1)按这个规律，第10个式子是：______________ (2)观测上式，并猜测： ________________ (3)根据你的猜测，计算（其中n是正整数）的值． 21．（10分）在第八章我们学习了“平方差公式”和“完全平方公式”，，，，这四个代数式之间具有一定的关系． 【初步尝试】如果，，那么_____； 【灵活运用】如图，农场开辟出一块边长为11米的正方形菜地，计划种植黄瓜与番茄两种蔬菜．在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米．计划在图中阴影部分种植黄瓜，其余菜地种植番茄，请求出黄瓜的种植面积． 22．（12分）如图所示：从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形，然后将剩余部分拼成一个长方形． (1)上述操作能验证的等式是 ． A． B． C． (2)已知，，则 ． (3)应用所得的公式计算： (4)应用所得的公式计算： 23．（12分）数学活动： 【知识生成】我国著名的数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”数形结合是数学学习的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题．图1是一个边长为的正方形，从整体来看，它的面积可以表示为，分块来看，这个正方形有四块，其中面积为的正方形有1块，面积为的正方形有1块，面积为的长方形有2块，因此，该正方形的面积还可以表示为，这两种方法都是求同一个正方形的面积，于是得到． 【直接应用】（1）已知：，，求的值； 【解决问题】（2）如图2，四边形是长方形，分别以，为边向两边作正方形和正方形，若，两正方形的面积和为54，求长方形的面积； 【知识迁移】（3）若，求的值． 参考答案 1．解：等式左边 ， ∴， ∴， 故选：B ． 2．解： 故选：A． 3．解：利用完全平方公式计算，变形最恰当的是， 故选：A． 4．解：∵， ∴， 故选：A 5．解： ∵能整除代数式（n为正整数）， ∴， 故选：A 6．解：一个正整数等于两个连续奇数的平方差，那么我们称这个数为“幸福数”， ∴若是“幸福数”，则，是的整数， ∴， A、，不是整数，不符合题意； B、，不是整数，不符合题意； C、，不是整数，不符合题意； D、， ∴， ∴，符合题意； 故选：D ． 7．解：左图阴影部分面积可表示为，右图阴影部分面积可表示为， 两者面积相等， ， 即：它可以验证， 故选：． 8．解：如图， 大正方形与小正方形的面积之差是8， ， 由图可知： ， 故选B． 9．解： ， ， 故答案为：． 10．解：∵代数式是一个完全平方式， ∴， ∴， 解得或， 故答案为：或． 11．解：，， ， 故答案为：37． 12．解： ． 13．解：已知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为： ． 14．解： ，， ，即， 解得， 故答案为：3． 15．解：游泳池的容积为 ． 则这个游泳池的容积是． 故答案为： 16．解：根据题中规律可得， 进而得出第n个等式：， ∴， 故答案为：；． 17．（1）解：原式； （2）原式； （3）原式； （4）原式． 18．解： 当时，． 19．（1）解：由题意得，第④个等式为； （2）解：∵，， ∴； （3）解：第①个式子为， 第②个式子为， 第③个式子为， ……， 以此类推可知，第n个等式为， 证明如下： 左边 ， ∴等式左右两边相等， ∴． 20．（1）解：∵① ②   ③ ∴第10个式子是：， 故答案为：； （2）解：由题干规律可得：， 故答案为：； （3）解： ． 21．解：[初步尝试]∵， ∴， ，， ， ， 故答案为：； [灵活运用]∵在菜地中设计两个长和宽分别为、的长方形，其中每个长方形的长与宽之差为2米，每个长方形的面积为35平方米， ∴， 则． （负值已舍去）， 阴影部分面积 （平方米）． 22．（1）解：图1的面积，图2的面积， ， 故选：B； （2）解： ， ， ， ， 故答案为：； （3）解： ； （4）解： ． 23．解：（1）， ； （2）设正方形的边长为，正方形的边长为，则， ， ， ， ， ； （3）设，，则，， ． 学科网（北京）股份有限公司 $