第三章 概率初步期末高频必刷题（七大题型）-2025-2026学年七年级数学下册期末高频必刷题（北师大版）

**基本信息** 聚焦概率初步核心题型，以事件辨析-概率计算-应用拓展为逻辑主线，覆盖期末高频考点，培养数据意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |事件类型辨析|4题|判断必然/不可能/随机事件|从概念识别到实际情境应用，建立概率认知基础| |可能性大小比较|4题|比较事件发生可能性，含实际应用|衔接事件概念，量化可能性，培养数学眼光| |频率估计概率|5题|通过试验数据估计概率，含图表分析|体现频率与概率关系，发展数据意识| |等可能事件计算|2题|摸球/掷骰子等基础概率计算|掌握古典概型核心方法，为复杂计算奠基| |几何概型计算|5题|转盘/面积类概率计算|拓展概率计算维度，结合几何直观| |概率逆用|4题|已知概率求数量，含实际问题|逆向思维训练，深化概率应用| |游戏公平性判断|4题|判断并修改游戏规则，含开放性问题|综合应用概率知识，培养推理意识与应用能力|

第三章 概率初步期末高频必刷题 【题型1:事件类型的辨析(必然/不可能/随机事件)】 【题型2:事件发生可能性大小的比较】 【题型3:用频率估计概率的应用】 【题型4:等可能事件概率的直接计算(摸球/掷骰子/抽卡片)】 【题型5:几何概型(转盘/面积类)的概率计算】 【题型6:概率的逆用(已知概率求数量)】 【题型7:游戏公平性的判断与修改 【题型1:事件类型的辨析(必然/不可能/随机事件)】 1．下列事件中是随机事件的是（   ） A．明天太阳从东方升起 B．从地面发射一枚导弹，未击中空中目标 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．在标准大气压下，温度降到以下，纯净的水结冰 2．下列是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数 C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 3．桌上有6张扑克牌，4个“A”、1个“大王”和1个“小王”，这些牌背面无差别，一次随机摸出3张扑克牌，下列事件是不可能事件的是（   ） A．3张牌都是“A” B．3张牌都是“王” C．3张牌中有“A” D．2张是“A”1张是“王” 4．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．抛掷1个骰子，掷得的结果不是1就是6 B．从0，1，2中任意抽取一个数字是正数 C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D．任意画一个平行四边形，是中心对称图形 【题型2:事件发生可能性大小的比较】 5．用数学的眼光看下列成语，事件发生的可能性最大的是（    ） A．旭日东升 B．大海捞针 C．返老还童 D．守株待兔 6．已知一条不透明的袋子里装有20个橘子和若干个苹果．若任意摸一个，要使摸到的苹果的可能性大，袋子里至少装（   ）个苹果． A．20 B．19 C．21 D．22 7．在下面（    ）盒子中，摸到红球的可能性最大． A． B． C． D． 8．一个袋中装有5个球，分别标有1，2，3，4，5这五个号码，搅匀后任意摸出一个球，下列说法正确的是（　　） A．摸出5号球的可能性最大 B．摸出奇数号球和偶数球的可能性相同 C．摸出1号球的可能性最小 D．摸出每个号码的小球的可能性相同 【题型3:用频率估计概率的应用】 9．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（    ） 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 10．为估计椭圆的面积，小明在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量试验发现，点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 11．一个不透明的口袋中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（   ） A．白色 B．黄色 C．红色 D．无法确定 12．小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390 钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39 根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（   ） A．540 B．555 C．570 D．585 13．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是时，记录“摸到红球”的次数是，所以“摸到红球”的概率是； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为时，“摸到红球”的频率一定是． 所有合理推断的序号是(    )    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【题型4:等可能事件概率的直接计算(摸球/掷骰子/抽卡片)】 14．李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（     ） A． B． C． D． 15．抛掷一枚质地均匀的骰子1次，“朝上一面的数字是2的整数倍”的概率是（    ） A． B． C． D． 【题型5:几何概型(转盘/面积类)的概率计算】 16．如图，一个自由转动的转盘被等分成5个扇形，分别标有“祝新年快乐”，让转盘自由转动一次（若指针落在等分线上，则重新转动），指针恰好落在“新”字所在扇形区域的概率是（   ）． A． B． C． D． 17．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 18．如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 19．如图是一个边长为2的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（    ） A． B． C． D． 20．一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【题型6:概率的逆用(已知概率求数量)】 21．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则a的值约为 （　　） A．20 B．25 C．30 D．35 22．某景区在正月期间开展游九曲黄河阵活动．如图是九曲黄河阵的示意图、游客在规定时间内完整走完一次，即可获得一件奖品，工作人员将往年参与活动的情况进行了统计，得到下表： 参加活动人次 100 1000 2000 4000 5000 6000 成功次数 12 287 506 664 835 996 成功率 该景区预估元宵节当天参加此项活动的人次为8000，则该景区当天预计发放此活动奖品约（   ） A．960件 B．1360件 C．2000件 D．2320件 23．一个口袋中有黑球、白球共15个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了150次球，发现有80次摸到黑球，请估计这个口袋中黑球的数量最有可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 24．在一个不透明的盒子里装有5个红球，8个黄球，这些球除了颜色外没有其他任何区别．现在向盒子里放入形状大小一样的个红球，摇匀后从中随机抽取一个，若抽到红球的概率为，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【题型7:游戏公平性的判断与修改】 25．如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 26．小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 27．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 (1)表中的_____________，_____________； (2)通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； (3)上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 28．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)补全表格中的数据：______，______． (2)请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近______．（精确到） (3)小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 概率初步期末高频必刷题 【题型1:事件类型的辨析(必然/不可能/随机事件)】 【题型2:事件发生可能性大小的比较】 【题型3:用频率估计概率的应用】 【题型4:等可能事件概率的直接计算(摸球/掷骰子/抽卡片)】 【题型5:几何概型(转盘/面积类)的概率计算】 【题型6:概率的逆用(已知概率求数量)】 【题型7:游戏公平性的判断与修改 【题型1:事件类型的辨析(必然/不可能/随机事件)】 1．下列事件中是随机事件的是（   ） A．明天太阳从东方升起 B．从地面发射一枚导弹，未击中空中目标 C．任意画一个三角形，其内角和是 D．在标准大气压下，温度降到以下，纯净的水结冰 【答案】B 【分析】根据必然事件不可能事件随机事件的定义判断即可，可能发生也可能不发生的事件是随机事件． 【详解】解：A、明天太阳从东方升起，是一定会发生的事件，属于必然事件； B、从地面发射一枚导弹，可能击中目标也可能未击中目标，是可能发生也可能不发生的事件，属于随机事件； C、任意三角形的内角和为，内角和是是一定不会发生的事件，属于不可能事件； D、在标准大气压下，温度降到以下，纯净的水结冰，是一定会发生的事件，属于必然事件． 2．下列是随机事件的是（    ） A．太阳从东方升起 B．两个负数相乘，积是正数 C．13个人中至少有2人生肖相同 D．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上 【答案】D 【分析】根据随机事件的定义，即可能发生也可能不发生的事件，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．太阳从东方升起一定发生，属于必然事件，A不符合题意； B．两个负数相乘，积一定是正数，属于必然事件，B不符合题意； C．生肖共12种，13个人中一定至少有2人生肖相同，属于必然事件，C不符合题意； D．抛掷一枚质地均匀的硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上，结果不确定，属于随机事件，D符合题意． 3．桌上有6张扑克牌，4个“A”、1个“大王”和1个“小王”，这些牌背面无差别，一次随机摸出3张扑克牌，下列事件是不可能事件的是（   ） A．3张牌都是“A” B．3张牌都是“王” C．3张牌中有“A” D．2张是“A”1张是“王” 【答案】B 【分析】根据牌的数量，结合不可能事件（一定不发生的事件）的定义，即可进行判断． 【详解】∵桌上“王”只有1个“大王”和1个“小王”，总数量为2，而一次要摸出3张牌， ∴不可能摸出3张都是“王”，该事件一定不发生，属于不可能事件． 故选：B． 4．下列事件中，是必然事件的是（    ） A．抛掷1个骰子，掷得的结果不是1就是6 B．从0，1，2中任意抽取一个数字是正数 C．经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯 D．任意画一个平行四边形，是中心对称图形 【答案】D 【分析】本题考查必然事件的判定，根据必然事件的定义“在一定条件下，一定会发生的事件”解答即可． 【详解】解：A. 抛掷1个骰子，掷得的结果不是1就是6，是随机事件； B. 从0，1，2中任意抽取一个数字是正数，是随机事件； C. 经过有交通信号灯的路口，遇到绿灯，是随机事件； D. 任意画一个平行四边形，是中心对称图形，是必然事件； 故选：D． 【题型2:事件发生可能性大小的比较】 5．用数学的眼光看下列成语，事件发生的可能性最大的是（    ） A．旭日东升 B．大海捞针 C．返老还童 D．守株待兔 【答案】A 【分析】本题考查了可能性大小的判断，一般地必然事件的可能性大小为1，不可能事件发生的可能性大小为0，随机事件发生的可能性大小在0至1之间，熟练掌握在一定情况下有可能发生，有可能不发生的事件是随机事件是解题的关键． 【详解】解：旭日东升是一定会发生的， 大海捞针可能发生，也有可能不发生，但是发生的可能性极小， 返老还童是不可能发生的， 守株待兔是可能发生，也有可能不发生， ∴事件发生的可能性最大的是如日东升， 故选：A． 6．已知一条不透明的袋子里装有20个橘子和若干个苹果．若任意摸一个，要使摸到的苹果的可能性大，袋子里至少装（   ）个苹果． A．20 B．19 C．21 D．22 【答案】C 【分析】本题考查了判断事件发生的可能性的大小，根据装有20个橘子且使摸到的苹果的可能性大，则袋子里至少装21个苹果，即可作答． 【详解】解：∵一条不透明的袋子里装有20个橘子和若干个苹果．若任意摸一个，要使摸到的苹果的可能性大， ∴袋子里至少装21个苹果， 故选：C． 7．在下面（    ）盒子中，摸到红球的可能性最大． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查可能性大小的判断，不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小，数量相同，可能性也相同．理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关． 【详解】解：A选项，摸到红球的可能性； B选项，摸到红球的可能性； C选项，摸到红球的可能性； D选项，摸到红球的可能性0； 根据上面的分析，在上面A盒子中，摸到红球的可能性最大． 故选：A． 8．一个袋中装有5个球，分别标有1，2，3，4，5这五个号码，搅匀后任意摸出一个球，下列说法正确的是（　　） A．摸出5号球的可能性最大 B．摸出奇数号球和偶数球的可能性相同 C．摸出1号球的可能性最小 D．摸出每个号码的小球的可能性相同 【答案】D 【分析】本题考查了随机事件以及可能性，得到摸到每个小球的可能性大小后即可确定正确的选项，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：∵有1，2，8，4，5这五个号码， ∴摸出每个球的可能性大小相同， ∴A、C不符合题意； ∵有5个奇数球，2个偶数球， ∴摸出偶数球的可能性小于摸出奇数球的可能性， ∴B选项不符合题意， 摸出每个号码的小球的可能性相同，则D正确，故符合题意； 故选：D． 【题型3:用频率估计概率的应用】 9．如表是一位同学在罚球线上投篮的试验结果，根据表中数据回答下列问题：估计这位同学投篮一次，投中的概率约是（精确到0.01）（    ） 投篮次数（n） 50 100 150 200 250 300 500 投中次数（m） 28 60 78 104 124 153 252 A．0.56 B．0.51 C．0.50 D．0.52 【答案】C 【分析】大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近，试验次数越大，频率对概率的估计越准确，计算不同试验的频率后，观察频率的稳定值即可得到结果． 【详解】解：根据表格数据，计算各次试验的投中频率：，，，，，，， ∵试验次数越大，频率越接近真实概率，精确到为， ∴估计这位同学投篮一次投中的概率约是． 10．为估计椭圆的面积，小明在面积为的长方形纸片上随机掷点，经过大量试验发现，点落在椭圆内部的频率稳定在0.6左右，据此估计图中椭圆的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用频率估计概率的“几何概型”应用．利用“椭圆面积与长方形面积的比值点落在椭圆内的频率”计算椭圆面积． 【详解】解：大量试验后，点落在椭圆内的频率稳定在，说明椭圆面积占长方形面积的比例约为． 已知长方形面积为， 因此椭圆面积为：． 故选：D． 11．一个不透明的口袋中有2个白球、3个黄球和5个红球，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中，不断重复这一过程，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（   ） A．白色 B．黄色 C．红色 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了频率，分别计算出摸出三种球的频率，再结合图表中提供的频率进行选择即可． 【详解】解：摸出白色球的频率为； 摸出黄球的频率为； 摸出红球的频率为； 由频率图可知是白球出现的频率， 故选：A． 12．小明与同学做“抛掷图钉试验”，获得数据如下： 抛掷次数n 100 300 500 700 800 900 1000 钉尖着地的频数m 36 111 190 266 312 351 390 钉尖着地的频率 0.36 0.37 0.38 0.38 0.39 0.39 0.39 根据以上数据，当抛掷图钉1500次时，估计“钉尖着地”的次数为（   ） A．540 B．555 C．570 D．585 【答案】D 【分析】本题考查了用频率估计概率；大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着试验次数的增多，钉尖着地的频率逐渐稳定到附近， ∴估计“钉尖着地”的概率为， ∴抛掷1500次时，估计次数为． 故选：D． 13．不透明的盒子中装有红、黄色的小球共个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球，记录颜色后放回并摇匀，再随机摸出一个．如图显示了某数学小组开展上述摸球活动的某次实验的结果． 下面有四个推断： ①当摸球次数是时，记录“摸到红球”的次数是，所以“摸到红球”的概率是； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为时，“摸到红球”的频率一定是． 所有合理推断的序号是(    )    A．①② B．②③ C．①②③ D．②③④ 【答案】B 【分析】此题考查了利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．根据概率公式和给出的摸到红球的频率示意图分别对每一项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：①当摸球次数是时，记录“摸到红球”的次数是，所以“摸到红球”的概率接近，故本选项推理错误，不符合题意； ②随着试验次数的增加，“摸到红球”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“摸到红球”的概率是，故本选项推理正确，符合题意； ③可以根据本次实验结果，计算出盒子中约有红球个，故本选项推理正确，符合题意； ④若再次开展上述摸球活动，则当摸球次数为时，“摸到红球”的频率也是，故本选项推理错误，不符合题意． 故选：B． 【题型4:等可能事件概率的直接计算(摸球/掷骰子/抽卡片)】 14．李伟同学购买一张高铁车票，从如图所示的5个座位中随机选择一个，则“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的概率是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：一共有5种等可能性，“李伟购买的车票座位刚好靠近窗户”的有2种可能， ∴“李伟购买的车票座位刚好都靠近窗户”的概率是． 15．抛掷一枚质地均匀的骰子1次，“朝上一面的数字是2的整数倍”的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了概率公式的应用，明确概率的意义是解答的关键，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比． 【详解】解：抛掷六个面上分别刻有的1，2，3，4，5，6的骰子有6种结果，其中朝上一面的数字是2的整数倍的有2，4，6，共3种， 朝上一面的数字是2的整数倍的概率为， 故选：D． 【题型5:几何概型(转盘/面积类)的概率计算】 16．如图，一个自由转动的转盘被等分成5个扇形，分别标有“祝新年快乐”，让转盘自由转动一次（若指针落在等分线上，则重新转动），指针恰好落在“新”字所在扇形区域的概率是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查几何概率的计算，掌握好概率的计算公式是关键． 根据题意，分析可能的结果，结合概率计算公式进行计算即可． 【详解】解：由题意可知，一共有5种等可能性的结果， ∴指针恰好落在“新”字所在扇形区域的概率是． 故选：C． 17．如图，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形，任意转动这个转盘一次，当转盘停止转动时，指针落在阴影部分的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了概率的基本概念及几何概型的应用，利用几何概率的计算方法，即指针落在阴影部分的概率等于阴影部分面积除以正八边形总面积，通过分析正八边形被分成的三角形个数以及阴影部分三角形个数来求解． 【详解】解：根据题意可知，正八边形转盘被分成八个面积相等的三角形， 其中阴影部分的面积为4个面积相等的三角形， ∴指针落在阴影部分的概率是， 故选：A． 18．如图是一个材质均匀的大转盘，当转盘停止转动后，指针所指区域即可获得对应的奖品，则获得一等奖的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，先理解题意，由扇形统计图得出一等奖的圆心角是，再根据概率公式列式计算，即可作答． 【详解】解：由扇形统计图得出一等奖的圆心角是， 则， 即获得一等奖的概率为， 故选：A． 19．如图是一个边长为2的正方形及其内切圆，随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了几何概率的知识．根据题意算出正方形的面积和内切圆面积，再利用几何概率公式加以计算，即可得到所求概率． 【详解】解：设正方形的边长为2，则圆的直径为2， 故随机地往正方形内投一粒米，落在圆内的概率为， 故选：C． 20．一只小狗在如图的地板上自由地走来走去，并随意停留在某块方块上（图中每一块方砖除花色外完全相同），它最终停留在花形方砖上的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了几何概率，根据题意知小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块，然后用概率公式即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意知，小狗随意停留在某块方砖上的概率是相等的方砖总共有块，花形方砖占块， ∴最终停留在花形方砖上的概率为， 故选：． 【题型6:概率的逆用(已知概率求数量)】 21．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在左右，则a的值约为 （　　） A．20 B．25 C．30 D．35 【答案】C 【分析】大量重复试验时，随机事件的频率会稳定在概率附近，可据此得到等量关系，利用概率公式列方程求解a的值． 【详解】∵ 通过大量重复试验，摸到白球的频率稳定在左右， ∴ 可估计摸到白球的概率为． ∵ 总球数为a，其中白球共6个， ∴ 根据概率公式可得 ， 解得 ． 22．某景区在正月期间开展游九曲黄河阵活动．如图是九曲黄河阵的示意图、游客在规定时间内完整走完一次，即可获得一件奖品，工作人员将往年参与活动的情况进行了统计，得到下表： 参加活动人次 100 1000 2000 4000 5000 6000 成功次数 12 287 506 664 835 996 成功率 该景区预估元宵节当天参加此项活动的人次为8000，则该景区当天预计发放此活动奖品约（   ） A．960件 B．1360件 C．2000件 D．2320件 【答案】B 【分析】本题考查了根据频率求概率，根据概率求数量． 先判断出成功率，进而得到概率，根据概率计算即可． 【详解】解：由表格可知，随着参加活动人次的增加，成功率逐渐趋向， 即成功率约为， 可知成功的概率为， 则预计发放此活动奖品约件． 故选：B． 23．一个口袋中有黑球、白球共15个，这些球除颜色外都相同，将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了150次球，发现有80次摸到黑球，请估计这个口袋中黑球的数量最有可能是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了用频率估计概率，通过摸球频率估计概率，黑球的频率为，进而估计黑球数量． 【详解】∵共摸了150次球，有80次摸到黑球， ∴摸到黑球的频率为， ∴黑球的数量约为， 故选：C． 24．在一个不透明的盒子里装有5个红球，8个黄球，这些球除了颜色外没有其他任何区别．现在向盒子里放入形状大小一样的个红球，摇匀后从中随机抽取一个，若抽到红球的概率为，则的值是（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了概率公式：随机事件的概率事件可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 根据概率公式，抽到红球的概率等于红球数量与总球数之比，列出方程求解． 【详解】解：∵ 放入个红球后，红球总数为，总球数为， ∴抽到红球的概率为，解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 故选：B． 【题型7:游戏公平性的判断与修改】 25．如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上．小华和小维两位同学用这4张牌玩游戏，规则如下：小华先从中抽出一张，小维接着从剩余的3张牌中也抽出一张．若抽出的两张牌数字之和是偶数，小维获胜；否则，小华获胜． (1)直接写出小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率：_________； (2)若按规则进行游戏，这个游戏公平吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)这个游戏公平，理由见解析 【分析】本题考查了概率公式求概率，游戏公平性． （1）直接根据概率公式计算即可； （2）依题意列表，判断即小华和小维获胜的概率是否相同即可． 【详解】（1）解：一共张牌，偶数的牌有张， ∴小华先从中抽出一张牌的数字是偶数的概率为． 故答案为：； （2）解：依题意，列表得： 3 4 6 10 3 7 9 13 4 7 10 14 6 9 10 16 10 13 14 16 ∴一共有12种等可能性的结果，结果为偶数的结果有6种，其余的结果也有6种， ∴抽出的两张牌数字之和是偶数的概率为，其余的结果的概率为， 即小华和小维获胜的概率相同． 答：这个游戏公平． 26．小明和小亮都想参加学校社团组织的暑期实践活动，但只剩下一个名额，小明提议用如下的办法决定谁去参加活动：将一个可以自由转动的转盘等分成个扇形，分别标有，，，，，，，，，这个数字．转动转盘，当转盘停止时，指针指向的数字即为转出的数字．小明转动转盘，小亮猜数，若所猜数字与转出的数字相符，则小亮参加活动，否则小明参加活动．猜数的方法从下面两种中选一种：①猜“是的倍数”或“不是的倍数”；②猜“是大于的数”或“不是大于的数”． (1)猜“是的倍数”的概率是_______； (2)如果你是小亮，那么为了尽可能参加活动，你将选择哪一种猜数方法？怎样猜？为什么？ (3)你认为这两种猜数方法对双方公平吗？若公平，请说明理由；若不公平，请设计一种对双方都公平的猜数方法． 【答案】(1) (2)选择方法①中“不是3的倍数”，见解析 (3)不公平，猜“是奇数”或“是偶数” 【分析】本题主要考查了应用概率解决游戏公平问题，掌握概率的计算公式是解题的关键． （1）利用简单概率公式进行求解即可； （2）求出每种方式的概率，然后进行比较即可； （3）根据概率相等设计方法即可． 【详解】（1）解：是的倍数的数有：3，6，9， ∴猜“是的倍数”的概率是， 故答案为：； （2）解：选择方法①中“不是3的倍数”，理由如下： 大于的数有：5，6，7，8，9，10， ∴猜“是大于的数”的概率为：； 不是大于4的数有：1，2，3，4， ∴猜“不是大于的数”的概率为：； 由①可得猜“不是的倍数”的概率是， ∵， ∴选择方法①中“不是3的倍数”； （3）解：不公平，因为两人抽到的概率不相等， 猜“是奇数”或“是偶数”比较公平． 27．某课外学习小组做摸球试验：一只不透明的袋子中装有红球、黑球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将这个袋中的球搅匀后从中任意摸出1个球，记下颜色后放回、搅匀，不断重复这个过程，获得如下数据： 摸球次数 100 150 200 500 800 1000 2000 摸到红球的次数 52 72 262 404 499 1000 摸到红球的频率 0.52 0.51 0.524 0.505 0.499 0.5 (1)表中的_____________，_____________； (2)通过摸球实验，请你估计摸到红球的概率是_____________； (3)上述实验中，若袋中10个球中有3个黑球，为决定谁将获得仅有的一张电影票，设计了如下的摸球游戏，规则如下：如果摸到黑球，则小明获胜；如果摸到白球，则小颖获胜；如果抽到红球，则视为无效抽球，需将球放回袋中，游戏继续，这个游戏公平吗？如果公平，请说明理由，如果不公平，请重新设计一个公平游戏． 【答案】(1)0.48；102 (2)0.5 (3)这个游戏不公平，理由见解析，新设计一个公平游戏见解析 【分析】此题考查了频率统计表，利用频率估计概率，概率公式，游戏公平性．大量反复试验下频率稳定值即概率．掌握概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键． （1）用摸到红球的次数除以摸球的总次数，求出a；用摸球的总次数乘以摸到红球的频率，求出b； （2）根据图表给出的数据即可得出摸到红球的频率，然后用频率估计算概率即可； （3）根据摸到红球的频率计算出红球的个数，从而求出白球个数，再分别求出摸到的白球与黑球的概率，再比较即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：0.48；102． （2）解：由统计表可知：摸到红球的频率约为0.5， ∴估计摸到红球的概率是0.5． （3）解：由（2）摸到红球的概率是0.5， ∴红球的个数为（个）， ∴白球的个数为（个）， ∴摸到的白球的概率为 摸到的黑球的概率， ∵， ∴这个游戏不公平， 设计公平游戏为：将袋中红球拿出 1个换成白球，即袋中10个球，有3个黑球，3个白球，4个红球，或将袋中黑球拿出 1个换成红球，即袋中10个球，有2个黑球，2个白球，6个红球．规则不变，即为公平的游戏． 28．在一个不透明的盒子里装有红、黑两种颜色的球共只，这些球除颜色外其余完全相同．为了估计红球和黑球的个数，七（1）班的数学学习小组做了摸球试验．他们将球搅匀后，从盒子里随机摸出一个球记下颜色，再把球放回盒子中，多次重复上述过程，得到表中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到红球的次数 摸到红球的频率 (1)补全表格中的数据：______，______． (2)请估计：当次数足够大时，摸到红球频率将会接近______．（精确到） (3)小明、小亮做游戏，游戏规则是：从盒子中任意摸出一个球，摸到红球小明胜，摸到黑球小亮胜．你认为这个游戏公平吗？若公平，说明理由：若不公平，怎样调整，使得游戏公平． 【答案】(1)， (2) (3)这个游戏不公平，调整见解析 【分析】考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：部分的具体数目总体数目相应频率． （1）根据频率、频数与总数之间的关系即可求解； （2）由表中摸球次数逐渐增大后，摸到红球的概率逐渐靠近于，即可求解； （3）根据摸到摸到红球和黑球的概率相等则游戏公平求解即可． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）当次数足够大时，摸到红球频率将会接近， 故答案为：； （3）你认为这个游戏不公平， 调整：应该在盒子里分别装上个红球和黑球，这样摸到红球和黑球的概率相等都是，从而使得游戏公平． 1 学科网（北京）股份有限公司 $