第一章 整式的乘除期末高频必刷题（七大题型）-2025-2026学年七年级数学下册期末高频必刷题（北师大版）

第一章 整式的乘除期末高频必刷题 【题型 1：幂的运算性质辨析】 【题型 2：幂的混合运算】 【题型 3：单项式和多项式的乘除法运算】 【题型 4：平方差公式完全平方的直接应用】 【题型 5：乘法公式与几何图形综合】 【题型 6：乘法公式的综合应用】 【题型 7：整式的混合运算与化简求值】 【题型 1：幂的运算性质辨析】 1．计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，则的值为（   ） A．3 B．8 C．12 D．18 3．若，则______． 4．已知：，，则的值为________． 5．计算：______． 6．如果，，那么______．（用含、的式子表示） 【题型 2：幂的混合运算】 7．计算：． 8．计算 (1)； (2)． 9．（1）计算：； （2）化简：． 10．计算或化简： (1)； (2) 【题型 3：单项式和多项式的乘除法运算】 11．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 12．计算正确的是（　　） A． B． C． D． 13．计算结果为（ ） A． B． C． D． 14．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 15．若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 16．计算：______． 17．已知长方形面积为，它的一边长为，则这个长方形另外一边长为_______． 18．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 【题型 4：平方差公式完全平方的直接应用】 19．若，则的值为___________． 20．计算：_______． 21．已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 22．运用乘法公式计算： (1)； (2) ． 23．计算：． 【题型 5：乘法公式与几何图形综合】 24．从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 25．如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； 26．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算：___________； 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，求的值； （3）若满足，求的值； 【拓展】 （4）如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 27．通过第16章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到；如图2可以得到：；现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为___________，小正方形的面积可表示为______________． ②结合图3的拼接方式，猜想与之间的关系（用含的代数式表示出来）； 图3表示：________________________________． （2）【解决问题】 ①若，，则___________________； ②学校计划建一个长方形劳动实践基地，它的长比宽多3米，且面积是12平方米．求该长方形基地的“长的平方加宽的平方”的值． （3）【拓展提升】 如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为24，求两个正方形的面积和． 【题型 6：乘法公式的综合应用】 28．若，，则______． 29．已知，，则的值为______． 30．已知，，则______． 31．若，，则________． 【题型 7：整式的混合运算与化简求值】 32．先化简，再求值：，其中． 33．先化简，再求值：，其中． 34．先化简，再求值：，其中． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 整式的乘除期末高频必刷题 【题型 1：幂的运算性质辨析】 【题型 2：幂的混合运算】 【题型 3：单项式和多项式的乘除法运算】 【题型 4：平方差公式完全平方的直接应用】 【题型 5：乘法公式与几何图形综合】 【题型 6：乘法公式的综合应用】 【题型 7：整式的混合运算与化简求值】 【题型 1：幂的运算性质辨析】 1．计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 2．已知，，则的值为（   ） A．3 B．8 C．12 D．18 【答案】D 【分析】本题考查幂的乘方与同底数幂除法的运算性质，先对所求式子根据幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 3．若，则______． 【答案】 【详解】解：∵， ∴． 4．已知：，，则的值为________． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法法则与幂的乘方运算法则，将所求式子变形为含有、的形式，再代入数值计算． 【详解】解：根据幂的运算法则： ， 已知，， 代入上式：． 5．计算：______． 【答案】 【分析】根据积的乘方与幂的乘方运算法则，分别对系数和字母进行乘方运算，再把所得的幂相乘即可． 【详解】解： ． 6．如果，，那么______．（用含、的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题考查积的乘方，掌握好幂运算的法则是关键． 利用积的乘方法则，将转化为，再代入已知条件即可． 【详解】解：由积的乘方法则可得，． 故答案为：． 【题型 2：幂的混合运算】 7．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了同底数幂乘除法计算，幂的乘方，积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键； 先计算同底数幂乘除法和积的乘方，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解： , , ． 8．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、整数指数幂，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 9．（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了实数的混合运算、幂的运算，熟练掌握运算法则、正确计算是解题的关键． （1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再加减计算即可； （2）先根据积的乘方、幂的乘方、同底数幂的乘法，化简各项，再合并同类项即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 10．计算或化简： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查同底数幂的除法、同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，掌握它们的运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的乘法、除法及积的乘方运算法则计算即可． （1）根据同底数幂的乘法及幂的乘方与积的乘方运算法则计算即可． 【详解】（1）原式 （2）原式 【题型 3：单项式和多项式的乘除法运算】 11．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查单项式乘法运算，掌握单项式乘法法则：系数相乘，同底数幂相乘底数不变、指数相加进行计算是解题的关键． 根据单项式的乘法法则直接求解． 【详解】． 故选：C． 12．计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据单项式乘多项式的运算法则计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 13．计算结果为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查多项式乘多项式的运算，运用多项式乘多项式的法则展开后合并同类项即可得到结果 【详解】解：， 故选：B． 14．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式，先根据多项式乘多项式求得，再根据多项式相等的条件求出的值即可掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解： ， 又∵， ∴， 比较一次项系数，得， 即， 故选：． 15．若计算 的结果中不含有项，则 a 的值为（     ） A． B．0 C．2 D． 【答案】A 【分析】利用单项式乘多项式的法则进行求解，再结合不含项，则其项的系数为0，从而求解． 【详解】解： ， 结果中不含有项， ， 解得 ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了单项式乘多项式，合并同类项，解题的关机是熟练掌握相应的运算法则． 16．计算：______． 【答案】 【分析】本题考查单项式除以单项式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据整式的除法法则，系数相除，同底数幂相除． 【详解】解；原式 ． 故答案为：． 17．已知长方形面积为，它的一边长为，则这个长方形另外一边长为_______． 【答案】 【详解】解：∵ 长方形的面积为，一边长为， ∴ 它的另一边长为：． 18．数学课上，老师讲了单项式乘多项式，放学回到家，小明拿出课堂笔记复习，发现一道题：，的地方被钢笔弄污了，你认为处应是______． 【答案】 【分析】将加法转化为减法，然后计算单项式乘以多项式，再利用整式的加减运算法则计算即可． 【详解】解：由题意得， 【题型 4：平方差公式完全平方的直接应用】 19．若，则的值为___________． 【答案】2 【分析】本题考查平方差公式．根据进行计算即可． 【详解】解：， ， 又， ， 故答案为：2． 20．计算：_______． 【答案】1 【分析】将2024变形为，2026变形为，再利用平方差公式展开化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． 21．已知，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式． 利用完全平方公式展开已知等式，通过联立方程消去和，解出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 解得：． 故选：A． 22．运用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握和运用完全平方公式及平方差公式是解题的关键． （）利用平方差公式进行计算，即可求得结果； （）利用完全平方公式进行计算，即可求得结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 23．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了乘法公式、整式的加减，熟练掌握乘法公式是解题关键．先计算平方差公式与完全平方公式，再计算整式的加减即可得． 【详解】解：原式 ． 【题型 5：乘法公式与几何图形综合】 24．从边长为的大正方形纸板中挖去一个边长为的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图1），然后拼成一个平行四边形（如图2）．那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平方差公式的几何背景，分别表示出图和图中阴影部分的面积，二者相等，从而可得答案． 【详解】解：由图可得，阴影部分的面积为：； 由图可得，平行四边形的底为大正方形边长与小正方形边长之和，，高为大正方形边长与小正方形边长之差，， ∴阴影部分的面积为：， ∴验证成立的公式为：． 25．如图1，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形，然后将剩余部分剪拼成一个长方形，如图2所示． (1)根据以上操作，比较两图中空白部分的面积，可以得到乘法公式： ； (2)应用以上公式，解答下列问题： ①已知，，求的值； ②计算：； 【答案】(1) (2)①15；② 【分析】本题考查平方差公式与几何图形，灵活运用平方差公式是解题的关键． （1）分别表示出两图中空白部分的面积，即可得到乘法公式； （2）①根据（1）所得公式求解即可；②根据（1）所得公式求解即可． 【详解】（1）解：图1中空白部分的面积为， 图2中空白部分的面积为， 可以得到乘法公式：， 故答案为：； （2）解：①∵，， ∴； ② ． 26．观察图1，用等式表示图中图形的面积的运算为． 【探究】 （1）观察图2，用等式表示图中阴影部分图形的面积和的运算：___________； 【应用】 （2）根据图②所得的公式，若，求的值； （3）若满足，求的值； 【拓展】 （4）如图3，某学校有一块梯形空地，于点，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】 （1）； （2）； （3）3； （4）种草区域的面积和为60平方米． 【分析】本题考查几何背景下的完全平方公式，通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）根据图2中阴影部分的面积即可求解； （2）将已知条件整体代入（1）的结论，计算即可； （3）设，则，由（1）可得，整体代入，计算即可； （4）设，，则种花区域的面积，由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和． 【详解】（1）解：图2中大正方形的边长为，阴影部分两个正方形的边长分别为，两个长方形的宽和长分别为， 大正方形的面积为，阴影部分两个正方形的面积分别为，，长方形的面积为， 又阴影部分两个正方形的面积之和大正方形的面积-两个长方形的面积， ， 故答案为：； （2）解：由（1）的结论得：， 又， ； （3）解：设，则， ，即， ； （4）解：设， 于点米， （平方米），（平方米），（平方米），（平方米），（米）， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）． 种草区域的面积和为60平方米． 27．通过第16章的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式：如图1可以得到；如图2可以得到：；现有长与宽分别为的小长方形若干个，用四个相同的小长方形拼成图3的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）【探索发现】 ①观察图3，大正方形的面积可表示为___________，小正方形的面积可表示为______________． ②结合图3的拼接方式，猜想与之间的关系（用含的代数式表示出来）； 图3表示：________________________________． （2）【解决问题】 ①若，，则___________________； ②学校计划建一个长方形劳动实践基地，它的长比宽多3米，且面积是12平方米．求该长方形基地的“长的平方加宽的平方”的值． （3）【拓展提升】 如图4，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形和，延长和交于点，那么四边形为长方形，设，图中阴影部分面积为24，求两个正方形的面积和． 【答案】（1）①，；②；（2）①；②；（3） 【分析】本题主要考查了几何背景下的完全平方公式，利用完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解决问题的关键． （1）①根据正方形的面积公式求解即可； ②用两种不同的方法表示大正方形面积即可； （2）①由（1）②得，，然后代入求解即可； ②设长为，宽为，得到，，然后代入求解即可； （3）设，，表示出，，然后代入求解即可． 【详解】解：（1）①如图3所示：大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴大正方形的面积为，小正方形的面积为； ②大正方形是由4个长为，宽为的长方形和一个边长为的小正方形构成， ∴； （2）①由（1）②得， ∵，， ∴， ∴； ②设长为，宽为， 由题意得：， ∵， ∴， ∴； （3）设，， ∵，图中阴影部分面积为24， ∴，， ∵四边形和均为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 【题型 6：乘法公式的综合应用】 28．若，，则______． 【答案】3 【分析】根据公式，求解即可． 【详解】解：，，， ， ， 解得． 29．已知，，则的值为______． 【答案】17 【分析】将两个已知等式利用完全平方公式展开，再将两个展开式相加，即可求出的值． 【详解】解：∵，， ∴根据完全平方公式得： ①， ②， 得：， 两边同除以得：． 30．已知，，则______． 【答案】 【分析】本题考查的是完全平方公式，熟练掌握此公式是解题的关键．利用完全平方公式，将已知条件代入求解即可． 【详解】解：根据完全平方公式，有， 已知， 所以， 又已知，则， 因此， 移项得， 故答案为：． 31．若，，则________． 【答案】16 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，将两个已知方程相加，得到 的值，即 的结果． 【详解】解：，， ． ． 故答案为：16． 【题型 7：整式的混合运算与化简求值】 32．先化简，再求值：，其中． 【答案】；0 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 33．先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】先利用完全平方公式，多项式乘以多项式计算括号里面的运算，再算多项式除以单项式，然后把x，y的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ； 当时，原式． 34．先化简，再求值：，其中． 【答案】，4 【分析】本题考查了整式混合运算及求值；先在括号内利用完全平方公式、平方差公式进行运算，再进行加减运算，然后进行除法运算，最后代值计算，即可求解． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 1 学科网（北京）股份有限公司 $