2026年甘肃省兰州市九年级数学中考模拟学业测试卷

**基本信息** 以真实情境与跨学科融合为特色，覆盖代数、几何、统计核心知识，梯度设计适配中考模拟，注重数学眼光、思维与语言的综合考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/33|实数比较、整式运算、几何变换、概率统计|结合《孙子算经》古算题考查方程组建模| |填空题|4/12|因式分解、方差分析、菱形折叠、圆锥与正方形综合|通过扇形围成圆锥底面考查空间观念| |解答题|11/75|函数综合、统计建模、尺规作图、圆的证明、几何类比拓展|生长素浓度与发芽率实验数据建模，培养数学建模与数据意识；新定义“映射点”问题，考查创新思维|

2026年兰州市九年级数学模拟学业测试卷学校： 班级： 姓名： 密 封 线 注意事项： 1.甘肃省2026年初中学业水平考试（中考）数学试卷。 2.本试卷满分120分，考试时间120分钟，所有试题均在答题卡上作答，否则无效。 3.考生务必将答案直接填（涂）写在答题卡的相应位置上．禁止涂改液、修正带；超出答题框无效。 题号 一 二 三 总分 得分 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．有四个数，其中最小的是（　　） A．4 B． C． D．0 2． 下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 3．如图，把一块含有角的直角三角板的两个锐角顶点放在直线，上，若，，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4． 如图，在平面直角坐标系xoy中，△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O．已知BC：B'C'＝1：2，则B（2，0）的对应点B'的坐标是（　　） A．（3，0） B．（4，0） C．（6，0） D．（8，0） 5．若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角是（　　） A． B． C． D． 6．已知关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（　　） A．且 B． C．且 D．且 7．已知点，在反比例函数的图象上，且，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 8．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌鸟和雄鸟的概率相同．如果2枚鸟卵全部成功孵化，那么只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的概率是（　　） A． B． C． D． 9．我国古代数学名著《孙子算经》中有一问题：“今五人共车，两车空；三人共车，八人步．问人与车各几何？”其大意为：现有若干人和车，若每辆车乘坐5人，则空余两辆车；若每辆车乘坐3人，则有8人步行．问人与车各多少？设有x人，y辆车，则所列方程组正确的是（　　） A． B． C． D． 10． 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AB，BC上，连接EF交对角线BD于点P．若P为EF的中点，∠ADB＝35°，则∠DPE＝（　　） A．95° B．100° C．110° D．145° 11．如图，P是以正方形ABCD的顶点A为圆心，AB为半径的弧BD上的点，连接AP，CP，将线段CP绕点P顺时针旋转90°后得到线段PQ，连接AQ．若AB＝1，则△APQ的最大面积是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分） 12．因式分解：　 　． 13．如表记录了甲、乙、丙、丁四名射击运动员最近几次选拔赛成绩的平均数和方差．根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选　 　．（填甲、乙、丙或丁） 　 甲 乙 丙 丁 平均数（环） 9.14 9.15 9.14 9.15 方差 6.6 6.8 6.7 6.6 14．如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为　 　． 15．如图，小红拿出一张正方形的纸片，在上面剪出一个扇形和一个圆，发现这个圆恰好是该扇形围成圆锥的底面，（圆心与圆锥顶点都在正方形的同一条对角线上），测量后得知，圆锥母线长，则这张正方形纸片的边长是　 　． 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16． 计算： （1） （2） （3） （4） （4） 17．计算： （1） （2） 密 封 线 18．计算：． 19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数yx+b与反比例函数y（x＞0）的图象相交于点A（m，3），与x轴相交于点B（8，0），与y轴相交于点C． （1） 求一次函数yx+b与反比例函数y的表达式； （2） 点P为y轴负半轴上一点，连接AP．若△ACP的面积为6，求点P的坐标． 20．阅读理解：小东同学在解一元一次方程时，发现这样一种特殊现象： 的解为 而 的解为 而 于是，小东将这种类型的方程作如下定义：若一个关于x的方程 ax+b=0(a≠0)的解为x=b-a，则称之为“奇异方程”.请和小东一起进行以下探究：密 封 线 （1）初步运用： 试说明方程 是“奇异方程”. （2）若a=-1，有符合要求的“奇异方程”吗?若有，求出该方程的解；若没有，请说明理由； （3）变式拓展：若关于x的方程 ax+b=0(a≠0)为奇异方程，解关于y的方程：a(a-b)y+ 21．综合与实践在学校项目化学习中，某研究小组开展主题为“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的研究．请你阅读以下材料，解决“数学建模”中的问题． 【研究背景】已知一定浓度的生长素既能促进种子发芽，也会因浓度过高抑制种子发芽．探索生长素使用的适宜浓度等最优化问题，可以借助数学模型进行解决． 【数据收集】研究小组选择某类植物种子和生长素，以生长素浓度x（标准单位）为自变量，种子的发芽率y（%）为因变量，进行“生长素浓度对植物种子发芽率的影响”的实验，获得相关数据： 生长素浓度x（标准单位） 0 0.6 1 1.7 2 2.5 2.7 3 3.3 4 4.2 发芽率y（%） 35.00 49.28 56.00 62.37 63.00 61.25 59.57 56.00 51.17 35.00 29.12 【数据分析】如图，小组成员以表中各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系描出相应的点． 说明：①当生长素浓度x＝0时，种子的发芽率为自然发芽率； ②当发芽率大于等于零且小于自然发芽率时，该生长素抑制种子发芽； ③当生长素抑制种子发芽，使得发芽率减小到0时，停止实验． 【数学建模】请你结合所学知识解决下列问题： （1）观察上述各点的分布规律，判断y关于x的函数类型，并求出该函数的表达式； （2）请计算抑制种子发芽时的生长素浓度范围． 22．阅读与思考 在数学活动课上，老师提出了这样﹣﹣个问题：如图1，已知锐角∠AOB，C是OA边上一 点，利用尺规作图在OB边上求作点P，使∠CPB＝2∠AOB．小明同学想到了如下的方法， 并完成了部分证明． 方法：（1）如图2，分别以点O，C为圆心，大于OC的长为半径画弧，两弧分别相交于点M，N； （2）作直线MN，交OB于点P，交OC于点Q；（3）连接CP．则点P即为所求． 证明：如图3，连接ON，CN，OM，CM． 由作图可知，ON＝CN，OM＝CM． ∴点M，N均在线段OC的垂直平分线上．（依据1） ∴直线MN是线段OC的垂直平分线．（依据2） … （1） 上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？ （2）请将上述证明过程补充完整． （3）尺规作图：请在图1中，用不同于小明的方法求作点P．（保留作图痕迹，不写作法） 23．豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程． 【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径大于3毫米）粒数，记录数据． 【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（0≤x＜2），B类（2≤x＜4），C类（4≤x＜6），D类（6≤x＜8），E类（8≤x＜10）． 【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图． 【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查活动中随机抽取了 　 　 个豌豆荚，图中a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ； （2）所调查豆子粒数的中位数落在 　 　 类中；（只填写字母） （3）如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由． 密 封 线 24．如图，四边形是的内接四边形，为直径，是切线，且的延长线于点E． （1） 求证：平分； （2） 若，求的半径和的长． 25．我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整。原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，则，试说明理由． 密 封 线 （1）思路梳理： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证 ，得． （2）类比引申： 如图2，四边形中，，，点E、F分别在边、上，．若、都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由． （3）联想拓展： 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想、、应满足的等量关系，并写出推理过程． 26． 在平面直角坐标系xoy中，对于图W上或内部有一点N（不与原点O重合），及平面内一点P，给出如下定义：若点P关于直线ON的对称点P'在图W上或内部，则称点P是图W的“映射点”． （1）如图1，已知图W1：线段AB，A（﹣1,﹣1），B（1,﹣1）．在P1（﹣1,0），P2（1,2）中，　 　 是图W1的“映射点”； （2）如图2，已知图W2：正方形ABCD，A（﹣1，﹣1），B（1，﹣1），C（1，1），D（﹣1，1）．若直线l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，求b的最大值； （3）如图3，已知图W3：⊙T，圆心为T（0，t），半径为1．若x轴上存在点P是图W3的“映射点”，请直接写出t的取值范围． 2026年兰州市中考数学模拟真题 参考答案及解析 一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．【答案】B 【解析】【解答】解：∵ 4＞0＞-3＞-4.5 ∴最小的是-4.5. 故答案为：B. 【分析】正数＞0＞负数，特别要注意两个负数的大小比较，两个负数比较，绝对值大的反而小. 2．【答案】D 【解析】【解答】解：A、，故选项A错误； B、，故选项B错误； C、和不是同类二次根式，不能合并，故选项C错误； D，，故选项D正确. 故答案为：D. 【分析】由可判断A；由，可判断B；同类二次根式才可以合并，据此可判断C；根据 可判断D. 3．【答案】B 【解析】【解答】解：根据题意得， ，， ， ， ， ， 故答案为：B． 【分析】 根据题意可得，结合，利用补角的定义可求出，最后根据平行线的性质得到，代入的度数计算即可求解． 4．【答案】B 【解析】【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'位似，位似中心是原点O ， BC：B'C'＝1：2， ∴BO：B'O＝1：2， ∵B（2，0）， ∴ B'（4，0） 故答案为：B . 【分析】根据位似图形的性质：以原点为位似中心时，若原图形上某点坐标为(x，y)，位似比为k，则对应点坐标同向缩放为(kx，ky)（适用于k>0）；由此计算即可解答. 5．【答案】B 【解析】【解答】解：多边形的边数n=， ∵多边形的外角和都是， ∴该正多边形的每个外角=． 故答案为：B． 【分析】本题首先根据多边形的内角和公式，求出多边形的边数n，然后根据多边形的外角和是，计算即可求出多边形的一个外角． 6．【答案】D 【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有实数根， ，且， 解得：且． 故答案为：D． 【分析】根据一元二次方程的定义及一元二次方程的根的判别式“若一元二次方程有实数根，则判别式”，列出关于参数m的不等式组，解不等式组即可解答. 7．【答案】C 【解析】【解答】解：∵反比例函数的图象在一、三象限，而， ∴点在第三象限反比例函数的图象上， 在第一象限反比例函数的图象上， ∴， ∴， 故选：C． 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，结合反比例函数的性质即可求出答案. 8．【答案】A 【解析】【解答】解：根据题意，列表如下 　 雄鸟 雌鸟 雄鸟 雄鸟 雄鸟 雌鸟 雄鸟 雌鸟 雄鸟 雌鸟 雌鸟 雌鸟 由表可知，共有种等可能的结果，其中只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的结果有种， 只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的概率， 故答案为：． 【分析】根据题意列表，得出所有等可能的结果，再找出只雏鸟中恰好只雄鸟只雌鸟的结果数，再利用概率公式进行计算即可． 9．【答案】A 【解析】【解答】解：设有x人，y辆车， 由题意得：， 故答案为：A． 【分析】设有x人，y辆车，根据“若每辆车乘坐5人，则空余两辆车；若每辆车乘坐3人，则有8人步行”列出二元一次方程组即可解答． 10．【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD//BC，∠ABC= 90°， ∵∠ADB=35°， ∴∠CBD=∠ADB= 35°， ∵∠ABC= 90°， P为EF的中点， ∴PB= PF=EF， ∴∠CBD=∠PFB= 35°， ∴∠BPF= 180°- 35°- 35° = 110°， ∴∠DPE=∠BPF= 110°， 故答案为：C . 【分析】根据矩形的性质求得∠CBD=∠ADB = 35°，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半求得PB= PF，进而得到∠CBD=∠PFB= 35°，再利用三角形内角和定理以及对顶角相等，即可解答. 11．【答案】C 【解析】【解答】解：过点Q作QE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP交延长线于点F，连接AC交弧于点P1 则∠QEP=∠CFP=90° ∵∠QPC=90° ∴∠EQP+∠EPQ=∠FPC+∠EPQ=90° ∴∠EQP=∠FPC 由旋转可得，PC=PQ ∴△QPE≌△PCF(AAS) ∴EQ=PF ∵PF≤PC ∴EQ≤PC ∴AP+PF≤AP+PC≤AC 即当点P在P1时，EQ的值最大为CP1长 ∵四边形ABCD是正方形 ∴AD=AP1=CD=AB=1 ∴ ∴EQ的值最大为 ∴△APQ的最大面积为 故答案为：C 【分析】过点Q作QE⊥AP于点E，过点C作CF⊥AP交延长线于点F，连接AC交弧于点P1，则∠QEP=∠CFP=90°，根据角之间的关系可得∠EQP=∠FPC，根据旋转性质可得PC=PQ，再根据全等三角形判定定理可得△QPE≌△PCF(AAS)，则EQ=PF，再根据边之间的关系可得AP+PF≤AP+PC≤AC，即当点P在P1时，EQ的值最大为CP1长，根据正方形性质可得AD=AP1=CD=AB=1，再根据勾股定理可得AC，根据边之间的关系可得EQ，再根据三角形面积即可求出答案. 二、填空题（本大题共4小题。每小题3分，共12分） 12．【答案】 【解析】【解答】解：． 故答案为：． 【分析】由于该多项式各项具有相同的因式n，故先提取各项的公因式n，然后再利用完全平方公式将商式继续分解即可. 13．【答案】丁 【解析】【解答】解：由表格中的数据，可得乙和丁的平均数较大，所以从乙和丁中选择一人参加竞赛， 又因为丁的方差较小，所以选择丁参加比赛，故答案为：丁． 【分析】根据表格中的数据，比较平均数的大小，作出选择，再结合平均数相同时选择方差较小的参加比赛，即可得到答案. 14．【答案】2.8 【解析】【解答】解：作EH⊥BD于H， 由折叠的性质可知，EG=EA， 由题意得，BD=DG+BG=8， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AD=AB，∠ABD=∠CBD= ∠ABC=60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴AB=BD=8， 设BE=x，则EG=AE=8﹣x， 在Rt△EHB中，BH= x，EH= x， 在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2，即（8﹣x）2=（ x）2+（6﹣x）2， 解得，x=2.8，即BE=2.8， 故答案为：2.8． 【分析】作EH⊥BD于H，由折叠的性质可知，EG=EA，由题意得，BD=DG+BG=8，根据菱形的性质知AD=AB，∠ABD=∠CBD= ∠ABC=60°，根据一个角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABD为等边三角形，根据等边三角形三边相等得出AB=BD=8，设BE=x，则EG=AE=8﹣x，在Rt△EHB中，根据含30°直角三角形边之间的关系表示出BH，EH，在Rt△EHG中，利用勾股定理建立方程，求解得出x的值，即BE的长。 15．【答案】 【解析】【解答】解：如图，设圆锥底面圆的半径为， 由题意， ∴，即， ∴， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【分析】设圆锥底面圆的半径为，根据弧长公式得到，进而即可求出r，即，再求出正方形的对角线长，从而根据勾股定理即可求解。 三、解答题（本大题共11小题，共75分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16．【答案】（1）解：原式=4 x2 + 8 x + 4 −4 ( x2 − 25 ) =4 x2 + 8 x + 4 − 4 x2 + 100 =​​​​​​​ （2）解：原式= 3 y2 − 6 y z + 3 z2 − 4 y2 + z2 = （3）解：原式=4 x4 + 4 x2 + 1 − x4 + 16 = （4）解：原式=（x3 y2 − x 2 y − x2 y + x3 y2 ）（3x2y） =(2 x3 y2 − 2 x2 y)（3x2y）= 【解析】【分析】(1)根据完全平方公式展开4 ( x + 1 )2 得 4 x2 + 8 x + 4，再对后面的多项式乘法利用平方差公式计算2 ( x + 5 ) ( x − 5 )得到2 x2− 50，打开括号合并同类项化简即可解答； （2）根据完全平方公式展开3 ( y − z )2 得 3 y2 − 6 y z + 3 z2利用平方差公式计算 ( 2 y + z ) ( − z + 2 y ) 得 ( 2 y + z ) ( 2 y − z ) = ( 2 y )2 − z2 = 4 y2 − z2打开括号合并同类项化简即可解答； （3）根据完全平方公式展开( 2 x2 + 1 )2 得 4 x4 + 4 x2 + 1 利用平方差公式先计算 ( x + 2 ) ( x − 2 ) = x2 − 4 ，再乘以 ( x2 + 4 )，最后打开括号合并同类项化简即可解答； （4）先根据单项式乘以多项式法则计算中括号里得代数式，再合并同类项化简得到2 x3 y2 − 2 x2 y，在进行多项式除法，计算即可解答. 17．【答案】（1）解： ； （2）解： ． 【解析】【分析】（1）根据分式的乘法即可求出答案. （2）根据分式的减法即可求出答案. 18．【答案】解：原式 ． 【解析】【分析】根据0指数幂，特殊角的三角函数值，算式平方根性质，绝对值性质，负整数指数幂化简，再计算加减即可求出答案. 19．【答案】（1）解： ∵B（8，0）在一次函数yx+b图像上， ∴b＝0，解得b＝4， ∴一次函数解析式为y， 将点A（m，3）坐标代入解析式得：34， 解得m＝2， ∴A（2，3）， ∴k＝2×3＝6， ∴反比例函数解析式为y； （2）解：由一次函数解析式可知C（0，4），B（8，0），A（2，3），设点P（0，x）， ∴PC＝4﹣x， ∴S△PAC6， 解得x＝﹣2， ∴P（0，﹣2）． 【解析】【分析】(1)把B（8，0）代入一次函数函数解析式可得b＝4，因而可求得一次函数的解析式，再把A（m，3）代入函数解析式中得到m＝2，即可利用待定系数法求得反比例函数解析式，由此即可解答； （2）先根据一次函数的解析式分别求出A，B，C的坐标，设点P（0，x）表示出PC＝4﹣x，利用面积关系建立方程，计算即可解答. 20．【答案】（1）解：∵方程的解为 且 ∴方程 是“奇异方程” （2）解：若a=-1，没有符合要求的“奇异方程”.理由如下：当a=-1时，方程-x+b=0的解为x=b，但b-(-1)=b+1≠b.∴若a=-1，没有符合要求的“奇异方程” （3）解：∵关于x的方程 ax+b=0(a≠0)为奇异方程，∴方程 ax+b=0(a≠0)的解为x=b-a. 把x=b-a代入原方程，得(b-a)·a+b=0，∴a2-ab=b. 【解析】【分析】 （1）解原方程，利用“奇异方程”的定义进行验证即可； （2）根据“奇异方程”定义，利用反证法即可说明； （3）利用“奇异方程”的定义求出原方程的根，利用方程根的意义将方程的根代入原方程得到a，b的关系式，利用a，b的关系式通过整体代入化简，即可解关于y的方程 21．【答案】（1）解：观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数， 设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c， 将（0，35），（1，56），（2，63）代入得， ， 解得， ∴该二次函数的解析式为y＝﹣7x2+28x+35； （2）解：当x＝0时，y＝35， ∴种子自然发芽率为35%， ∴当y＝35时，﹣7x2+28x+35＝35， 解得x1＝0，x2＝4， 当y＝0时，﹣7x2+28x+35＝0， 解得x1＝﹣1（舍去），x2＝5， ∴抑制种子发芽时的生长素浓度范围为4＜x≤5． 【解析】【分析】(1)观察上述各点的分布规律，y关于x的函数是二次函数，利用待定系数法设该二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，将（0，35），（1，56），（2，63）代入计算即可解答； (2)先根据临界值得到x=4，x=5，即可写出抑制种子发芽时的生长素浓度范围，解答即可. 22．【答案】（1）解：依据1：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上． 依据2：两点确定一条直线． （2）证明：如图3，连接ON，CN，OM，CM． 由作图可知，ON＝CN，OM＝CM． ∴点M，N均在线段OC的垂直平分线上， ∴直线MN是线段OC的垂直平分线， ∴PC＝PO， ∴∠PCO＝∠POC， ∵∠CPB＝∠PCO+∠POC， ∴∠CPB＝2∠AOB． （3）解：如图，点P即为所求． 【解析】【分析】（1）根据垂直平分线性质及两点确定一条直线即可求出答案. （2）连接ON，CN，OM，CM，由作图可知，ON＝CN，OM＝CM，根据垂直平分线判定定理可得直线MN是线段OC的垂直平分线，则PC＝PO，根据等边对等角可得∠PCO＝∠POC，再根据三角形外角性质即可求出答案. （3）根据垂直平分线定义作图即可求出答案. 23．【答案】（1）100；40；35 （2）C （3）解：不能得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律， 由于甲、乙抽取的数量不多，不足以判断B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律． 【解析】【解答】解：（1）由题意可得，1414%=100 (个) a= 100x40%=40，b=100-5-14-40-6=35， 故答案为： 100，40，35 （2）由题意可得中位数是从小到大排列后，第50和51个数据的平均数： 5+14+40= 59 ， 所调查豆子粒数的中位数落在C类中； 故答案为： C 【分析】(1)根据B类的数14除以对应的白分比14%即可求出总数，再根据对应的白分比和总量减部分即可求出答案； (2)根据中位数的定义：偶数个数据的中位数是将数据从小到大排列后，第50和51个数据的平均数进行计算即可解答； (3)根据选取样本的特点进行分析即可解答. 24．【答案】（1）证明：如图， 连接，则. ， ， 是的切线， ， ， ， 又， ， ， 平分. （2）解：如图， 取中点，连接， ， 又∵， ∴四边形是矩形， ， ， 在中，， ， 在中， ， ∴， ∴的长是． 【解析】【分析】（1）连接，则，进一步得，根据得，在根据是的切线得，进一步得，即可得，从而可证明平分. （2）取中点，连接，根据垂径定理可得，所以四边形是矩形，进而得，再利用勾股定理得. 25．【答案】（1）图1解：∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图1， ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，，， ， 即， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：. （2）图2证明：仍有； 理由如下：∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示： ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，点F、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴. （3）图3猜想：． 理由如下：把绕点A逆时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）先证出，再利用全等三角形的性质得出，最后求解即可； （2）利用旋转的性质证出，再利用全等三角形的性质得出，最后利用线段的和差及等量代换可得； （3）先利用旋转的性质及“SAS”证出，再利用全等三角形的性质可得，，是直角三角形，再利用勾股定理及等量代换可得． 26．【答案】（1）当A，N重合时，P关于ON(即OA)的对称点为(0，-1)，在线段AB上 ∴P1(-1，0)是图W1的“映射点”： 而P2(1，2)关于ON的对称点不在AB上，则P2(1，2)不是图W的“映射点”； 故答案为： P1(-1，0). （2）解：依题意，正方形的顶点到O的距离为， ∴当l：y＝x+b上存在点P是图W2的“映射点”，则点O到y＝x+b的距离为， ∴当y＝x+b经过点D时，b的值最大， 将D（﹣1，1）代入y＝x+b得，1＝﹣1+b， 解得b＝2， ∴b的最大值2； （3）如图，ON，OP'分别为⊙T的切线， 当P为W3的“映射点”， ∴∠P'ON＝∠PON， 又∵∠P'ON＝∠TON＝90°﹣∠PON， 设∠PON＝α，则∠TON＝90°﹣α， ∴∠P'ON＝∠PON＝2∠TON＝180°﹣2α， ∴180°﹣2α＝α， 解得α＝60°， ∴∠PON＝60°，∠TON＝30°， ∵TN＝1， ∴OT＝2， 当t减小时，P关于W3的“映射点”，在W3即⊙T的内部，符合题意， ∴t≤2， 当t＜0时，根据对称性可得t≥﹣2， 综上所述，﹣2≤t≤2． 故答案为：﹣2≤t≤2． 【解析】【分析】(1)根据定义，观察 P1（﹣1，0），P2（1，2） ， 经过ON对称后，判断对称点是否在AB上，即可求解： (2)根据正方形的顶点到O的距离为，则对称之前的点到原点的距离为，进而求得b的最大值，将D(-1，1)代入y=x+b得，1=-1+b，计算即可求解； (3)根据新定义，找到临界值，ON，OP'分别为⊙T的切线情形，求得OT＝2，再根据当t减小时，P关于W3的“映射点”在W3即⊙T的内部，再根据对称性求得t的另一个范围，解答即可. 学科网（北京）股份有限公司 $