第七章 复数 复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学复数单元复习讲义通过知识框架图系统梳理了复数的概念、几何意义、四则运算及共轭复数等核心内容，用对应表格呈现复数与复平面内点的一一对应关系，突出虚数单位i的周期性、复数分类及运算律等重难点，构建清晰的知识内在联系。 讲义亮点在于分层设计的考点练习，涵盖概念辨析、模的计算、轨迹问题及复数方程求解等题型，如通过“求复数z满足|z-1|=2的轨迹图形面积”培养数学思维中的几何直观与推理能力，结合“复数范围内解方程x²=-1”强化运算能力。基础题帮助学生巩固概念，综合大题提升应用意识，教师可据此实施精准分层教学，支持学生自主复习。

第七章 复数 一、 复数的概念 1. 虚数单位 i: （1）它的平方等于－1 ，即 i2 =－1 ； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1 的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x2 =－1 的一个根，方程x2 =－1的另一个根是-i． （4）i 的周期性： i4n+1 = i ， i4n+2 = －1 ， i4n+3 = －i ， i4n = 1 ． 2. 数系的扩充： 复数a + bi非纯虚数 (纯虚数b)i(a (a)b (0)i)(a ≠ 0) 3. 复数的定义： 形如a + bi(a ，b ∈ R) 的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即z = a + bi(a ，b ∈ R) ，把复数表示成 a + bi 的形式，叫做复数的代数形式． 5. 复数的分类 6. 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈ R ，那么 a + bi = c + di ⇋ a = c ，b = d 6. 将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作 z .对于复数z = a + bi ，它的模 二、 复数的几何意义 1. 复平面、实轴、虚轴： 复数z = a + bi(a ，b ∈ R)与有序实数对(a ，b)是一一对应关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是 b ，复数 z = a + bi(a ，b ∈ R)可用点Z(a ，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2. 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0 ，0)，它所确定的复数是z = 0 + 0i = 0 表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．这就是复数的一种几何意义． 复数z = a +bi ←一应一→ 复平面内的点Z(a ，b) 3. 向量也是复数的一种表示方法。参考向量知识点。 4. 复数的减法几何意义 表示在复平面上的点到在复平面上的点的距离 三、 复数的四则运算 1.复数z1 与z2 的和的定义： z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d )i 2.复数z1 与z2 的差的定义： z1 － z2 = (a + bi) － (c + di) = (a － c) + (b － d )i 3.复数的加法运算满足交换律: z1 + z2 = z2 + z1 4.复数的加法运算满足结合律: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) 5.乘法运算规则： 设z1 = a + bi ，z2 = c + di ( a 、b 、c 、d ∈ R )是任意两个复数，那么它们的积 z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac － bd ) + (bc + ad )i 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘， 在所得的结果中把i2 换成－1，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6.乘法运算律： （1）z1 (z2 z3) = (z1z2)z3 （2）(z1 . z2) . z3 = z1 . (z2 . z3) （3）z1 (z2 + z3) = z1z2 + z1z3 7.除法运算规则： 设复数a + bi ( a 、b∈ R )，除以 c + di ( c ，d ∈ R )，其商为 x + yi （ x 、y ∈ R )， 利用(c + di)(c － di) = c2 + d2 于是将 的分母有理化得： 原式 i ． 四、 共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 考点一 复数的概念 1.（2024秋•和平区期末）为虚数单位，若复数满足，则的虚部为 　　． 2.（2025春•天津期末）若复数是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（　　） A．且 B． C． D．或 3.（2021秋•宝坻区校级期末）如复数为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为　　． 考点二 复数的模 4.（2025秋•西青区期末）已知为虚数单位，则 ． 5.（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（    ） A．若， B． C．若，则 D．若，则 考点三 复数相等 6.（2022春•和平区校级期末）已知复数满足，则在复平面内复数对应的点在（　　） A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 7.若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 考点四 共轭复数 8.（2023秋•西青区期末）已知，则　　． 9.（2024春•河北区期末）已知复数，，则（　　） A． B．1 C． D．5 考点四 复数的几何意义 10.（2024春•和平区校级期末）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数的共轭复数（　） A． B． C． D． 11.（2023春•天津期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 12.（多选）下列结论正确的是（ ） A．若复数满足，则 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．若复数是纯虚数，则实数或 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 考点五 与复数有关的轨迹问题 13.设复数，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 14.复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（ ） A． B． C． D． 15.已知且，则的最大值是______________． 16.（多选）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A． B．的虚部为1 C．若，则的最大值为2 D．若是关于的方程的根，则 考点六 复数范围内方程的根 17.在复数范围内，方程的解集为（    ） A． B． C． D． 18.（多选）下列说法正确的是（    ） A． B．若是关于的方程的根，则 C．若复数满足，则的最大值和最小值的和为 D．若，则 19.（多选）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点七 与复数有关大题 20.（2024春•天津期末）已知是虚数单位，复数，． （Ⅰ）当时，求； （Ⅱ）若是纯虚数，求的值； （Ⅲ）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围． 21.已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 22.已知复数，，其中i是虚数单位，． (1)若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求m，n的值； (2)求的值域． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数 一、 复数的概念 1. 虚数单位 i: （1）它的平方等于－1 ，即 i2 =－1 ； （2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有加、乘运算律仍然成立． （3）i 与－1 的关系: i 就是－1的一个平方根，即方程x2 =－1 的一个根，方程x2 =－1的另一个根是-i． （4）i 的周期性： i4n+1 = i ， i4n+2 = －1 ， i4n+3 = －i ， i4n = 1 ． 2. 数系的扩充： 复数a + bi非纯虚数 (纯虚数b)i(a (a)b (0)i)(a ≠ 0) 3. 复数的定义： 形如a + bi(a ，b ∈ R) 的数叫复数，a 叫复数的实部，b 叫复数的虚部．全体复数所成的集合叫做复数集，用字母C 表示 4. 复数的代数形式: 复数通常用字母z 表示，即z = a + bi(a ，b ∈ R) ，把复数表示成 a + bi 的形式，叫做复数的代数形式． 5. 复数的分类 6. 两个复数相等的定义： 如果两个复数的实部和虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等．这就是说，如果a ，b ，c ，d ∈ R ，那么 a + bi = c + di ⇋ a = c ，b = d 6. 将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作 z .对于复数z = a + bi ，它的模 二、 复数的几何意义 1. 复平面、实轴、虚轴： 复数z = a + bi(a ，b ∈ R)与有序实数对(a ，b)是一一对应关系．点Z 的横坐标是a ，纵坐标是 b ，复数 z = a + bi(a ，b ∈ R)可用点Z(a ，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴叫做实轴，y 轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数． 2. 对于虚轴上的点要除原点外，因为原点对应的有序实数对为(0 ，0)，它所确定的复数是z = 0 + 0i = 0 表示是实数．除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．这就是复数的一种几何意义． 复数z = a +bi ←一应一→ 复平面内的点Z(a ，b) 3. 向量也是复数的一种表示方法。参考向量知识点。 4. 复数的减法几何意义 表示在复平面上的点到在复平面上的点的距离 三、 复数的四则运算 1.复数z1 与z2 的和的定义： z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d )i 2.复数z1 与z2 的差的定义： z1 － z2 = (a + bi) － (c + di) = (a － c) + (b － d )i 3.复数的加法运算满足交换律: z1 + z2 = z2 + z1 4.复数的加法运算满足结合律: (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) 5.乘法运算规则： 设z1 = a + bi ，z2 = c + di ( a 、b 、c 、d ∈ R )是任意两个复数，那么它们的积 z1z2 = (a + bi)(c + di) = (ac － bd ) + (bc + ad )i 其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘， 在所得的结果中把i2 换成－1，并且把实部与虚部分别合并．两个复数的积仍然是一个复数． 6.乘法运算律： （1）z1 (z2 z3) = (z1z2)z3 （2）(z1 . z2) . z3 = z1 . (z2 . z3) （3）z1 (z2 + z3) = z1z2 + z1z3 7.除法运算规则： 设复数a + bi ( a 、b∈ R )，除以 c + di ( c ，d ∈ R )，其商为 x + yi （ x 、y ∈ R )， 利用(c + di)(c － di) = c2 + d2 于是将 的分母有理化得： 原式 i ． 四、 共轭复数： 当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． 考点一 复数的概念 1.（2024秋•和平区期末）为虚数单位，若复数满足，则的虚部为 　　． 【解答】解：由， 得， 则的虚部为． 故答案为：． 2.（2025春•天津期末）若复数是虚数单位）是纯虚数，则实数的值为（　　） A． 且 B． C． D．或 【解答】解：若复数是虚数单位）是纯虚数，则且，解得． 故选：． 3.（2021秋•宝坻区校级期末）如复数为虚数单位）为纯虚数，则实数的值为　　． 【解答】解：为纯虚数， ， 解得． 则实数的值为：0． 故答案为：0． 考点二 复数的模 4.（2025秋•西青区期末）已知为虚数单位，则 ． 【解答】解：， 则． 故答案为：． 5.（多选）已知复数，，则下列结论正确的是（    ） A．若， B． C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【分析】A选项，根据复数除法运算法则即可求得；B选项，设，，根据共轭复数及复数的运算法则求解；C，D选项通过举反例可判断. 【详解】对于，因为当时，，选项A正确； 对于B，设，， ， 则 ， ，所以，选项B正确； 对于C，当，，则，但， ，，选项C错误． 对于D，，时，，但，选项D错误． 故选：AB. 考点三 复数相等 6.（2022春•和平区校级期末）已知复数满足，则在复平面内复数对应的点在（　　） A． 第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：设，则， ，， ，解得， 在复平面内复数对应的点在第一象限． 故选：． 7.若实数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知，解得 考点四 共轭复数 8.（2023秋•西青区期末）已知，则　　． 【解答】解：， 则， 故． 故答案为：． 9.（2024春•河北区期末）已知复数，，则（　　） A． B．1 C． D．5 【解答】解：复数，， 由共轭复数的定义可知， ，， 则有． 故选：． 考点四 复数的几何意义 10.（2024春•和平区校级期末）在复平面内，复数对应的点的坐标为，则复数的共轭复数（　　） A． B． C． D． 【解答】解：依题意，， 所以复数的共轭复数． 故选：． 11.（2023春•天津期末）在复平面内，复数，对应的向量分别是，，则复数对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解答】解：由图可得，，， 则，， 故复数， 所以复数对应的点位于第二象限． 故选：． 12.（多选）下列结论正确的是（ ） A．若复数满足，则 B．复数在复平面内对应的点在第二象限 C．若复数是纯虚数，则实数或 D．若复数满足，则复数在复平面内对应的点所构成的图形的面积为 【答案】BD 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据复数的坐标表示求解；对于C：根据纯虚数的概念列式求解；对于D：根据复数模长的几何意义运算求解. 【详解】对于A：例如也满足，故A错误； 对于B：复数在复平面内对应的点为，该点在第二象限，故B正确； 对于C：若复数是纯虚数，则满足， 解得，故C错误； 对于D：因为复数满足，则复数对应的点构成的图形为圆环， 它的面积为，故D正确． 考点五 与复数有关的轨迹问题 13.设复数，则的最小值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【详解】已知，则对应复平面上的单位圆， ，表示圆上点到定点的距离， 圆心到定点的距离为：，单位圆半径， 最小值为． 14.复数在复平面内对应的点为，若，则点的集合对应的图形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意可知，点的集合对应的图形是一个圆环，从而可求出其面积. 【详解】不妨设点的集合对应的图形是一个以原点为圆心，外环半径为3，内环半径为1的圆环， 则其面积为. 15.已知且，则的最大值是______________． 【答案】 【分析】利用复数模的几何意义，将问题转化为圆上动点到定点的距离最大值问题，即圆心到定点的距离与半径之和. 【详解】由可知，复数对应的点的轨迹是以为圆心，半径的圆； 表示点到定点的距离； 因为； 所以的最大值为. 16.（多选）已知为虚数单位，以下四个说法中正确的是（    ） A． B．的虚部为1 C．若，则的最大值为2 D．若是关于的方程的根，则 D．若是关于的方程的根，则 【答案】ABC 【详解】对于A，，故A正确; 对于B，对于复数，叫做复数的实部，叫做复数的虚部；则复数的虚部为1，故B正确; 对于C， 设 ，，即的轨迹是以为圆心，1为半径的圆； ，其几何意义是圆上的点到的距离. 圆心到点的距离为1，圆的半径为1， 圆上的点到点的最大距离为1+1=2，即的最大值为2，故C正确; 对于D，是关于的方程的根，，整理得； ，解得，； ，故D错误. 考点六 复数范围内方程的根 17.在复数范围内，方程的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】所以在复数范围内，即为即， 故方程的解集为 18.（多选）下列说法正确的是（    ） A． B．若是关于的方程的根，则 C．若复数满足，则的最大值和最小值的和为 D．若，则 【答案】BCD 【分析】根据复数定义，可以判断A选项；根据复数范围内二次方程的解互为共轭复数且满足根与系数关系，可以判断B选项；根据复数的几何意义可以判断对应的图形为圆，根据点到圆的距离可以判断C选项；根据复数的乘法运算可判断D选项. 【详解】对于A，复数包括实数和虚数，实数可以比较大小，虚数不可以比较大小，故A错误. 对于B，若是关于的方程的一个根，则也是关于的方程的一个根， 所以，因此,故B正确. 对于C，设，若复数满足，则有， 所以在复平面内对应点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 的几何意义为圆上点到原点的距离，，， 所以，故C正确. 对于D，由可得，，则， 因此，故D正确. 19.（多选）对于复数，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AB 【详解】因为，所以是负实数，则，故A正确； 令，，因为，则， 所以，即，所以，故B正确； 假设，，满足， 但是，是虚数不能比较大小，故C错误； 假设，由于，满足，但是，故D错误. 考点七 与复数有关大题 20.（2024春•天津期末）已知是虚数单位，复数，． （Ⅰ）当时，求； （Ⅱ）若是纯虚数，求的值； （Ⅲ）若在复平面内对应的点位于第三象限，求的取值范围． 【解答】解：当时，． 所以． 若复数是纯虚数，则 ，解得， 所以． 解：复数在复平面内对应的点位于第三象限， 则，即， 所以实数的取值范围是． 21.已知是关于的方程的一个根，其中，为实数． (1)求的值； (2)设复数满足是纯虚数，求实数的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据实系数一元二次方程的虚根成对出现，求出方程的另一个根，再利用韦达定理求出、的值，进而求得； （2）先计算，再根据纯虚数的实部为且虚部不为来确定实数的值. 【详解】（1）对于实系数一元二次方程，若复数是方程的根，则其共轭复数也是方程的根. 已知是方程（为实数 ）的一个根， 那么z的共轭复数也是该方程的根. 根据韦达定理，在一元二次方程中，两根之和，两根之积. 计算的值：，所以，即. 计算的值：， 因为，所以，所以. 所以. （2）已知，计算： 因为是纯虚数，根据纯虚数的定义：实部为，虚部不为. 则有 解，可得 当时，，满足条件. 所以实数的值为. 22.已知复数，，其中i是虚数单位，． (1)若，是实系数一元二次方程的两个虚根，求m，n的值； (2)求的值域． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用题给条件求得，再利用根与系数关系即可求得m，n的值； （2）先求得的表达式，再利用三角函数性质即可求得的值域． 【详解】（1），是实系数一元二次方程的两个虚根， 则，解之得 则，， 则， （2），， 则， 由，可得 则的值域为． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $