第七章 复数（复习讲义）高一数学人教A版必修第二册

第七章 复数（复习讲义） 1、了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念及复数相等的条件；了解复数的表示方法. 2、理解复数的几何意义,会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义,会求复数的模以及共轭复数的概念及意义. 3、熟练掌握复数的加、减法运算法则；.理解复数加、减法的几何意义,并能简单应用. 4、掌握复数的乘、除运算；理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 一、复数的概念 1、复数集 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 2、复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. 3、复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 4、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 5、共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数，复数的共轭复数用表示，即如果，则. 二、复数的几何意义 1、复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 2、复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 3、复数的模 ①向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 ②复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 三、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 （2）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2、复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 （2）复数减法的几何意义 复数 向量 3、复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 （2）复数乘方的运算律 ，，有： ① ② ③ 4、共轭复数的性质 设，， 5、复数代数形式的除法运算 （） 四、实系数一元二次方程 1、实系数一元二次方程 中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ， （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， 题型一 复数的概念与分类 1．（24-25高一下·重庆万州·月考）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（   ） A．2 B． C． D．-2 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（24-25高一上·上海·课后作业）下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 4．已知为虚数单位，若，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 题型二 复数相等 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2025高一·全国·专题练习）满足的有序实数对有______组. 5．（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 题型三 复数的几何意义 1．（24-25高一下·湖南永州·期中）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）复数和在复平面内的对应点关于（   ） A．实轴对称 B．一、三象限的角平分线对称 C．虚轴对称 D．二、四象限的角平分线对称 3．（23-24高一下·河北·期末）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为.若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 5．已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 6．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 题型四 复数的模 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 3．（24-25高一下·河南开封·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知复数满足（），则可能是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）若，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·北京·期中）若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 题型五 复数的加减运算及其几何意义 1．（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·全国·课后作业）复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）复数，，则在复平面内表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．（23-24高一下·河南郑州·月考）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型六 复数的乘法 1．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·单元测试）若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·陕西西安·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D．4 4．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）设为实数，复数，，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·天津·月考）已知复数的实部为-1，则下列说法正确的是（   ） A．复数z的虚部为5 B．复数z的共轭复数 C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限 6．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 题型七 复数的除法 1．（25-26高一上·北京·期末）已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．的虚部为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D．i 4．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）若，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 5．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 题型八 复数的乘方 1．（24-25高一下·河南·月考）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·河南南阳·月考）（    ） A． B． C． D． 3．复数的虚部为（    ） A． B． C． D．i 4．已知复数，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 5．（25-26高三上·湖南·月考）设复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 6．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型九 复数范围内方程的根 1．（24-25高一下·甘肃白银·期中）方程的复数根为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知是关于的方程一个根，则（   ） A．-2 B．3 C．6 D．7 3．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）若虚数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A．4 B． C．2 D． 4．设为复数的共轭复数，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　）. A．4 B．3 C．2 D．1 6．（25-26高一上·上海浦东新·月考）已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 题型十 复数中的新定义问题 1．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．定义：若为虚数单位，则称复数是复数的平方根.根据定义，则复数的平方根是（    ） A．或 B．或 C． D． 3．数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（，为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，化简的结果为（    ） A．2 B． C． D． 4．（多选题）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 5．（多选题）定义复数运算：，已知复数，w满足，则（   ） A．w可以是 B．的最小值为 C．在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D．的实部是5 基础巩固通关测 1．（23-24高一下·山东·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 3．（23-24高一下·四川达州·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·湖北武汉·期末）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·安徽合肥·期末）若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为（    ） A． B．1 C．2 D．3i 8．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）在复数范围内，下列为方程的根的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 10．（24-25高一下·广东·月考）已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 11．（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 12．若复数，实数满足，则（    ） A． B． C．1 D．4 13．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 14．（24-25高一下·湖北武汉·期末）若i为虚数单位，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D．i 15．（24-25高一下·江西九江·期末）已知复数满足，则，，，…不同的数有（    ） A．6个 B．4个 C．2024个 D．以上答案都不正确 16．（24-25高一下·甘肃武威·期末）若复数是关于的一元二次方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 17．已知复数的模长为1，且，则（    ） A． B．1 C． D． 18．（2024高一·全国·专题练习）（多选题）若，，且，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 19．（24-25高一下·重庆·期末）（多选题）已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．在复平面内对应的点可能是 B． C．的实部与虚部之积小于等于3 D．复数，则的最大值为 20．（24-25高一下·福建莆田·期中）定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值为________ 21．（23-24高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 能力提升进阶练 1．复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C．4 D． 2．（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 3．（24-25高一下·上海·期末）若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 4．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选题）已知，是实系数一元二次方程的两根，则，的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选题）复数z满足（i为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选题）设，是复数，则下列命题中的真命题有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选题）设，为复数，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C．是纯虚数或零 D． 8．（24-25高一下·山东青岛·期末）（多选题）设复数均不为0，则（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·河南驻马店·月考）（多选题）已知复数，（，，，2，i为虚数单位），，的共轭复数分别为，，定义运算，记任意复数z的实部为，虚部为，则下列说法正确的有（    ）． A．若，则 B．若，在复平面内所对应的向量所成的夹角为锐角，则 C． D． 10．（25-26高一下·全国·课堂例题）设i是虚数单位，___________． 11．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 12．（24-25高一下·山东·期中）已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． (1)试将写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 13．（24-25高一下·湖北·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 复数（复习讲义） 1、了解数系的扩充过程；理解复数的基本概念及复数相等的条件；了解复数的表示方法. 2、理解复数的几何意义,会用复平面内的点和向量来表示复数；了解复数模的概念及几何意义,会求复数的模以及共轭复数的概念及意义. 3、熟练掌握复数的加、减法运算法则；.理解复数加、减法的几何意义,并能简单应用. 4、掌握复数的乘、除运算；理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 一、复数的概念 1、复数集 我们把形如的数叫做复数,其中叫做虚数单位,满足.全体复数所构成的集合叫做复数集. 2、复数的表示:复数通常用字母表示,即,其中的与分别叫做复数的实部与虚部. 3、复数相等 在复数集中任取两个数，，（），我们规定. 4、复数的分类 对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.这样,复数()可以分类如下: 5、共轭复数 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数；虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数，复数的共轭复数用表示，即如果，则. 二、复数的几何意义 1、复数的几何意义——与点对应 复数的几何意义1：复数复平面内的点 2、复数的几何意义——与向量对应 复数的几何意义2：复数 平面向量 3、复数的模 ①向量的模叫做复数)的模，记为或 公式：，其中 ②复数模的几何意义：复数在复平面上对应的点到原点的距离； 三、复数的加、减、乘、除的运算法则 1、复数代数形式的加法运算及其几何意义 （1）复数的加法法则 （2）复数加法的几何意义 如图，设在复平面内复数，对应的向量分别为，，以，为邻边作平行四边形，则，即： ，即对角线表示的向量就是与复数对应的向量.所以：复数的加法可以按照向量的加法来进行. 2、复数代数形式的减法运算及其几何意义 （1）复数的减法法则 类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足：的复数叫做复数减去复数的差，记作 （2）复数减法的几何意义 复数 向量 3、复数代数形式的乘法运算 （1）复数的乘法法则 （2）复数乘方的运算律 ，，有： ① ② ③ 4、共轭复数的性质 设，， 5、复数代数形式的除法运算 （） 四、实系数一元二次方程 1、实系数一元二次方程 中的为根的判别式，那么 （1）方程有两个不相等的实根； （2）方程有两个相等的实根； （3）方程有两个共轭虚根， 求解复数集上的方程的方法： ①设化归为实数方程来解决． ②把看成一个未知数（而不是实部和虚部两个未知数），用复数的性质来变形． ③对二次方程，直接用一元二次方程的求根公式． 2、实系数一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理） （1）当时，方程的两个实根满足韦达定理 ， （2）当时，方程的两个共轭虚数根、，则 ， 题型一 复数的概念与分类 1．（24-25高一下·重庆万州·月考）若复数的实部与虚部之和为0，则b的值为（   ） A．2 B． C． D．-2 【答案】A 【分析】利用复数的实部和虚部求解即可. 【详解】由复数的实部与虚部之和为0， 得，即. 故选：A. 2．（24-25高一下·全国·课堂例题）在，，，，，这几个数中，纯虚数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据纯虚数的概念，即可得答案. 【详解】，是纯虚数，，，是实数，是虚数． 故选：C 3．（24-25高一上·上海·课后作业）下列集合关系表述正确的是（    ）（其中：自然数集，整数集） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由各数集的含义可得 【详解】为自然数集，为整数集，因为整数集包含自然数集与负整数集，所以； 为整数集，为有理数集，因为有理数集包含整数集和小数集，所以 为有理数集，为实数集，因为实数集包含有理数集与无理数集，所以 为实数集，复数集，因为复数集包含实数集和虚数集，所以， 综上，所以， 故选：A. 4．已知为虚数单位，若，则复数的虚部是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知等式求出复数，再根据复数的定义确定其虚部. 【详解】已知，等式两边同时除以可得， 为了将分母实数化，给分子分母同时乘以的共轭，则， 因为，所以， 那么，移项可得， 所以复数的虚部是. 故选：D. 5．（24-25高一上·上海·课堂例题）求实数m的值或取值范围，使得复数分别是： (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数； (4)0. 【答案】(1)或 (2)且 (3) (4) 【分析】根据复数的类型列式求参. 【详解】（1）当，即或时，复数z是实数. （2）当，解得且时，复数z是虚数. （3）当且，即时，复数z是纯虚数 （4）当且，即时，复数z是0. 题型二 复数相等 1．（25-26高一下·全国·课后作业）若，则实数x，y的值为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据复数相等进行求解即可. 【详解】. 故选：D 2．已知，则的值为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】由虚数单位定义及复数相等可得答案. 【详解】，故，所以. 故选：C. 3．已知，其中为实数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数相等求参数的值. 【详解】因为， 所以， 所以，解得， 故选:B. 4．（2025高一·全国·专题练习）满足的有序实数对有______组. 【答案】四 【分析】分别令，可得答案. 【详解】由，，解得或，或， 可得，或，或，或. 所以共有四组实数对. 故答案为：四. 5．（24-25高一下·上海·期末）已知复数，若，则实数的取值范围为___________． 【答案】； 【分析】利用复数相等的概念结合二次函数和三角函数的有界性求解即可. 【详解】因为 所以 所以 所以 又因为 所以 即 令 则 由二次函数的性质知： 该函数对称轴为： 所以当时，该函数取最大值为6， 当时，该函数取最小值 故答案为：. 题型三 复数的几何意义 1．（24-25高一下·湖南永州·期中）在复平面内，复数对应的点与复数对应的点关于实轴对称，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义及对称性求解即可. 【详解】由题意知对应的点为， 对应的点为，． 故选：C. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）复数和在复平面内的对应点关于（   ） A．实轴对称 B．一、三象限的角平分线对称 C．虚轴对称 D．二、四象限的角平分线对称 【答案】A 【分析】确定复数对应点的坐标，即可判断. 【详解】由复数的性质得对应的点为，对应的点为， 易知与两点在复平面内关于实轴对称. 故选：A． 3．（23-24高一下·河北·期末）在复平面内，复数对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】复数的分子分母同乘分母的共轭复数，化简为的形式，即可推出结果. 【详解】，则所求复数对应的点为，位于第四象限． 故选：. 4．（24-25高一下·全国·课后作业）在复平面内，O为原点，向量对应的复数为.若点A关于虚轴的对称点为点B，则向量对应的复数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义结合已知条件直接求解即可. 【详解】因为复数对应的点为， 所以点A关于虚轴的对称点为， 所以对应的复数为. 故选：C 5．已知复数，设在复平面内对应的向量分别为，则（    ） A． B．3 C．5 D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义求得，根据平面向量数量积坐标运算计算即可. 【详解】复数，则， 所以， 故. 故选：B 6．（24-25高一下·河南郑州·期末）已知，复数 在复平面内对应的点位于第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义得到不等式组，求解即可． 【详解】由， 则在复平面内对应的点为，且位于第一象限， 所以，解得， 所以的取值范围为． 故选：A． 题型四 复数的模 1．已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的除法法则求得，利用可求解. 【详解】，. 故选：B. 2．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先由复数的模长公式计算出，再根据复数的除法运算，化简即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为， 故选：C. 3．（24-25高一下·河南开封·期末）若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由复数的模长公式，可得答案. 【详解】由，则. 故选：B. 4．（24-25高一下·黑龙江哈尔滨·月考）已知复数满足（），则可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先设，然后根据模相等列出等式，化简得出复数的实部和虚部相等. 【详解】设，则 ，. 因为，所以. 两边平方得：，解得. 从选项中可以看出只有C符合题目条件. 故选：C. 5．（24-25高一下·安徽阜阳·期中）若，且，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，，根据已知得到、，进而求. 【详解】令，，则， 所以，且， 所以，可得，故， 所以. 故选：B 6．（24-25高一下·北京·期中）若复数满足，则在复平面内，复数对应的点组成图形的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的几何意义可知在复平面表示的是以为圆心，半径为3的圆，由圆的周长公式即可得出答案. 【详解】由复数的几何意义可知表示在复平面上，复数对应的点到复数所对的点即的距离为3， 也即以为圆心，半径为3的圆，故图形周长为. 故选：C. 7．（24-25高一下·甘肃张掖·期中）已知复数满足，的共轭复数为，复数，则的最大值为（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的几何意义，将问题转化为圆上一点到定点距离的最大值，数形结合即可求解． 【详解】由得，在复平面内在以为圆心半径为1的圆上， 则在以为圆心半径为1的圆上， 所以表示到点的距离， 数形结合得， 故选：D． 题型五 复数的加减运算及其几何意义 1．（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的运算即可求解. 【详解】， 故选：D. 2．（24-25高一下·全国·课后作业）复数对应的点在第四象限内，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数对应点的性质求解即可. 【详解】由题意得， 因为复数对应的点在第四象限， 所以，解得，故B正确. 故选：B 3．（25-26高一下·全国·课堂例题）复数，，则在复平面内表示的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】计算出复数的表达式，即可求出在复平面内所表示的点的位置. 【详解】由题意得，对应的点在第一象限． 故选：A 4．（23-24高一下·河南郑州·月考）复数，，为实数，若为实数，为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由为实数，为纯虚数列方程求出，进而可得值. 【详解】因为为实数，所以，即， 又为纯虚数，所以，即且， 综上可知，所以. 故选：A. 5．（25-26高一下·全国·课后作业）在复平面内，O是原点，，，表示的复数分别为，，，则表示的复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由向量的加法、减法运算和复数的加减运算即可求解. 【详解】， 故选：B 6．（24-25高一下·河北邢台·月考）设复数满足，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】根据复数加减的几何意义可求. 【详解】设在复平面内对应的向量分别为. 由题意可知，， 由于，则以为邻边的平行四边形为矩形， 由于矩形的对角线相等，故. 故选：C. 题型六 复数的乘法 1．（24-25高一下·江苏无锡·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的乘法法则即可. 【详解】由题意得，. 故选：B 2．（25-26高一下·全国·单元测试）若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由复数的四则运算求出，的值，再由模的概念求解即可. 【详解】因为， 所以，则，， 故， 故选：C． 3．（24-25高一下·陕西西安·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【分析】利用复数乘法求出，进而求出复数的模. 【详解】依题意，复数， 所以. 故选：C 4．（24-25高一下·甘肃酒泉·期末）设为实数，复数，，若为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据纯虚数求得，代入，利用复数的乘法运算即可求出. 【详解】因为为纯虚数， 可得，解得， 则，，故. 故选：A. 5．（24-25高一下·天津·月考）已知复数的实部为-1，则下列说法正确的是（   ） A．复数z的虚部为5 B．复数z的共轭复数 C． D．z在复平面内对应的点位于第四象限 【答案】C 【分析】首先展开复数的乘积，利用实部为求出的值，再代入计算虚部、模、共轭复数和对应点的象限，逐一验证选项即可. 【详解】由的实部为可得，， 解得，则. 复数的虚部为，故A错误； 复数的共轭复数，故B错误； ，故C正确； z在复平面内对应的点为，在第三象限，故D错误. 故选：C. 6．（25-26高一下·全国·单元测试）已知，，i为虚数单位，且两复数的乘积的实部和虚部为相等的正数，则实数m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的乘法运算求出，有乘积的实部和虚部为相等的正数，列出的等式，解出的值． 【详解】因为 ， 所以，即． 经检验，能使， 所以满足题意． 故选：D. 题型七 复数的除法 1．（25-26高一上·北京·期末）已知复数，则的共轭复数在复平面内对应的点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据复数的乘除运算计算，然后得到其共轭复数，进而得到其对应的点的坐标. 【详解】因为复数. 所以共轭复数. 所以共轭复数在复平面内对应的点的坐标为. 故选：B. 2．的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数混合运算得，进而可得解． 【详解】依题意，，故所求虚部为． 故选：A． 3．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数满足，则（   ） A． B． C． D．i 【答案】D 【分析】由得，利用复数的除法运算求出复数，利用共轭复数的定义得解. 【详解】由，得， ． 故选：D. 4．（25-26高一上·湖南衡阳·期末）若，则的虚部为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的运算化简等式可得，结合可得结果. 【详解】因为，所以，即，故， 所以复数的虚部为. 故选：B. 5．已知复数满足，其中为虚数单位，则的虚部为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先由复数的模长公式计算出，再根据复数的除法运算，化简即可得出答案. 【详解】因为， 所以， 所以， 所以的虚部为， 故选：C. 题型八 复数的乘方 1．（24-25高一下·河南·月考）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据虚数单位的运算性质化简已知等式，再通过复数的除法运算法则求出. 【详解】由可得， 可得. 故选：D. 2．（24-25高一下·河南南阳·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用复数的除法与复数的乘方化简可得结果. 【详解】因为，故. 故选：D. 3．复数的虚部为（    ） A． B． C． D．i 【答案】B 【分析】应用复数的乘方及除法运算化简，再应用虚部的定义求解. 【详解】， 所以复数的虚部为. 故选：B. 4．已知复数，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用复数的除法求出，再利用复数乘方及复数模的意义求得答案. 【详解】依题意，复数， 所以. 故选：C 5．（25-26高三上·湖南·月考）设复数，则z在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 【答案】C 【分析】利用复数的四则运算法则求出，根据复数的几何意义即可求解. 【详解】因为，则， 则，解得：或， 所以或，其在复平面内对应的点位于第一、三象限． 故选：C 6．（25-26高一下·全国·单元测试）已知复数，则复数在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】通过题意找出规律，再化简原式写出复数在复平面内对应的点的坐标判断象限即可. 【详解】因为， 所以对应点在第二象限. 故选：B． 题型九 复数范围内方程的根 1．（24-25高一下·甘肃白银·期中）方程的复数根为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用实系数一元二次方程的复数根公式求解即可. 【详解】方程的复数根为． 故选：A 2．（24-25高一下·福建厦门·期末）已知是关于的方程一个根，则（   ） A．-2 B．3 C．6 D．7 【答案】B 【分析】将代入方程，即可得到关于的方程组，解出即可. 【详解】将代入方程得， 即，则，解得，故， 故选：B. 3．（24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末）若虚数是关于x的一元二次方程的一个根，则（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【分析】二次方程有虚数根时，则也有其共轭复数作为另一个根，结合韦达定理求解. 【详解】由题意有虚根，则是方程的另一个根， 根据韦达定理，，解得. 故选：D 4．设为复数的共轭复数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解方程求出，逐项判断. 【详解】由方程得， 对于A：显然不对，A错误； 对于B：若，则；若，则；B错误； 对于C：法1，若，，则； 若，，则；C错误； 法2，是实系数二次方程的两根，所以，C错误； 对于D：法1，若，，则； 若，，则；D正确； 法2，是实系数二次方程的两根，所以，D正确； 故选：D． 5．（24-25高一下·河南南阳·月考）已知关于的一元二次方程有两个虚根，且，则实数的值为（　　）. A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】由求出的范围，再利用一元二次方程的求根公式求出，结合列方程求出的值. 【详解】由关于的一元二次方程有两个虚根， 得，即，解得或， 则，， 整理得，解得或，则， 所以实数的值为3. 故选：B 6．（25-26高一上·上海浦东新·月考）已知方程有两个虚根，且则实数的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】根据方程有两个虚根得出判别式的范围，再利用求根公式求出两根，最后根据求出实数的值. 【详解】因为方程有两个虚根，所以，解不等式可得， 由求根公式可得方程的两个虚根为：， 设，， 则， 根据复数的模的计算公式可得， 已知，即，解得，满足. 故选：B. 题型十 复数中的新定义问题 1．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）定义运算，则满足（为虚数单位）的复数在复平面内对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据定义结合复数的乘法运算求出复数，再根据复数的几何意义即可得解. 【详解】由题意可得， 即， 所以复数在复平面内对应的点为，在第一象限. 故选：A. 2．定义：若为虚数单位，则称复数是复数的平方根.根据定义，则复数的平方根是（    ） A．或 B．或 C． D． 【答案】B 【分析】设，根据新定义由复数相等可得关于的方程组，解方程组可得． 【详解】设为虚数单位为复数的平方根， 则， 由复数相等可得， 解得，或， 或 故选：B． 3．数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式（，为虚数单位），这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”.根据此公式，化简的结果为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】根据（，为虚数单位），分别求得即可. 【详解】解：因为， 又， 所以. 故选：B. 4．（多选题）定义复数运算：．若，且（是虚数单位），则下列说法正确的是（    ） A．的虚部为 B．的模为 C． D．在复平面内对应的点位于第二象限 【答案】BCD 【分析】根据题设新定义，利用共轭复数的定义、复数的运算及复数相等，得到，再对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】设，由题意知， 即，则，解得，所以， 对于选项A，因为的虚部为1，所以A错误； 对于选项B，因为，所以B正确； 对于选项C，因为，故C正确， 对于选项D，因数在复平面内对应的点在第二象限，所以D正确， 故选：BCD. 5．（多选题）定义复数运算：，已知复数，w满足，则（   ） A．w可以是 B．的最小值为 C．在复平面内对应的点不可能位于第二象限 D．的实部是5 【答案】BCD 【分析】设，则由题设条件可得，据此利用反证法判断AC，取特例判断B，利用复数的乘法计算后判断D. 【详解】设，则， 整理得，故即， 对于A，若，则，故A错误； 对于B，， 当且仅当时等号成立，故的最小值为，故B成立； 对于C，若在复平面内对应的点位于第二象限，则， 此时不成立，故在复平面内对应的点不可能位于第二象限， 故C正确； 对于D，，故的实部是5， 故D正确. 故选：BCD. 基础巩固通关测 1．（23-24高一下·山东·月考）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算求解对应参数即可 【详解】由，得：，解得：. 故选：A 2．（24-25高一下·江苏南通·月考）若，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据两个复数相等的充要条件，得到、的值，从而求出. 【详解】由，所以，，则. 故选：A 3．（23-24高一下·四川达州·期末）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对复数进行化简，再求出其共轭复数，最后利用复数模的公式求解． 【详解】， ， ，故C正确． 故选：C． 4．（25-26高一下·浙江·开学考试）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出复数的代数形式，再计算其模长. 【详解】等式两侧同时乘以可得， 则，即. 因为，且， 所以. 5．（24-25高一下·湖北武汉·期末）若复数满足，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先计算等号右边模长，再由复数的乘法运算和虚部的概念求解可得. 【详解】由，则得，求解得， 则的虚部为，故B项正确. 故选：B. 6．（24-25高一下·河北雄安·期末）已知i为虚数单位，若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复数对应的点位于第二象限，得出实部小于0，虚部大于0，列出不等式组，求出解集即可. 【详解】易得在复平面内对应的点为， 由题意可得，解得． 故选：B． 7．（24-25高一下·安徽合肥·期末）若复数满足，其中是虛数单位，则的虚部为（    ） A． B．1 C．2 D．3i 【答案】B 【分析】首先对复数进行化简，再根据复数虚部的定义即可得到答案. 【详解】由题意得，， 则的虚部为， 故选：. 8．（24-25高一下·内蒙古兴安盟·期中）在复数范围内，下列为方程的根的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实系数一元二次方程的求根公式求解. 【详解】因为，所以， 所以的根为. 故选：B. 9．（24-25高一下·湖北黄冈·期末）已知在复平面内，为原点，向量对应的复数分别为，，那么向量对应复数的虚部为（    ） A．1 B．9 C． D． 【答案】B 【分析】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【详解】由题意可知：， 可得， 所以向量对应的复数为， 所以向量对应复数的虚部为. 故选：B. 10．（24-25高一下·广东·月考）已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据复数模的公式求解. 【详解】由题意可得， 所以，解得. 故选：B． 11．（24-25高一下·广东深圳·期中）复数满足，则（i为虚数单位）的最小值为（   ） A．4 B．5 C．2 D．3 【答案】A 【分析】首先根据复数的几何意义求复数对应的点的轨迹，再利用数形结合求模的最小值. 【详解】设复数在复平面内对应的点为，由知，点的轨迹为以原点为圆心， 半径为1的圆，表示圆上的点到点的距离，如下图，    如图，最小值为. 故选：A 12．若复数，实数满足，则（    ） A． B． C．1 D．4 【答案】D 【分析】法一：利用复数运算法则得到，从而得到方程组，求出，得到答案； 法二：变形得到，是的根，故是方程的另一个根，由韦达定理得到，求出答案. 【详解】法一：因为， 所以， 所以，解得，故； 法二：，故， 因为是的根，故是方程的另一个根， 由韦达定理得，， 故，所以. 故选：D 13．（23-24高一下·河南南阳·期末）已知复数，满足，且，则（    ） A． B． C．5 D． 【答案】C 【分析】利用复数的几何意义，把复数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的模长加减运算数形结合求解即可. 【详解】设对应的复数为，对应的复数为， 则对应的复数为，对应的复数为， 因为，且，由勾股定理逆定理知道， 为直角三角形，且. 作长方形，如图所示， 则对应的复数为，故. 故选：C. 14．（24-25高一下·湖北武汉·期末）若i为虚数单位，则复数的虚部为（   ） A． B．1 C． D．i 【答案】A 【分析】应用复数的乘方运算化简，即可得. 【详解】由，虚部为. 故选：A 15．（24-25高一下·江西九江·期末）已知复数满足，则，，，…不同的数有（    ） A．6个 B．4个 C．2024个 D．以上答案都不正确 【答案】A 【分析】根据复数的四则运算计算出前六项即可求解. 【详解】由可得， 所以， ， ，，， 则， 因此可得周期为6，即, 所以，，，…不同的数有6个， 故选：A 16．（24-25高一下·甘肃武威·期末）若复数是关于的一元二次方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】首先根据题干得出共轭复数也是方程的根，然后利用韦达定理求出的值，进而得到复数，最后确定其在复平面内对应的点所在的象限. 【详解】复数是关于的一元二次方程的一个根， 它的共轭复数也是方程的根， 由韦达定理得，即， ， ， 故在复平面内对应的点为，位于第二象限. 故选：. 17．已知复数的模长为1，且，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】设，，再用待定系数方法，结合复数相等得解. 【详解】设，， 因为复数的模长为1，所以， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故选：B. 18．（2024高一·全国·专题练习）（多选题）若，，且，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据复数相等的充要条件得到方程组，解得、即可. 【详解】因为，，且， 所以，解得或， 所以或. 故选：AC 19．（24-25高一下·重庆·期末）（多选题）已知复数满足，则下列结论正确的是（    ） A．在复平面内对应的点可能是 B． C．的实部与虚部之积小于等于3 D．复数，则的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据复数的几何意义，可知在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上，从而判断AB；利用基本不等式判断C；由复数减法的几何意义判断D. 【详解】，则在复平面对应的点为以原点为中心，半径为的圆上， 复平面的点，其模为正确； 错误； 令，则有，所以实部与虚部之积，C正确； ，则，D正确. 故选：ACD. 20．（24-25高一下·福建莆田·期中）定义运算，如果（是虚数单位），那么实数的值为________ 【答案】 【分析】利用定义运算可得，再利用复数相等的概念即可求出. 【详解】由题意可得，， 则， 所以，解得， 故. 故答案为： 21．（23-24高一下·广东清远·期末）已知复数，求当实数为何值时； (1)为实数； (2)为纯虚数； (3)为虚数． 【答案】(1) (2)或 (3)且 【分析】（1）根据复数为实数的条件，列方程和不等式组m的值； （2）根据复数为纯虚数的条件，列方程和不等式求m的值； （3）根据复数为虚数的条件，列不等式组求m的值即可. 【详解】（1）当且时，复数为实数，解得， 所以时，复数为实数； （2）当且且时，复数为纯虚数， 解得或， 所以或时，复数为纯虚数； （3）当且时，复数为虚数，解得且， 所以且时，复数为虚数. 能力提升进阶练 1．复数在复平面内对应的点为，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】利用复数的几何意义和代数运算求解. 【详解】因为复数在复平面内对应的点为，所以， 计算， 故选：A. 2．（24-25高一下·福建福州·期末）已知复数是方程的一个根，且在复平面内对应的点位于第四象限．复数，若为纯虚数，则为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由求根公式求出，由为纯虚数求出，确定. 【详解】由已知，因为在复平面内对应的点位于第四象限， 所以. 所以， 因为为纯虚数，所以，解得， 所以，所以. 故选：C. 3．（24-25高一下·上海·期末）若复数在复平面上所对应的向量分别是、，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】C 【分析】由题可得， ，然后由基本不等式结合题意可判断选项正误. 【详解】， 则 ， 则. 由基本不等式，. 当，且时，等号成立，则. 故选：C 4．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选题）已知，是实系数一元二次方程的两根，则，的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据题意，是共轭复数，即可得，，再由根与系数的关系求解. 【详解】因为（）是实系数一元二次方程的两个根， 所以，是共轭复数， 则，，即实系数一元二次方程的两个根是， 所以，． 故选：AB 5．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选题）复数z满足（i为虚数单位），则（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】设，代入化简，根据复数相等可求出，可判断BCD；再由复数的模长公式求得判断A. 【详解】设，则， 因为，所以，化为， 所以，，解得，. 所以，，故B错误，C正确，D错误； 所以，故A正确． 故选：AC. 6．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选题）设，是复数，则下列命题中的真命题有（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A，由得到，故，从而得到结论；对于B，根据共轭复数的定义求解；对于C，设，，，，，，根据复数的模的定义得解；对于D，根据复数的模的定义求解． 【详解】对于A，若，则，，所以为真； 对于B，若，则和互为共轭复数，所以为真； 对于C，设，，，，，， 若，则，，， 所以为真； 对于D，若，， 则为真，而，，所以为假． 故选：ABC. 7．（25-26高一下·全国·单元测试）（多选题）设，为复数，则下列结论中正确的有（   ） A． B． C．是纯虚数或零 D． 【答案】CD 【分析】利用反例判断AB的正误；利用复数运算法则判断CD的正误. 【详解】对于A，设，因为，，，A错误； 对于B，若，，则，，，但不成立，故B错误； 对于C，设，则，故，当时是零，当时，是纯虚数，C正确， 对于D，设，， 因为， 所以， 又，所以D正确． 故选：CD 8．（24-25高一下·山东青岛·期末）（多选题）设复数均不为0，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】举反例判断AC错误；令，直接由复数运算、模的计算公式验算BD即可. 【详解】对于A，取，则，故A错误， 对于B，令， 则， ， 所以，故B正确； 对于C，取，则，故C错误； 对于D，令， 则 ，故D正确. 故选：BD. 9．（24-25高一下·河南驻马店·月考）（多选题）已知复数，（，，，2，i为虚数单位），，的共轭复数分别为，，定义运算，记任意复数z的实部为，虚部为，则下列说法正确的有（    ）． A．若，则 B．若，在复平面内所对应的向量所成的夹角为锐角，则 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据复数、运算新定义求参数判断A；由复数的向量表示，及向量数量积的坐标运算判断B；将不等式作等价转化有，应用换元法并化简判断C；结合复数的乘法运算判断D. 【详解】若，则，，解得，故A正确； 设对应的向量为，对应的向量为，，的夹角为， 若， 则，其所成角为钝角，故B错误； ，原选项等价于， 令，，则原式等价于，整理得，所以原式恒成立，故C正确； ，当且仅当时，等号成立， 由，两边平方，整理得，故D正确． 故选：ACD 10．（25-26高一下·全国·课堂例题）设i是虚数单位，___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用复数除法及乘方运算求解. 【详解】原式. 故答案为： 11．（25-26高一下·全国·课后作业）已知复数，则复数的模的最大值为_____________，最小值为_____________． 【答案】 6 4 【分析】根据复数的几何意义及两点间的距离公式求解即可. 【详解】令，则． 因为，所以， 所以复数在复平面内对应的点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图， 易知，圆上的点A所对应的复数的模最大，为，圆上的点B所对应的复数的模最小，为， 所以复数的模的最大值和最小值分别为6和4． 故答案为：6；4 12．（24-25高一下·山东·期中）已知复数可以表示为三角形式：，其中是以轴非负半轴为始边.向量所在射线为终边的角．已知与的乘积． (1)试将写成三角形式； (2)当时，求的最大值和最小值． (3)请用复数三角形式的乘积公式推导三倍角公式：，． 【答案】(1)，其中. (2)的最大值为3，最小值为0. (3)证明见解析 【分析】（1）根据复数三角形的定义可得复数的三角表示形式； （2）设，利用乘法的性质可得，根据余弦函数的性质可求最值； （3）利用题设复数三角形式的乘法结合复数的乘法可证三倍角公式. 【详解】（1）设， 则，故， 故，其中. （2）因为，故设， 故 ， 因为，故， 故的最大值为3，此时，最小值为0，此时. （3）设，则 ， 但 ， 故，. 13．（24-25高一下·湖北·期中）形如的数称为复数的代数形式，而任何一个复数都可以表示成的形式，即其中为复数的模，叫做复数的辐角，我们规定范围内的辐角的值为辐角的主值，记作．复数叫做复数的三角形式．由复数的三角形式可得出，若，则．其几何意义是把向量绕点按逆时针方向旋转角（如果，就要把绕点按顺时针方向旋转角），再把它的模变为原来的倍． (1)试将写成三角形式（辐角取主值）； (2)复平面内，将对应的向量绕原点顺时针方向旋转，模长变为原来的2倍后，所得向量对应的复数为，求； (3)类比高中函数的定义，引入虚数单位，自变量为复数的函数称之为复变函数．已知复变函数．若存在实部不为0，且虚部大于0的复数和实数，使得成立，复数在复平面上对应的点为为坐标原点，点，以为边作正方形，其中在上方，求线段的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量三角函数形式的定义代入计算辐角即可； （2）先计算得，再代入化简即可； （3）设，代入化简，则，从而得到，最后计算得，从而得到其最值. 【详解】（1）由于，故，所以， 所以，因为，所以， 所以. （2） . . （3）设， 则 . 因为存在实数，使得成立，所以为实数， 所以， 因为，所以， 当时，，符合题意，点A的轨迹为单位圆的一部分． 设所表示的复数为， 则 记所表示的复数为，则， 故， 当时，. 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $