专题05 基本立体图形、空间几何体的表面积与体积讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

基本立体图形、空间几何体的表面积与体积05 题型1 基本立体图形的判断与分类 10 题型2 空间几何体直观图 11 题型3 多面体的表面积计算 11 题型4 旋转体的表面积计算 12 题型5 简单组合体的表面积 13 题型6 多面体的体积计算 14 题型7 旋转体的体积 15 题型8 表面积与体积的综合应用 16 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1.基本立体图形 棱柱的结构特征 棱锥的结构特征 棱台的结构特征 圆柱的结构特征 圆锥的结构特征 圆台的结构特征 球的结构特征 简单组合体的结构特征 2.立体图形的直观图 直观图 中心投影及中心投影作图法 平行投影及平行投影作图法 平面图形的直观图 空间几何体的直观图 斜二测法画直观图 由斜二测直观图还原图形 3.棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 棱柱的侧面积和表面积 棱锥的侧面积和表面积 棱台的侧面积和表面积 棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱的体积 棱锥的体积 棱台的体积 4.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积和侧面积 圆柱的侧面积和表面积 圆锥的侧面积和表面积 圆台的侧面积和表面积 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积 圆柱的体积 圆锥的体积 圆台的体积 球的表面积和体积 球的体积和表面积 球的表面积 球的体积 2 知识储备 基本立体图形知识点 01 1.多面体 多面体是由若干个平面多边形围成的几何体，构成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共顶点叫做多面体的顶点，连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线. 常见多面体及定义： （1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这样的多面体叫做棱柱.互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.按底面边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. （2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.按底面边数可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等，底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥叫做正棱锥. （3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.原棱锥的底面叫做棱台的下底面，截面叫做棱台的上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，侧面与上、下底面的公共顶点叫做棱台的顶点.按底面边数可分为三棱台、四棱台、五棱台等，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台. 2.旋转体 旋转体是由一个平面图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的几何体，这条定直线叫做旋转体的轴. 常见旋转体及定义： （1）圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所形成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转形成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面，侧面上各个位置的母线都平行且相等，母线长等于矩形的另一条边长. （2）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所形成的旋转体叫做圆锥.旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面，另一条直角边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面，侧面上各个位置的母线都相交于圆锥的顶点，母线长等于直角三角形的斜边长度. （3）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.也可看作以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所形成的旋转体.旋转轴叫做圆台的轴，上、下两个圆面叫做圆台的底面，侧面是旋转形成的曲面，侧面上的母线都相交于一点（原圆锥的顶点），母线长等于直角梯形另一条腰的长度. （4）球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球.半圆的圆心叫做球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径，球的所有半径都相等，所有直径都相等. 3.简单组合体 由若干个基本立体图形（多面体、旋转体）组合而成的几何体叫做简单组合体，组合方式主要有两种：一种是将基本立体图形拼接而成，另一种是从一个基本立体图形中截去或挖去另一个基本立体图形. 4.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图是将空间图形画在平面上，能直观反映几何体形状和结构的图形，常用斜二测画法绘制，核心步骤和规则如下. （1）斜二测画法核心规则：①建立坐标系，在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，画直观图时，把它们画成对应的x'轴、y'轴，两轴相交于O'，且使∠x'O'y'=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面；②平行关系不变，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x'轴、y'轴；③长度变化，平行于x轴的线段，在直观图中长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的；④空间图形中平行于z轴的线段，在直观图中方向不变，长度也不变. （2）常见几何体直观图绘制：①长方体（正方体）的直观图，按斜二测画法画出底面矩形（平行于x轴的边长度不变，平行于y轴的边长度减半，夹角45°），再画垂直于底面的z轴，截取对应高度，连接各顶点即可；②圆柱、圆锥的直观图，先画出底面圆的直观图（椭圆），再画轴，连接底面与顶面（圆柱）或顶点（圆锥），标注相关参数；③棱锥、棱台的直观图，先画底面多边形的直观图，再确定顶点（棱锥）或上底面多边形（棱台），连接侧棱即可. （3）直观图与原图的关系：直观图是原图的平面投影，形状与原图一致，但尺寸有变化（平行于y轴的线段长度减半），直观图的面积与原图形面积的比为，可用于原图与直观图的面积互求. 空间几何体的表面积知识点 02 1.多面体的表面积 多面体的表面积是其所有面的面积之和，即各个侧面面积与上、下底面面积（若有）的总和，核心是分别计算每个面的面积，再求和. （1）棱柱的表面积：表面积=侧面积+2×底面积.直棱柱的侧面积=底面周长×侧棱长（直棱柱的侧棱垂直于底面，侧面均为矩形，矩形的长为底面边长，宽为侧棱长）；斜棱柱的侧面积=底面周长×侧棱长×sinθ（θ为侧棱与底面的夹角），常用方法是分别计算每个侧面的面积再求和. （2）棱锥的表面积：表面积=侧面积+底面积.正棱锥的侧面均为全等的等腰三角形，侧面积=×底面周长×斜高（斜高是指正棱锥侧面等腰三角形底边上的高）；非正棱锥的侧面积需分别计算每个侧面的面积再求和. （3）棱台的表面积：表面积=侧面积+上底面积+下底面积.正棱台的侧面均为全等的等腰梯形，侧面积=×（上底面周长+下底面周长）×斜高（斜高是指正棱台侧面等腰梯形的高）；非正棱台的侧面积需分别计算每个侧面的面积再求和. 2.旋转体的表面积 旋转体的表面积包括侧面面积和底面面积（球只有表面积，无侧面积），核心是牢记各类旋转体的侧面积公式，再结合底面情况求总表面积. （1）圆柱的表面积：设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则侧面积=，表面积=. （2）圆锥的表面积：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则侧面积=，表面积=. （3）圆台的表面积：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，则侧面积=，表面积=. （4）球的表面积：设球的半径为R，则表面积=. 3.简单组合体的表面积 计算简单组合体的表面积时，需注意“重叠部分”的面积——拼接而成的组合体，重叠部分的面积会被遮挡，计算时需减去2倍重叠面积（两个几何体各遮挡一次）；挖去式组合体，挖去部分与原几何体的接触面会成为新的表面积，计算时需加上接触面的面积. 空间几何体的体积知识点 03 1.体积的基本性质 （1）两个全等的几何体，体积相等. （2）一个几何体被分割成两个小几何体，其体积等于两个小几何体的体积之和. （3）等底等高的两个柱体（或锥体），体积相等. 2.多面体的体积 （1）棱柱的体积：设棱柱的底面积为S，高为h（高是指两底面之间的垂直距离），则体积. （3）棱台的体积：设棱台的上底面积为，下底面积为，高为h（高是指上、下底面之间的垂直距离），则体积V=. 3.旋转体的体积 （1）圆柱的体积：设圆柱的底面积为S（S=，r为底面半径），高为h（圆柱的高等于两底面之间的垂直距离，等于母线长l），则体积V=. （2）圆锥的体积：设圆锥的底面积为S（S=，r为底面半径），高为h（圆锥的高是指顶点到底面的垂直距离），则体积V=. （3）圆台的体积：设圆台的上底面积为（，r为上底面半径），下底面积为（，R为下底面半径），高为h，则体积V=. （4）球的体积：设球的半径为R，则体积V=. 4.简单组合体的体积 拼接而成的组合体，体积等于各个基本立体图形的体积之和；挖去式组合体，体积等于原几何体的体积减去被挖去几何体的体积；切割式组合体，体积等于各个切割部分的体积之和. 3 技巧总结 1.基本立体图形判断技巧.区分多面体与旋转体的核心是“围成几何体的面”——多面体的面均为平面，旋转体有曲面（球除外，球的面是曲面）；判断棱柱、棱锥、棱台的关键是“底面关系”和“侧棱关系”，棱柱两底面平行、侧棱平行，棱锥只有一个底面、侧棱交于一点，棱台两底面平行、侧棱延长线交于一点；旋转体可通过“旋转前的平面图形”和“旋转轴”快速判断. 2.表面积计算核心技巧.先判断几何体类型（多面体、旋转体、组合体），再分步骤计算：多面体先算各个面的面积（正棱柱、正棱锥、正棱台用公式，非正多面体逐个计算），再求和；旋转体直接套用侧面积和表面积公式，注意公式中各参数的含义（r、R为半径，l为母线长，而非高）；组合体重点处理“重叠部分”，避免重复计算或遗漏计算. 3.体积计算核心技巧.优先找“底面积”和“高”，这是体积计算的关键，尤其是棱锥、棱台、圆锥、圆台，高必须是“垂直距离”（如棱锥的高是顶点到底面的垂线长度，不是侧棱长）；旋转体体积直接套用公式，注意半径和高的对应关系，避免混淆母线长与高. 4.组合体解题技巧.对于复杂组合体，优先“拆分”或“补形”——拆分将组合体拆分为若干个基本立体图形，补形将不规则组合体补成规则立体图形（如将棱台补成棱锥，将不规则多面体补成棱柱），再结合表面积和体积的性质计算，简化运算. 5.参数转化技巧.遇到已知表面积求体积、已知体积求表面积的问题，先通过公式建立参数之间的关系，求出关键参数（r、R、h、l等），再代入对应公式计算；涉及正棱锥、正棱台，可利用勾股定理求斜高、高（如正棱锥的高、斜高、底面外接圆半径构成直角三角形）. 6.易错点规避技巧.计算旋转体表面积时，不要遗漏底面面积（圆柱、圆锥、圆台有两个底面，球没有底面）；计算棱台、圆台体积时，不要混淆上底面积、下底面积，公式中的根号内是上、下底面积的乘积；组合体表面积计算，务必关注重叠部分，拼接减重叠，挖去加接触面. 拓展区 拓展延伸 走进名校 1.棱柱的拓展.平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，直平行六面体是侧棱垂直于底面的平行六面体，长方体是底面为矩形的直平行六面体，正方体是棱长都相等的长方体.长方体的表面积=（a、b、c为长、宽、高），体积=abc，正方体的表面积，体积（a为棱长）. 2.棱锥与棱台的关系拓展.棱台可看作由棱锥截得，因此棱台的体积公式可由棱锥体积公式推导得出（大棱锥体积减去小棱锥体积）；若棱台的上底面面积趋近于0，则棱台趋近于棱锥，体积公式趋近于棱锥体积公式；若上、下底面面积相等（），则棱台趋近于棱柱，体积公式趋近于棱柱体积公式. 3.旋转体的拓展.圆柱、圆锥、圆台的母线长与高的关系：圆柱的母线长l=h（高）；圆锥的母线长l=（r为底面半径，h为高）；圆台的母线长l=（r为上底面半径，R为下底面半径，h为高），可利用勾股定理推导，常用于参数转化. 4.球的拓展.球的截面性质：用一个平面去截球，截面是圆面，若平面过球心，则截面为大圆（半径等于球的半径R），否则为小圆（半径r=，d为球心到截面的距离）；球的表面积和体积均只与半径有关，半径变化时，表面积与半径的平方成正比，体积与半径的立方成正比. 5.体积的拓展应用.等体积法：对于同一个几何体，可通过不同的底面和高计算体积，即V=，常用于求“难以直接测量的高”（如棱锥的高、球心到平面的距离），核心是找到两个不同的底面及其对应的高，建立等式求解. 6.简单组合体的拓展.常见的组合体类型：柱体与柱体拼接、锥体与柱体拼接、球与柱体/锥体组合、挖去锥体的柱体等，计算时需结合几何体的结构特征，灵活拆分或补形，同时注意空间图形的直观图与实际图形的区别，避免直观图中的视觉误差影响参数判断. 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 基本立体图形的判断与分类 【典例1】　（2025春•河南期中）下列命题中为真命题的有（　　） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C．棱柱的侧面都是菱形 D．四面体是棱锥 【典例2】　（2025春•道里区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 B．通过圆台侧面一点，有无数条母线 C．过圆锥顶点截圆锥所得的截面图形都是等腰三角形 D．侧面是全等矩形的三棱柱一定是正三棱柱 【典例3】　（2025春•清远期中）下面关于空间几何体的表述，正确的是（　　） A．棱柱的侧面都是平行四边形 B．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥 C．正四棱柱一定是长方体 D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台 题型2 空间几何体直观图 【典例4】　（2025秋•金山区校级期末）如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1，则四边形ABCD的面积为　　 ． 【典例5】　（2025秋•浦东新区校级期末）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为 　　 ． 【典例6】　（2025春•山西期末）用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A'B'C'．若O'是斜边B'C'的中点，且，则原图中BC边上的高为（　　） A．2 B． C．4 D． 题型3 多面体的表面积计算 【典例7】　（2025•云南模拟）正三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（　　） A． B． C． D． 【典例8】　（2025秋•丽江校级期中）一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【典例9】　（2025春•中山区校级期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（　　） A．8 B． C． D． 题型4 旋转体的表面积计算 【典例10】　（2025秋•九龙坡区校级期末）已知某圆台轴截面的周长为10，面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（　　） A．6π B．10π C．11π D．12π 【典例11】　（2025春•赤峰期末）已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（　　） A． B． C． D． 【典例12】　（2025秋•安徽期末）已知四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在球O的球面上，四边形ABCD是边长为2的正方形，△PAB是等边三角形，∠PAC＝90°，则球O的表面积为（　　） A．16π B．18π C．24π D．28π 题型5 简单组合体的表面积 【典例13】　（2025秋•金山区校级期末）如图是正三棱柱和正四棱台的组合体，已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为　 　 ． 【典例14】　（2025秋•东明县校级月考）中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB＝6，BC＝BB1＝4，A1B1C1D1﹣A2B2C2D2是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，A2B2＝3，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（　　） A． B． C． D． 【典例15】　（2025春•河北期末）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐房殿顶的屋顶样式，宪殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶（图1）．某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似（图2），若四边形ABCD是矩形，AB∥EF，且AB＝2EF＝2BC＝8，EA＝ED＝FB＝FC＝3，则五面体FE﹣ABCD的表面积为（　　） A． B． C． D． 题型6 多面体的体积计算 【典例16】　（2025秋•海淀区校级期末）如图，五面体ABCDON与正四面体OADG拼成的多面体中，四边形ABCD为矩形，A，B，C，D，G五点共面，若AB＝12，ON＝OA＝6，则正四面体OADG的高为　　 ，五面体ABCDON的体积为　　 ． 【典例17】　（2025•天津一模）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起源．如图，是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为边AB的中点，四边形EFDC为矩形，且DF⊥AB，AC＝BC＝3，∠ACB＝120°，当AE⊥BE时，多面体ABCEF的体积为（　　） A． B． C． D． 【典例18】　（2025秋•北京校级期中）木楔在传统木工中运用广泛．如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为4的正方形，且△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥CD，EF＝6，则该木楔的体积为（　　） A． B． C． D． 题型7 旋转体的体积 【典例19】　（2025秋•西城区期末）某圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为6π的扇形，则该圆锥的体积为（　　） A．9π B．12π C．15π D．18π 【典例20】　（2025秋•龙江县期末）已知圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为5，侧面积为45π，则该圆台的体积为（　　） A．48π B．60π C．84π D．252π 【典例21】　（2025秋•如皋市期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，，PA＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（　　） A． B． C． D． 题型8 表面积与体积的综合应用 【典例22】　（2026•焦作一模）一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【典例23】　（2025秋•武威期末）已知四面体ABCD的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为16π，△ABC是边长为3的正三角形，则四面体ABCD的体积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【典例24】　（2026•枣庄一模）已知圆台上下底面半径之比为1：2，母线与底面所成的角的正弦值为，圆台体积为14π，则该圆台的侧面面积为（　　） A．30π B．18π C．15π D．9π 学科网（北京）股份有限公司 $ 基本立体图形、空间几何体的表面积与体积05 题型1 基本立体图形的判断与分类 10 题型2 空间几何体直观图 12 题型3 多面体的表面积计算 14 题型4 旋转体的表面积计算 16 题型5 简单组合体的表面积 18 题型6 多面体的体积计算 22 题型7 旋转体的体积 25 题型8 表面积与体积的综合应用 27 储备区 知识储备 技巧总结 1 知识清单 1.基本立体图形 棱柱的结构特征 棱锥的结构特征 棱台的结构特征 圆柱的结构特征 圆锥的结构特征 圆台的结构特征 球的结构特征 简单组合体的结构特征 2.立体图形的直观图 直观图 中心投影及中心投影作图法 平行投影及平行投影作图法 平面图形的直观图 空间几何体的直观图 斜二测法画直观图 由斜二测直观图还原图形 3.棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 棱柱、棱锥、棱台的表面积 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 棱柱的侧面积和表面积 棱锥的侧面积和表面积 棱台的侧面积和表面积 棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱、棱锥、棱台的体积 棱柱的体积 棱锥的体积 棱台的体积 4.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的表面积和侧面积 圆柱的侧面积和表面积 圆锥的侧面积和表面积 圆台的侧面积和表面积 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）的体积 圆柱的体积 圆锥的体积 圆台的体积 球的表面积和体积 球的体积和表面积 球的表面积 球的体积 2 知识储备 基本立体图形知识点 01 1.多面体 多面体是由若干个平面多边形围成的几何体，构成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共顶点叫做多面体的顶点，连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线. 常见多面体及定义： （1）棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这样的多面体叫做棱柱.互相平行的两个面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱，侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.按底面边数可分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等，侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱. （2）棱锥：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这样的多面体叫做棱锥.这个多边形面叫做棱锥的底面，其余各面叫做棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱，各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点.按底面边数可分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等，底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形中心的棱锥叫做正棱锥. （3）棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台.原棱锥的底面叫做棱台的下底面，截面叫做棱台的上底面，其余各面叫做棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱，侧面与上、下底面的公共顶点叫做棱台的顶点.按底面边数可分为三棱台、四棱台、五棱台等，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台. 2.旋转体 旋转体是由一个平面图形绕着它所在平面内的一条定直线旋转所形成的几何体，这条定直线叫做旋转体的轴. 常见旋转体及定义： （1）圆柱：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所形成的旋转体叫做圆柱.旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转形成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转形成的曲面叫做圆柱的侧面，侧面上各个位置的母线都平行且相等，母线长等于矩形的另一条边长. （2）圆锥：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周所形成的旋转体叫做圆锥.旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面，另一条直角边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面，侧面上各个位置的母线都相交于圆锥的顶点，母线长等于直角三角形的斜边长度. （3）圆台：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台.也可看作以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周所形成的旋转体.旋转轴叫做圆台的轴，上、下两个圆面叫做圆台的底面，侧面是旋转形成的曲面，侧面上的母线都相交于一点（原圆锥的顶点），母线长等于直角梯形另一条腰的长度. （4）球：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周所形成的旋转体叫做球.半圆的圆心叫做球心，连接球心和球面上任意一点的线段叫做球的半径，连接球面上两点并且经过球心的线段叫做球的直径，球的所有半径都相等，所有直径都相等. 3.简单组合体 由若干个基本立体图形（多面体、旋转体）组合而成的几何体叫做简单组合体，组合方式主要有两种：一种是将基本立体图形拼接而成，另一种是从一个基本立体图形中截去或挖去另一个基本立体图形. 4.空间几何体的直观图 空间几何体的直观图是将空间图形画在平面上，能直观反映几何体形状和结构的图形，常用斜二测画法绘制，核心步骤和规则如下. （1）斜二测画法核心规则：①建立坐标系，在已知图形中取互相垂直的x轴、y轴，画直观图时，把它们画成对应的x'轴、y'轴，两轴相交于O'，且使∠x'O'y'=45°（或135°），它们确定的平面表示水平面；②平行关系不变，已知图形中平行于x轴、y轴的线段，在直观图中分别平行于x'轴、y'轴；③长度变化，平行于x轴的线段，在直观图中长度不变；平行于y轴的线段，在直观图中长度变为原来的；④空间图形中平行于z轴的线段，在直观图中方向不变，长度也不变. （2）常见几何体直观图绘制：①长方体（正方体）的直观图，按斜二测画法画出底面矩形（平行于x轴的边长度不变，平行于y轴的边长度减半，夹角45°），再画垂直于底面的z轴，截取对应高度，连接各顶点即可；②圆柱、圆锥的直观图，先画出底面圆的直观图（椭圆），再画轴，连接底面与顶面（圆柱）或顶点（圆锥），标注相关参数；③棱锥、棱台的直观图，先画底面多边形的直观图，再确定顶点（棱锥）或上底面多边形（棱台），连接侧棱即可. （3）直观图与原图的关系：直观图是原图的平面投影，形状与原图一致，但尺寸有变化（平行于y轴的线段长度减半），直观图的面积与原图形面积的比为，可用于原图与直观图的面积互求. 空间几何体的表面积知识点 02 1.多面体的表面积 多面体的表面积是其所有面的面积之和，即各个侧面面积与上、下底面面积（若有）的总和，核心是分别计算每个面的面积，再求和. （1）棱柱的表面积：表面积=侧面积+2×底面积.直棱柱的侧面积=底面周长×侧棱长（直棱柱的侧棱垂直于底面，侧面均为矩形，矩形的长为底面边长，宽为侧棱长）；斜棱柱的侧面积=底面周长×侧棱长×sinθ（θ为侧棱与底面的夹角），常用方法是分别计算每个侧面的面积再求和. （2）棱锥的表面积：表面积=侧面积+底面积.正棱锥的侧面均为全等的等腰三角形，侧面积=×底面周长×斜高（斜高是指正棱锥侧面等腰三角形底边上的高）；非正棱锥的侧面积需分别计算每个侧面的面积再求和. （3）棱台的表面积：表面积=侧面积+上底面积+下底面积.正棱台的侧面均为全等的等腰梯形，侧面积=×（上底面周长+下底面周长）×斜高（斜高是指正棱台侧面等腰梯形的高）；非正棱台的侧面积需分别计算每个侧面的面积再求和. 2.旋转体的表面积 旋转体的表面积包括侧面面积和底面面积（球只有表面积，无侧面积），核心是牢记各类旋转体的侧面积公式，再结合底面情况求总表面积. （1）圆柱的表面积：设圆柱的底面半径为r，母线长为l，则侧面积=，表面积=. （2）圆锥的表面积：设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则侧面积=，表面积=. （3）圆台的表面积：设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，母线长为l，则侧面积=，表面积=. （4）球的表面积：设球的半径为R，则表面积=. 3.简单组合体的表面积 计算简单组合体的表面积时，需注意“重叠部分”的面积——拼接而成的组合体，重叠部分的面积会被遮挡，计算时需减去2倍重叠面积（两个几何体各遮挡一次）；挖去式组合体，挖去部分与原几何体的接触面会成为新的表面积，计算时需加上接触面的面积. 空间几何体的体积知识点 03 1.体积的基本性质 （1）两个全等的几何体，体积相等. （2）一个几何体被分割成两个小几何体，其体积等于两个小几何体的体积之和. （3）等底等高的两个柱体（或锥体），体积相等. 2.多面体的体积 （1）棱柱的体积：设棱柱的底面积为S，高为h（高是指两底面之间的垂直距离），则体积. （3）棱台的体积：设棱台的上底面积为，下底面积为，高为h（高是指上、下底面之间的垂直距离），则体积V=. 3.旋转体的体积 （1）圆柱的体积：设圆柱的底面积为S（S=，r为底面半径），高为h（圆柱的高等于两底面之间的垂直距离，等于母线长l），则体积V=. （2）圆锥的体积：设圆锥的底面积为S（S=，r为底面半径），高为h（圆锥的高是指顶点到底面的垂直距离），则体积V=. （3）圆台的体积：设圆台的上底面积为（，r为上底面半径），下底面积为（，R为下底面半径），高为h，则体积V=. （4）球的体积：设球的半径为R，则体积V=. 4.简单组合体的体积 拼接而成的组合体，体积等于各个基本立体图形的体积之和；挖去式组合体，体积等于原几何体的体积减去被挖去几何体的体积；切割式组合体，体积等于各个切割部分的体积之和. 3 技巧总结 1.基本立体图形判断技巧.区分多面体与旋转体的核心是“围成几何体的面”——多面体的面均为平面，旋转体有曲面（球除外，球的面是曲面）；判断棱柱、棱锥、棱台的关键是“底面关系”和“侧棱关系”，棱柱两底面平行、侧棱平行，棱锥只有一个底面、侧棱交于一点，棱台两底面平行、侧棱延长线交于一点；旋转体可通过“旋转前的平面图形”和“旋转轴”快速判断. 2.表面积计算核心技巧.先判断几何体类型（多面体、旋转体、组合体），再分步骤计算：多面体先算各个面的面积（正棱柱、正棱锥、正棱台用公式，非正多面体逐个计算），再求和；旋转体直接套用侧面积和表面积公式，注意公式中各参数的含义（r、R为半径，l为母线长，而非高）；组合体重点处理“重叠部分”，避免重复计算或遗漏计算. 3.体积计算核心技巧.优先找“底面积”和“高”，这是体积计算的关键，尤其是棱锥、棱台、圆锥、圆台，高必须是“垂直距离”（如棱锥的高是顶点到底面的垂线长度，不是侧棱长）；旋转体体积直接套用公式，注意半径和高的对应关系，避免混淆母线长与高. 4.组合体解题技巧.对于复杂组合体，优先“拆分”或“补形”——拆分将组合体拆分为若干个基本立体图形，补形将不规则组合体补成规则立体图形（如将棱台补成棱锥，将不规则多面体补成棱柱），再结合表面积和体积的性质计算，简化运算. 5.参数转化技巧.遇到已知表面积求体积、已知体积求表面积的问题，先通过公式建立参数之间的关系，求出关键参数（r、R、h、l等），再代入对应公式计算；涉及正棱锥、正棱台，可利用勾股定理求斜高、高（如正棱锥的高、斜高、底面外接圆半径构成直角三角形）. 6.易错点规避技巧.计算旋转体表面积时，不要遗漏底面面积（圆柱、圆锥、圆台有两个底面，球没有底面）；计算棱台、圆台体积时，不要混淆上底面积、下底面积，公式中的根号内是上、下底面积的乘积；组合体表面积计算，务必关注重叠部分，拼接减重叠，挖去加接触面. 拓展区 拓展延伸 走进名校 1.棱柱的拓展.平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，直平行六面体是侧棱垂直于底面的平行六面体，长方体是底面为矩形的直平行六面体，正方体是棱长都相等的长方体.长方体的表面积=（a、b、c为长、宽、高），体积=abc，正方体的表面积，体积（a为棱长）. 2.棱锥与棱台的关系拓展.棱台可看作由棱锥截得，因此棱台的体积公式可由棱锥体积公式推导得出（大棱锥体积减去小棱锥体积）；若棱台的上底面面积趋近于0，则棱台趋近于棱锥，体积公式趋近于棱锥体积公式；若上、下底面面积相等（），则棱台趋近于棱柱，体积公式趋近于棱柱体积公式. 3.旋转体的拓展.圆柱、圆锥、圆台的母线长与高的关系：圆柱的母线长l=h（高）；圆锥的母线长l=（r为底面半径，h为高）；圆台的母线长l=（r为上底面半径，R为下底面半径，h为高），可利用勾股定理推导，常用于参数转化. 4.球的拓展.球的截面性质：用一个平面去截球，截面是圆面，若平面过球心，则截面为大圆（半径等于球的半径R），否则为小圆（半径r=，d为球心到截面的距离）；球的表面积和体积均只与半径有关，半径变化时，表面积与半径的平方成正比，体积与半径的立方成正比. 5.体积的拓展应用.等体积法：对于同一个几何体，可通过不同的底面和高计算体积，即V=，常用于求“难以直接测量的高”（如棱锥的高、球心到平面的距离），核心是找到两个不同的底面及其对应的高，建立等式求解. 6.简单组合体的拓展.常见的组合体类型：柱体与柱体拼接、锥体与柱体拼接、球与柱体/锥体组合、挖去锥体的柱体等，计算时需结合几何体的结构特征，灵活拆分或补形，同时注意空间图形的直观图与实际图形的区别，避免直观图中的视觉误差影响参数判断. 强化区 巩固强化 成果展示 题型1 基本立体图形的判断与分类 【典例1】　（2025春•河南期中）下列命题中为真命题的有（　　） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C．棱柱的侧面都是菱形 D．四面体是棱锥 【答案】AD 【分析】根据几何体的定义和特征，逐个判断即可． 【解答】解：圆柱的侧面展开图是一个矩形，故A正确； 根据圆台的定义，用一个不平行于底面的平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分不为圆台，故B错误； 棱柱的侧面都是平行四边形，但不一定是菱形，故C错误； 四面体是三棱锥，故D正确． 故选：AD． 【典例2】　（2025春•道里区校级期中）下列说法正确的是（　　） A．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥 B．通过圆台侧面一点，有无数条母线 C．过圆锥顶点截圆锥所得的截面图形都是等腰三角形 D．侧面是全等矩形的三棱柱一定是正三棱柱 【答案】ACD 【分析】根据几何体的结构特征，逐个判断即可． 【解答】解：对于A，由于棱锥的侧面都是三角形，有一个面是平行四边形的棱锥，即该面为底面，所以一定是四棱锥，故A正确； 对于B：通过圆台侧面一点，只有一条母线，故B错误； 对于C：圆锥的母线均相等，故过圆锥顶点的截面图形是等腰三角形，故C正确； 对于D：一个三棱柱的各个侧面是全等的矩形，则这个棱柱是正三棱柱，因为矩形的两组对边相等，又是全等的矩形，那么，这个三棱柱两个底面是全等多边形，所以这个三棱柱是正三棱柱，故D正确． 故选：ACD． 【典例3】　（2025春•清远期中）下面关于空间几何体的表述，正确的是（　　） A．棱柱的侧面都是平行四边形 B．直角三角形以其一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的几何体是圆锥 C．正四棱柱一定是长方体 D．用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台 【答案】AC 【分析】用简单几何体的定义及特征去逐个判断即可． 【解答】解：对于A：棱柱的所有侧面都是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边都相互平行，故A正确； 对于B：只有以直角边为旋转轴旋转才能得到圆锥，以斜边为旋转轴旋转得到的是两个圆锥的组合体，故B错误； 对于C：正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱，所以必然是长方体，故C正确； 对于D：只有截面与底面平行时，截面与底面之间的部分才是棱台，故D错误． 故选：AC． 题型2 空间几何体直观图 【典例4】　（2025秋•金山区校级期末）如图所示，梯形A′B′C′D′是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1，则四边形ABCD的面积为　3　 ． 【答案】3． 【分析】画出直观图，结合斜二测画法得到各边长，并得到平面图形ABCD为梯形，求出面积． 【解答】解：根据题意，直观图中，A′D′＝2B′C′＝2，A′B′＝1， 则在原图中，AB＝2A′B′＝2，AD＝A′D′＝2，BC＝B′C′＝1， 画出直观图，如下： 故平面图形ABCD为直角梯形，其面积为． 故答案为：3． 【典例5】　（2025秋•浦东新区校级期末）一水平放置的平面图形，用斜二测画法画它的直观图，此直观图恰好是边长为1的正方形（如图所示），则原平面图形的周长为 　8　 ． 【答案】8． 【分析】根据斜二测画法还原平面图，利用勾股定理求边长即可． 【解答】解：因为O′A′B′C′为边长为1的正方形，所以， 还原平面图如图，▱OABC中，， 所以，所以▱OABC的周长为（1+3）×2＝8． 故答案为：8． 【典例6】　（2025春•山西期末）用斜二测画法画水平放置的△ABC的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形A'B'C'．若O'是斜边B'C'的中点，且，则原图中BC边上的高为（　　） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据原图与直观图的关系即可求解． 【解答】解：根据题意可知，O'是斜边B'C'的中点， 直观图中A′B′∥y′轴，所以原图中AB∥y轴，即为BC边上的高， 因为A′B′＝2，所以AB＝4． 故选：C． 题型3 多面体的表面积计算 【典例7】　（2025•云南模拟）正三棱台ABC﹣A1B1C1的上、下底边长分别为6，18，该正三棱台内部有一个内切球（与上、下底面和三个侧面都相切），则正三棱台的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由几何体结构特征，得到内切球与上、下底面切点为上下底的重心，作截面图，设内切球半径为r，根据球的性质，求得r＝3，得到正三棱台的高为，结合棱台的表面积公式，即可求解． 【解答】解：根据题意可知，上下底正三角形的高分别为，， 由几何体结构特征，可得内切球与上、下底面切点为上下底的重心， 故如图甲所示，作截面，得到图乙， 设内切球半径为r，则，解得r＝3，所以正三棱台的高为6， 所以． 故选：D． 【典例8】　（2025秋•丽江校级期中）一个正四面体边长为3，则一个与该正四面体体积相等、高也相等的正三棱柱的侧面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意求出该正四面体的体积和高，进而可求出正三棱柱的底面积，即可得出正三棱柱的底面边长，从而可求正三棱柱的侧面积． 【解答】解：如图E为BC中点，F为点D在底面的投影， 由题意得，AB＝3，，，， 所以， 所以该正四面体的体积为， 所以正三棱柱的体积为，高为， 所以正三棱柱的底面积为， 设正三棱柱的底面边长为a， 则， 可得， 所以正三棱柱的底面边长为， 所以该正三棱柱的侧面积为． 故选：A． 【典例9】　（2025春•中山区校级期末）如图，一个三阶魔方由27个单位正方体组成，把魔方的中间一层顺时针转动了45°之后，其表面积增加了（　　） A．8 B． C． D． 【答案】D 【分析】结合图形可得新增了16个全等的小三角形面积，结合题意可得小三角形为等腰直角三角形，设其直角边为x，由可得x，即可得答案． 【解答】解：如图所示，转动45°了后，此时魔方相对原来多出了16个小三角形的面积， 显然小三角形为等腰直角三角形且周长为3，设其直角边为x， 则斜边为，则，解得． 所以1个小三角形的面积为， 所以增加的面积为． 故选：D． 题型4 旋转体的表面积计算 【典例10】　（2025秋•九龙坡区校级期末）已知某圆台轴截面的周长为10，面积为，圆台的高为，则该圆台的表面积为（　　） A．6π B．10π C．11π D．12π 【答案】C 【分析】若圆台上下底面半径分别为r，R且R＞r，根据已知列方程求得R＝2，r＝1，再应用圆台的表面积的求法求结果． 【解答】解：由题意圆台轴截面的周长为10，面积为，圆台的高为， 可设圆台上下底面半径分别为r，R且R＞r，则圆台轴截面腰长为， 所以，，即R+r＝3， 所以（R﹣r）2＝1，可得R﹣r＝1，故R＝2，r＝1， 综上，圆台的表面积为． 故选：C． 【典例11】　（2025春•赤峰期末）已知圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的侧面积与其表面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径与母线的关系即可求解． 【解答】解：设圆锥母线长为l，底面圆半径为r， 由圆锥的侧面展开图为半圆，可得2πr＝πl，解得l＝2r， 所以该圆锥侧面积与其表面积的比为． 故选：B． 【典例12】　（2025秋•安徽期末）已知四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在球O的球面上，四边形ABCD是边长为2的正方形，△PAB是等边三角形，∠PAC＝90°，则球O的表面积为（　　） A．16π B．18π C．24π D．28π 【答案】A 【分析】取AC的中点M，AB的中点E，连接ME，PE，可证AB⊥平面PEM，根据余弦定理可得，作PN⊥ME于N，可得PN⊥平面ABCD，NE＝1，，由r＝OA＝OP，结合勾股定理可得r2＝4，进而可得． 【解答】解：因为四棱锥P﹣ABCD的五个顶点都在球O的球面上， 四边形ABCD是边长为2的正方形，△PAB是等边三角形，∠PAC＝90°， 所以作出示意图如下： 取AC的中点M，AB的中点E，连接ME，PE， 则ME⊥AB，PE⊥AB，又PE∩EM＝E，PE，EM⊂平面PEM， 故AB⊥平面PEM． 由题意可知ME＝1，，， ， 故， 作PN⊥ME于N，则AB⊥PN，又AB∩ME＝E，AB，ME⊂平面ABCD， 故PN⊥平面ABCD， 故NE＝PEcos∠PEN＝﹣PEcos∠PEM＝1， 取球心O，连接OM，则OM⊥平面ABCD，设球O的半径为r， 由题意可得OM2+MA2＝OA2＝r2＝OP2＝MN2+（OM﹣PN）2， 得，解得， 故r2＝4，可得S＝4πr2＝16π． 故选：A． 题型5 简单组合体的表面积 【典例13】　（2025秋•金山区校级期末）如图是正三棱柱和正四棱台的组合体，已知正四棱台的侧棱、下底的长度分别为4、6，侧面与底面所成二面角的正切值均为，则该组合体的表面积为　44+34　 ． 【答案】44+34． 【分析】首先根据题意作出正四棱台侧面与底面所成二面角的平面角，求出侧面梯形的高，从而得到棱台的侧面积，再与其他面面积进行求和，可得几何体的表面积． 【解答】解：如图， 取棱台上底面AD边中点M，BC边中点N，下底面EH边中点P，FG边中点Q， 连接MN，MP，PQ、NQ，过点N作NS垂直PQ于点S， 易知，PQ⊥FG，NQ⊥FG，所以∠NQP为侧面与底面所成二面角的平面角， 所以tan∠NQS， 设正四棱台上底面边长为a，高NS＝h， 则，解得a＝2，h＝2， 所以SQ＝2，NS＝2，NQ＝2， 则棱台的侧面积为32， 棱台的下底面面积为62＝36， 正三棱柱在图中的表面积为22×2＝8+2， 所以几何体的表面积为44+34． 故答案为：44+34． 【典例14】　（2025秋•东明县校级月考）中国古代的建筑形式多样，如赫赫有名的苏州园林（如图1），其几何模型可以简化为如图2所示的几何体，其中ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，且AB＝6，BC＝BB1＝4，A1B1C1D1﹣A2B2C2D2是棱台，侧面的梯形均为等腰梯形，A2B2＝3，棱台的高为2，则该几何体的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据棱柱棱台的几何特征，求解每个面的面积相加可得结论． 【解答】解：先求下半部分，表面积为6×4×3+4×4×2＝104， 再求上半部分， 因为A1B1＝6＝2A2B2，所以C1B1＝2C2B2＝4，则C2B2＝2， 所以上长方形的面积为3×2＝6， 由已知，， 则A1A2， 由于棱台侧面为等腰梯形，故， 左右两部分的梯形的高为， 则这两个梯形的面积之和为， 前后两部分的梯形的高为， 则这两个梯形的面积之和为． 因此总表面积为104+6+15+9． 故选：C． 【典例15】　（2025春•河北期末）故宫太和殿是中国形制最高的宫殿，其建筑采用了重檐房殿顶的屋顶样式，宪殿顶是“四出水”的五脊四坡式，由一条正脊和四条垂脊组成，因此又称五脊殿．由于屋顶有四面斜坡，故又称四阿顶（图1）．某几何体ABCDEF有五个面，其形状与四阿顶相类似（图2），若四边形ABCD是矩形，AB∥EF，且AB＝2EF＝2BC＝8，EA＝ED＝FB＝FC＝3，则五面体FE﹣ABCD的表面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别计算梯形AEFB，三角形AED与矩形ABCD的面积，又易得梯形AEFB的面积等于梯形DEFC的面积，三角形AED的面积等于三角形BFC的面积，全部相加，即可得到表面积的值． 【解答】解：由四边形ABCD为矩形，可得|AB|＝|CD|＝8，|AD|＝|BC|＝4， 在△ADE中，因为AE＝DE＝3， 由余弦定理知， 所以， 所以△ADE的面积； 在梯形AEFB中，分别过E，F作AB的垂线，垂足分别为M，N， 连接EM，FN，由AB∥EF，可得四边形EFNM为矩形，所以|MN|＝|EF|＝4， 又由， 可得△AME≌△BNF， 所以|AM|＝|BN|＝2， 在Rt△AME中， 由勾股定理知：， 所以梯形AEFB的面积， 又因为四边形ABCD为矩形，所以四边形ABCD的面积S3＝|AB|•|BC|＝8×4＝32， 又由， 可得△ADE≌△BCF， 且由， 可得梯形ABFE≌梯形CDEF， 所以五面体FE﹣ABCD的表面积． 故选：D． 题型6 多面体的体积计算 【典例16】　（2025秋•海淀区校级期末）如图，五面体ABCDON与正四面体OADG拼成的多面体中，四边形ABCD为矩形，A，B，C，D，G五点共面，若AB＝12，ON＝OA＝6，则正四面体OADG的高为　　 ，五面体ABCDON的体积为　　 ． 【答案】；． 【分析】如图设O在底面正三角形的射影为H，分别取AB，CD中点E，F，从而根据正四面体的性质，分割补形法，即可分别求解． 【解答】解：如图设O在底面正三角形的射影为H，分别取AB，CD中点E，F， 则根据题意可得正四面体OADG的高为： ； 所以五面体ABCDON的体积为： VADO﹣EFN+VN﹣BCFE ＝3VA﹣EFN+VN﹣BCFE ＝3VN﹣AEF+VN﹣BCFE ． 故答案为：；． 【典例17】　（2025•天津一模）风筝又称为“纸鸢”，由中国古代劳动人民发明于距今2000多年的东周春秋时期，是人类最早的风筝起源．如图，是某中学学生制作的一个风筝模型的多面体ABCEF，D为边AB的中点，四边形EFDC为矩形，且DF⊥AB，AC＝BC＝3，∠ACB＝120°，当AE⊥BE时，多面体ABCEF的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由线面垂直的判定与性质，根据等腰三角形的性质与勾股定理，求得底面积，利用三棱锥体积公式，可得答案． 【解答】解：在矩形CEFD中，有FD⊥CD，CE∥FD， 因为DF⊥AB，AB∩CD＝D，AB，CD⊂平面ABC， 所以FD⊥平面ABC，则CE⊥平面ABC， 因为AC，BC⊂平面ABC， 所以CE⊥AC，CE⊥BC， 在△ABC中，由AC＝BC＝3，∠ACB＝120°， 则 又因为D为AB的中点，则CD⊥AB， 易知， ， 易知△ECA≌△ECB，则AE＝BE，因为AE⊥BE， 则， 在Rt△ACE中，， 则矩形CDFE的面积， 因为DF⊥AB，CD⊥AB，CD∩DF＝D，CD，DF⊂平面CDFE， 所以AB⊥平面CDFE， 多面体ABCDEF的体积． 故选：A． 【典例18】　（2025秋•北京校级期中）木楔在传统木工中运用广泛．如图，某木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为4的正方形，且△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥CD，EF＝6，则该木楔的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH，取AD的中点O，连接GO，求出，结合三棱锥和三棱柱的体积公式计算即可． 【解答】解：由题意木楔可视为一个五面体，其中四边形ABCD是边长为4的正方形，且△ADE，△BCF均为等边三角形，EF∥CD，EF＝6， 作出图形如下： 分别过点A，B作EF的垂线，垂足分别为G，H，连接DG，CH， 则由题意等腰梯形ABEF全等于等腰梯形CDEF， 则． 取AD的中点O，连接GO，因为AG＝GD，所以GO⊥AD， 则， ∴． 因为AB∥EF，AG⊥EF，所以AB⊥AG，因为四边形ABCD为正方形， 所以AB⊥AD，又因为AD∩AG＝A，AD，AG⊂平面ADG，所以AB⊥平面ADG， 所以EF⊥平面ADG，同理可证EF⊥平面BCH， ∴多面体的体积V＝V三棱锥E﹣ADG+V三棱锥F﹣BCH+V三棱柱AGD﹣BHC＝2V三棱锥E﹣ADG+V三棱柱AGD﹣BHC ． 故选：D． 题型7 旋转体的体积 【典例19】　（2025秋•西城区期末）某圆锥的侧面展开图是一个半径为5，弧长为6π的扇形，则该圆锥的体积为（　　） A．9π B．12π C．15π D．18π 【答案】B 【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径并求出圆锥的高，进而求出体积． 【解答】解：设该圆锥的底面半径为r，得2πr＝6π，则r＝3， 且该圆锥的母线l＝5，圆锥的高， 所以该圆锥的体积． 故选：B． 【典例20】　（2025秋•龙江县期末）已知圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为5，侧面积为45π，则该圆台的体积为（　　） A．48π B．60π C．84π D．252π 【答案】C 【分析】先根据侧面积公式得上下底面的半径，进而可得圆台的高，根据圆台体积公式可得． 【解答】解：因为圆台的上、下底面半径之比为1：2，母线长为5，侧面积为45π， 所以作出示意图如下： 设圆台的上、下底面半径分别为x，2x，高为h，则π（2x+x）×5＝45π， 解得x＝3，则， 所以该圆台的体积为． 故选：C． 【典例21】　（2025秋•如皋市期末）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，，，PA＝2，则三棱锥P﹣ABC外接球的体积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设三角形ABC的外接圆的半径为r，三棱锥P﹣ABC外接球的外接球的半径为R，根据正弦定理及勾股定理，即可求解． 【解答】解：设三角形ABC的外接圆的半径为r，三棱锥P﹣ABC外接球的外接球的半径为R， 因为，， 所以根据正弦定理可得， 又PA⊥平面ABC，且PA＝2， 所以（2R）2＝PA2+（2r）2＝4+4＝8， 所以R， 所以三棱锥P﹣ABC外接球的体积为． 故选：A． 题型8 表面积与体积的综合应用 【典例22】　（2026•焦作一模）一个圆锥的底面直径为2，体积为，若该圆锥能够被整体放入一个球内，则该球的表面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，可得当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小，设球的半径为R，再根据勾股定理求出球的半径可得答案． 【解答】解：由题意知，当该球为圆锥的外接球时，球的表面积最小， 圆锥的底面半径为r＝1，如图所示： 体积为，可得高h＝2， 设球的半径为R，由图可得R2＝（2﹣R）2+12，解得， 故球的表面积的最小值为． 故选：C． 【典例23】　（2025秋•武威期末）已知四面体ABCD的顶点都在同一球面上，若该球的表面积为16π，△ABC是边长为3的正三角形，则四面体ABCD的体积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出球的半径及三角形外接圆半径，进而求出球心到平面的距离，从而求出D到平面ABC的距离的最大值，最后利用四面体体积公式计算求解． 【解答】解：因为四面体ABCD的顶点都在同一球面上， 又该球的表面积为16π，△ABC是边长为3的正三角形， 设球心为O，所以球O的表面积为S＝4πR2＝16π，解得R＝2， 又△ABC的外接圆半径， 所以O到平面ABC的距离， 所以D到平面ABC的距离的最大值为R+d＝3， 所以四面体ABCD的体积的最大值为： ，故C正确． 故选：C． 【典例24】　（2026•枣庄一模）已知圆台上下底面半径之比为1：2，母线与底面所成的角的正弦值为，圆台体积为14π，则该圆台的侧面面积为（　　） A．30π B．18π C．15π D．9π 【答案】C 【分析】根据题意，结合条件算出母线l与高h，h与上底面半径r的关系，并利用体积公式可得l，r，进而计算出圆台的侧面积，即可得答案． 【解答】解：根据题意，如图所示，设圆台的上底面半径为r，则下底面半径为2r， 作AC⊥O1B，垂足为C，则BC＝r，母线与底面所成的角的正弦值为， 即，设圆台的母线长为l，高为h，则，， 因为圆台的体积为14π，由圆台的体积公式，计算得r＝2， 所以． 再由圆台侧面积公式S＝πl（r+R），可得圆台的侧面积为15π． 故选：C． 学科网（北京）股份有限公司 $