1.4 课时2 正方形的判定课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定，通过复习“正方形既是矩形又是菱形”导入，提出“先有矩形补菱形特征，先有菱形补矩形特征”的思路，搭建矩形、菱形到正方形的知识支架，衔接前后知识点。 其亮点在于引导学生从矩形、菱形性质出发观察需补充的特征，发展几何直观（数学眼光），通过规范几何语言和证明步骤培养推理能力（数学思维），归纳“看起点选路径”梳理方法，易错提醒避免疏漏，助力学生建立知识网络，便于教师高效教学。

第一章 特殊平行四边形 1.4 正方形的性质与判定 课时2 正方形的判定 O A B C D 复习导入 正方形既是矩形，又是菱形. 判定思路1：先有矩形，再补上菱形特征； 判定思路2：先有菱形，再补上矩形特征. O A B C D 问题：哪些条件能把矩形或菱形进一步判定为正方形？ 新知探究 一、矩形怎样变成正方形 矩形已经有四个直角. 如果再有一组邻边相等，那么它也具有菱形的边特征； 判定方法1：有一组邻边相等的矩形是正方形. A B C D 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是矩形，AB=BC，∴ 四边形 ABCD 是正方形. 巩固训练 1.如图，在矩形 ABCD 中，AB=BC.判断四边形 ABCD 的形状，并说明理由. A B C D 解析：矩形已经具备四个直角；又有一组邻边 AB、BC 相等，符合判定方法1. 答案：四边形 ABCD 是正方形. 新知探究 二、矩形的对角线条件 矩形的对角线已经相等且互相平分. 如果矩形的对角线再互相垂直，就同时具有菱形的对角线特征. O A B C D 判定方法2：对角线互相垂直的矩形是正方形. 几何语言：∵ 四边形 ABCD 是矩形，AC⊥BD，∴ 四边形 ABCD 是正方形. 巩固训练 2.如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC⊥BD.求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，且 AC⊥BD， ∴ 它符合“对角线互相垂直的矩形是正方形”. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. O A B C D 新知探究 三、菱形怎样变成正方形 菱形已经有四条边相等. 如果再有一个角是直角，那么它也具有矩形的角特征. A B C D 判定方法3：有一个角是直角的菱形是正方形. 几何语言： ∵ 四边形 ABCD 是菱形，∠A=90°， ∴ 四边形 ABCD 是正方形. 巩固训练 3.判断：若菱形 ABCD 中，∠B=90°，则四边形 ABCD 是正方形. 解析：菱形已经四边相等；再有一个角是直角，就满足正方形的判定方法3. 答案：正确，四边形 ABCD 是正方形. A B C D 新知探究 四、菱形的对角线条件 菱形的对角线已经互相垂直平分. 如果菱形的对角线再相等，就同时具有矩形的对角线特征. O A B C D 判定方法4：对角线相等的菱形是正方形. 几何语言： ∵ 四边形 ABCD 是菱形，AC=BD，∴ 四边形 ABCD 是正方形. 巩固训练 4.如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 AC=BD.求证：四边形 ABCD 是正方形. 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形，且 AC=BD， ∴ 它符合“对角线相等的菱形是正方形”. ∴ 四边形 ABCD 是正方形. O A B C D 例题讲解 例2.已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE. 求证：四边形 BECF 是正方形. 思路：先由两组对边分别平行证 BECF 是平行四边形；再证 EB=EC 得菱形；最后证一个角是直角. A B C D E F 45° 45° 新知探究 证明：∵ BF∥CE，CF∥BE， ∴ 四边形 BECF 是平行四边形. ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠ABC=90°，∠DCB=90°. 又 ∵ BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB， ∴ ∠EBC=45°，∠ECB=45°. ∴ EB=EC. ∴ 四边形 BECF 是菱形. A B C D E F 45° 45° 新知探究 在 △EBC 中， ∵ ∠EBC=45°，∠ECB=45°， ∴ ∠BEC=180°-45°-45°=90°. 又 ∵ 四边形 BECF 是菱形， ∴ 四边形 BECF 是正方形. 方法点拨：先证明“菱形”，再补上“一个直角”. A B C D E F 45° 45° 巩固训练 5.如图，在矩形 ABCD 中，AC 平分∠DAB.求证：矩形 ABCD 是正方形. A B C D 45° 45° 证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ ∠DAB=90°，∠B=90°. 又 ∵ AC 平分∠DAB，∴ ∠CAB=45°. ∴ ∠ACB=45°，AB=BC. ∴ 矩形 ABCD 是正方形. 归纳总结 方法梳理：看起点选路径 1. 已知矩形：再证明一组邻边相等，或对角线互相垂直； 2. 已知菱形：再证明一个角是直角，或对角线相等； 3. 已知一般四边形：通常先证明它是矩形或菱形，再判定正方形. 易错提醒：不能只看到“边相等”或“角相等”就直接写正方形，必须补足判定路径. 巩固训练 6.判断下列说法是否正确，并说明理由. （1）有一组邻边相等的四边形是正方形. （2）对角线互相垂直的矩形是正方形. （3）有一个角是直角的菱形是正方形. 解析：（1）错误，缺少矩形等前提；（2）正确；（3）正确. 答案：（1）错误；（2）正确；（3）正确. 课堂总结 正方形的判定方法： 1. 有一组邻边相等的矩形是正方形； 2. 对角线互相垂直的矩形是正方形； 3. 有一个角是直角的菱形是正方形； 4. 对角线相等的菱形是正方形. 核心：正方形 = 矩形 + 菱形特征 = 菱形 + 矩形特征. 当堂检测 1. 下列条件中，能判定矩形 ABCD 是正方形的是（ ） A. AC=BD B. AB∥CD C. AC⊥BD D. ∠A=90° O A B C D 解析：矩形要成为正方形，可补上“对角线互相垂直”这一菱形特征。 答案：C。 当堂检测 2. 有一组邻边相等的______是正方形. 3. 对角线相等的______是正方形. 4. 菱形 ABCD 中，若∠A=90°，则四边形 ABCD 是______. A B C D 解析：分别对应矩形方向、菱形方向和有直角的菱形判定. 答案：矩形；菱形；正方形. 当堂检测 5. 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 OA=OB.求证：四边形 ABCD 是正方形. O A B C D 证明：∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ OA=OC，OB=OD. 又 ∵ OA=OB，∴ AC=2OA，BD=2OB，AC=BD. ∴ 对角线相等的菱形 ABCD 是正方形. $