1.4.2 正方形的判定 课件 2026-2027学年北师大版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦正方形的判定定理，梳理其与平行四边形、矩形、菱形的关系及中点四边形规律。通过折叠长方形纸剪正方形的情境导入，引导学生从定义出发构建判定思路，搭建新旧知识联系的学习支架。 亮点在于情境导入激发探究兴趣，规范定理证明培养推理能力，结合几何画板探究中点四边形规律。体现数学眼光（几何直观）、数学思维（推理意识），如折叠活动直观感知、定理证明严谨推理、表格总结规律。助力学生提升逻辑思维与规范表达，为教师提供系统教学资源与探究活动设计。

nullnullnullnullnullnull1.4.2 正方形的判定 新版北师大九上 第一章 1. 知识目标：掌握正方形的判定定理，理清它与平行四边形、矩形、菱形的关系。 2. 能力目标：能灵活选用判定方法，完成几何证明与简单计算。 理解中点四边形的形状规律，能结合原四边形特征判断中点四边形。 3. 素养目标：规范推理过程，提升几何逻辑思维能力。 学习目标 正方形的定义 正方形的性质 正方形的对角线相等并且互相垂直平分. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形，叫做正方形. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 情境导入 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开. 怎样剪才能剪出一个正方形？ 提示：剪口线与折痕成 45°角即可。 情境导入 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一组邻边相等 有一个角是直角 对角线相等 对角线垂直 如何判定一个四边形是正方形，一般思考方法是什么？ 情境导入 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 判断四边形是正方形有哪些方法？ 1.先说明它是平行四边形，再说明有一组邻边相等，有一个角是直角.（定义法） 2.先说明它是矩形，再说明这个矩形有一组邻边相等. 3.先说明它是菱形，再说明这个菱形有一个角是直角. 情境导入 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形. 已知：四边形ABCD 是矩形，且 AB = BC，试证明，四边形ABCD 是正方形. 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°， 又∵AB = BC， ∴四边形ABCD 是正方形（正方形的定义）. 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形. 已知：四边形ABCD 是矩形， AC ⊥ BD，试证明，四边形ABCD 是正方形. 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠A = 90°，OA = OB = OC = OD 又∵AC ⊥ BD， ∴△AOB ≌ △AOD（SAS） ∴AB = AD ∴四边形ABCD 是正方形（正方形的定义）. 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 定理：有一个角是直角的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD 是菱形， ∠A=90°，试证明，四边形ABCD 是正方形. 证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA， 又∵∠A = 90° ， ∴四边形ABCD 是正方形（正方形的定义）. 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 定理：对角线相等的菱形是正方形. 已知：四边形ABCD 是菱形， AC = BD，试证明，四边形ABCD 是正方形. 证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴ AB = BC = CD = DA，OA = OC = OB = OD ∴AC⊥BD（菱形对角线互相垂直） 又∵AC = BD ， ∴△AOB、△AOD、△BOC、△COD都是等腰直角三角形. ∴∠ABC = 90°. ∴四边形ABCD 是正方形（正方形的定义）. 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 正方形的判定 定理：有一组邻边相等的矩形是正方形。 定理：对角线互相垂直的矩形是正方形。 定理：有一个角是直角的菱形是正方形。 定理：对角线相等的菱形是正方形。 总结 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE， 求证：四边形 BECF 是正方形. 证明：∵BF∥CE，CF∥BE， ∴四边形 BECF 是平行四边形. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABC = 90°，∠DCB = 90°. 又∵BE平分∠ABC，CE 平分∠DCB， ∴∠EBC = ∠ABC = 45°，∠ECB = ∠DCB = 45°. 例题讲解 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? ∴∠EBC = ∠ECB. ∴ EB = EC. ∴□ BECF 是菱形（菱形的定义）. 在△EBC 中，∵∠EBC = 45°，∠ECB = 45°， ∴∠BEC = 90°. ∴菱形 BECF 是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）. 例2 已知：如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，CE 平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE， 求证：四边形 BECF 是正方形. 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半． 如图，在△ABC 中，EF 为 △ABC 的中位线， ①若∠BEF = 30°，则∠A =______. ②若 EF = 8 cm, 则 AC =______. 你还记得三角形的中位线定理吗？ 30° 16 cm 尝试·思考 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 一般四边形的中点四边形 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形的形状有什么特征？ 任意四边形的中点四边形 是平行四边形. 几何画板.GSP 第20页随堂练习第2题 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 如果四边形 ABCD 变为特殊的四边形，中点四边形 EFGH 会有怎样的变化呢？ 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 ？ 矩形 ？ 菱形 ？ 正方形 ？ 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 平行四边形的中点四边形 平行四边形的中点四边形会是什么形状？ 平行四边形的中点四边形是平行四边形. 你能试着证明这个结论吗？ （提示：连接AC、BD） 几何画板.GSP 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 矩形的中点四边形 矩形的中点四边形会是什么形状？ 矩形的中点四边形是菱形. 你能试着证明这个结论吗？ 几何画板.GSP 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 菱形的中点四边形 菱形的中点四边形会是什么形状？ 菱形的中点四边形是矩形. 几何画板.GSP 你能试着证明这个结论吗？ 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为菱形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴EF∥AC 且 EF = AC， 同理可证 HG∥AC且HG = AC， EH∥BD且EH= BD，FG∥BD且FG= BD. ∴四边形 EFGH 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等），∴EF = EH ∴四边形 EFGH 是菱形（菱形的定义） 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为矩形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC ，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD. ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形 EFGH ，PFQO 为平行四边形. 又∵四边形 ABCD 是菱形 ∴AC⊥BD（菱形的对角线互相垂直）， ∴∠1 = 90°，∠2=90°. ∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义） 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 正方形的中点四边形 正方形的中点四边形会是什么形状？ 几何画板.GSP 原四边形 中点四边形 一般四边形 平行四边形 平行四边形 平行四边形 矩形 菱形 菱形 矩形 正方形 ？ 先猜一猜，再证明. 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为正方形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F 分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC 且EF = AC， 同理可证 HG∥AC 且 HG = AC， EH∥BD且 EH = BD，FG∥BD且FG = BD. ∴四边形 PFQO 为平行四边形. 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 又∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC = BD（正方形的对角线相等） AC⊥BD（正方形的对角线互相垂直）， ∴EF = FG = HG = EH，∠1 = 90°. ∴四边形 EFGH 是菱形（四边相等的四边形是菱形），∠2 = 90°. ∴四边形 EFGH 为正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）. 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形 EFGH 为正方形. 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 思考：决定中点四边形形状的关键因素是什么？ 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线 不垂直， 不相等 平行四边形 对角线相等 菱形 对角线垂直 矩形 对角线相等且垂直 正方形 思考 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 决定中点四边形 EFGH 的形状的主要因素是原四边形 ABCD 的对角线的长度和位置关系。 原四边形对角线关系 不相等、 不垂直 相等 垂直 相等且 垂直 中点四边形形状 平行四边形 菱形 矩形 正方形 总结 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 4. 已知：如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，且 BE = DF. 求证：四边形 AECF 是菱形. 证明: 在正方形 ABCD 中,BE ＝DF, 易证△CEB≌△AEB≌△AFD≌△CFD , 即 CE ＝AE ＝AF ＝FC, ∴四边形 AECF 是菱形． 巩固提升 教材习题1.4第4题 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 5. 如图，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别在它的 四条边上，且 AE = BF = CG = DH. 四边形 EFGH 是 什么特殊四边形？你是如何判断的？ 解：四边形 EFGH 是正方形. ∵在正方形 ABCD 中，AE=BF=CG=DH， 易证 △AEH≌△DHG≌△CGF≌△BFE, 即EH ＝HG＝GF＝FE,且∠AHE＝∠DGH ． ∵∠DGH ＋∠DHG＝90°, ∴∠EHG＝180°－(∠AHE＋∠DHG)＝90°, ∴四边形 EFGH 是正方形 巩固提升 教材习题1.4第5题 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 9. 如图，正方形 ABCD 的对角线相交于点 O，正方形A′B′C′O 与正方形 ABCD 的边长相等. 在正方形A′B′C′O绕点 O 旋转 的过程中，两个正方形重叠的部分与正方形ABCD 的面积 有什么关系？请证明你的结论. S重叠部分 = S正方形ABCD 几何画板.GSP 巩固提升 教材习题1.4第9题 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 证明:如图,正方形 OA′B′C′ 分别交 AB、BC 于点 E、F． ∵OC ＝ OB, ∠C′OA′＝∠COB ＝ 90°, ∠OCB ＝∠OBA ＝ 45°, ∴ ∠COF ＝ ∠BOE, 则△OFC ≌ △OEB． ∴S重叠部分＝ S△OEB+ S△OBF = S△OFC + S△OBF = S△OBC = S正方形ABCD . E F 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? 10. 如图，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别为AB,BC,CD,AD的中点。 (1)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？请说明理由。 (2)当四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形？请说明理由。 巩固提升 教材习题1.4第10题 图1-1中含有平行四边形，观察这些平行四边形，你能发现它们有什么特殊之处吗? $