2025-2026学年高一下学期数学期末模拟卷1

**基本信息** 2025-2026学年高一下学期期末数学模拟卷，全面覆盖复数、立体几何、解三角形、向量等核心知识，解答题通过四棱锥证明与体积计算、解三角形多问设计，突出空间观念与推理能力，适配期末综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|复数运算、斜二测画法、解三角形多解问题|结合函数图像考查对称性，体现几何直观| |多选|3/18|复数性质、三角函数图像性质、立体几何共面问题|通过多项选择深化概念辨析，培养批判性思维| |填空|3/15|向量夹角、圆锥体积、角平分线长度计算|设置开放性取值范围题，考查严谨性| |解答|5/77|复数方程应用、三角恒等变换、解三角形周长与范围、立体几何证明与体积|四棱锥情境（18、19题）融合垂直证明与体积计算，体现空间观念；解三角形（17题）多问设计，强化运算能力与模型意识，贴合高考命题趋势|

2025-2026学年高一下学期期末数学模拟卷1 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 2.如图，用斜二测画法作出四边形的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 3.在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 4.设函数在的图象大致如下图所示，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 5.已知的外接圆圆心为，且，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 6.三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为( ) A． B． C． D． 7.已知的内角所对的边分别是，若，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 8.已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.已知为虚数单位，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 10.已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上的最小值为 D．在上单调递减 11.如图，在四面体中，，分别为棱，的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B．平面 C．与是异面直线 D．直线，，相交于一点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.已知向量，，若与的夹角为钝角，则实数的取值范围是 ． 13.圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为 ． 14.在中，若，是的平分线，，则的长为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根 (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 16．（15分） 已知，，且． (1)求的值； (2)求的值． 17．（15分） 已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. 19．（17分） 如图，四棱锥，侧面为等边三角形且垂直于底面，， ，是的中点. (1)求证：平面⊥平面； (2)点在棱上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一下学期期末数学模拟卷1解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若复数满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，两边取模可得， 所以，故. 2．如图，用斜二测画法作出四边形的直观图为四边形，若轴，轴，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由直观图的定义和性质得到四边形为边长为的正方形即可求解. 【详解】由题可得轴且，轴且， 所以四边形为边长为的正方形， 所以四边形的面积为． 3．在中，，，满足此条件的有两解，则的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在中，，. 有两解的充要条件是： 得 ，即. 4．设函数在的图象大致如下图所示，则函数图象的一个对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】观察图象，得函数的最小正周期， 而，则，解得，当时，， 可得，不符合题意； 当时，，，符合题意， 因此，，， ，， 因此函数图象的一个对称中心为，则A，B，D不是，C是.故选：C 5. 已知的外接圆圆心为，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以是中点，则是圆直径，， 又，所以是等边三角形，， 设，则，作于，则，所以， 即为向量在向量上的投影向量，． 故选A． 6．三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，，若平面，则实数的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接交于点，连接，利用线面平行的性质定理及平行线分线段成比例定理求解. 【详解】如图，连接，设，连接. 因为平面，平面平面，平面， 所以. 在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，即. 所以与相似， 则，又在中，由可得. 所以，即. 7．已知的内角，，所对的边分别是，，，若，，角的角平分线交于点，则线段的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 ,即 ， ,又 , , , 因为为角的角平分线, 所以, 而, 则，又， 则,所以 化简得： 即,，当且仅当时取等号. 故选：C 8．已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】分析出为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，表达出，求出最小值. 【详解】分别表示与同方向的单位向量， 故为的平分线所在直线， 又，故的平分线所在直线与垂直， 由三线合一可得， 取的中点，则，， ，故， 所以为等腰直角三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知为虚数单位，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B． C．是纯虚数 D．若，则 【答案】BC 【详解】对A：由复数不能直接比较大小，只有实数才能比较大小，A错误； 对B：由，所以，，所以，B正确； 对C：因为实部为0，虚部，所以是纯虚数，C正确； 对D：设，则，当时，为复数，不能与0比较大小，D错误. 10．已知函数，则（    ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在上的最小值为 D．在上单调递减 【答案】AD 【解析】由题设， 对于A，，故的图象关于点对称，故A正确； 对于B, ， 故不是的图象的对称轴，故B错误； 对于C，当时，， 故，故， 故，此时，故C错误； 对于D，当时，， 而在上为减函数，故在上单调递减，故D正确； 故选：AD. 11．如图，在四面体中，，分别为棱，的中点，点，分别在棱，上，且，，则下列说法正确的是（    ） A．，，，四点共面 B．平面 C．与是异面直线 D．直线，，相交于一点 【答案】BCD 【分析】根据点，线，面的关系即可判断选项A；根据线面平行的判定即可判断选项B；先证明，，，四点共面，进而即可判断选项C；设，再证明是否在直线上，进而即可判断选项D． 【详解】对于A，依题意得，，平面，且，，三点不共线，而平面， 所以，，，四点不共面，故A错误； 对于B，因为，分别为棱，的中点，所以，且， 又平面，而平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为点，分别在棱，上，且，， 所以，且，所以，且，所以，，，四点共面， 又平面，所以与是异面直线，故C正确； 对于D，因为，，，四点共面，且显然不平行，所以相交， 设，又平面，平面，所以平面，且平面， 又平面平面，所以，所以直线，，相交于一点，故D正确． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分． 12．圆锥的底面直径是4，其侧面展开图是一个顶角为的扇形，如图，过的中点作平行于底面的截面，在圆锥中挖去一个以该截面为底面的圆柱，则剩下几何体的体积为______________． 【答案】 【分析】由圆锥侧面展开图的弧度确定圆锥的母线，进而可求锥体和柱体的高，以此分别求体积后相减即可. 【详解】设圆锥的母线长为l，由题意得底面圆的半径， 则，可得，即母线， 所以圆锥的高， 因为是的中点，由三角形相似易得挖去圆柱的底面半径为1， 且圆柱的高，则该圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 则剩下几何体的体积． 13． 14．在中，若，是的平分线，，则的长为______． 【答案】 【分析】根据正弦定理及余弦定理得到，结合同角的三角函数关系及二倍角公式求出及，结合三角形面积公式求解即可. 【详解】由正弦定理得，. 设，则，，解得，，. 由余弦定理得， 又，则.    所以，解得. 因为是的平分线，所以，， 所以， 又，所以. 又， 所以，即， 解得. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知为虚数单位，是实系数一元二次方程的两个虚根 (1)设满足方程，求； (2)设，复数所对的向量分别是与，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数，设的表达式，再结合已知方程求解； （2）先根据求出，进而得到向量的坐标，再结合向量夹角为钝角的条件列出不等式求解； 【详解】（1）因为是实系数一元二次方程的两个虚根， 所以互为共轭复数，设，则， 将代入可得， 即，根据复数相等的条件，可得，解得 所以，...............................................6分 （2）设，则，故与， 那么，， 由于向量与的夹角为钝角， 那么且向量与不共线， 则解得 且， 故实数的取值范围为...............................................13分 16．（15分） 已知，，且． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的范围和题设条件，求出和的值，利用和角公式求出的值，即可求得的值； （2）利用二倍角公式求出，的值，根据和角的余弦公式即可求得. 【详解】（1）因为，所以， 则，， 又因为，， 所以，， 所以 ， 因为，所以； （2）由（1）知，，， 故， ， 所以． 17．（15分） 已知的内角所对的边分别为，且，． (1)求； (2)若的面积为，求的周长； (3)求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正弦定理和三角形内角和化简原式，再用和角公式求解即可； （2）根据三角形面积公式求出的值，再根据余弦定理求出，进而求出，最后求出周长； （3）根据正弦定理表示出，根据三角函数值的范围求解. 【详解】（1），且. 整理得 由正弦和角公式：， 由正弦定理，代入得 两边除以得 整理得 即，即 因为，所以， 故，得...............................................4分 （2）已知面积，且，. 由面积公式 故，得. 由余弦定理 代入，： 整理得 而， 因为，故. 因此周长为..............................................9分 （3）由正弦定理：， 故，. 又，，故，其中. 因为，所以， 则， 故...............................................15分 18．（17分） 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧面是正三角形，，平面平面，是的中点. (1)证明：. (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2) 【详解】（1）在正中，为的中点，， 平面平面，平面平面， 且，平面，平面， 又平面，， 又，且，平面， 平面， 平面， ； （2）如图，取的中点为，连接，， 在正中，，平面平面， 又平面平面，平面， 平面， 若，则， ， 由（1）知平面，， 平面， 平面，， 设点到平面的距离为， 而， 由可得，， ． 19．（17分） 如图，四棱锥，侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD，，，O是AD的中点. (1)求证：平面平面POB； (2)点M在棱PC上，满足，且三棱锥的体积为， ①求的值； ②二面角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2)①，②二面角的正切值为 【分析】（1）连接，则可得四边形为正方形，得，由已知条件结合面面垂直的性质可得平面，则，则由线面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定可得结论； （2）①设点到平面的距离分别为，由可求出，由三棱锥的体积为，可求出，再由可求出的值；②取靠近点的四等分点，连接，过点作于，连接，则可得为二面角的平面角，然后在中可求得结果. 【详解】（1）连接， 因为底面中，，， 所以四边形为正方形，所以， 因为侧面为等边三角形，O是的中点， 所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面， 所以， 因为平面， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面；...........................................5分 （2）①因为底面中，，，侧面为等边三角形，O是的中点， 所以，，， 因为平面，平面， 所以， 所以， 因为， 所以，所以， 设点到平面的距离分别为， 因为，所以， ，解得， 因为三棱锥的体积为， 所以，所以，解得， 所以，所以， 因为，所以，.............................................11分 ②取靠近点的四等分点，连接，则//， 因为平面，所以平面， 因为平面，所以， 过点作于，连接， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以为二面角的平面角， 因为，所以， 因为， 所以四边形为矩形，所以， 所以在中，， 所以二面角的正切值为...........................................17分 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $