考点09 统计与概率 基础通关练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦统计与概率基础核心，通过选择、填空、解答题系统覆盖随机事件关系、数据特征分析、统计图表应用，强化数据意识与运算推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |随机事件与概率|单选1/5/6、多选7|概念辨析与概率计算|从互斥/独立事件定义到复杂情境概率推导| |统计量与数据分析|单选2/3/4、填空9/10|分层抽样、极差/平均数/方差计算|从数据收集（抽样）到特征提取（集中/离散程度）| |综合应用|解答11/12|频率分布直方图、概率决策|统计图表分析→数据建模→实际问题解决|

考点09 统计与概率·基础通关 一、单选题 1．已知，为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，独立，则 C．若，互斥，则 D．若，独立，则 2．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（    ） A．80 B．100 C．192 D．200 3．2026年1月中国人民银行官宣降息，旨在精准滴灌实体经济的关键领域，是适度宽松货币政策的延续.“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出下表数据，并进行统计学分析.表1为某银行近年来的人民币一年定期存款利率： 时间 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 利率% 1.50 1.75 1.75 1.55 1.85 1.65 1.50 关于表中的7个存款利率数据，下列结论正确的是（    ） A．数据的极差为 B．七年来，一年定期存款利率整体呈下降趋势 C．七年的平均利率为1.65 D．利率的第80百分位数为1.75% 4．马年春节即将到来，某兴趣小组针对班里有出游计划的同学进行了随机调查，得到他们即将旅行的天数为：6，6，7，8，9，9，9，10（单位：天），则这组数据的（    ） A．极差为3 B．平均数为7 C．分位数为7.5 D．方差为2 5．甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 6．盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数： 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 7．设A，B为两个随机事件，且，，下列说法正确的有（   ） A．若A，B互斥，则 B．若，则 C．若，则A，B独立 D．若，则A，B独立 8．某汽车配件工厂在生产过程中，随机抽取100件同款零件测得其综合指标值，并按，分成六组，得到如下频率分布直方图.规定：综合指标值小于60的为二等品，综合指标值不小于60的为一等品，则下列说法正确的是（    ） A． B．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71（同一组数据用该组区间的中点值作代表） C．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为78 D．从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有15000件 三、填空题 9．一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______． 10．某学校高一年级男生共有490人，女生共有510人，为调查该年级学生的身高情况，通过按比例分配的分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为和.若，则该校高一年级全体学生身高的方差为___________. 四、解答题 11．大黄梨被誉为百果之宗，不仅鲜甜可口、香脆多汁，而且营养丰富．大黄梨有降火、清心、润肺、化痰、止咳、退热、解疮毒和酒毒的功效，因其鲜嫩多汁，酸甜适口，所以又有“天然矿泉水”之称．一果农从果园中随机抽取100颗大黄梨，根据果实的大小、色泽等指标对这100颗大黄梨进行评分（10分制），并绘制成如下的频率分布直方图． (1)估计该批大黄梨的平均评分及标准差； (2)若将评分位于区间，，，内的大黄梨分别赋予普通，良果，优果，特优果四个不同的等级，果农现有5000千克大黄梨，试估计该批大黄梨各个等级的质量； (3)用样本估计总体，果农参考以下两种销售方案进行销售： 方案1：不分等级卖出，单价为8元/千克； 方案2：分类卖出，分类后的大黄梨售价如表所示： 等级 普通 良果 优果 特优果 售价（元/千克） 7 8 12 15 若从果农的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由． 12．某校运动会期间开设了知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)若从甲、乙两人中选取1人参加比赛，选谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点09 统计与概率·基础通关 一、单选题 1．已知，为两个随机事件，，，则下列结论错误的是（   ） A．若，则 B．若，独立，则 C．若，互斥，则 D．若，独立，则 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】互斥事件的概率加法公式、事件的运算及其含义、独立事件的乘法公式 【详解】A选项：若，则，因此，A正确. B选项：若，为独立事件，根据独立事件的乘法公式，交事件的概率 ，B正确. C选项：若，互斥，说明，根据概率的加法公式，，C正确. D选项：若，独立，根据概率的加法公式，.因为，D错误. 2．某校有老师200人，男学生1200人，女学生1000人，现用比例分配的分层随机抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为的样本．已知从女生中抽取80人，则等于（    ） A．80 B．100 C．192 D．200 【答案】C 【难度】0.88 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【详解】因为，所以，所以． 3．2026年1月中国人民银行官宣降息，旨在精准滴灌实体经济的关键领域，是适度宽松货币政策的延续.“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出下表数据，并进行统计学分析.表1为某银行近年来的人民币一年定期存款利率： 时间 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 利率% 1.50 1.75 1.75 1.55 1.85 1.65 1.50 关于表中的7个存款利率数据，下列结论正确的是（    ） A．数据的极差为 B．七年来，一年定期存款利率整体呈下降趋势 C．七年的平均利率为1.65 D．利率的第80百分位数为1.75% 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计、计算几个数的平均数 【详解】由数据可知，七年来一年定期存款利率整体呈下降趋势是错误的，故B错误； 利率从小到大排列为， 则数据的极差为，故A错误； 七年的平均利率为，故C错误； 因为，所以利率的第80百分位数是第个数，即，故D正确. 4．马年春节即将到来，某兴趣小组针对班里有出游计划的同学进行了随机调查，得到他们即将旅行的天数为：6，6，7，8，9，9，9，10（单位：天），则这组数据的（    ） A．极差为3 B．平均数为7 C．分位数为7.5 D．方差为2 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】计算几个数的平均数、总体百分位数的估计、计算几个数据的极差、方差、标准差 【分析】根据极差、平均数、方差及百分位数的定义求样本特征数值，即可判断各项正误. 【详解】由样本数据知极差为，故A错误； 平均数为，故B错误； 由，得这组数据的分位数是第4个数8，故C错误； 方差为，故D正确. 故选：D. 5．甲､乙两人每次射击命中目标的概率分别为与，且每次射击命中与否互不影响.两人约定如下：每次由一人射击，若命中，下一次由另一人射击；若没有命中，则继续射击，若约定甲先射击，则前4次中甲恰好射击3次的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.74 【知识点】独立事件的乘法公式 【分析】分类讨论满足“前4次中甲恰好射击3次”的所有三种不同射击顺序，利用相互独立事件的乘法公式分别计算出每种情况的概率，最后相加求和. 【详解】设前4次中甲射击3次的概率为，共有三种情况： 甲中-乙中-甲没中-甲，概率为； 甲没中-甲没中-甲中-乙：； 甲没中-甲中-乙中-甲：， 所以. 6．盒子中有四张卡片，分别写有“笔墨纸砚”四个字，有放回地从中任取一张卡片，直到“纸”“砚”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次取到卡片后停止的概率．利用电脑随机产生到之间取整数值的随机数，分别用代表“笔墨纸砚”这四个字，以每三个随机数为一组，表示三次的结果，经随机模拟产生了以下组随机数： 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 由此可以估计，恰好第三次结束时就停止的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】用频率估计概率、整数值随机模拟问题、计算古典概型问题的概率 【详解】根据题意，在组随机数中，恰好第三次结束时就停止有、、、、，共有组， 343  432  314  134  234  132  243  331  112  324 342  241  244  342  124  431  233  214  344  434 则恰好第三次结束时就停止的概率，故C正确. 二、多选题 7．设A，B为两个随机事件，且，，下列说法正确的有（   ） A．若A，B互斥，则 B．若，则 C．若，则A，B独立 D．若，则A，B独立 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、利用互斥事件的概率公式求概率、事件的运算及其含义 【分析】根据互斥事件的定义可判断A；根据事件的包含关系可判断B；根据独立事件的概念可判断C；根据和事件的概率计算公式结合独立事件的概念可判断D. 【详解】对于A，若A，B互斥，则，A正确； 对于B，若，则，B错误； 对于C，若，则，所以A，B独立，C正确； 对于D，若， 则， 所以， 又因为， 所以，故事件，独立，从而A，B也独立，D正确， 故选：ACD. 8．某汽车配件工厂在生产过程中，随机抽取100件同款零件测得其综合指标值，并按，分成六组，得到如下频率分布直方图.规定：综合指标值小于60的为二等品，综合指标值不小于60的为一等品，则下列说法正确的是（    ） A． B．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71（同一组数据用该组区间的中点值作代表） C．估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为78 D．从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有15000件 【答案】ABD 【难度】0.76 【知识点】由频率分布直方图估计平均数、由频率分布直方图估计中位数、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、补全频率分布直方图 【分析】由频率分布直方图面积和为1，可判断A，由平均数计算公式可判断B，由中位数计算方法可判断C，由频率分布直方图确定频率，即可判断D. 【详解】由，得，A正确； 平均数为， 所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的平均数为71，B正确； 因为， 所以中位数在第4组， 设中位数为，则， 解得，所以可以估计该厂所生产的该款零件的综合指标值的中位数为73.33，C错误； 由频率分布直方图可知100件零件中二等品有件，一等品有件， 故从该厂随机抽取20000件该款零件，则一等品约有件，D正确. 故选：ABD. 三、填空题 9．一个盒中有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地依次选取两张标签，记事件“两张标签上的数字之和为6”．若标签的选取是不放回的，记；若标签的选取是有放回的，记，则______． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】根据不放回和放回的不同方式特点，结合古典概型运算公式进行求解即可. 【详解】当标签的选取是不放回的，共有方式， 其中事件A有共4种方式， 所以； 当标签的选取是放回的，共有方式， 其中事件A有，5种方式， 所以, 所以. 故答案为： 10．某学校高一年级男生共有490人，女生共有510人，为调查该年级学生的身高情况，通过按比例分配的分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为和.若，则该校高一年级全体学生身高的方差为___________. 【答案】25.1 【难度】0.65 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【分析】结合分层随机抽样的方差公式可得答案 【详解】学校高三年级男生共有人，所占比例为，女生个，所占比例为， 故该校高三年级全体学生的年龄方差为：， 当时，，， 故答案为：25.1. 四、解答题 11．大黄梨被誉为百果之宗，不仅鲜甜可口、香脆多汁，而且营养丰富．大黄梨有降火、清心、润肺、化痰、止咳、退热、解疮毒和酒毒的功效，因其鲜嫩多汁，酸甜适口，所以又有“天然矿泉水”之称．一果农从果园中随机抽取100颗大黄梨，根据果实的大小、色泽等指标对这100颗大黄梨进行评分（10分制），并绘制成如下的频率分布直方图． (1)估计该批大黄梨的平均评分及标准差； (2)若将评分位于区间，，，内的大黄梨分别赋予普通，良果，优果，特优果四个不同的等级，果农现有5000千克大黄梨，试估计该批大黄梨各个等级的质量； (3)用样本估计总体，果农参考以下两种销售方案进行销售： 方案1：不分等级卖出，单价为8元/千克； 方案2：分类卖出，分类后的大黄梨售价如表所示： 等级 普通 良果 优果 特优果 售价（元/千克） 7 8 12 15 若从果农的角度考虑，采用哪种方案较好？并说明理由． 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3)方案2，理由见解析 【难度】0.85 【知识点】用平均数的代表意义解决实际问题、由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量、计算频率分布直方图中的方差、标准差、由频率分布直方图估计平均数 【分析】（1）根据频率分布直方图中平均数、方差计算规则计算可得； （2）首先求出各级果的频率，即可求出相应的质量； （3）求出方案2单价的均值，即可判断. 【详解】（1）依题意评分的平均值， 方差， 所以标准差； （2）由（1）可得评分位于区间，，，内的大黄梨分别赋予普通，良果，优果，特优果， 则评分位于区间的频率为， 评分位于区间的频率为， 评分位于区间的频率为， 评分位于区间的频率为， 又果农现有千克大黄梨， 所以普通果的质量为千克， 良果的质量为千克， 优果的质量为千克， 特优果的质量为千克. （3）选用方案2，理由如下： 若按方案1：不分等级卖出，单价为8元/千克； 若按方案2：分类卖出，则单价的平均值为（元/千克）， 因为，所以从果农的角度，采用方案2较好. 12．某校运动会期间开设了知识竞赛，比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛；若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为，，在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为，.甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响. (1)若从甲、乙两人中选取1人参加比赛，选谁参赛赢得比赛的概率更大？ (2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. 【答案】(1)甲； (2) 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）应用独立事件概率乘积公式计算求解； （2）应用独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算，最后应用互斥事件概率和公式求解； 【详解】（1）甲赢得比赛的概率是，乙赢得比赛的概率是， ，∴甲赢得比赛的概率更大. （2）甲赢乙输的概率是，甲输乙赢的概率是， 相加得两人中恰好只有1人赢得比赛的概率. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $