精品解析：江西省抚州市南城县2024-2025学年八年级下学期期中考试数学试题

南城县2024-2025学年下学期期中考试 八年级数学试卷 （本试题满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 厨余垃圾 B. 有害垃圾 C. 其他垃圾 D. 可回收物 2. 下列生活现象中不是平移现象的是（ ） A. 站在运行的电梯上的人 B. 坐在直线行驶的列车上的乘客 C. 拉开抽屉 D. 时钟上分针的运动 3. 若，则下列式子中错误的是（　　） A. B. C. D. 4. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点(2，0)与(0，3)，则关于x的不等式kx＋b＞0的解集是(　　) A. x＜2 B. x＞2 C. x＜3 D. x＞3 5. 四边形边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或6 D. 6 6. 如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为_____． 8. 已知线段是由线段平移得到的，且，则的周长为__ 9. 如图，若是整数，且满足，则落在____段．（填序号） 10. 学校准备用2000元购买名著和辞典作为文艺节奖品，其中名著每套65元，辞典每本40元，现已购买名著20套，最多还能买_______本辞典． 11. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时_____． 12. 有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解不等式，并把解集数轴上表示出来． （2）已知：如图，和是高，且．求证：． 14. 解不等式组：． 15. 如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且C是线段AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)作BC的中点P； (2)过点C作AD的垂线． 16. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D、E．连接，已知，求的长度． 17. 为增强同学们垃圾分类意识，某学校举行了垃圾分类知识竞赛，一共有25道题，每一题答对得4分，答错或不答扣1分． （1）若某参赛同学的最后总得分为85分，则该参赛同学一共答对了________道题； （2）若规定参赛者总得分大于或等于90分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？ 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出坐标． 19. 新定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是_________；（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 20. 课本再现： （1）如图1，是等边三角形，，分别交，于点、，求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴，①________， ∴②________③________， ∴．（④________） ∴是等腰三角形． 又∵，∴是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点，延长至点，使得，求证：是等边三角形． 五、（本大题共2小题，共18分） 21. 如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． （1）如图2，当为∠的角平分线时，求此时的值； （2）当旋转至∠的内部时，求∠与∠的数量关系． 22. 随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的、两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3台 5台 18000元 第二周 4台 10台 31000元 （1）求，两种型号的净水器的销售单价； （2）若电器公司准备用不多于54000元的金额在采购这两种型号的净水器共30台，求种型号的净水器最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 六、（本大题共12分） 23. 如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； （2）如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； （3）当，，时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南城县2024-2025学年下学期期中考试 八年级数学试卷 （本试题满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 厨余垃圾 B. 有害垃圾 C. 其他垃圾 D. 可回收物 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但它不是中心对称图形； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 故选：B． 2. 下列生活现象中不是平移现象的是（ ） A. 站在运行的电梯上的人 B. 坐在直线行驶的列车上的乘客 C. 拉开抽屉 D. 时钟上分针的运动 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移是某图形沿某一直线方向移动一定的距离，平移不改变图形的形状和大小，可得答案． 【详解】解：根据平移的性质，D时钟上分针的运动，时钟上分针的运动过程中，方向不断的发生变化，不是平移运动． 故选：D． 【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻折，正确的理解平移的定义是解题的关键． 3. 若，则下列式子中错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：A、∵，∴，正确，故该选项不符合题意； B、∵，∴，正确，故该选项不符合题意； C、∵，∴，故该选项错误，符合题意； D、∵，∴，正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 4. 如图，一次函数y＝kx＋b的图象经过点(2，0)与(0，3)，则关于x的不等式kx＋b＞0的解集是(　　) A. x＜2 B. x＞2 C. x＜3 D. x＞3 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用图象可找到图象在x轴上方时x＜2，进而得到关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2． 【详解】解：由题意可得：一次函数y=kx+b中，y＞0时，图象在x轴上方，x＜2， 则关于x的不等式kx+b＞0的解集是x＜2， 故选A． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握数形结合思想．认真体会一次函数与一元一次不等式之间的内在联系． 5. 四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形形状的改变而变化，当为等腰三角形时，对角线的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 4或6 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系以及等腰三角形的定义，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 利用三角形三边关系求得，再利用等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：在中，， ，即， 当时，为等腰三角形，可以构成三角形； 若时，为等腰三角形，不可以组成三角形， 故选：A． 6. 如图，将点向上平移1个单位，再向右平移2个单位，得到点；将点向上平移2个单位，再向右平移4个单位，得到点；将点向上平移4个单位，再向右平移8个单位，得到点……按这个规律平移得到点，则点的横坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了点的平移，坐标规律，找到规律是解题的关键． 根据平移方式先求得、、、的坐标，找到规律求得的横坐标，进而求得的横坐标． 【详解】解：点的横坐标为， 点的横坐标为， 点横坐标为， 点的横坐标为， … 按这个规律平移得到点的横坐标为， 点的横坐标为， 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知等腰三角形的一个底角为，则它的顶角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质以及三角形的内角和定理的运用．利用三角形内角和是和等腰三角形两底角相等的性质求解即可． 【详解】解：等腰三角形的一个底角为， 顶角为． 故答案为：． 8. 已知线段是由线段平移得到的，且，则的周长为__ 【答案】 【解析】 【分析】根据平移的性质，线段DE是由线段AB平移而得，则AB=DE，结合已知可求△DCE的周长． 【详解】∵线段DE是由线段AB平移而得， ∴DE=AB=4cm， ∴△DCE的周长=DE+CE+CD=4+3+4=11cm． 故答案为：11． 【点睛】本题考查了平移的性质，熟知平移前后线段的长度不变是解题的关键. 9. 如图，若是整数，且满足，则落在____段．（填序号） 【答案】③ 【解析】 【分析】此题考查的是一元一次不等式的解法和一元一次方程的解，根据x的取值范围，得出x的整数解．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解了． 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后确定整数解即可． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴， ∵是整数， ∴， ∴落在③段， 故答案为：③． 10. 学校准备用2000元购买名著和辞典作为文艺节奖品，其中名著每套65元，辞典每本40元，现已购买名著20套，最多还能买_______本辞典． 【答案】17 【解析】 【分析】设买辞典x本，购买名著20套需要65×20元，买辞典x本需要40x元，两者之和不大于2000．再列不等式即可． 【详解】解：设买辞典x本，根据题意，得65×20+40x≤2000， 解这个不等式，得， 又因为x为整数，所以x的最大整数值为17，故最多还能买17本辞典． 故答案为：17 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，解决问题的关键是读懂题意，依题意列出不等式进行求解． 11. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，交于F．当时，点D恰好落在上，此时_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得出，，，从而可求出，进而得出即可． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，，， ， ∴， 故答案为：． 12. 有一张三角形纸片ABC，∠A＝80°，点D是AC边上一点，沿BD方向剪开三角形纸片后，发现所得两张纸片均为等腰三角形，则∠C的度数可以是__________． 【答案】25°或40°或10° 【解析】 【分析】分AB=AD或AB=BD或AD=BD三种情况根据等腰三角形的性质求出∠ADB，再求出∠BDC，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解． 【详解】由题意知△ABD与△DBC均为等腰三角形， 对于△ABD可能有 ①AB=BD，此时∠ADB=∠A=80°， ∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-80°=100°， ∠C=（180°-100°）=40°， ②AB=AD，此时∠ADB=（180°-∠A）=（180°-80°）=50°， ∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-50°=130°， ∠C=（180°-130°）=25°， ③AD=BD，此时，∠ADB=180°-2×80°=20°， ∴∠BDC=180°-∠ADB=180°-20°=160°， ∠C=（180°-160°）=10°， 综上所述，∠C度数可以为25°或40°或10° 故答案为25°或40°或10°． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，难点在于分情况讨论． 三、（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解不等式，并把解集在数轴上表示出来． （2）已知：如图，和是的高，且．求证：． 【答案】（1），数轴上表示见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，直角三角形全等的判定，熟知解一元一次不等式的基本步骤和定理是解题的关键． （1）根据不等式的性质即可求出x的解集，画出数轴表示出x的解集即可； （2）先依据三角形高的定义得出，确定两个三角形为直角三角形；再根据直角三角形全等判定的定理证明即可． 【详解】（1）解：去括号，得5 移项，得 合并同类项，得． 将不等式解集在数轴上表示如图： （2）证明：∵ 、是的高， ⸫， ∵，， ⸫． 14. 解不等式组：． 【答案】﹣1≤x＜3． 【解析】 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，然后再求出它们的公共部分就是不等式组的解集． 【详解】解不等式， 去括号得2x+5≤3x+6， 解得x≥﹣1； 解不等式， 去分母得3x﹣3＜2x， 解得x＜3； ∴不等式组的解集是﹣1≤x＜3． 【点睛】本题考查了求一元一次不等式组的解集，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 15. 如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，且C是线段AD的中点，请仅用无刻度的直尺完成以下作图： (1)作BC的中点P； (2)过点C作AD的垂线． 【答案】(1)画图见解析；(2)画图见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意可知AC=CE，∠ACB=∠BCE=60°，连接AE交BC于点P，根据等腰三角形三线合一的性质可得BC⊥AE，在等边△ABC中，再根据三线合一的性质可得BP=CP，即点P为BC的中点；（2）连接AE、BD交于点Q，连接CQ，由（1）的方法可得∠CAQ=∠CDQ=30°，即可得AQ=DQ，再由AC=CD，根据三线合一的性质即可得CQ⊥AD. 【详解】. (1)如图①所示，点P即所求． (2)如图②所示，CQ即所求． 【点睛】本题考查了等腰三角形及等边三角形的性质，熟练运用等腰三角形及等边三角形的性质是解决问题的关键. 16. 如图，在中，，的垂直平分线分别交于点D、E．连接，已知，求的长度． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，含直角三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 根据线段垂直平分线的性质得到，继而，再根据角的和差求出，再由角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵的垂直平分线分别交于点D、E， ∴， ∴， ∵∠，∠， ∴∠，， ∴， ∴， ∵， ∴． 17. 为增强同学们的垃圾分类意识，某学校举行了垃圾分类知识竞赛，一共有25道题，每一题答对得4分，答错或不答扣1分． （1）若某参赛同学的最后总得分为85分，则该参赛同学一共答对了________道题； （2）若规定参赛者总得分大于或等于90分才可以被评为“垃圾分类小达人”，则参赛者至少需答对多少道题才能被评为“垃圾分类小达人”？ 【答案】（1）22 （2）该同学至少答对23道题 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次方程和不等式的实际应用．解题的关键在于理解题意，建立答对与答错题数的关系，并根据得分条件列出相应的方程或不等式求解． （1）根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可； （2）根据题意，可以写出相应的不等式，然后求解即可． 【小问1详解】 解：设该参赛同学答对了道题，则答错或不答的题数为道， 则， 解得：， 答：该参赛同学一共答对了22道题． 故答案为：22． 【小问2详解】 解：设参赛者需答对道题才能被评为“垃圾分类小达人”，则答错或不答的题数为道， 列出不等式：， 解得：， 答：参赛者至少需答对23道题才能被评为“垃圾分类小达人” ． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）画出绕点逆时针旋转后的图形，并写出的坐标； （2）将先向左平移4个单位，再向上平移4个单位得到，画出，并写出的坐标． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； 【解析】 【分析】本题考查了作图-旋转变换、平移变换，熟练掌握坐标系中的平移和旋转作图方法是解题的关键． （1）利用网格特点和旋转的性质画出、的对应点、，再顺次连接，进而写出的坐标即可； （2）利用点平移的坐标特征画出、、，再顺次连接，进而写出的坐标即可． 【小问1详解】 解：如图所示： 则； 【小问2详解】 解： 如图所示： 则． 19. 新定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，则称该一元一次方程为该不等式组的关联方程．例如：方程的解为，不等式组的解集为，因为，所以称方程为不等式组的关联方程． （1）在方程①；②；③中，不等式组的关联方程是_________；（填序号） （2）若不等式组的一个关联方程的解是整数，且这个关联方程是，求常数的值． 【答案】（1）③ （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式和一元一次方程，解题的关键是理解并掌握“关联方程”的定义和解一元一次不等式、一元一次方程． （1）分别解不等式组和各一元一次方程，再根据“关联方程”的定义即可判断； （2）解不等式组得出其整数解，再写出以此整数解为解得一元一次方程即可得． 【小问1详解】 解：解不等式组得， 解不等式，得． 解不等式，得． ∴不等式组的解集为． ①解得，不在范围内，故①是不等式组的关联方程； ②解得，不在范围内，故②不是不等式组的关联方程； ③解得，在范围内，故③是不等式组的关联方程； 故答案为：③； 【小问2详解】 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为 ∵关联方程的解是整数且在范围内， 将代入关联方程0，得 ； 20. 课本再现： （1）如图1，等边三角形，，分别交，于点、，求证：是等边三角形． 课本中给出一种证明方法如下： 证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． “想一想，本题还有其他证法吗？” 给出的另外一种证明方法，请补全： 证明：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴，①________， ∴②________③________， ∴．（④________） ∴是等腰三角形． 又∵，∴是等边三角形． （2）如图2，等边三角形的两条角平分线相交于点，延长至点，使得，求证：是等边三角形． 【答案】（1）①；②：③；④等角对等边 （2）答案见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义、外角的性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定与性质是解题关键． （1）由等边三角形的性质可知，，再根据“两直线平行，同位角相等”可推导、，进而得到，由“等角对等边”的性质即可证明是等腰三角形，进而证明是等边三角形； （2）根据等边三角形的性质可知，再根据角平分线的定义以及三角形外角的性质可知，然后结合即可证明是等边三角形． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴，． ∵， ∴，， ∴， ∴．（等角对等边） ∴是等腰三角形． 又∵， ∴是等边三角形． 故①为：；②为：：③为：；④为：等角对等边； 【小问2详解】 证明：∵是等边三角形， ∴， ∵是的角平分线，是的角平分线， ∴，， ∴， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 五、（本大题共2小题，共18分） 21. 如图1，将一副直角三角板摆放在直线上（直角三角板和直角三角板，，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，旋转时间为秒，当与射线重合时停止旋转． （1）如图2，当为∠的角平分线时，求此时的值； （2）当旋转至∠的内部时，求∠与∠的数量关系． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，与角平分线相关的角的运算，找相等关系是解题的关键． （1）根据“角平分线的定义”列方程求解； （2）根据角的和差及等式的性质求解． 【小问1详解】 解： 为的角平分线， ， ， 解得：； ∴此时的值是3． 【小问2详解】 解：当旋转至∠的内部时，如图2， ①，②， 得：， ∴当旋转至∠的内部时，∠DCA与∠ECB的数量关系是：． 22. 随着人们生活质量的提高，净水器已经慢慢走入了普通百姓家庭，某电器公司销售每台进价分别为2000元、1700元的、两种型号的净水器，下表是近两周的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 种型号 种型号 第一周 3台 5台 18000元 第二周 4台 10台 31000元 （1）求，两种型号的净水器的销售单价； （2）若电器公司准备用不多于54000元的金额在采购这两种型号的净水器共30台，求种型号的净水器最多能采购多少台？ （3）在（2）的条件下，公司销售完这30台净水器能否实现利润为12800元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）、两种净水器的销售单价分别为2500元、2100元 （2）超市最多采购种型号净水器10台时，采购金额不多于54000元 （3）采购种型号净水器8台，采购种型号净水器22台，公司能实现利润12800元的目标 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系和不等关系，列方程组和不等式求解． （1）设、两种型号净水器的销售单价分别为元、元，根据3台型号5台型号的净水器收入18000元，4台型号10台型号的净水器收入31000元，列方程组求解； （2）设采购种型号净水器台，则采购种型号净水器台，根据金额不多余54000元，列不等式求解； （3）设利润为12800元，列方程求出的值，符合（2）的条件，可知能实现目标． 【小问1详解】 解：设、两种净水器的销售单价分别为元、元， 依题意得：， 解得：． 答：、两种净水器的销售单价分别为2500元、2100元． 【小问2详解】 解：设采购种型号净水器台，则采购种净水器台． 依题意得：， 解得：． 故超市最多采购种型号净水器10台时，采购金额不多于54000元． 【小问3详解】 解：依题意得：， 解得：， 答：采购种型号净水器8台，采购种型号净水器22台，公司能实现利润12800元的目标． 六、（本大题共12分） 23. 如图，在中，，，点是直线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，． （1）如图①，当，且点在线段上时，线段和之间的数量关系是 ； （2）如图②，当，且点在线段上时，猜想线段、、之间的数量关系，并加以证明； （3）当，，时，请求出的长． 【答案】（1） （2）；证明见解析 （3）的长度为或 【解析】 【分析】本题考查几何变换的综合应用，涉及全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，解题的关键是掌握全等三角形的判定性质． （1）由将线段绕点逆时针旋转得到线段，得，，从而，故，得； （2）根据，得，由，即知，从而，有，故； （3）根据，得，分两种情况：①当在线段上时，,得到； ②当在延长线上时，，得． 【小问1详解】 解：，理由如下： 如图： ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ，， ， 在与中，， ， ； 【小问2详解】 解：线段、、之间的数量关系为，证明如下： 如图： ， ， 同（1）可证， ， ， ， ； 【小问3详解】 解， ∴， ①当在线段上时，如图： ∵， ， 由（2）知 ； ②当在延长线上时，如图： ∵， ， ； 综上所述，的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$