精品解析：2026年广西壮族自治区崇左市凭祥市二模数学试题

2026年广西凭祥市初中学业水平考二模数学卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. “十四五”以来，内蒙古通辽市统筹山水林田湖草沙系统治理，依托“三北”工程等重大项目，完成林草生态修复2164.8万亩，治理沙化土地2000余万亩．数据“2164.8万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵1万， ∴2164.8万． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵与不是同类项，不能合并，∴选项A错误； ∵，∴选项B错误； ∵与底数不同，不能按同底数幂除法化简，，∴选项C错误； ∵，∴选项D正确． 3. 若的展开式中不含项，则常数的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】展开式中不含某一项，即合并同类项后该项的系数为0，先展开原式合并同类项，再令项的系数为0即可求解． 【详解】解： ， ∵展开式中不含项， ∴项的系数为， 即， 解得． 4. 已知甲长方形相邻两边长相差6，乙长方形相邻两边长相差4，甲、乙两长方形的周长相等．若甲长方形的面积记为，乙长方形的面积记为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据甲乙周长相等得到二者邻边长度之和相等，设参数表示出甲乙的两边长，再计算面积差，消去参数即可得到结果． 【详解】解：∵长方形周长相等，周长（邻边之和） ∴甲乙两长方形的邻边之和相等，设甲乙邻边之和为 对于甲长方形，相邻两边长相差， 设长为，宽为， ∴ 解得 ∴长为，宽为 ∴ 对于乙长方形，相邻两边长相差，同理可得长为，宽为 ∴ ∴． 5. 如图，菱形在平面直角坐标系中，，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据菱形的对称性可得，点与点关于直线对称，即可求出点的坐标． 【详解】解：如图，连接，． ∵四边形为菱形， ． ，， ∴所在直线的解析式为， ∴点与点关于直线对称， ∵， ． 6. 二次函数的图象上有两点和，则该二次函数的图象顶点不可能在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 【答案】B 【解析】 【分析】将已知点代入二次函数，得到系数关于的表达式，再推导顶点横纵坐标的符号规律，判断顶点不可能所在的象限． 【详解】解：把代入得， 把和代入函数得：，化简得， ∴二次函数顶点横坐标为：，顶点纵坐标为：， 当时，，， ∵且， ∴， 此时顶点在第四象限或轴上， 当时，，， ∵且， ∴， 此时顶点在第一象限或第二象限或轴上， ∴顶点不可能在第三象限． 7. 已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据折叠的性质和勾股定理进行求解即可. 【详解】解：∵长方形， ∴， ∵折叠， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理，得， 解得， . 8. 如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 9. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和3，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正方形和正方形的对称中心都是点O，可得四边形，四边形，四边形，四边形的面积相等，与的面积相等，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，连接， ∵正方形和正方形的对称中心都是点O， ∴四边形，四边形，四边形，四边形的面积相等，与的面积相等， ∴阴影部分的面积为大正方形面积减去小正方形面积的， ∴阴影部分的面积是. 10. 如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据网格图得出，利用勾股定理求出的长，再根据同角的余角相等证明，最后利用锐角三角函数的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 11. 一列快车从A地匀速驶向B地，一列慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 两车出发后相遇 B. A，B两地相距 C. 快车比慢车早到达目的地 D. 快车的速度为，慢车的速度为 【答案】D 【解析】 【分析】首先明确函数图像的特殊点意义：时的s值就是A、B两地的距离；时对应的t值就是两车相遇的时间；因为两车相向而行，相遇时路程和等于总路程，所以用总路程除以相遇时间可得到两车的速度和； 观察图像拐点，时，此时其中一辆车到达终点，该点对应的s为，可据此先算出先到达终点的车辆的速度，再结合速度和算出另一辆车的速度；分别用总路程除以两车速度，得到两车走完全程的时间，再计算时间差，对应判断各选项． 【详解】选项A：由图可知，时，两车距离，说明出发后两车相遇，A选项结论正确； 选项B：时，两车还未出发，距离，即A、B两地相距，B选项结论正确； 选项D： 两车2小时相遇，因此速度和：， 图像转折点表示快车到达B地（之后仅慢车行驶），从相遇至快车到达，用时，这段路程就是相遇前慢车走的​， ∴​， 联立​​， 解得， ∴D选项中快车速度错误，D选项结论错误． 选项C：快车走完全程时间：，慢车走完全程时间：，时间差：，即快车比慢车早到达，C选项结论正确； 12. 如图1，在矩形中，点E是上一点，，连接，点F从点A出发，以每秒1个单位长度的速度依次沿着、边匀速运动到点C停止，连接，的面积为y，点F运动的时间为t，y随t变化的图象如图2所示，当时，t的值为（ ） A. 3或6 B. 或6 C. 或5 D. 3或5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得，，，得到，结合，利用分割法表示面积解答即可． 【详解】解：根据题意，得， 当点F在上运动时，根据题意，得， 根据图象，得当时，面积为6， ∴， ∴，此时点F运动到点B处， ∴矩形的长为，宽为， ∴， 当时，得， 解得； 当点F在上运动时， 根据题意，得，， 根据题意，得，故， ∴ ， 当时，得， 解得； 综上所述，当运动时间为或6时，． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 蒙古馅饼和稀果羹是内蒙古的特色美食．美食街一家小吃店一张蒙古馅饼元，一杯稀果羹元，买张蒙古馅饼和杯稀果羹需要付_______________元（用含，的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据总价等于单价乘以数量，分别求出购买蒙古馅饼和稀果羹的费用，再将两者相加，即可得到总费用． 【详解】解：由题意可得：购买张蒙古馅饼的总费用为元， 购买杯稀果羹的总费用为元， 总费用为元. 14. 一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第20个单项式是________． 【答案】 【解析】 【分析】分别从系数的符号、系数的绝对值、的指数三个方面，找出单项式随项数变化的规律，再将项数代入规律计算即可. 【详解】解：观察这列单项式：，，，，，，，， 可得第个单项式的规律：系数的符号：奇数项为正，偶数项为负，可表示为； 系数的绝对值：是从开始的连续奇数，可表示为； 的指数：等于项数，可表示为； 因此第个单项式可写为， 将代入得：. 15. 如图，圆柱玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下端A处有一只蚂蚁．在蚂蚁正对面容器内上底点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离是________． 【答案】##厘米 【解析】 【分析】根据题意得到圆柱体的展开图，确定A、B的位置，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：圆柱体侧面展开图如下： ∵底面周长为， ∴， ∵圆柱玻璃容器高， ∴， 在中，， ∴蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离为． 16. 如图，在矩形中，，以为直径的半圆交于点，，以为直径在上方作半圆，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，，根据含30度角的直角三角形的性质得出，，，，再由求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，，，点M、N、A都在圆上， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴四边形为矩形， ∵， ∴． ∴， ∴． ∴， ∴，，， ∴ ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算、解方程： （1）； （2）； （3）求的余角． （4）解方程：． 【答案】（1）； （2）； （3）； （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： =； 【小问3详解】 解：的余角是： ； 【小问4详解】 解： 去分母得： ， 去括号得： ， 移项合并同类项得： ， 系数化为1得： ． 18. 一个不透明的袋中有红、黄、白三种颜色球共50个，它们除了颜色外其他都相同，其中黄球个数比白球个数的2倍少5个，已知从袋中摸出一个红球的概率是． （1）求袋中白球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是黄球的概率； （3）取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）总个数乘以红球的概率求出红球个数，据此得出黄、白球的总个数，设袋中白球的个数为x个，根据黄球个数比白球个数的2倍少5个及球的总个数列出关于x的方程，解之即可； （2）用黄球的个数除以球的总个数即可； （3）用红球的个数除以袋中剩余球的总个数即可． 【小问1详解】 解：袋中红球的个数为（个）， 则袋中黄、白球的总个数为（个）， 设袋中白球的个数为x个， 则， 解得， ∴袋中白球有15个； 【小问2详解】 解：由（1）知，袋中黄球的个数为个， 所以从袋中摸出一个球是黄球的概率为； 【小问3详解】 解：取走2个白球和3个黄球后，红球有10个，球的总个数为45个， 所以从剩余的球中摸出一个球是红球的概率为． 19. 绿色出行是践行生态文明理念、推动低碳发展的重要举措，而骑行则是践行这一理念的最佳选择．某自行车店抓住机遇，计划同时购进甲、乙两种型号的自行车，若购进3辆甲型号自行车和4辆乙型号自行车，共需要资金6200元；若购进4辆甲型号自行车和5辆乙型号自行车，共需要资金8000元． （1）求甲、乙两种型号的自行车每辆进价各为多少元； （2）该店预计用不少于1.8万元且不多于1.9万元的资金购进这两种型号的自行车共20辆，请问共有多少种进货方案？ 【答案】（1）甲型号自行车每辆进价为1000元，乙型号自行车每辆进价为800元 （2）共有6种进货方案 【解析】 【分析】（1）设甲型号自行车每辆进价为x元，乙型号自行车每辆进价为y元，根据题意列二元一次方程组求解； （2）设购进m辆甲型号自行车，则购进辆乙型号自行车，根据题意列一元一次不等式组求m的解集． 【小问1详解】 解：设甲型号自行车每辆进价为x元，乙型号自行车每辆进价为y元， 根据题意，得， 解得， 所以甲型号自行车每辆进价为1000元，乙型号自行车每辆进价为800元． 【小问2详解】 解：设购进m辆甲型号自行车，则购进辆乙型号自行车， 根据题意，得， 解得， 又m为正整数， m可以为10，11，12，13，14，15， 共有6种进货方案． 20. 【问题提出】如图，某公园的湖泊内有一沙洲．因湖水较深，无法直接测量沙洲的长度． 【方案设计】某课外活动小组在湖岸上选定测绘点A，用某手机测量软件测得点C，D都在A的南偏西方向上．从测绘点A沿正西方向行走米到测绘点B，测得点C恰好在点B的正南方向，点D在点B的南偏东方向上．（参考数据：，，） 【解决问题】 （1）求的度数； （2）求沙洲的长度． 【答案】（1） （2）沙洲的长度约为192米 【解析】 【分析】（1）由求出的大小，再由三角形外角的性质求出的度数； （2）先求出的大小，由的余弦值求出的长，再由的正切值求出的长． 【小问1详解】 解：由题意得， ， ； 【小问2详解】 在中，， （米）， 在中，， （米）， 答：沙洲的长度约为192米． 21. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由平行四边形的性质可得，，，再由平行线的性质结合角平分线的性质得到，等角对等边可得，即可得证； （2）由菱形的性质可得，，，再根据勾股定理可得的长，最后根据菱形的面积公式求解即可． 【小问1详解】 证明：四边形是平行四边形， ，，， ． 平分， ， ， ， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：由（1）知，四边形是菱形， ，，． ， ， ， 菱形的面积是． 22. 如图，是半的直径，点在半上，，，连接、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：连接． ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用直径所对圆周角为直角、等腰三角形性质，结合已知角的关系，证明，从而证得是切线； （2）通过得到直角，结合角的等量关系证明三角形相似，设未知数表示边长，利用勾股定理列方程求解的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如（1）图， ∵，是的直径， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴设，，则， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 解得：， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的切线判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握圆的切线判定方法、相似三角形的性质并合理设参计算是解题的关键． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）直接写出抛物线的对称轴________； （2）如图1，已知点，点，若抛物线与线段有公共点时，求的取值范围； （3）如图2，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，两点（点在第三象限），直线交轴于点，直线交轴于点，当，请判断是否为一个定值，并说明理由． 【答案】（1）1； （2）或． （3）解：，理由如下： 设，，， 解方程组， 整理可得：， ，， ，， 直线， 设直线的解析式为， 解方程组：， 整理可得：， ，， 解得：，， 直线， 设直线的解析式为， 解方程组， 整理可得：， ，， 解得：，， 直线，令，，， ，， ， ， 即， 又， ， ， 为定值． 【解析】 【分析】（1）根据二次函数的对称轴公式求出抛物线的对称轴即可； （2）因为抛物线与线段有公共点，当时，可得不等式；当时，可得不等式；解不等式即可求出的取值范围； （3）设，，，根据点、是抛物线与直线的交点，可得：，根据一元二次方程根与系数的关系可得：，，即可求出，，从而得到直线和的解析式，分别求出两直线与轴交点的纵坐标，根据列出方程即可得到结果． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴为； 【小问2详解】 解：当时，抛物线开口向上， 则时，可得：， ， 当时，抛物线开口向下， 则时，可得：， ， 综上所述：或； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广西凭祥市初中学业水平考二模数学卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. “十四五”以来，内蒙古通辽市统筹山水林田湖草沙系统治理，依托“三北”工程等重大项目，完成林草生态修复2164.8万亩，治理沙化土地2000余万亩．数据“2164.8万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若的展开式中不含项，则常数的值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 4. 已知甲长方形相邻两边长相差6，乙长方形相邻两边长相差4，甲、乙两长方形的周长相等．若甲长方形的面积记为，乙长方形的面积记为，则的值为（ ） A. 3 B. C. 5 D. 5. 如图，菱形在平面直角坐标系中，，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 二次函数的图象上有两点和，则该二次函数的图象顶点不可能在（ ） A. 第四象限 B. 第三象限 C. 第二象限 D. 第一象限 7. 已知如图，折叠长方形的一边，使点D落在边的点F处，已知，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（ ） A. 3 B. C. 3或 D. 3或 9. 如图，正方形和正方形的对称中心都是点O，其边长分别是5和3，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. 4 D. 10. 如图，在正方形网格中，点A，B，C为网格交点，，垂足为D，则的值为（ ）. A. B. C. D. 11. 一列快车从A地匀速驶向B地，一列慢车从B地匀速驶向A地，两车同时出发，各自到达目的地后停止．两车之间的距离与行驶时间之间的函数关系如图所示，则下列结论错误的是（ ） A. 两车出发后相遇 B. A，B两地相距 C. 快车比慢车早到达目的地 D. 快车的速度为，慢车的速度为 12. 如图1，在矩形中，点E是上一点，，连接，点F从点A出发，以每秒1个单位长度的速度依次沿着、边匀速运动到点C停止，连接，的面积为y，点F运动的时间为t，y随t变化的图象如图2所示，当时，t的值为（ ） A. 3或6 B. 或6 C. 或5 D. 3或5 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 蒙古馅饼和稀果羹是内蒙古的特色美食．美食街一家小吃店一张蒙古馅饼元，一杯稀果羹元，买张蒙古馅饼和杯稀果羹需要付_______________元（用含，的代数式表示）． 14. 一列单项式按以下规律排列：，，，，，，，，则第20个单项式是________． 15. 如图，圆柱玻璃容器高，底面周长为，在容器内壁距下端A处有一只蚂蚁．在蚂蚁正对面容器内上底点B处有一滴蜂蜜，则蚂蚁要吃到蜂蜜所爬行的最短距离是________． 16. 如图，在矩形中，，以为直径的半圆交于点，，以为直径在上方作半圆，则图中阴影部分的面积为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算、解方程： （1）； （2）； （3）求的余角． （4）解方程：． 18. 一个不透明的袋中有红、黄、白三种颜色球共50个，它们除了颜色外其他都相同，其中黄球个数比白球个数的2倍少5个，已知从袋中摸出一个红球的概率是． （1）求袋中白球的个数； （2）求从袋中摸出一个球是黄球的概率； （3）取走2个白球和3个黄球后，求从剩余的球中摸出一个球是红球的概率． 19. 绿色出行是践行生态文明理念、推动低碳发展的重要举措，而骑行则是践行这一理念的最佳选择．某自行车店抓住机遇，计划同时购进甲、乙两种型号的自行车，若购进3辆甲型号自行车和4辆乙型号自行车，共需要资金6200元；若购进4辆甲型号自行车和5辆乙型号自行车，共需要资金8000元． （1）求甲、乙两种型号的自行车每辆进价各为多少元； （2）该店预计用不少于1.8万元且不多于1.9万元的资金购进这两种型号的自行车共20辆，请问共有多少种进货方案？ 20. 【问题提出】如图，某公园的湖泊内有一沙洲．因湖水较深，无法直接测量沙洲的长度． 【方案设计】某课外活动小组在湖岸上选定测绘点A，用某手机测量软件测得点C，D都在A的南偏西方向上．从测绘点A沿正西方向行走米到测绘点B，测得点C恰好在点B的正南方向，点D在点B的南偏东方向上．（参考数据：，，） 【解决问题】 （1）求的度数； （2）求沙洲的长度． 21. 如图，在平行四边形中，对角线，交于点，平分，过点作，交的延长线于点． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 22. 如图，是半的直径，点在半上，，，连接、． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，已知抛物线（）． （1）直接写出抛物线的对称轴________； （2）如图1，已知点，点，若抛物线与线段有公共点时，求的取值范围； （3）如图2，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，直线与抛物线交于点，两点（点在第三象限），直线交轴于点，直线交轴于点，当，请判断是否为一个定值，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $