2026年广西壮族自治区河池市东兰县二模数学试题

**基本信息** 以AI大模型图标、数字人民币等时代素材为情境，融合赵爽弦图文化传承与游乐园排队等实际问题，实现基础巩固与创新应用的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|轴对称、正负数、多项式运算、概率等|AI大模型图标考轴对称（几何直观），数字人民币情境考正负数（数感）| |填空题|4/12|分式化简、一元二次方程根的判别式等|平移阴影面积计算，考查空间观念| |解答题|7/72|勾股定理证明、函数模型、实际应用等|赵爽弦图证明勾股定理（创新意识），游乐园排队问题构建函数模型（模型观念）|

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B B A B A D B C D 题号 11 12 答案 D D 13． 解：∵， ∴， 解得， ∴． 14． 解：方程是关于的一元二次方程， ，即． 方程有两个相等的实数根 ， ， 其中，， ，代入得 ， 解得，满足． 15．14 解：∵沿着点A到点C的方向平移到的位置， ∴， ∴， ∴阴影部分面积等于梯形的面积， 由平移的性质得，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴梯形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 16．/ 解：延长交于点E，延长到点O，使，连接，，， ∵，， ∴，， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴E，M，N三点共线， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点N是在以O为圆心，以的长为半径的圆上运动． 连接并延长交于点F， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当点F和点N重合时，取得最小值， ∴的最小值为． 17．(1) (2)， （1）解：原式 ； （2）解： ， 当时，原式． 18．(1)每座甲型基站的建设成本为万元 (2)228 （1）解：设每座甲型基站的建设成本为万元，则每座乙型基站的建设成本为万元 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每座甲型基站的建设成本为万元 （2）解：甲型基站数量为：（座），乙型基站数量为：（座）， ∴总巡检任务次数为：（次） 答：所有基站每天共可完成次巡检任务． 19．(1) (2) （1）解：与成正比例， 设， 当时，， ， 解得：， ，即， 与的函数表达式为； （2）解：∵点在函数的图象上， ∴． 20．(1) (2) （1）解：， ， ， ， ， 平分， ； （2）解：设，则． 平分， ， 又， ， 解得， ． ， ， ． 21．(1)证明：，， ， ， ； (2) （1）略 （2）解：延长交于点，如图， 由题意得，， 又∵，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∵， ， 设，则，，， ， ，即 解得， ， 这棵银杏树的高度为． 22．(1)证明见解析 (2) （1）证明：∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴，，，， 观察图形可知：， ∴， ∴； （2）解：∵是边上的高， ∴， ∵，，，设， ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∴， 即的值为． 23．(1) (2)① ② (3)，此时应选择海盗船排队 （1）根据题意：排队人数现场总人数已入场人数， 已知总人数， 且每分钟服务人，分钟已入场人数为， ． （2）①工作人员从门口出发，速度为米/分，匀速行走分钟， 根据路程速度时间， ∴； ②工作人员走到队伍末端时，， ∵，且， ∴， 令，， 即： ， 整理得， 解得，（舍去）， 因此． （3）海盗船分钟开始运行， 因此（）， ∴海盗船的排队人数为：总人数已服务人数 令两个项目排队人数相等，即， 代入得： ， 整理得， 解得，， 当时，过山车排队人数， 不符合“两个项目同时存在排队”，故舍去， ∴， 此时两个项目排队人数均为， 过山车每分钟服务人，需要等待分钟， 海盗船每分钟服务20人，需要等待分钟， 因此选择海盗船能更早入场． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广西壮族自治区河池市东兰县第二次学业水平考试数学科 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上。 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效。 3．不能使用计算器。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 1、 选择题（共12小题，每题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1．以下四款常用的人工智能大模型的图标，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．数字人民币是人民银行发行的数字形式法定货币，它将会逐步在全国普及．若数字人民币钱包中收入100元记作元，则支出20元记作（     ） A．元 B．元 C．元 D．元 3．有6筐水果，以每筐20千克为准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，称后记录如下：1.5，，2，，，．这6筐水果总重量为（    ） A．112千克 B．115.5千克 C．123.5千克 D．131.5千克 4．若的展开式中不含项，则常数的值为（    ） A．3 B． C．2 D． 5．已知长方形的长为，宽为，若该长方形的周长为14，面积为12，则的值为（     ） A．70 B．84 C．96 D．168 6．函数的自变量的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 7．随着课业负担加重和电子产品的普及，青少年近视问题日益突出．某地区教育部门连续多年对中学生近视人数进行了抽样统计，部分年份数据如下表（年份不连续）： 年份 近视人数（万人） 若设年到年近视人数的年平均增长率为，则下列方程正确的是（     ）． A． B． C． D． 8．如图，四个完全相同的球上分别标有数字，，0，6，将四个小球置于暗箱中摇匀后随机取出一个球记为m，不放回，再取出一个记为n，则能被2整除的概率为（   ） A． B． C． D． 9．如图，中，E为对角线上一点，过点E的直线分别交边，于点F，G，交射线，于点P，Q．若，，则的值为（    ） A．12 B．15 C．21 D．28 10．如图，在中，，，，点P为上任意一点，连接，以，为邻边作平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 11．某智能电饭煲煮饭过程如下：先开机加热，锅内温度从匀速升至，加热时间为10分钟；然后自动转为恒温沸腾模式，保持持续2分钟；之后自动断电，温度开始自然下降．下降过程中，锅内温度与启动加热后通电时间成反比例函数关系（从断电时刻开始计为反比例的起点）．当温度降至时，自动启动保温功能．如图是开始启动加热过程中，锅内温度与通电时间的函数关系图象，则下列说法中错误的是（     ） A．启动后5分钟时，锅内温度为 B．加热阶段，与的函数关系式为 C．启动后15分钟时，锅内温度为 D．从启动到启动保温功能，锅内温度不低于的总时长为8分钟 12．如图，一段抛物线记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转180°得，交x轴于另一点；将绕点旋转180°得，交x轴于另一点，……，如此进行下去，则的顶点坐标是（  ） A． B． C． D． 2、 填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13．已知，则_____________． 14．若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是______． 15．如图，在中，，，将沿方向向右平移得到，交于，已知，，则阴影部分的面积为_______． 16．如图，在正方形中，，以点A为圆心，长为半径作圆A，M是圆A上一动点，以为直角边作直角三角形，使（B，M，N三点为顺时针顺序），，连接，则的最小值为______． 3、 解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）。 17．（本小题满分8分）计算和化简求值 (1)； (2)，其中． 18．（本小题满分10分）当前，低空经济快速崛起、应用场景不断拓展，某基建企业承接一批低空智能巡检基站建设任务，需建设甲、乙两类基站，计划共建座． 已知每座乙型基站的建设成本是甲型基站的倍，且企业计划投入万元专门用于修建甲型基站，投入万元专门用于修建乙型基站（资金恰好全部用完）． (1)求每座甲型基站的建设成本为多少万元． (2)基站建成后，每座甲型基站每天可完成次低空巡检任务，每座乙型基站每天可完成次低空巡检任务，则所有基站每天共可完成 次巡检任务． 19．（本小题满分10分）已知与成正比例，当时，． (1)求与的函数表达式； (2)若点在（1）中的函数图象上，请求出m的值． 20．（本小题满分10分）如图，直线相交于点，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 21．（本小题满分10分）嵩山少林寺古银杏，相传为千年名木，是少林寺标志性景观之一．某数学兴趣小组准备用学过的数学知识测量这棵银杏树的高度．具体方法如下：如图，在处利用高为的测角仪（即）测得这棵银杏树顶端点的仰角的度数为，在距离点的处（即）竖立一根高为的标杆（即），使地面上的点、标杆顶端点和银杏树顶端点在同一直线上，测得．已知，，，点、、、在同一水平直线上，图中所有的点都在同一平面内（参考数据：，，） (1)证明：； (2)求这棵银杏树的高度． 22．（本小题满分12分）【背景介绍】 勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，四个直角三角形的两条直角边长分别为，，小正方形的边长为，即，从而得到等式，化简便得结论．这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】 (1)将两个全等的直角三角形按照图2所示摆放（，），使和在一条直线上，连接．请用，，分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：． 【方法迁移】 (2)如图3，在中，是边上的高，，，，设，求的值． 23．（本小题满分12分）综合与实践 问题情境： 某游乐园上午点开园，一个热门过山车项目从开园起开始运行，游客陆续到达并排队．经研究发现，现场总人数（人）与过山车项目运行时间（分）之间满足关系式：．观众进场立即排队，在任意时刻都满足：排队人数现场总人数已入场人数．过山车每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人． 建立模型： (1)过山车项目的排队人数（单位：人）与运行时间（单位：分）的关系式为 ； 问题解决： (2)在过山车开始运行的同时，一名工作人员从门口出发，以米/分的速度沿队伍向末端匀速行走．门口位于第一名游客前方米处，假设排队游客每人间距为米，定义队伍长度（单位：米）为从门口到队伍末端（最后一名游客所在位置）的距离，则与排队人数的关系为． ①工作人员与门口的距离（单位：米）与运行时间（单位：分）的关系式为 ； ②当工作人员恰好走到队伍最末端时，求的值； (3)过山车项目附近有另一个热门项目“海盗船”（两个项目之间的距离忽略不计）．海盗船在分钟时开始运行，其现场总人数（单位：人）与运行时间（从海盗船项目开始运行起算，单位：分钟）满足关系式．已知海盗船每趟可载人，每2分钟发一趟，即平均每分钟服务人．当两个项目同时存在排队，且两个项目的排队人数恰好相等时，直接写出的值，并说明此时游客应选择哪个项目排队能更早入场． 1 1 学科网（北京）股份有限公司 $