精品解析：上海市致远中学2025-2026学年八年级下学期 数学学科大作业

2025学年度第二学期八年级数学学科大作业 （满分100分，时间90分钟） 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 中，若，和它相似的一个三角形的最短边是15，则这个三角形的周长是（ ） A. 63 B. 54 C. 45 D. 162 4. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，点E为的中点，过点E作，已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（每题3分，共36分） 7. 若，则____________． 8. 如图，，则__________． 9. 如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看成线段，则蜻蜓的腹部长与全身长之比等于头部、胸部总长与腹部长之比（即，这个比值就是黄金比）．若蜻蜓的全身长是，则蜻蜓的腹部长是____．（结果保留根号） 10. 如图，若，且，则_____． 11. 如图，在中，是上的一点，，，，则________． 12. 如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 13. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且．若，，，则EF的长为______． 14. 如图，在矩形中，，．点E在的延长线上，连接，交于点F．若的面积为15，则的面积为______． 15. 如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 16. 小红把一张面积为的等边三角形纸片剪去三个相同大小的等边三角形纸片之后，剩下的纸片恰好是一个正六边形，则这个正六边形纸片的面积是_______． 17. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 18. 如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为________． 三、解答题（第19至23题，每题6分：第24至25题，每题8分） 19. 已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求的值； 20. 如图，、交于点E，，且平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4 cm2和9 cm2，求△ABC的面积． 22. 如图，D是的边上的点，，E是的中点，求：的值． 23. 如图，在中，，为边上的中线，于点． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 24. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE//BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证： （1）△DEF∽△BDE； （2）DGDF=BDEF 25. 正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点． （1）如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网命组卷网 2025学年度第二学期八年级数学学科大作业 (满分100分，时间90分钟) 一、单选题（每题3分，共18分） 1.如图，四边形ABCD与四边形EFGH相似，且A、B、C、D分别与E、F、G、H对应，则 ∠D的度数为() E 80 H B人70 G 100° A B1100 C1200 D1300 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出∠A和∠C的度数，再利用四边形内角和定理计算∠D的 度数、 【详解】解：：四边形ABCD与四边形EFGH相似，且A、B、C、D分别与E、F、G、H对应， .∠A=∠E=80°，∠C=∠G=90°」 在四边形ABCD中，，∠A+∠B+∠C+∠D=360°， :2D=3600-∠4-∠B-∠C=360°-80°-70°-90°=120° 2如图，直线，直线a,b与、、马分别交于点A、B、C和点D、瓜，R,若：BC=l2 DF=12,则EF的长为() 第1页/共30页 6学科网命组卷网 B Q b A.4 B.6 C.8 D.10 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可. 【详解)·4川%川吗 DE AB 1 EF BC 2, DE=1ER 2 DF-DE+EF-TEF+EF-3EF-12 2 2 .EF=8 3.AABC BC=54,AB=63,CA=45 中，若 ,和它相似的一个三角形的最短边是15，则这个三角形的周 长是() A.63 B.54 C.45 D.162 【答案】B 【解析】 【分析】先确定原三角形的最短边，得到相似比，再计算目标三角形的周长. 【详解】解：在△ABC中，BC=54,AB=63,CA=45, 可得原三角形最短边为CA=45,原△ABC的周长为45+54+63=162. 第2页/共30页 6学科网 命组卷网 设所求相似三角形的周长为C, ·两个三角形相似，相似三角形周长比等于相似比， C15 .162-45, 解得C=54 4.阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球.”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点 位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物.这一原理在生活中随处可见.如图甲，这是用杠杆撬石头的 示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头.如图乙所示，动力臂OA=150Cm,阻力臂 OB=50cm BD=20cm AC ,则的长度是() O B 甲 乙 80cm 60cm C.50cm 40cm A. B. D 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例 求得AC的长度.解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式. 【详解】解：，AC⊥AB,BD⊥AB, .ACll BD .△AOC∽ABOD AC AO .BD OB' 第3页/共30页 学科网 命组卷网 .动力臂OA=150cm,阻力臂OB=50cm,BD=20cm AC_150 .2050, .∴.AC=60 ..AC 60cm 的长为 故选：B. 5.如图，△ABC中，∠A=65°，AB=6,AC=3,将△ABC沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原 三角形不相似的是() 65 X65 65 65 65 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可. 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等(65°的两个角是对应角，∠B是公共角)， 故两三角形相似，故本选项不符合题意： B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等(65°的两个角是对应角，∠B是公共角)，故两三角形 相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等（比值均为2，夹角为公共角），故两三角形相似，故本选项不 符合题意. 6.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,AC⊥AB,点E为OC的中点，过点 作BF1B,已知AC=6,BD=10,则F的长为{) E 第4页/共30页 可学科网命组卷网 A F ② 1 A.2 B.√2 C.2 D.1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出AB=4,再证明△CEF∽△CAB,进而即可求解， 【详解】解：：四边形ABCD为平行四边形，AC=6,BD=10, 01=oc54c=3.0B=0D-0D=5 2 .AC⊥AB :.AB=V0B2-0AP=V52-32=4. :点E为OC的中点， .CE-10C=1AC 2 4 .EFI‖AB :.△CEFACAB, EF CE 1 EF=14B=1 .ABCA4,即 4 二、填空题（每题3分，共36分） 第5页/共30页 6学科网命组卷网 b5 a-2b 7.若a3,则b 7 【答案】5 【解析】 【分析】根据己知比例关系得到α与b的关系式代入所求代数式化简即可得到结果. b-5 【详解】解：，a3, 3 a=- 5 3b-2b-76 a-2b_50 b DC∥EF∥GH∥AB,BC=12,DE=EG=GA 8.如图， ,则BFs D G B 【答案】8 【解析】 DC∥EF∥GH∥AB,BC=12,DE=EG=GA 【详解】解：， DE-CF-1EG-WH-I .EG FHAG HB, .CF-FH-HB=IBC-4 3 第6页/共30页 学科网命组卷网 .'BF=FH+HB=8. 9.如图，把蜻蜓的全身看作一条线段AB，腹部看成线段BC,则蜻蜓的腹部长BC与全身长AB之比等 BC AC 于头部、胸部总长AC与腹部长BC之比（即ABBC,这个比值就是黄金比）·若蜻蜓的全身长AB 是8cm,则蜻蜓的腹部长BC是_cm.(结果保留根号) A C B。 【答案1(4v5-4) 【解析】 【分析】首先根据线段之间的关系和黄金分割比建立关于BC的一元二次方程，利用求根公式解方程后排 除负根即为答案。 BC AC 【详解】解：：AB=8cm,ABBC,且AC=AB-BC=8-BC, BC 8-BC ∴将AB=8,AC=8-BC代入比例式，得：8BC, BC2+8BC-64=0 整理得： 根据求根公式x=b±vB2-4ac 可得：BC=8±8-4x1x(-60-8±v520-8±85 2a 2 2 2, ,线段长度为正数，舍去负根， 片c=8+85=45-4em 2 第7页/共30页 6学科网列组卷网 DE 2 AD+AE+DE I0.如图，若DE∥BC,且BC3,则AB+AC+BC D E B 2 【答案】3 【解析】 AD AE DE 2 【分析】先证明△ADE∽△ABC,得到AB AC BC3,再根据比例的性质，从而得出答案. 【详解】解：，DE∥BC, ∠ADE=∠B,∠AED=∠C ∴△ADE∽△ABC AD AE DE 2 :AB AC BC3, AD+AE+DE 2 .AB+AC+BC 3. 11.如图，在△ABC中，D是AB上的一点，∠ACD=∠B,AC=4,AB=8,则AD= B 【答案】2 【解析】 【分析】证出△ACD∽△ABC,利用相似三角形的性质求解即可. 第8页/共30页 可学科网命组卷网 【详解】解：在△ACD和△ABC中， [∠ACD=∠B ∠A=∠A, ,△ACD∽△ABC, AD AC :AC AB, AC=4,AB=8, AD 4 .48, 解得AD=2. 12.如图所示，有△ABC和△ADE,小嘉同学欲添加两个条件使得△ABC∽△ADE,现有三个条件可供 AD AE 他选择：①∠I=∠2：②∠B=∠D:③AB=4C,则正确的组合可以是一（填序号） D B 【答案】①②或①③ 【解析】 【分析】由∠I=∠2可得∠DAE=∠BAC.只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得 △ABC AADE 【详解】解：，∠1=∠2， ∴.∠I+∠BAE=∠2+∠BAE,即∠DAE=∠BAC. AD AE 当∠B=∠D或ABAC时，△ABC∽△MADE,即①②或①③符合题意. 第9页/共30页 6学科网 命组卷网 13.如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边BC,DC上，且AE⊥EF.若AB=2,AD=4, BE=1,则EF的长为 B E 35 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得△ABE∽△ECF是解题 的关键。 根据矩形的性质以及勾股定理可得BC=3、4L=V5,再证明△MBEB∽△BCF,然后根据相似三角形 的性质列比例式求解即可. 【详解】解：四边形ABCD是矩形， .∠B=∠C=90°，BC=AD=4, EC=BC-BE=4-1=3.AE=AB2+BE2=5 .∠B=∠C=90°， .∠BAE+∠AEB=90°， AE⊥EF, .∠AEB+∠CEF=90°， :.∠BAE=∠CEF, .△ABE∽△ECF, 第10页/共30页 学科网 6组卷网 AE AB5 2 ·EFEC,即EF=3,解得： EC=3V5 2. 3W5 故答案为：2. 14.如图，在矩形ABCD中，AB=6,AD=4.点E在BC的延长线上，连接AE,交CD于点F.若 △ABE的面积为15，则△ADF的面积为一 C 7 E D 48 【答案】5 【解析】 【分析】由矩形的性质可得BC=MD=4,CD=AB=6∠B=∠D=90°ADIBC 结合4ABE 的面积为15，得出BE=5,求出CE=1,再证明△MDF∽△EC,求BDF- 5,最后由三角形面 积公式计算即可得出结果. 【详解】解：：四边形ABCD为矩形， :BC=AD=4CD=AB=6∠B=∠D=90°ADIBC .△ABE的面积为15， BE:AB-TBEX6-15 .2 .BE=5, 第11页/共30页 6学科网 命组卷网 .CE=BE-BC=1. :ADI∥BC .△ADF∽△ECF, DF_AD-4=4 ..CF CE 1, .DF+CF=CD. :DF-4CD=24 5, D-DF=x4×3 2448 ∴△ADF的面积为2 2 55. 15.如图，在△ABC中，点F、G在BC上，点E、H分别在AB、AC上，四边形EFGH是矩形， EH=2EF,ADa△ABC BC=8,AD=6 是 的高. 6,那么EH的长为， A E M H B D G C 24 【答案】5州.8 【解析】 第12页/共30页 命学科网命组卷网 【分析】通过四边形EFGH为矩形推出EH∥BC,因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为 AM EH △AEH的高，可得出ADBC,再将数据代入即可得出答案. 【详解】四边形EFGH是矩形， .EH∥BC, ∴.△AEHAABC, ,AM和AD分别是△AEH和△ABC的高， AM EH ,DM EF .AD BC .AM=AD-DM=AD-EF=6-EF, EH=2EF. 6-EF 2EF 代入可得： 6 8, EF=12 解得5， .EH-2x12-24 55, 24 故答案为：5. 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键， 6cm 16.小红把一张面积为的等边三角形纸片剪去三个相同大小的等边三角形纸片之后，剩下的纸片恰好 cm2 是一个正六边形，则这个正六边形纸片的面积是 第13页/共30页 命学科网命组卷网 【答案】4 【解析】 【分析】根据等边三角形与正六边形的性质，可知剪去的小等边三角形与原大等边三角形相似，且相似比 为：3，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出小等边三角形的面积，再用原三角形面积减去三 个小等边三角形的面积即可得到正六边形的面积. 【详解】解：·剩下的纸片是正六边形， 剪去的三个等边三角形全等，且小等边三角形的边长等于正六边形的边长， ∴原大等边三角形的边长为3倍小等边三角形的边长， ·小等边三角形与原大等边三角形相似，相似比为1：3， 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得面积比为1：9， S 9S=6cm2 设每个小等边三角形的面积为°，则 2 S=二cm2 解得3 ·正六边形的面积 6-3xs=6-3x号-4em）】 17.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90,AC=BC=5.正方形DBFG的边长为5，它的顶点D, E,G分别在△ABC的边上，则BG的长为一 第14页/供30页 6学科网6组卷网 D B E 【答案)3V2 【解析】 【分析】过点G作GH⊥AC，易得△AHG为等腰直角三角形，设AH=HG=x,得到 CH=AC-AH=5- ,证明△GHD≌aDCE CD=GH CD=x DH=5-2x 得到 ,进而得到 在Rt△DHG中，利用勾股定理求出x的值，根据平行线分线段成比例，求出BG的长即可. 【详解】解：过点G作GH⊥AC,则：∠AHG=∠GHD=90°， H-- T D ch B E .∠DGH+∠HDG=90°. .∠ACB=90°，AC=BC=5, :AB=5V2,∠A=∠B=450 第15页/共30页 6学科网列组卷网 .∠AGH=45°=∠A, .AH=HG, 设AH=HG=x,则：CH=AC-AH=5-x, 正方形DEFG. .DG=DE,∠GDE=90° .∠HDG+∠CDE=90°， .∠HGD=∠CDE, .∠C=∠GHD=90°， .△GHD≌△DCE, CD=GH=x, .DH=CH-CD=5-2x, 在RtGHD中，由勾股定理，得：GD2=DH'+G :（5=(5-2x+x,解得：x=2: :H=2,CH=3 .∠C=∠AHD=90°」 .HG∥BC. AG AH 2 .BG CH 3, 第16页/供30页 命学科网命组卷网 BG-3AB-3x52-32 3 故答案为： 32 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行 线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形. 18.如图，在四边形ABCD中，AB=5,AD=4,CD=0.8,∠A=∠D=120°，在边AD上有一动点 P,若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则AP的长为 B 100 【答案】2或29 【解析】 【分析】由∠A=∠D,可得出存在△ABP∽△DPC和△ABP∽aDCP两种情况，设AP=m,则 DP=4-m△ABP∽△DPC ，当 时，利用相似三角形的性质，可列出关于的分式方程，解之经检验 后，可得出m的值（即AP的长）；当△ABP∽△DCP时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式 方程，解之经检验后，即可得出的值（即AP的长）· 本题考查了相似三角形的性质，分△ABP∽△DPC和△ABP∽aDCP两种情况，求出AP的长是解题的 关键， 【详解】解：，∠A=∠D=120°， ·存在△ABPn△DPC和△ABPPADCP两种情况. 第17页/共30页 命学科网命组卷网 设AP=m,则DP=AD-AP=4-m, AP AB 当△ABP∽△DPC时，DCDP, m5 即0.84-m, 解得：m=m=2 经检验， m1=m2=2 是所列方程的解，且符合题意， ∴此时AP=2: AP AB 当△ABP∽ADCP时，DPDC, m 5 即4-m0.8, 100 m= 解得： 29, 100 经检验，m= 29是所列方程的解，且符合题意， P100 此时 29. 100 综上所述，AP的长为2或29. 100 故答案为：2或29. 三、解答题（第19至23题，每题6分：第24至25题，每题8分) 第18页/共30页 命学科网命组卷网 19.已知线段a、b、c满足a:b:c=3:2:4,且a+2b+c=33 (1)求a6c的值： (2)若线段x是线段4b的比例中项，求x的值； 【答案】(1)a=9,b=6,c=12: (2)x=3V6 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键 (1)根据a:b:c=3:2:4,设a=3k,b=2k,c=4k,再代入等式进行计算即可得： (2)根据比例中项的定义列式求解即可. 【小问1详解】 解：a:b:c=3:2:4 .设a=3k,b=2k,c=4k, .a+2b+c=33 :.3k+4k+4k=33,解得：k=3, .a=9,b=6,c=12: 【小问2详解】 解：，线段x是线段ab的比例中项， a x ..x b, .x2=ab 第19页/共30页 6学科网 组卷网 .a=9,b=6, :x=V6x9=36(负值己舍去). 20.如图，AC、BD交于点E,BC=CD,且BD平分∠ABC, (1)求证：△AEB∽△CED, (2)若BC=12,EC=6,AE=4,求AB的长. 【答案】(1) 证明：，BC=CD .∠D=∠CBD. :BD平分∠ABC, .∠ABE=∠CBD. .∠D=∠ABE」 .∠DEC=∠BEA, .△AEB∽△CED (2)8 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线，熟练掌握相似的判定和性 质是解题的关键. 第20页/共30页 6学科网 命组卷网 (I)先证明∠D=∠ABE,结合∠DEC=∠BEA即可得证. AB AE (2)根据△AEB∽△CED,得到CDCE,结合BC=CD,代入解答即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：△AEBr△CED, AB AE .CD CE. .BC=CD」 AB AE .BC CE. .BC=12,EC=6,AE=4, AB 4 .126. 解得AB=8 21.如图，在△ABC中，DE∥BC,EF∥AB,已知△ADE和△EFC的面积分别为4cm和9cm,求△ABC 的面积. 【答案】S△4Bc=25cm2, 【解析】 第21页/共30页 命学科网命组卷网 【分析】相似三角形的面积比等于对应边之比的平方，所以可先利用△EFC一△ADE,得出对应线段的比， 进而得出面积比，最后求出面积的值. 【详解】，DE∥BC,EF∥AB, ∴.△ADE-△ABC△EFC, S.EFC 9, AE 2 .EC3,则AC5, 4=4 ·.SABC 5. .S△4DE=4cm2, ∴.SAARC-=25cm2」 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质，掌握平行线分线段成比例的性质，理解相 似三角形的面积比等于对应边长的平方比， 22.如图，D是△ABC的BC边上的点，BD:DC=2:1,E是AD的中点，求：BE:EF的值. E B D C 【答案】5：1 【解析】 PE_DE=1 【分析】过点D作CA的平行线交BF于点P,根据平行线分线段成成比例定理，可得FEAE BP_BD=2 PF DC ,进而可推得BE=5EF,从而可得BE:EF的值. 第22页/供30页 6学科网命组卷网 【详解】过点D作CA的平行线交BF于点P,如图 A B D PE DE BP BD .FE AE,PF DC BD:DC=2:1,E是AD的中点， .PE=FE,BP=2PF=4EF .BE =5EF :BE:EF=5:1 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是作辅助线，构造平行. 23.如图，在△ABC中，AB=AC,AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E. A E B D (1)求证：△BDE∽△CAD, (2)若AB=13,BC=10,求线段BE的长 【答案】(1) 证明：：AD为BC边上的中线， 第23页/供30页 6学科网6组卷网 :.BD=CD AB=AC .AD⊥BC∠B=∠C .DE⊥AB. .∠DEB=∠ADC .∴△BDEACAD BE=25 13 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识， (1)由等腰三角形的性质可知∠B=∠C,再证∠DEB=∠ADC=90°即可解决问题； BE BD (2)根据相似三角形的性质，得出CDAC,代入数据，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：：△BDEACAD, BE BD .CD AC 又.BD=CD= BC=5,AC=AB=13 BE 5 .513 第24页/共30页 6学科网 组卷网 BE= 25 解得： 13. 24已知：如图，在△ABC中，AB=AC,DE//BC,点F在边AC上，DF与BE相交于点G,且 ∠EDF=∠ABE.求证： (1)△DEF∽△BDE: (2)DG DE-BD EF B 【答案】 证明：(1)AB=AC, .∠ABC=∠ACB .DE//BC, ∴.∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°. ∴.∠BDE=∠CED, ,'∠EDF=∠ABE, .△DEF∽△BDE: DB DE (2)由△DEF∽△BDE,得DEEF, ∴DE2=DBEF, 由△DEF∽△BDE,得∠BED=∠DFE. ,∠GDE=∠EDF, .△GDE∽△EDF. DG DE .DE DF, 第25页/共30页 6学科网命组卷网 ..DE2=DG.DF, ∴.DGDF=DBEF 【解析】 【分析】(1)由AB=AC,根据等边对等角，即可证得：∠ABC-∠ACB,又由DE/BC,易得 ∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=18O°，则可证得：∠BDE=∠CED,又由已知∠EDF=∠ABE,则可 根据有两角对应相等的三角形相似，证得△DEF∽△BDE; (2)由(1)易证得DE=DBEF,又由∠BED=∠DFE与∠GDE=∠EDF证得：△GDE∽△DF,则可得： DE=DGDF,则证得：DGDF=DBEF. 【详解】略 【点睛】考查了相似三角形的性质与判定.注意有两角对应相等的三角形相似以及相似三角形的对应边成 比例定理的应用，还要注意数形结合思想的应用. 25.正方形ABCD中，点E在边BC,，CD上运动（不与正方形顶点重合）.作射线AE,将射线AE绕 点A逆时针旋转45°，交射线CD于点F., D D D A F B E B 图1 图2 图3 (1)如图，点E在边BC上，BE=DF,则图中与线段AE相等的线段是 (2)过点E作EG⊥AF,垂足为G,连接DG,求∠GDC的度数： FG (3)在(2)的条件下，当点F在边CD延长线上且DF=DG时，求AG的值. 【答案】(1)AF 第26页/供30页 6学科网 命组卷网 (2)∠GDC的度数为45°或135° (3)V2-1 【解析】 【分析】(I)根据正方形的性质和已知条件得到△ABE≌△ADF,即可得到答案； (2)当点E在边BC上时，过点G作GM L AD,垂足为M,延长MG交BC于点N,证明 △AMG≌△GNE AM=GN .△MDG ,得到 ，推出 为等腰直角三角形，得到答案： 当点E在边CD上时，过点G作G⊥DF,垂足为N,延长NG交BA延长线于点M,则四边形 ADNM △AMG≌△GNE △WDG 是矩形，同理得到 ，得到 为等腰直角三角形得到答案： FG_FN=2-1 (3)由平行的性质得到分线段成比例AGND 【小问1详解】 AF ABCD “正方形 .AB=AD,∠B=∠D=90 ·BE=DF, △ABE≌AADF, .AE=AF 【小问2详解】 解：①当点E在边BC上时（如图）， 过点G作GM⊥AD,垂足为M,延长MG交BC于点N. ∴.∠AMG=∠DMG=∠GNE=90° 第27页/共30页 学科网 组卷网 四边形CDMN是矩形. .∠2+∠3=90° .:EG⊥AF∠EAF=45° ∴.∠2+∠1=90° △AEG AG=EG 为等腰直角三角形， .∠1=∠3 .△AMG≌△GNE .AM=GN AM+MD=GN+MG .MD=MG ∴.△MDG ∠4=45° 为等腰直角三角形， ∴.∠GDC=45o M D 3 4y 2 G B E N C ②当点E在边CD上时（如图）， 过点G作GN⊥DF,垂足为N,延长NG交BA延长线于点M,则四边形ADNM是矩形， 第28页/共30页 6学科网 组卷网 同理，△AMG≌△GWE. .GN=AM=DN ∴.△WDG ∠1=45° 为等腰直角三角形， .∠GDC=180°-45°=135° MJ---- E B 综上，∠GDC的度数为45°或135， 【小问3详解】 解：当点F在边CD延长线上时，点E在边CD上（如图）， 设GN=DN=a,则DG=V2a ∴.DF=DG=V2a :FN=DF-DN=(-1)a ...GNII AD FG_F=2-1 ..AG ND 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的分线段成比例以及全等 第29页/共30页 6学科网命组卷网 。 三角形的判定和性质是解题的关键 第30页/共30页