精品解析：上海市致远中学2025-2026学年八年级下学期 数学学科大作业

2025学年度第二学期八年级数学学科大作业 （满分100分，时间90分钟） 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 中，若，和它相似的一个三角形的最短边是15，则这个三角形的周长是（ ） A. 63 B. 54 C. 45 D. 162 4. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，点E为的中点，过点E作，已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 二、填空题（每题3分，共36分） 7. 若，则____________． 8. 如图，，则__________． 9. 如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看成线段，则蜻蜓的腹部长与全身长之比等于头部、胸部总长与腹部长之比（即，这个比值就是黄金比）．若蜻蜓的全身长是，则蜻蜓的腹部长是____．（结果保留根号） 10. 如图，若，且，则_____． 11. 如图，在中，是上的一点，，，，则________． 12. 如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 13. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且．若，，，则EF的长为______． 14. 如图，在矩形中，，．点E在的延长线上，连接，交于点F．若的面积为15，则的面积为______． 15. 如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 16. 小红把一张面积为的等边三角形纸片剪去三个相同大小的等边三角形纸片之后，剩下的纸片恰好是一个正六边形，则这个正六边形纸片的面积是_______． 17. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 18. 如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为________． 三、解答题（第19至23题，每题6分：第24至25题，每题8分） 19. 已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求的值； 20. 如图，、交于点E，，且平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 21. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4 cm2和9 cm2，求△ABC的面积． 22. 如图，D是的边上的点，，E是的中点，求：的值． 23. 如图，在中，，为边上的中线，于点． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 24. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE//BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证： （1）△DEF∽△BDE； （2）DGDF=BDEF 25. 正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点． （1）如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年度第二学期八年级数学学科大作业 （满分100分，时间90分钟） 一、单选题（每题3分，共18分） 1. 如图，四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似多边形的对应角相等，求出 和 的度数，再利用四边形内角和定理计算 的度数． 【详解】解：∵四边形与四边形相似，且、、、分别与、、、对应， ∴，． 在四边形 中，∵，  ∴． 2. 如图，直线，直线a、b与、、分别交于点A、B、C和点D、E、F，若，，则的长为（　　） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理解答即可． 【详解】∵， , , ∵, ∴． 3. 中，若，和它相似的一个三角形的最短边是15，则这个三角形的周长是（ ） A. 63 B. 54 C. 45 D. 162 【答案】B 【解析】 【分析】先确定原三角形的最短边，得到相似比，再计算目标三角形的周长． 【详解】解：在中，，，， 可得原三角形最短边为，原的周长为． 设所求相似三角形的周长为， ∵两个三角形相似，相似三角形周长比等于相似比， ∴， 解得． 4. 阿基米德曾说过：“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见．如图甲，这是用杠杆撬石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端就会撬动石头．如图乙所示，动力臂，阻力臂，，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， ∵动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：B． 5. 如图，中，，将沿下图中的虚线剪开，剪下的三角形与原三角形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意； C、根据已知条件无法证明两个三角形相似，故本选项符合题意； D、这两个三角形两边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项不符合题意． 故选：C． 6. 如图，在平行四边形中，对角线相交于点O，，点E为的中点，过点E作，已知，，则的长为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，再证明，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，，， ，． ， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 二、填空题（每题3分，共36分） 7. 若，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知比例关系得到a与b的关系式.代入所求代数式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 8. 如图，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，把蜻蜓的全身看作一条线段，腹部看成线段，则蜻蜓的腹部长与全身长之比等于头部、胸部总长与腹部长之比（即，这个比值就是黄金比）．若蜻蜓的全身长是，则蜻蜓的腹部长是____．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】首先根据线段之间的关系和黄金分割比建立关于的一元二次方程，利用求根公式解方程后排除负根即为答案． 【详解】解：∵，，且， ∴将代入比例式，得：， 整理得：， ∴根据求根公式，可得：， ∵线段长度为正数，舍去负根， ∴． 10. 如图，若，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得到，再根据比例的性质，从而得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 11. 如图，在中，是上的一点，，，，则________． 【答案】2 【解析】 【分析】证出，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得． 12. 如图所示，有和，小嘉同学欲添加两个条件使得，现有三个条件可供他选择：①；②；③．则正确的组合可以是_____（填序号） 【答案】①②或①③ 【解析】 【分析】由可得．只需还有一对角对应相等或夹边对应成比例即可使得． 【详解】解：∵， ∴，即． 当或时，．即①②或①③符合题意． 13. 如图，在矩形中，点E，F分别在边上，且．若，，，则EF的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，证得是解题的关键． 根据矩形的性质以及勾股定理可得、，再证明，然后根据相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，，．点E在的延长线上，连接，交于点F．若的面积为15，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，，，结合的面积为15，得出，求出，再证明，求出，最后由三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，，， ∵的面积为15， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 15. 如图，在中，点F、G在上，点E、H分别在、上，四边形是矩形，是的高．，那么的长为____________． 【答案】##4.8 【解析】 【分析】通过四边形EFGH为矩形推出，因此△AEH与△ABC两个三角形相似，将AM视为△AEH的高，可得出，再将数据代入即可得出答案． 【详解】∵四边形EFGH是矩形， ∴， ∴， ∵AM和AD分别是△AEH和△ABC的高， ∴， ∴， ∵， 代入可得：， 解得， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质及矩形的性质，灵活运用相似三角形的性质是本题的关键． 16. 小红把一张面积为的等边三角形纸片剪去三个相同大小的等边三角形纸片之后，剩下的纸片恰好是一个正六边形，则这个正六边形纸片的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等边三角形与正六边形的性质，可知剪去的小等边三角形与原大等边三角形相似，且相似比为，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求出小等边三角形的面积，再用原三角形面积减去三个小等边三角形的面积即可得到正六边形的面积． 【详解】解：∵剩下的纸片是正六边形， ∴剪去的三个等边三角形全等，且小等边三角形的边长等于正六边形的边长， ∴原大等边三角形的边长为倍小等边三角形的边长， ∴小等边三角形与原大等边三角形相似，相似比为， 根据相似三角形的性质，面积比等于相似比的平方，可得面积比为， 设每个小等边三角形的面积为，则， 解得， ∴正六边形的面积为． 17. 如图，在中，，．正方形的边长为，它的顶点D，E，G分别在的边上，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，易得为等腰直角三角形，设，得到，证明，得到，进而得到，，在中，利用勾股定理求出的值，根据平行线分线段成比例，求出的长即可． 【详解】解：过点作，则：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则：， ∵正方形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质，平行线分线段成比例，解题的关键是添加辅助线构造特殊图形和全等三角形． 18. 如图，在四边形中，，，，，在边上有一动点P，若以A、B、P为顶点的三角形与以C、D、P为顶点的三角形相似，则的长为________． 【答案】2或 【解析】 【分析】由，可得出存在和两种情况，设，则，当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，可得出m的值（即的长）；当时，利用相似三角形的性质，可列出关于m的分式方程，解之经检验后，即可得出m的值（即的长）． 本题考查了相似三角形的性质，分和两种情况，求出的长是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴存在和两种情况． 设，则， 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时； 当时，， 即， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴此时． 综上所述，的长为2或． 故答案为：2或． 三、解答题（第19至23题，每题6分：第24至25题，每题8分） 19. 已知线段满足，且． （1）求的值； （2）若线段是线段的比例中项，求的值； 【答案】（1），，； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，比例线段，熟记比例中项的概念是解题的关键． （）根据，设，，，再代入等式进行计算即可得； （）根据比例中项的定义列式求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴设，，， ∵， ∴，解得：， ∴，，； 【小问2详解】 解：∵线段是线段的比例中项， ∴， ∴， ∵，， ∴（负值已舍去）． 20. 如图，、交于点E，，且平分． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形性质，角的平分线，熟练掌握相似的判定和性质是解题的关键． （1）先证明，结合即可得证． （2）根据，得到，结合，代入解答即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 解得． 21. 如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE和△EFC的面积分别为4 cm2和9 cm2，求△ABC的面积． 【答案】S△ABC＝25 cm2． 【解析】 【分析】相似三角形的面积比等于对应边之比的平方，所以可先利用△EFC∽△ADE，得出对应线段的比，进而得出面积比，最后求出面积的值． 【详解】∵DE∥BC，EF∥AB， ∴△ADE∽△ABC∽△EFC， ∴， ∴，则， ∴． ∵S△ADE＝4 cm2， ∴S△ABC＝25 cm2． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质，掌握平行线分线段成比例的性质，理解相似三角形的面积比等于对应边长的平方比． 22. 如图，D是的边上的点，，E是的中点，求：的值． 【答案】5:1 【解析】 【分析】过点D作的平行线交于点P，根据平行线分线段成成比例定理，可得，，进而可推得BE=5EF，从而可得BE:EF的值． 【详解】过点D作的平行线交于点P，如图 ∴， ∵BD:DC=2:1 ，E是 AD 的中点， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，关键是作辅助线，构造平行． 23. 如图，在中，，为边上的中线，于点． （1）求证：； （2）若，求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识， （1）由等腰三角形的性质可知，再证即可解决问题； （2）根据相似三角形的性质，得出，代入数据，即可求解． 【小问1详解】 证明：为边上的中线， ∴ ， ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：， 又， 解得：． 24. 已知：如图，在△ABC中，AB=AC，DE//BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF=∠ABE．求证： （1）△DEF∽△BDE； （2）DGDF=BDEF 【答案】(1)见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）由AB=AC，根据等边对等角，即可证得：∠ABC=∠ACB，又由DE∥BC，易得∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°，则可证得：∠BDE=∠CED，又由已知∠EDF=∠ABE，则可根据有两角对应相等的三角形相似，证得△DEF∽△BDE； （2）由（1）易证得DE2=DB•EF，又由∠BED=∠DFE与∠GDE=∠EDF证得：△GDE∽△EDF，则可得：DE2=DG•DF，则证得：DG•DF=DB•EF． 【详解】证明：（1）∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB， ∵DE∥BC， ∴∠ABC+∠BDE=180°，∠ACB+∠CED=180°． ∴∠BDE=∠CED， ∵∠EDF=∠ABE， ∴△DEF∽△BDE； （2）由△DEF∽△BDE，得， ∴DE2=DB•EF， 由△DEF∽△BDE，得∠BED=∠DFE． ∵∠GDE=∠EDF， ∴△GDE∽△EDF． ∴， ∴DE2=DG•DF， ∴DG•DF=DB•EF． 【点睛】考查了相似三角形的性质与判定．注意有两角对应相等的三角形相似以及相似三角形的对应边成比例定理的应用，还要注意数形结合思想的应用． 25. 正方形中，点在边，上运动（不与正方形顶点重合）．作射线，将射线绕点逆时针旋转45°，交射线于点． （1）如图，点在边上，，则图中与线段相等的线段是___________； （2）过点作，垂足为，连接，求的度数； （3）在（2）的条件下，当点在边延长线上且时，求的值． 【答案】（1） （2）的度数为或 （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和已知条件得到，即可得到答案； （2）当点在边上时，过点作，垂足为，延长交于点，证明，得到，推出为等腰直角三角形，得到答案； 当点在边上时，过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形，同理得到，得到为等腰直角三角形得到答案； （3）由平行的性质得到分线段成比例． 【小问1详解】 ． 正方形， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：①当点在边上时（如图）， 过点作，垂足为，延长交于点． ， 四边形是矩形． ． ，， ， 为等腰直角三角形，． ． ． ． ， ． 为等腰直角三角形，． ． ②当点在边上时（如图）， 过点作，垂足为，延长交延长线于点，则四边形是矩形， 同理，． ． 为等腰直角三角形，． ． 综上，的度数为45°或135°． 【小问3详解】 解：当点在边延长线上时，点在边上（如图）， 设，则． ． ． ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握平行线的分线段成比例以及全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $