精品解析：2026年江苏省盐城市初级中学教育集团二模数学试题

2025/2026学年度第二次模拟考试 数学试卷 （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 3 D. 2. 下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（ ） A. 轴对称，平移，旋转 B. 旋转，轴对称，平移 C. 轴对称，旋转，平移 D. 平移，旋转，轴对称 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在一次数学测试中，小明成绩110分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 5. 一张长方形纸条按如图折叠后，若（　　） A. B. C. D. 6. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（ ） A. B. C. D. 7. 古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象关于原点对称 B. 函数图象关于直线对称 C. 函数图象关于对称 D. 函数图象关于直线对称 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 10. 因式分解： =__________． 11. 如图，在中，点D，E分别在上，，若，则______ ． 12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=130°，则∠BOD=______°． 13. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 14. 我国古代数学著作中有这样一个问题：现有一份文书需递送，递送路程总长里．若用慢马递送，送达时长比规定时长多天；若用快马递送，送达时长比规定时长少天．已知快马的日行速度是慢马日行速度的倍，设规定时间为天，可列方程为________． 15. 已知二次函数，当时，的取值范围是___________． 16. 如图，四边形是平行四边形，沿着过点的直线翻折，使得点的对应点落在延长线上，折痕与相交于点，连接，若，且，求______________． 三、 解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解不等式组 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 已知：如图，点、、、在一条直线上，，从，，中选出其中两个作为条件，证明． （1）你选的条件是： ；（填写序号） （2）证明：． 21. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．如图是小吴收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为A，B，C），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后放好． （1）若小吴随机抽取一个文件袋，则抽到C（空中无人作战方队）图片的概率为______； （2）若小吴先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小兴再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的概率． 22. “身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现，要求中小学生每天参加综合体育活动时间不少于2小时．某中学为了解学生参加体育活动的情况，随机抽查部分学生进行了在线问卷调查． 调查问卷 1．你最喜欢参加的体育活动类型是什么？（单选） A．田径类 B．体操类 C．球类 D．其他类 2．你每天参加综合体育活动的时间是多少？ 学校根据调查结果绘制出不完整的统计图，请根据图中信息，回答下列问题． （1）随机抽查了________名学生，扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角是________； （2）估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数； （3）基于本次调查的两项数据，给学校提一条合理的建议． 23. 如图，是四边形的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 24. 防火门是消防中的必备设备，作为隔绝烟火的关键屏障，被广泛应用于公共建筑的封闭楼梯间、安全通道、地下室、消防控制室等．图1是某栋楼层的双开防火门实物图，将其左门抽象成俯视示意图如图2和图3所示．已知墙面 ，门宽． （1）如图2，当左门绕点逆时针完全打开贴到墙时，点落在点处，此时，求的长． （2）如图，当左门绕点逆时针打开时，点落在点处，求此时点到墙面的距离．(结果精确到参考数据：，，， 25. 某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台一一安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图②所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点O成中心对称，以点O为原点，过点O的水平直线为x轴，过点O且垂直于x轴的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．舞台平面l与x轴平行，交y轴于点C． 安装方式 矩形电子屏幕如图②所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点F处，左端从抛物线上的点D处拉一条绳索固定，交x轴于点G，点E、F在边上，边与平行于x轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于2米； 2．与y轴之间的距离为米，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，米，米． （1）求抛物线的函数表达式； （2）通过计算说明与舞台平面之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度． 26. 【问题情境】 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边的“比中项妙点”． （1）在Rt中，，于点，则点 （填“是”或“不是”）中边上的“比中项妙点”； 【操作探究】 （2）①如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点（的中点除外）． ②尺规作图：如图，为线段上一点，在直线上找一点，使为中边上的“比中项妙点”，其中为钝角． 【拓展提升】 （3）如图，平行四边形中，，点为边上一点，连接交对角线于点，点恰好是中边上的“比中项妙点”． ①请直接写出、、数量关系 ； ②连接并延长交于点，若点是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 27. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象记为，正比例函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，． （1）当时： 求、交点的坐标； 若，求的值； 要使随的增大而增大，请直接写出的取值范围． （2）当时，存在最大值，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025/2026学年度第二次模拟考试 数学试卷 （卷面总分：150分 考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，负数的绝对值是它的相反数，据此可得答案． 【详解】解：的绝对值是， 故选：A． 2. 下列哪吒图片的变换顺序描述正确的是（ ） A. 轴对称，平移，旋转 B. 旋转，轴对称，平移 C. 轴对称，旋转，平移 D. 平移，旋转，轴对称 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何变换的类型，解题关键是正确判断． 根据平移变换，旋转变换，旋转变换变换的定义判断即可． 【详解】解：下列各表情图片的变换顺序是轴对称变换→平移变换→旋转变换． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方运算，逐项分析判断即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项正确，符合题意； D、，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 4. 在一次数学测试中，小明成绩110分，超过班级半数同学的成绩，分析得出这个结论所用的统计量是（ ） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 方差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数的意义． 如果一组数据有奇数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的数是这组数据的中位数；如果一组数据有偶数个，那么把这组数据从小到大排列后，排在中间位置的两个数的平均数是这组数据的中位数． 根据中位数的意义求解可得． 【详解】解：根据题意可得：小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数， 故选：A． 5. 一张长方形纸条按如图折叠后，若（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由折叠的性质可得，再由平行线的性质可得，即可求解． 【详解】解：由折叠的性质得：， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了图形的折叠问题，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质，平行线的性质是解题的关键． 6. 如图，一个半径为的定滑轮带动重物上升了，假设绳索与滑轮之间没有滑动，则滑轮上某一点旋转了（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式：（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R），即可得滑轮上某一点P旋转的度数． 【详解】解：∵半径为的定滑轮带动重物上升了， 根据，得： ， 解得． 所以，滑轮上某一点P旋转了． 故选：D． 7. 古希腊著名的科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即“阻力×阻力臂=动力×动力臂”．小明同学用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别是和，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数表达式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给公式列式，整理即可得答案． 【详解】解：∵阻力×阻力臂=动力×动力臂， ∴，整理得：， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，弄清题意，正确分析各量间的关系是解题的关键． 8. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 函数图象关于原点对称 B. 函数图象关于直线对称 C. 函数图象关于对称 D. 函数图象关于直线对称 【答案】D 【解析】 【分析】利用反比例函数的平移与对称性，结合图象判断即可． 【详解】解：如图，是反比例函数向上平移1个单位得到的，对各选项逐一判断： 由图象可得：函数图象关于对称，函数图象关于直线对称， ∴A错误，B错误，C错误，D正确． 二、填空题（本大题共有8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请将答案直接写在答题卡相应位置上） 9. 若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：， ∴； 故答案为：． 10. 因式分解： =__________． 【答案】（x+4）（x-4） 【解析】 【分析】 【详解】x2-16=(x+4)(x-4)， 故答案为：(x+4)(x-4) 11. 如图，在中，点D，E分别在上，，若，则______ ． 【答案】 【解析】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明∽是解题的关键． 证明，再由相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：点D，E分别在上，， ∴， ∵ ， ， ， 故答案为： 12. 如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD=130°，则∠BOD=______°． 【答案】100 【解析】 【分析】结合已知条件可以推出∠A＝50°，根据圆周角定理即可推出∠BOD＝100°． 【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，若∠BCD＝130°， ∴∠A＝180°-∠BCD =50°， ∴∠BOD＝2∠A =100°． 故答案为：100°． 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，关键在于求出∠A的度数． 13. 已知圆锥的底面圆半径为，母线长为，该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求圆锥的侧面积，根据圆锥的侧面积公式求解即可． 【详解】解：∵底面圆半径为， ∴底面周长， ∴圆锥的侧面积为， 故答案为：． 14. 我国古代数学著作中有这样一个问题：现有一份文书需递送，递送路程总长里．若用慢马递送，送达时长比规定时长多天；若用快马递送，送达时长比规定时长少天．已知快马的日行速度是慢马日行速度的倍，设规定时间为天，可列方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】设规定时间为天，根据题意分别表示出慢马和快马的行驶时间，结合总路程得到两者的日行速度，再根据快马日行速度是慢马日行速度的倍建立等量关系，即可列出方程． 【详解】解：已知规定时间为天，由题意可得，慢马送达用时为天， 列方程得：， 整理得． 15. 已知二次函数，当时，的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】把二次函数解析式整理成顶点式形式，然后根据二次函数的增减性求出最大值与最小值，即可得解． 【详解】解：， ∴二次函数的对称轴为：，且开口向上，最小值为， 在中， 当时，； 当时，； ∴当时，y的取值范围是：； 故答案为：． 【点睛】本题考查的是二次函数的三种形式、二次函数的性质，掌握配方法把一般式化为顶点式是解题的关键． 16. 如图，四边形是平行四边形，沿着过点的直线翻折，使得点的对应点落在延长线上，折痕与相交于点，连接，若，且，求______________． 【答案】 【解析】 【分析】作得直角，由翻折性质得角和边相等，结合平行四边形得内错角相等，等角对等边推出；再由对顶角和已证的内错角相等证，结合，设参得，接着由证，设得、；再证得，由的两种表示推出；最后联立和的勾股定理解出、，将转化为，在中求出正切值即可． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，则， ∵沿翻折后得，点在折痕上， ∴，，，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 已知，设，则 ， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴，又， ∴， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴，即， 在中，，， ∴， 将代入上式得， 整理得，解得， ∴， ∵，在中，， ∴． 三、 解答题（本大题共有11小题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】4 【解析】 【详解】解： 18. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可． 【详解】解：， 由不等式①，得 ， 由不等式②，得 ， 故原不等式组的解集是． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和平方差公式将整式展开，进而合并同类项，最后将的值代入求解即可 【详解】原式= = = 当时，原式= 【点睛】本题考查了整式的乘法运算，化简求值，掌握乘法公式是解题的关键． 20. 已知：如图，点、、、在一条直线上，，从，，中选出其中两个作为条件，证明． （1）你选的条件是： ；（填写序号） （2）证明：． 【答案】（1）①③或②③ （2）选①③ 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 选②③ 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】先根据两直线平行，同位角相等得，再选两个条件，根据证明，根据全等三角形的对应角相等得，根据同位角相等两直线平行，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 2025年9月3日上午，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会，以盛大阅兵仪式，在北京天安门广场隆重举行．如图是小吴收集了无人作战群中陆上、海上、空中三个作战方队的图片（依次记为A，B，C），分别装入三个完全相同的不透明文件袋．现将这三个文件袋放置在桌上，搅匀后放好． （1）若小吴随机抽取一个文件袋，则抽到C（空中无人作战方队）图片的概率为______； （2）若小吴先从中随机抽取一个文件袋，不放回，小兴再从剩余文件袋中随机抽取一个．用画树状图或列表的方法求抽出的两个文件袋中，恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据概率计算公式求解即可； （2）先列表得到所有等可能性的结果数，再找到恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的结果数，最后根据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有三个文件袋，且每个文件袋被抽到的概率相同， ∴小吴随机抽取一个文件袋，则抽到C（空中无人作战方队）图片的概率为； 【小问2详解】 解：列表如下： 小吴 小兴 由表格可知，一共有6种等可能性的结果数，其中恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的结果数有4种， ∴恰好有一个装有C（空中无人作战方队）图片的概率为． 22. “身上有汗，眼里有光”是教育部近年来大力倡导的健康第一教育理念的具体体现，要求中小学生每天参加综合体育活动时间不少于2小时．某中学为了解学生参加体育活动的情况，随机抽查部分学生进行了在线问卷调查． 调查问卷 1．你最喜欢参加的体育活动类型是什么？（单选） A．田径类 B．体操类 C．球类 D．其他类 2．你每天参加综合体育活动的时间是多少？ 学校根据调查结果绘制出不完整的统计图，请根据图中信息，回答下列问题． （1）随机抽查了________名学生，扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角是________； （2）估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数； （3）基于本次调查的两项数据，给学校提一条合理的建议． 【答案】（1）130， （2）360人 （3）适当增设球类、田径类活动项目，并引导每天运动时间少于2小时的学生多参加体育活动（合理即可，答案不唯一） 【解析】 【分析】（1）条形统计图中各组数据相加可得学生总数；用360度乘以“球类”活动所占百分比可得对应的圆心角； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）合理即可，答案不唯一． 【小问1详解】 解：， 即随机抽查了130名学生； 扇形图中最喜欢的“球类”活动类型的圆心角为：； 【小问2详解】 解：， 答：估计该校780名学生中每天参加体育活动的时间不少于2小时的学生人数为360人； 【小问3详解】 解：根据学生最喜欢的体育活动类型以及每天参加综合体育运动时间达2小时的人数不到一半的情况，建议学校可以适当增设球类、田径类活动项目，并引导每天运动时间少于2小时的学生多参加体育活动． 23. 如图，是四边形的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线是解题的关键． （1）连接，根据切线的判定定理，只需要证即可； （2）证，根据相似三角形对应边成比例，，令，通过列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：连接， ， ， ，， ， 是的直径， ， ，即， ， 是的切线； 【小问2详解】 解：是的直径， ， ， 由（1）知， ， ， ， ， 设，即：， 解得，（不符合题意，舍去）， ， 的长为． 24. 防火门是消防中的必备设备，作为隔绝烟火的关键屏障，被广泛应用于公共建筑的封闭楼梯间、安全通道、地下室、消防控制室等．图1是某栋楼层的双开防火门实物图，将其左门抽象成俯视示意图如图2和图3所示．已知墙面 ，门宽． （1）如图2，当左门绕点逆时针完全打开贴到墙时，点落在点处，此时，求的长． （2）如图，当左门绕点逆时针打开时，点落在点处，求此时点到墙面的距离．(结果精确到参考数据：，，， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，利用在中，求出； （2）过点作于点，过点作于点，则四边形为长方形，则，中利用三角函数求出，进而求出即可． 【小问1详解】 解：由题意得， 在中，，，， 则； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点，过点作于点， 则四边形为长方形，则， 由题意得， 在中，，，， 则， ， 答：点到墙面的距离约为． 25. 某校计划举行“非遗进校园”活动，现要装饰如图①所示的舞台，在顶棚上悬挂电子屏幕．某一小组记录的调研报告如表所示． 调研主题 装饰舞台一一安装电子屏幕 模型抽象 顶棚截面图如图②所示，由两段形状相同的抛物线拼接而成，抛物线与抛物线关于点O成中心对称，以点O为原点，过点O的水平直线为x轴，过点O且垂直于x轴的竖直直线为y轴建立平面直角坐标系．舞台平面l与x轴平行，交y轴于点C． 安装方式 矩形电子屏幕如图②所示悬挂，右端固定在抛物线的顶点F处，左端从抛物线上的点D处拉一条绳索固定，交x轴于点G，点E、F在边上，边与平行于x轴． 任务目标 1．为保证表演者的安全，与舞台平面之间的距离要不小于2米； 2．与y轴之间的距离为米，需要的绳索长度是多少？（打结处忽略不计） 数据采集 顶点F的坐标为，米，米． （1）求抛物线的函数表达式； （2）通过计算说明与舞台平面之间的距离是否符合要求？并求绳索的长度． 【答案】（1） （2）与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度米． 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质得到抛物线的顶点坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据题意得出与舞台平面之间的距离为米，符合要求；再求出时的函数值，得到，再根据，即可求出的长度． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点，抛物线与抛物线关于点O成中心对称， 抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， 将原点代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意可得，与舞台平面之间的距离为（米）， 与舞台平面之间的距离要不小于2米，且， 与舞台平面之间的距离符合要求； 与y轴之间的距离为米， ， ， ， 点E、F在边上，边与平行于x轴． ， （米）， 答：与舞台平面之间的距离符合要求，绳索的长度米． 26. 【问题情境】 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“比中项妙点”． 如图1，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边的“比中项妙点”． （1）在Rt中，，于点，则点 （填“是”或“不是”）中边上的“比中项妙点”； 【操作探究】 （2）①如图2，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“比中项妙点”点（的中点除外）． ②尺规作图：如图，为线段上一点，在直线上找一点，使为中边上的“比中项妙点”，其中为钝角． 【拓展提升】 （3）如图，平行四边形中，，点为边上一点，连接交对角线于点，点恰好是中边上的“比中项妙点”． ①请直接写出、、数量关系 ； ②连接并延长交于点，若点是中边上的“比中项妙点”，且，求的值． 【答案】（1）是 （2）①边上的一个“比中项妙点”点如图所示： ②使为中边上的“比中项妙点”，其中为钝角的点如图所示： （3）①；② 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到，则点是中边上的“比中项妙点”； （2）①取格点，连接交于，则，得到，，即可得到，即可根据（1）同理得到，即点是中边上的“比中项妙点”； ②作为直径的，再作交于，最后以为圆心长为半径画圆，与直线交点中选择使为钝角点即为点；由为直径得到，根据（1）同理得到，则，即为中边上的“比中项妙点”； （3）①∵点恰好是中边上的“比中项妙点”，得到，则，由平行四边形，证明，得到代入整理即可得到； ②由得到，平行四边形，得到，再得到，由得到，即可得到，，即可得到的值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是中边上的“比中项妙点”； 【小问2详解】 ①略 ②略 【小问3详解】 解：①∵点恰好是中边上的“比中项妙点”， ∴， ∴， ∵平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 整理得， 即、、数量关系为； ②∵， ∴，， ∵平行四边形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 27. 在平面直角坐标系中，将二次函数的图象记为，正比例函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，． （1）当时： 求、交点的坐标； 若，求的值； 要使随的增大而增大，请直接写出的取值范围． （2）当时，存在最大值，求的取值范围． 【答案】（1）①交点坐标为和；②的值为、或； ③的取值范围为或 （2）的取值范围为 【解析】 【分析】（1）①当时先写出的解析式，再联立和的解析式组成方程组，解方程组得到两组解，对应得到、交点的坐标；②根据过点作轴的垂线分别交、于、，得到、的横坐标均为，代入各自函数解析式得到纵坐标，用两点纵坐标差的绝对值表示的长度，将代入得到绝对值方程，分两种情况去掉绝对值符号，分别解一元二次方程，最后综合得到的所有值；③先将的表达式配方成顶点式，分析其图象是由原抛物线沿轴将轴下方部分翻折到上方得到的，令函数值为求出图象与轴的交点，分范围讨论不同情况下对应的函数解析式、开口方向和对称轴，根据抛物线的单调性判断随增大而增大的范围，综合得到的取值范围； （2）根据、的横坐标均为，代入各自函数解析式得到纵坐标，用纵坐标差的绝对值表示的长度，令绝对值内的二次式为，确定这是开口向下的抛物线，求出抛物线与轴的交点和对称轴，根据开口向下的抛物线只有对称轴落在的范围内时才能在这个范围内取到最大值的性质，列出关于对称轴的不等式，解不等式得到的范围，再结合已知，最终得到的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，， ①联立、的解析式，得 ， 解得或， ∴、交点的坐标为和； ②∵过点作轴的垂线分别交，于点，， ∴、， ∴， ∵， ∴， 分两种情况讨论： 当时，解得； 当时，解得； 综上，的值为、或； ③，其图象由抛物线沿轴将轴下方部分翻折到上方得到，如图： 令，则，解得或， 即函数图象与轴交于、， 当时，，抛物线开口向下，对称轴为，故在时，随的增大而增大； 当或时，，抛物线开口向上，对称轴为，故在时，随的增大而增大； 综上，随的增大而增大时，的取值范围为或； 【小问2详解】 解：∵点在上，点在上，横坐标均为， ∴，， ∴， 令，这是开口向下的抛物线， ∵令，得， 解得，， 又∵， ∴ ∴抛物线对称轴为直线（开口向下，对称轴处是函数的最高点）， 当时，存在最大值， ∵对于开口向下的抛物线，只有当对称轴落在时，才能在取到最大值， ∴， 解得， 又∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $