9.2.4 总体离散程度的估计-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第二册 (人教A版)

课时夯基过关练了 9.2.4总体离散程度的估计 素养目标 1.正确理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据的标准差； 2.会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，形成对数据处理过程进行初步评 价的意识； 3.培养学生逻辑推理和数学建模的核心素养。 核心素养达标夯实基础 一、选择题 3.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名 1.在样本方差子=一209+6一20+十 同学利用假期分别对三个社区进行了“家庭 每月日常消费额”的调查.他们将调查所得 (x0一20)2]中，数字10和20分别表示样本的 到的数据分别绘制成频率分布直方图（如图 所示)，记甲、乙、丙所调查数据的标准差分 A.容量、方差 B.平均数、容量 别为s1,52,53,则它们的大小关系为() C.容量、平均数 D.标准差、平均数 个频率组距 2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭 0.0008 年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的 0.0006 调查数据整理得到如图所示的频率分布直 0.0004 0.0002 方图. 0100015002000250030003500元 ↑频率组距 甲 0.20 ◆频率/组距 0.14 0.10 0.0008 0.0006 8 02.53.5455.56.57.58.59.510.511.512.513.5145收入万元 0.0004 0.0002 根据此频率分布直方图，下面结论中，不正 0100015002000250030003500元 确的是() A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农 个频率组距 户比率估计为6% 0.0008 0.0006 B.该地农户家庭年收入低于10.5万元的农 0.0004 户比率估计为10% 0.0002 C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超 0100015002000250030003500元 过6.5万元 丙 D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收 A.s3>S2>S1 B.s2>S1>S3 人介于4.5万元至8.5万元之间 C.s1>52>53 D.52>53>51 ·数学· 95 、第九章统计 4.一组数据中的每一个数据都减去80，得一组 A.该地区2023年5月有严重污染天气 新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差 B.该地区2023年6月的AQI值比5月的 是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是 AQI值集中 C.该地区2023年5月的AQI值比6月的 A.81.2,4.4 B.78.8,4.4 AQI值集中 C.81.2,84.4 D.78.8,75.6 D.从整体上看，该地区2023年5月的空气 5.已知在R软件的控制台中，输入“sample(1: 质量略好于6月 20,4,replace=F)”,按回车键，得到的4个 二、填空题 1~20范围内的不重复的整数随机数为12， 7.某老师从星期一到星期五收到的信件数分 6,10,4,则这4个整数的标准差为() 别为10,6,8,5,6，则该组数据的方差 A.2√10 B.√10 s2= C.40 D.10 8.从一堆苹果中任取5只，称得它们的质量如 6.(多选)箱线图是用来表示一组或多组数据 下（单位：克）：125,124,121,123,127.则该 分布情况的统计图，因形似箱子而得名.在 样本的标准差s= （用数字 箱线图中（如图1），箱体中部的粗实线表示 作答)克 中位数；中间箱体的上、下底，分别是数据的 9.某工厂新旧两条生产线的产量比为7：3，为 上四分位数(75%分位数)和下四分位数 了解该工厂生产的一批产品的质量情况，采 (25%分位数)；整个箱体的高度为四分位 用样本量比例分配的分层抽样方法从两条 距；位于最下面和最上面的实横线分别表示 生产线抽取样本，并观测样本的质量指标 最小值和最大值（有时候箱子外部会有一些 值，计算得新生产线质量指标的均值为10， 点，它们是数据中的异常值).图2为某地区 方差为1，旧生产线质量指标的均值为9，方 2023年5月和6月的空气质量指数(AQI) 差为2，由此估计，该批产品的质量指标的均 箱线图.AQI值越小，空气质量越好；AQI 值为 ,方差为 值超过200，说明污染严重.则( 10.某田径队6位运动员的体测成绩如下：甲 异常值 上边缘 78,乙86，丙64，丁77，戊83，己93.现从中 上四分位数 平均值 挑选3位运动员参加集体赛，挑选条件为： 中位数 下四分位数 ①丁一定要参加； 下边缘 ②3人的体测成绩总分要超过240（不含240）； 异常值 图1 ③3人的体测成绩方差要小 某地区空气质量指数(AQI)的箱线图 那么参加集体赛3人名单应为 300 三、解答题 250 200 11.某校高三(1)班全体女生的一次数学测试 150 100 成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不 50 0 同程度的破坏，但可见部分如下，据此解答 5月6月 图2 如下问题： 96 ·数学· 课时夯基过关练了 ◆频率/组距 12.为了了解甲、乙两个工厂生产的轮胎的宽 茎叶 0.04 568 度是否达标，从两厂各随机选取了10个轮 62335689 0.028 1223456789 0.016 胎，将每个轮胎的宽度（单位：mm)记录下 0.008 58 5060708090100分数 来并绘制出如下的折线图： 图1 图2 甲厂轮胎宽度 198 (1)求高三(1)班全体女生的人数； 197 196 195 (2)求分数在[80,90)之间的女生人数；并 194 193 计算频率分布直方图中[80,90)间的矩形 192 191 45678910 的高； 乙厂轮胎宽度 197 (3)求该班女生数学测试成绩的众数、中位 数和平均数的估计值.（同一组中的数据用 194 该组区间的终点值代表) 191 190 2 3 456 7 8910 (1)分别计算甲、乙两厂提供的10个轮胎 宽度的平均数； (2)若轮胎的宽度在[194,196]内，则称这 个轮胎是标准轮胎.试比较甲、乙两厂分别 提供的10个轮胎中所有标准轮胎宽度的 方差的大小，根据两厂的标准轮胎宽度的 平均水平及其波动情况，判断这两个工厂 哪个的轮胎相对更好， ·数学· 97 、第九章统计 核心素养培优 拓展提升 1.若一组样本数据x1,x2,…,xn的平均数为10， A.f(1)=1 另一组样本数据21+4,2x2十4，…，2xn十4的 B.对任意∈N*,f(k)≥0恒成立 方差为8，则两组样本数据合并为一组样本数 C.当k为奇数时，f(k)不可能为负数 据后的平均数和方差分别为() D.若|x:-x≤1(i=1,2,…,n),则f(k)≤f(2) A.17,54 B.17,48 6.从某企业生产的某种产品中抽取100件，测 C.15,54 D.15,48 量这些产品的质量指标值，由测量结果得如 2.四名同学各掷骰子五次，分别记录每次骰子 下频数分布表： 出现的点数.根据四名同学的统计结果，可 质量指标 [75,85) [85,95) [95,105)[105,115)[115,125 以判断出一定没有出现点数6的是() 值分组 A.平均数为3，中位数为2 频数 6 26 38 22 8 B.中位数为3，众数为2 (1)作出这些数据的频率分布直方图； C.平均数为2，方差为2.4 (2)估计这种产品质量指标值的平均数及方 D.中位数为3，方差为2.8 差（同一组中的数据用该组区间的中点值作 3.已知数据x1,x2,x3,…,xn是上海市n(n≥ 代表)； 3,n∈N*)个人的年收人.设这n个数据的 (3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企 中位数为x,平均数为y,方差为之.如果再加 业生产的这种产品符合“质量指标值不低于 上世界首富的年收入xn+1,针对这(n十1)个 95的产品至少要占全部产品的80%”的 数据，下列说法正确的是() 规定？ A.y大大增大，x一定变大，之可能不变 B.y大大增大，x可能不变，之变大 C.y大大增大，x可能不变，之也不变 D.y可能不变，x可能不变，之可能不变 4.(多选)已知某样本的容量为50，平均数为 70,方差为75.现发现在收集这些数据时，其 中的两个数据记录有误，一个错将80记录 为60，另一个错将70记录为90.在对错误 的数据进行更正后，重新求得样本的平均数 为x,方差为s2,则( ) A.x=70B.x>70C.s2<75D.s2>75 5.（多选)已知样本x1,x2,…,xn的平均数为 c,设f(k)=12(c,-(k∈N)为该样 n 本的“飞阶方差”，则以下错误的有() 98 ·数学。12.解：(1)众数大致的值就是样本数据的 核心素养培优·拓展提升 频率分布直方图中最高小长方形的中1.A2.1n43.229.5 点的横坐标.由直方图可估计出学生身 4.解：(1)由10(a+0.02+0.03+0.04+ 高众数应为174.5cm. a)=1,可得a=0.005, (2)在样本中，有50%的个体小于或等 故此次化学考试成绩的平均值为55× 于中位数，也有50%的个体大于或等 0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+ 于中位数，因此，在频率分布直方图中， 95×0.05=73分 中位数使得在它左边和右边的直方图的 (2)由频率分布直方图知，原始分成绩位 面积相等，由此可以估计中位数的值，如 于区间[90,100]的占比为5%，位于区 图，学生身高中位数约为171.55cm. 间[80,90)的占比为20%， 频率/组距 因为成绩A等级占比为15%，所以等级 0.08 0.07 0.06 A的原始分区间的最低分位于区间[80， 0.05 0.04 36 0.03 90), 0.02 0.220.22 0.01h 0.08 0.12 57162167172177182身高/cm 估计等级A的原始分区间的最低分为 (3)平均数是频率分布直方图的“重 90-15%5%×10=85, 20% 心”，是频率分布直方图的平衡点，因 已知最高分为98，所以估计此次考试化学 此，每个小长方形的面积与小长方形底 成绩A等级的原始分区间为[85,98]！ 边中，点的横坐标的乘积之和为平均数 (3)由98-88=100-T 的估计值.由直方图可估计学生身高的 88-85=-86,解得T=1160≈ 13 平均数为170.6cm. 89,该学生的等级分为89分 (4)因为样本数据的频率分布直方图只 9.2.4总体离散程度的估计 是直观地表明分布的形状，从直方图本 身得不出原始的数据内容，也就是说频 核心素养达标·夯实基础 率分布直方图损失了一些样本数据，得 1.C2.C3.C4.A5.B6.ACD 到的是一个估计值，且所得估计值与数 7.3.28.29.9.71.5110.乙、丁、戊 据分组有关，所以估计的值有一定的 11.解：(1)根据茎叶图，分数在[50,60)之 偏差. 间的女生人数为2，根据频率分布直方 图可得它所占的比率为0.008×10= 1.众数的估计值是频率分布直方图中最 0.08,故高三(1)班全体女生的人数为 高小长方形的中点的横坐标； 2 2.中位数左、右两侧直方图的面积相等； 0.08≈25. 规 3.平均数的估计值等于频率分布直方图 (2)茎叶图中可见部分共有21人，所以 律 中每个小长方形的面积乘小长方形底边 总 分数在[80,90)之间的女生人数为25 中点的横坐标之和， 结 利用频率分布直方图求得的众数、中位 21=4,所以数在[80,90)之间的频率为 数、平均数均为估计值，往往与实际数据 25 =0.16,故频率分布直方图中[80， 得出的不一致，但它们能粗略估计其众 数、中位数和平均数 90之间的矩形的高为006-0.016， 187 (3)由(2)及茎叶图知，众数所在区间为 核心素养培优·拓展提升 [70,80),所以估计该班的测试成绩的1.A2.C3.B4.AC5.ABC 众数为75.把这25个数从小到大排列，6.解：(1)频率分布直方图如图所示： 中位数为第13个数，结合茎叶图可得 频率组距 中位数是73.估计高三(1)班全体女生 的一次数学测试成绩的平均数为55× 元+65×3+75×9+85×号+95× 号=8.8 0002 12.解：(1)甲厂10个轮胎宽度的平均数： 01 758595105115125质量指标值 元，=0×(195+194+196+193+ (2)质量指标值的样本平均数为 x=80×0.06+90×0.26+100×0.38十 194+197+196+195+193+197)= 110×0.22+120×0.08=100. 195,乙厂10个轮胎宽度的平均数： 质量指标值的样本方差为 z。=0×(195+196+193+192+195+ s2=(80-100)2×0.06+(90-100)2× 194+195+192+195+193)=194. 0.26+(100-100)2×0.38+(110 (2)甲厂10个轮胎中宽度在[194,196] 100)2×0.22+(120-100)2×0.08=104. 内的数据为195,194,196,194,196,195， 所以这种产品质量指标值的平均数的估 平均数：五=日×(195十194+196十 计值为100，方差的估计值为104. (3)质量指标值不低于95的产品所占比 194+196+195)=195, 例的估计值为0.38+0.22+0.08= 方差：号=日×[(195-195)2+(194- 0.68.由于该估计值小于0.8，故不能认 195)2+(196-195)2+(194-195)2+ 为该企业生产的这种产品符合“质量指 标值不低于95的产品至少要占全部产 (196-195)+(195-195)2门=号， 品的80%”的规定。 乙厂10个轮胎中宽度在[194,196]内 专题集训突破练 的数据为195,196,195,194,195,195， 平均数：=合×(195+196十195十 专题1抽样方法 例1③ 194+195+195)=195, 抽样调查是获取数据的重要途径，而样本 方差：号=日×[(195-1952+（196 名师点晴 具有随机性，其好坏直接影响统计分析结 论的可靠性，所以要根据实际情况合理选 195)2+(195-195)2+(194-195)2+ 择抽样方法. (195-195)2+(195-195)]=3, 跟踪训练1C解析：因为小学、初中、 ,两厂标准轮胎宽度的平均数相等，但 高中三个学段学生的肺活量有较大差 乙厂的方差更小，.乙厂的轮胎相对 异，所以学段对统计结果影响较大.因 更好. 为同一学段男、女生肺活量差异不大， 188 所以性别对统计结果无明显影响，所 以最合理的抽样方法是按学段分层随 机抽样」 例2B解析：根据随机数表的读数规则， 依次从随机数表中读出的有效编号为 32,12,31,02,01,04,15,20,得到选出来 的第8个个体的编号为20.故选B. 跟踪训练2AC解析：A选项，男生抽取 600 100×600+400=60,女生抽取100- 60=40人，A选项正确.C选项，样本平 均复为0×170+0×160=16，可以 用样本平均数估计总体的平均数，C选 项正确：B选项，样本方差为0[15十 a70-16)]+0[30+160-16)]- 93+132=45,所以B选项错误. 55 D选项，男生甲被抽到的概率为品 立D递项错误，故选AC 专题2用样本估计总体 例3(1)0 1 2 (2)甲 名 平均数、众数、中位数都是反映数据的集中 趋势，极差、方差（或标准差）反映的是数据 的离散程度，各有特点和侧重. 跟踪训练3A解析：对于A,去掉最高 分、最低分后，中位数仍旧是处于中间位 置（从小到大排列）的那个数，不发生改 变；对于B,去掉最高分、最低分后，平均 数是否发生改变与去掉的分数有关，不 能确定是否变化；对于C,去掉最高分、 最低分后，方差的确定和平均数、数据个 数有关，因此方差也不确定；对于D,去 掉最高分、最低分后，极差可能发生改 变，也可能不改变