阶段微测试(5)[范围：3.1～3.2]（阶段小测）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

阶段微测试（五） (范围：3.13.2时间：40分钟满分：100分) 一、选择题（每小题5分，共30分） AD的长为 1.下列各组图形中，一定相似的是( 1 A.3 cm CcmD号em 0=]c八△○0 6.如图，在矩形ABCD中，AB=2,BC=3, E是AD的中点，CF⊥BE于点F,则CF的 2.下列长度的四组线段中，不成比例的是 长为 ( A.4 B. c号 D.2 A.2,5,10,25 且2274 E C.4,7,4,7 D.22,2√5,2√5,52 (第6题图) (第7题图) 3.如图，已知∠B=30°，∠D=130°，△ABC∽ 二、填空题（每小题5分，共20分） △DAC,则∠BCD的度数为 7.如图，AB⊥BD,DE⊥BD,C是BD上一 A.30° 点，连接AC,CE,添加一个条件使得 B.40° △ABC与△CDE相似，添加的这个条件 C.50° 是 D.60° 4.如图，一个中号唢呐AB的长约为40cm, 8若8-分-号6++9≠0).则8的 若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点P 值为 处进行装饰，则该装饰与喇叭端的距离 9.如图，四边形ABCD是正方形，延长BC BP为 至点E,AE交CD于点P,BC=4CP,PE= A.(20√5-20)cm B.(20√5+20)cm 5,则AP的长为 C.(60-20√5)cm D.(40-20√5)cm 平 15.14112 mmmmlmmmngmh (第9题图) (第10题图) (第4题图) (第5题图) 10.如图，在△ABC中，AB=AC=6,BC= 5.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，直尺的 10,P为边BC上一动点（不与点B,C重 一边与BC重合，另一边分别交AB,AC 合)，过点P作射线PM,使∠APM= 于点D,E.点B,C,D,E处的读数分别为 ∠B,射线PM交AC于点M,则线段 15,12,0,1.若直尺的宽BD=1.5cm,则 AM长的最小值是 ·13· 三、解答题（共50分） AB=1 m,AC=1.6 m,AE=0.4 m, 11.(12分)如图，五边形ABCDE五边形 求CD的长 A BC DE. (1)∠A的度数是； (2)求C1D的长. 15 B0130 10 145°0 21 14.(14分)如图，在菱形ABCD中，E是BC 上的点，连接DE,将△CDE沿DE翻折， 点C恰好落在边AB上的点F处，延长 FE,交DC的延长线于点G. (1)求证：△DFG∽△FAD; (2)若菱形ABCD的边长为5，AF=3, 求BE的长. 12.(12分)尼知号-合-台≠0，且a+26 3c=15,求a,b,c的值. 13.(12分)《九章算术》中记载了一种测量古 井水面以上部分深度的方法.如图，在井 口A处立一根垂直于井口的木杆AB, 从木杆的顶端B观察井水水岸D,视线 BD与井口的直径AC交于点E.如果测 ·14·周测小卷 阶段微测试（一） 1.D2.C3.B4.C5.C6.A7.对角线相等的平行四边形是矩形8.40 9.1210.1211.证明：.四边形ABCD是菱形，.AB=AD,∠B=∠D.∠AEB= ∠AFD,∴.△ABE≌△ADF(AAS).BE=DF.12.解：(1)四边形ABCD是矩 形，.AC=BD,AO=CO,BO=DO..AO=BO.AE⊥BD,∠1=∠2，.∠ABO= ∠AOB..AB=AO.,.AO=BO=AB..△ABO是等边三角形..∠AOB=60° .∠BOC=180°-∠AOB=120°.(2)△ABO是等边三角形，∴.AB=AO=BO= 6cm.∴.AC=2AO=12cm.:四边形ABCD是矩形，.∠ABC=90°..BC= √AC2-AB=6√3cm.∴.S矩形AxD=AB·BC=36√5cm.13.(1)证明：：∠ABO= ∠DCO=90°，OB=OC,∠AOB=∠DOC,.△AOB≌△DOC(ASA)..AB=CD (2)解：答案不唯一，如：添加条件BC=EF.理由如下：由(1)知△AOB≌△DOC,.OA =OD.:BE,CF分别是△AOB,△DOC的中线，∴OE=号OA,OF=号OD.∴OE= OF.OB=OC,.四边形BECF是平行四边形.，BC=EF,.四边形BECF是矩形. 14.(1)证明：由折叠的性质，得∠CEB=∠FEB,FE=CE.:FG∥CE,∠FGE ∠CEB.∠FGE=∠FEG.FG=FE.∴.FG=CE.四边形CEFG是平行四边形. 又CE=FE,.四边形CEFG是菱形.(2)解：四边形ABCD是矩形，∠A=∠D =90°，BC=AD=10,CD=AB=8.由折叠的性质，得BF=BC=10,∴.AF= /BF-AB=6,DF=AD-AF=4.设EF=x,则CE=x,∴DE=CD-CE=8-x, 在Rt△DEF中，DF2十DE=EF2,即42+(8-x)2=x2,解得x=5..CE=5. 基本功专练（一）特殊平行四边形的性质与判定 1.解：：M,N分别是边AD,CD的中点，∴.MN是△ACD的中位线.∴.AC=2MN 12.“四边形ABCD是菱形，∴ACLBD,OA=AC=6,OB=号BD.·∠AOD=90, ∴.AD=2OM=10.在Rt△AOD中，OD=√AD-OAF=8.∴.BD=2OD=16. ∴S形D=AC·BD=96.2.解：四边形ABCD是正方形，∠ABC=90°，即 ∠CBF十∠ABE=90°，AB=BC..CF⊥BE,..∠BFC=90°..∠CBF十∠BCF=90° ∠BCF=∠ABE.AE⊥BE,.∠AEB=∠BFC=90°.在△ABE和△BCF中， ∠AEB=∠BFC, ∠ABE=∠BCF,.△ABE≌△BCF(AAS).,.BE=CF=3...AB=AE十BE= AB-=BC, √10.3.(1)证明：：四边形ABCD是矩形，AD∥BC,∠B=∠ADC=90°. .∠AEB=∠DAF.DF⊥AE,.∠DFA=90°=∠B.又AD=AE,.△ADF≌ △EAB(AAS)..DF=AB.(2)解：由(1)知∠DFA=90°，.∠DAF十∠ADF=90° ∠ADC=90°，即∠ADF+∠FDC=90°，∴.∠DAF=∠FDC=30°..AD=2DF.由 (1)知DF=AB,.AD=2AB=2×4=8.4.(1)证明：四边形ABCD是平行四边 形，∴.CD∥AB..∠DAM=∠NDA.:E为AD的中点，.AE=DE.:∠AEM= ∠DEN,∴.△AEM≌△DEN(ASA)..AM=DN,.四边形AMDN是平行四边形. :BDLAD,M为AB的中点，DM=7AB=AM.四边形AMDN是菱形.(2)解： 当△ABD是等腰直角三角形时，四边形AMDN是正方形.理由如下：：△ABD是等 腰直角三角形，.AD=BD..M是AB的中点，.DM⊥AB..∠AMD=90°.由(1)知 四边形AMDN是菱形，.四边形AMDN是正方形.5.(1)证明：四边形ABCD是 菱形，∴.AD∥BC,AD=BC..BE=CF,.BE十CE=CF十CE,即BC=EF..AD= EF..四边形AEFD是平行四边形.，AE⊥BC,∠AEF=90°.∴.四边形AEFD是 矩形.(2)解：四边形ABCD是菱形，BC=AB=13,AC1BD,OA=OC=之AC, OB=0D=号BD.:AELBC,.∠AEC=90.·AC=20E=4V3,0A=0E= 2√I3.在Rt△AOB中，OB=√/AB-OA=3√13..BD=2OB=6√13.：S菱形AD =号BDAC=C,AE,∴AE=BDAC-12.6.(1)解：45°（②）①证明：过点A 2BC 作AG⊥EF于点G,,AB⊥CE,AD⊥CF,.∠B=∠D=90°=∠C..四边形ABCD 是矩形.∠CEF,∠CFE的外角平分线交于点A,.AB=AG,AD=AG..AB=AD. ∴.四边形ABCD是正方形.②解：.BE=CE=3,∴.BC=6.由①知四边形ABCD是正 方形，片CD=BC-G.在R△ABE和R1△AGE中，AAC:R△ABE兰 Rt△AGE(HL)..EG=BE=3.同理可得GF=DF.设DF=x,则GF=x,CF=CD一 DF=6-x,∴.EF=GF+EG=x十3.在Rt△CEF中，CE+CF2=EF,即32+(6- x)=(x十3)，解得x=2..DF=2. 阶段微测试（二） 1.D2.D3.D4.B5.A6.C7.40°8.AE=AF(答案不唯一)9.1010.22 -211.证明：：D是AC的中点，∴.AD=CD.:AF∥BC,.∠FAD=∠ECD, ∠AFD=∠CED.△AFD≌△CED(AAS)..AF=CE.∴四边形AECF是平行四边 形.EF⊥AC,.四边形AECF是菱形.12.证明：BF∥CE,CF∥BE,.四边形 82 BECF是平行四边形.四边形ABCD是矩形，.∠ABC=∠BCD=90°.·BE平分 ∠ABC,CE平分∠BCD,.∠EBC=司 ∠ABC=45,∠ECB=号∠BCD=45. ∴.∠EBC=∠ECB..∠BEC=180°-∠EBC-∠ECB=90°，BE=CE..四边形 BECF是正方形.13.(1)证明：：四边形ABCD是菱形，∴.AD∥BC,AC⊥BD,AD= BC.BE=BC,∴.AD=BE..四边形AEBD是平行四边形..AE∥BD.BF∥AC, .四边形AFBO是平行四边形.：AC⊥BD,∠AOB=90°.∴.四边形AFBO是矩形. (2)解：：四边形AFBO是矩形，∴.∠AFB=∠OAF=90°，OF=AB.∴.∠BFE=180° ∠AFB=90°..∠E=30°，BF=1,.BE=2BF=2.在Rt△AEC中，BE=BC,.AB= 2CE=BE=2.∴OF=AB=2.14.(1)①解：45°②证明：过点P作PE⊥BC于点 E,PF⊥CD于点F..∠PEB=∠PEC=∠PFC=90°.·四边形ABCD是正方形. .∠ACD=∠ACB,∠ECF=90°.∴PE=PF,四边形PECF是矩形..四边形PECF 是正方形.∴.∠EPF=90°=∠BPQ.∴.∠BPE=∠QPF..△BPE≌△QPF(ASA). .PB=PQ.(2)解：由(I)可知△BPE≌△QPF,四边形PECF是正方形，∴.BE=FQ, CE=CF,S△mE=S△aF..BC+CQ=CE+CQ十FQ=CE+CF=6.∴.CE=CF=3.又 :SA△PE=S△QPF,.S四边形CQP=S正方形PECF=9.】 基本功专练（二）解一元二次方程 1.解：1)整理，得2-空两边开平方，得x=士号4=号，=一号.(2)移项，得 5 x2十6x=1.配方，得x2十6x十32=1十32，即(x十3)2=10.两边开平方，得x十3= 士√10，即x十3=√10，或x十3=-√10.∴x1=-3十√10，x2=-3-√10.(3)原方 程可变形为(x-1十2)(x-1-2)=0,即(x十1)(x-3)=0.∴.x十1=0，或x-3=0. .=一1，x2=3.(4)将原方程化为一般形式，得9x2十7x十2=0.这里a=9,b=7,c= 2.:?-4ac=72-4×9×2=一23<0，.方程没有实数根.(5)移项，得4x2-8x=1.两 边都除以4，得2-2x=子，配方，得-2x十1=子十1，即(x-1)2=号.两边开平 方，得x一1=士9博1=9度-1=-9-2。-2560)原方 2 程可变形为(x-2)2-2(x-2)=0..(x-2)(x-2-2)=0,即(x-2)(x-4)=0.x -2=0,或x一4=0.x1=2,x2=4.(7)整理，得(x-3)2=(5一2x)2.两边开平方，得 x-3=士6-2x),即x-3=5-2x,或x-3=-5十2x.=号x=2.(8)原方程 可变形为(x十2)(x一3)一4(x十2)=0..(x十2)(x一3一4)=0，即(x十2)(x-7)=0. .x十2=0，或x-7=0.∴x1=-2,x2=7.(9)将原方程化为一般形式，得2x2十2√2x 十1=0.这里a=2,b=2E,c=1.:6-4ac=(2V2)2-4X2X1=0,x=-2E±0 2×2 -2,即=x一，10)整理，得y-5y-6=0.这里a=1,6=5,c -4ac=(=5)=4X1X(-6)=49>0,y=-5)士V49-5专7，即M=62 2×1 =一1.2.解：(1)配方法二(2)公式法：这里a=1,b=8,c=-9.,-4ac=82 4×1×(-9)=100>0,,.x= -8±100=-810，即x1=1,x=一9.3.解：将x 2×1 2 =1代入(a十2)x2十x十a2-2a-9=0,得a十2十1十a2-2a-9=0,即a2-a-6=0, 解得a1=-2,a2=3.又，a十2≠0，即a≠-2，∴.a=3.4.解：：方程有两个不相等的 实数根，·△=b2一4c>0,即b2>4c.∴.选择②③均可.选择②，则这个方程为x2十3x十 1=0,解得x1=- 5,=一3,5.选择③，则这个方程为x2+3x一1=0，解得x -3+W5 2 =二3士压.x,=二3，飞.(@③任选一个作答即可)5.解：1)由题意，得2x十 2 3x-1)=0,解得1=二3士33，x,=二3二√3至.(2)由题意，得k(x+1）+1-2k) x=0.整理，得kx2十(1一2k)x十k=0.方程有两个实数根，.△=(1一2k)2一4k·k 0,且≠0：解得k≤号且k≠0. 阶段微测试（三） 1.C2.C3.C4.C5.D6.C7.48.49.2410.711.解：(1)整理，得(2x -1)2=9.两边开平方，得2x-1=士3，即2x-1=3,或2x-1=-3.∴.x1=2,x2= -1.(2)这里a=2,b=-7,c=4.b2-4ac=(-7)2-4×2×4=17>0,.x= （-7)吉应=7生亚，即=7±，=7二亚.(3)原方程可变形为3x(3x 2×2 4 4 4 2 十2)-4(3x十2)=0...(3x十2)(3x-4)=0..3x十2=0，或3x-4=0...x1= 3 =专12.解：1)不正确不正确(2)整理，得2-2x=分.配方，得2-2x十1 号+1，即(x-1D2= 两边开平方，得x一1=士9，即x-1=成x-1=一写 83 m=1+6, 2x=1-6 2 ,13.解：由题意，得△=b2-4ac=（-8)2-4×1×(3m十1) =60一12m=0,解得m=5,.原方程为x一8x十16=0，解得x1=x2=4.14.(1)解： 把x1=-1代入x2-3x十2-m2=0,得(-1)2-3×(-1)+2-m2=0,解得m= 士√6..原方程为x2一3.x一4=0.由根与系数的关系，得x1x2=一4，x2=4.(2)证 明：由根与系数的关系，得x1十x2=3,x1x2=2-m2..(1一1)(x2一1)=x1x2一（x十 x2)十1=2-m2-3十1=-m2.,-m20,.(x1-1)(x2一1)≤0.15.(1)证明：，△ =[-(m十5)]-4(3m十6)=m2-2十1=(m-1)2≥0，.不论实数m取何值，方程 总有实数根.(2)解：设方程的两个根为a,b.由根与系数的关系，得a十b=m十5，ab 3m十6.直角三角形的斜边长为5，.a2十b2=25..(a十b)2-2ab=25.∴.(m十5)2 2(3m十6)=25，解得m1=2,m2=一6..a,b是直角三角形的两直角边的长，.a十b≥ 0,ab>0.当m=2时，a十b=7,ab=12,符合题意；当m=-6时，a十b=-1,ab=-12, 不合题意，舍去.·m=2. 阶段微测试（四） 1.D2.B3.D4.A5.D6.C7.-38.49.一610.611.解：(1)整理，得 x2-4x=10.配方，得x2-4x十2=10十2，即(x-2)2=14.两边开平方，得x-2= 士√14，即x-2=√14，或x-2=-√/14..x1=2+√14，x2=2-√14.(2)将原方程 化为一般形式，得x2-8x-20=0.这里a=1,b=-8,c=-20.,b2-4ac=(-8)2-4 X1×(-20)=144>0,x=二（一8)14垂-812，即=10，，=-2.(3)原方程 2×1 2 3 可变形为(x-3)(x-3+4x)=0.x-3=0,或5x-3=0.…m=3x:=号12.解： 设彩色纸带的宽度为xcm.根据题意，得(100-5x)(40-2x)=640X4,解得x=4,x =36(不合题意，舍去).答：彩色纸带的宽度为4cm.13.解：(1)由题意，得△=32一4 ×(m-1D×2=17-8m>0,且m-1≠0，解得m<名，且m≠1.(2)由(1)知m<号且 m≠1，.m的最大正整数值为2.当m=2时，该方程为x2十3x十2=0，.x1十x2=一3， x1x2=2.·xix2十x1x-5=x1x2(x1十x2)-5=2×(-3)-5=-11.14.解：(1)设 U与x之间的函数关系式为y=中6，则名30：解得二Ry与x之间 b=180. 的函数关系式为y=一x十180.(2)根据题意，得(x一100)（一x十180）=700，解得x1= 110,x2=170.:100≤x≤160，∴.x=110.答：当售价定为110元/件时，每天可获得利 润700元.15，解：(1)设P,Q两点的移动时间为ts(0<t3.5).根据题意，得AQ= tcm,BP=2tcm,则BQ=AB-AQ=(5-t)cm.当S△Pa=4cm时，2(5-t)×2t= 4,解得t1=1,t2=4(舍去).，∴.1s后，△PBQ的面积等于4cm.(2)△PBQ的面积不能 等于7cm.理由如下：当△PBQ的面积等于7cm时，号(5-)×21=7.整理，得f 5t十7=0.△=（一5）2一4×1×7=一30，.该方程没有实数根..△PBQ的面积不 能等于7cm2. 阶段微测试（五） 1.D2.B3.B4.C5.C6.C7.∠A=∠ECD(答案不唯-)8.9 9.15 10,号1，解：1)85”(2)：五边形ABCDE五边形A.BCiD.E, AB B六吕-弘CD=14、12.解：设号=台-台=k,则a=26=3c=66 CD.1521 :a十2b-3c=15.2k十6k-18k=15,解得k=-号.a=2h=-3,6=3k=-号( 3 =6k=一9.13.解：由题意知AB∥CD,∴.∠BAE=∠C,∠B=∠CDE.∴.△ABE刀 △CDE∴部器即品-.0CD=3m14.1)证明：四边形ABCD 0.4 是菱形，∴.AB∥CD,∠A=∠BCD.∴.∠AFD=∠FDG.由折叠的性质，得∠DFG= ∠BCD,·∠A=∠DFG.∴.△DFG△FAD.(2)解：由折叠的性质，得DF=CD=5. △DGn△PAD祭-=.即9=号：DG=空CG=DG-C-号AB 5 =5,AF=3,.BF=AB-AF=2..CG∥BF,.∠GCE=∠B,∠G=∠BFE. 10 △CGB△BFE.罷-器-哥=号C=iBE=子BC=点 阶段微测试（六） 1B2.D3.C4B5.B6.C7.1:48691.510(-1,2)1,解 AB/cD.0A00=3128%-8哭.即4-2=0A=6m00=4m CD/EF,0C:CE=2:38%8架即元=泰=号.0E=0F=10emBE =OB十OE=16cm,AF=OA十OF=16cm.12.解：(1)如图，△AB'C即为所求. (2)A'(-1,0),B(2,0),C(1,2). 84