第2章 1 认识一元二次方程（随堂反馈）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 知识梳理 ①只含有 未知数x的 方程，并且可以化成ax2+bx十c=0(a,b,c为常数， a≠0)的形式，这样的方程叫作一元二次方程. ②我们把ax2十bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax2, bx,c分别称为二次项、一次项和 ,a,b分别称为 和 当堂练习 1.下列方程中，是一元二次方程的是 A.3x-1=0 B.2x2-y-1=0 C.+2=0 D.x2-3x=0 2.将方程x2=10+8x化成一般形式后，一次项系数、常数项分别是 A.-8,-10 B.-8,10 C.8,-10 D.10,8 3.将下列一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项 (1)2x2=1-3x; (2)(3.x-2)(x+1)=x(2x+1). 4.根据题意，列出方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式. (1)两个连续偶数的积是120，求这两个数中较小的数； (2)如图，某停车场将长为130m、宽为80m的矩形停车场沿着AB和AD修建宽度相 同的充电桩区域，剩余停车场的面积为5000，求充电桩区域的宽度. 充电桩 桩 ·8… 第2课时一元二次方程的解及其估算 知识梳理 ①使一元二次方程左右两边 的未知数的值叫作一元二次方程的解（根）. ②求ax2+bx十c=0(a,b,c为常数，a≠0)的近似解的一般步骤：列出x的几组值，并计算 对应的ax2十bx十c的值；找出使得ax2十bx十c=0的x的范围；在上一步的基础上继 续缩小范围，直至近似解符合精确度要求， 当堂练习 1.下列各数中，是方程x2=4x一3的解的是 A.-1 B.0 C.1 D.2 2.在估算一元二次方程x2一2x一2=0的解时，小明的计算过程如下表. x 2.6 2.7 2.8 2.9 x2-2x-2 -0.44 -0.11 0.24 0.61 则其中一个解x的取值范围是 A.0<x<2.6 B.2.6<x<2.7 C.2.7<x2.8 D.2.8<x2.9 3.嘉嘉在解方程x2一x十c=0时，得出方程有一个根是x=一1，则c的值是 4.若m是方程x2一2x-2=0的一个根，则代数式m2-2m的值是 5.小明探索方程x2一3x一1=0的正数解的过程如下： 第一步： 2 3 x2-3.x-1 -3 -3 由表可知方程的正数解在 与 之间. 第二步： 2 3.1 3.2 3.3 3.4 x2-3x-1 -0.69 -0.36 由表可知方程的正数解在 与 之间. (1)请你帮小明补全探索过程； (2)通过以上探索，估计出方程x2一3x一1=0的正数解.（结果精确到0.1） ·91).CD⊥BG,FG⊥BG,.∠CDE=∠FGE=90°.易知∠CED=∠FEG,.△CDE∽ △FGE.是器即六62DE=6m答：D,E之间的距离为6n(任务2) 4 DE ,BD=456m,∴.BE=BD+DE=462m.AB⊥BG,CD⊥BG,.∠ABE=∠CDE= 90.'∠AEB=∠CED.△ABEn△CDE.8-B能，即AB=462AB=308m 6 答：电视塔AB的高为308m,4.解：(1)：二次函数的图象过点(0,0)，.设y关于t 的函数表达式为y=a十.将(1,27)，(2,48)代入，得1+b27; a+2b=48,解得 1a二3，“y关于t的函数表达式为y=-3+30t.(2)由(1)得y=一3+30t,当t= b=30. 4时，y=一3×4十30×4=72.答：汽车刹车4s后，行驶了72m.(3)该车在不变道的 情况下会撞到抛锚的车.理由如下：：y= -3t2十30t= -3(t-5)2十75，∴当t=5时， 汽车停下，行驶了75m,75>70,.该车在不变道的情况下会撞到抛锚的车 新趋势题型拉分练（二）过程、依据补充、（半）开放性试题 1.四条边相等的四边形是菱形2.∠B=∠D(答案不唯一)3.一1（答案不唯一） 4.解：(1)BD对角线互相平分的四边形是平行四边形对角线相等的平行四边形是 矩形(2)答案不唯一，如：由条件可知，AD=BD=CD,.∠A=∠DCA,∠B ∠DCB.又，∠A+∠DCA+∠B+∠DCB=180°，∴.∠DCA+∠DCB=∠ACB=90 ∴.△ABC为直角三角形.5.(1)证明：AB=AC,.∠B=∠C.∠BDE十∠BED= 180°-∠B,∠BED+∠CEF=180°-∠DEF,∠DEF=∠B,.∠BDE=∠CEF. .BDDE·BDCE 六△BDED△CEF.心CEEF∴DE一EF.(2)解：答案不唯一，如选择③作为条件， 求证①和②.证明如下：E是BC的中点，.BE=CE.由(1)知△BDEC∽△CEF, 器器-票2等票蒂--是∠B=∠C=∠DEF,△BDE C∽△EDF,△CEF∽△EDF..∠BDE=∠EDF,∠CFE=∠EFD..DE平分∠BDF, FE平分∠DFC. 新趋势题型拉分练（三）数学文化、新定义试题 1.C2.453.154.解：(1)1(2)四边形ABCD是菱形，.AC=2AO,BD=2DO, AC⊥BD,AB=AD..∠BAD=60°，.△ABD是等边三角形..BD=AB.∴.DO= 号BD=2AB=合AD,∴A0=VAD-D0-9AB.∴AC=2A0=5AB.∴号 品酷-尽，即菱形ABCD的神似度为反5解：1点a+1,2a)是完芙 点”，.a2十1=2a,解得a1=a2=1.∴.a的值为1.(2)，某“完美函数”图象的顶点在直 线y=2x一3上，.x=2x一3，解得x=3..该“完美点”的坐标为(3,3)..设该“完美 函数”的表达式为y=a(x一3)2十3.，该“完美函数”与y轴的交点到原点的距离为4， .交点的坐标为(0,4)或(0，-4).将(0,4)代入y=a(x-3)2+十3，得4=9a十3，解得a 9心y=g(x-3)+3.将(0，-40代入y=a(x-3)2+3,得-4=90十3，解得a= 7 日心y=一日（x一3)+3.综上所述，该“完美函数”的表达式为y=号(x-3)+3 7 或y=一 x-3)+3. 新趋势题型拉分练（四）综合实践探究试题 1.解：(1).1.6十0.9=2.5(m),.点A的坐标为(3,2.5).由题意，得A(3,2.5)为上边 缘抛物线的顶点，.设上边缘抛物线的表达式为y=α(x一3)2十2.5.将H(0,1.6)代 入，得1.6=9a十2.5，解得a=-0.1.∴.上边缘抛物线的表达式为y=-0.1(x-3)2十 2.5.(2)设下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移bm得到的，则下边缘抛物线的 表达式为y=-0.1(x-3+b)2+2.5.将H(0,1.6)代入，得-0.1(-3十b)2+2.5= 1.6,解得b1=6,b=0(舍去).b=6..下边缘抛物线的表达式为y=一0.1(x十3) 十2.5.当y=0时，一0.1(x十3)十2.5=0，解得x1=2,x2=-8(舍去)..点B的坐标 为(2,0).(3)洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带.理由如下：DE=2.2m, OD=2.8m,∴.OD>OB,OE=OD+DE=5m.EF=2m,∴点F的坐标为(5,2).在 y=-0.1(x-3)2+2.5中，当x=5时，y=-0.1×(5-3)2十2.5=2.1.2.1>2， '.洒水车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带.2.解：(1)①△ABB'∽△ACC.证明 AB AC 如下：·入ABC万△AB'C',.AB=AC,∠BAC=∠BAC···AC=AC,∠BAC ∠B'AC=∠B'AC'-∠B'AC,即∠BAB'=∠CAC.∴.△ABB'D△ACC'.②：∠BAC =90°，AB=3,BC=5,AC=VBC-AB=4.:△ABB∽△ACC,.B5=A5 ·CC=AC 接AC.四边形ABCD为正方形，∴AD=CD,∠ADC=90 ∴AC=VAD+CD=EAD.S=E.:AE=EF,∠AEF=90,∠EAF=45 AF=VAEF=EAE小能=区.6-银：∠EAF=∠CAD=45 ∴∠EAF-∠CAE=∠CAD-∠CAE,即∠CAF=∠DAE,△CAF△DAE.∴S器 88 随堂反馈答案 第一章特殊平行四边形 1认识特殊的平行四边形 知识梳理 ①邻边直角邻边直角②相等互相平分两四 当堂练习 1.C2.B3.(4,-2)4.55°5.证明：四边形ABCD是正方形，.AB=CD,AD =BC,AB∥CD,∠BCD=∠BAD=90°..∠ABC=180°-∠BCD=90°=∠BCD. .AB=AD,.AB=BC=CD.CE=DF,.BC+CE CD+DF,BE=CF. .△ABE≌△BCF(SAS)..AE=BF. 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 知识梳理 ①相等垂直②一半 当堂练习 1.C2.D3.A4.A5.号6.证明：四边形ABCD是菱形，CB=CD,∠ABC =∠ADC.:∠ABC+∠CBE=180°，∠ADC+∠CDF=180°，.∠CBE=∠CDF.在 CB=CD, △CBE和△CDF中，∠CBE=∠CDF,.△CBE≌△CDF(SAS)..CE=CF. BE=DF, 第2课时菱形的判定 知识梳理 ②相等3垂直 当堂练习 1.A2.C3.ACEF(答案不唯一)4.证明：四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD AB=CD,AB∥CD..∠ABD=∠CDB.:AE∥CF,∴.∠AEF=∠CFE.∴.180° ∠AEF=180°-∠CFE,即∠AEB=∠CFD.∴.△ABE≌△CDF(AAS)..AE=CF. .四边形AECF是平行四边形..AC⊥BD,.四边形AECF是菱形. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 知识梳理 ①直角相等2一半 当堂练习 1.B2.C3.C4.20°5.解：O是BD的中点，E是边AB的中点，.OE是 △ABD的中位线.∴.AD=2OE=6.:四边形ABCD是矩形，∠A=∠BCD=90. BD=√AB+AD=10.:0是BD的中点，OC=BD=5. 第2课时矩形的判定 知识梳理 ②直角3相等 当堂练习 1.D2.D3.D4.∠A=90°（答案不唯一）5.证明：：∠1=2∠2，∠1=∠2 ∠OBC,.∠2=∠OBC..OB=OC.:'AD∥BC,.∠2=∠OAD,∠ODA=∠OBC ∴.∠OAD=∠ODA..OA=OD.OA=OC,.OB=OD.∴.四边形ABCD是平行四边 形.易得AC=BD,∴.四边形ABCD是矩形. 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 知识梳理 直角相等垂直平分 当堂练习 1.A2.A3.A4.22.5°5.(1)证明：四边形ABCD是正方形，.AB=CB, ∠ABD=∠CBD,即∠ABE=∠CBE.又.'BE=BE,∴.△ABE≌△CBE(SAS).(2)解： 四边形ABCD是正方形，∴.∠BAD=90°，∠ADB=45°.：DE=DA,∴.∠DAE ∠DEA.∠DAE=号(180°-∠ADB)=61.5∴∠BAE=∠BAD-∠DAE=2.5 第2课时正方形的判定 知识梳理 ①相等②互相垂直3直角④相等 当堂练习 1.A2.∠ABC=90(答案不唯一)3.证明：，四边形BEDF是菱形，.OB=OD, OE=OF,BD⊥EF..·AE=CF= 号EF,.OE+AE=OF+CF,即OA=OC,AC= 89 2EF..四边形ABCD是平行四边形.BD⊥AC,.四边形ABCD是菱形.BD= 2EF,∴AC=BD..四边形ABCD是正方形.4.解：四边形OECF是正方形.理由如 下：：四边形ABCD是正方形，∴.AD=AB,∠BDC=∠DBC=45°，∠BCD=90°.：OF ⊥DC,OE⊥BC,∴·∠OFD=∠OFC=∠OEB=∠OEC=90°.∴.四边形OECF是矩形. AO⊥BD,.DO=BO.,∴.△ODF≌△OBE(AAS)..OF=OE.∴.四边形OECF是正 方形. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 知识梳理 ①一个整式②常数项二次项系数一次项系数 当堂练习 1.D2.A3.解：(1)移项，得一元二次方程的一般形式为2x2十3x-1=0.它的二次 项系数为2，一次项系数为3，常数项为-1.(2)去括号，得3x2十3x-2x-2=2x2+x. 移项、合并同类项，得一元二次方程的一般形式为x2一2=0.它的二次项系数为1，一次 项系数为0，常数项为一2.4.解：(1)设这两个数中较小的数为x.根据题意，得x(x十 2)=120.化成一般形式为x2十2x-120=0.(2)设充电桩区域的宽度为xm.根据题 意，得(130-x)(80-x)=5000.化成一般形式为x2-210x十5400=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 知识梳理 ①相等 当堂练习 1.C2.C3.-24.25.解：(1)-1334-0.010.363.33.4(2)方 程x2-3x一1=0的正数解约为3.3. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 知识梳理 ①-m十√n -m-√Jn②一半 当堂练习 1.B2.C3.A4.3(答案不唯一)5.解：(1)整理，得(x-1)2=9.两边开平方，得x -1=士3，即x-1=3,或x一1=-3.=4，=-2(2)配方，得2+8x十（号） =8+(受)，即(x十4)=24.两边开平方，得x+4=士26，即x十4=26，或x十4= -2√6.∴.x1=-4十2√6，x2=-4-2√6.(3)移项，得x2-3x=-2.配方，得x2-3x十 (侵)=-())=两边开方相一是生宁即子 /3、 3 名，或x-是=-分m=2=1 第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程 知识梳理 一半 当堂练习 1D2B31子1是年号9-9-1+-1汽4解： 2 2 1)两边都除以2，得+受=配方，得+受十()）=十（），即 (子)-品两边开平方，得x十=士，即x子=子，或x+子=- =号=-1.2)移项，得子2-6x=7.两边都除以号，得-12x=14.配方，得 -12x十62=14十62，即(.x-6)2=50.两边开平方，得x-6=士5√2，即x-6=5√2，或 x-6=-5√2.∴.x1=6+5√2，x2=6-5√2. 第3课时用公式法求解一元二次方程 知识梳理 ①≥ -b±B-4ac 2a ②不相等相等没有 当堂练习 1.A2.B3.A4.解：(1)这里a=1,b=-1,c=-3.:b2-4ac=(-1)2-4×1× (-3》=13>0,x=二（一》压-1生压，即1-1+厘，=1压.(2)将 2×1 2 2 原方程化为一般形式，得2x2-x十2=0.这里a=2,b=-1,c=2.:6-4ac=(-1)2 90