第3章 图形的相似 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

第二章综合评价 1.C2.A3.B4.B5.A6.C7.D8.A9.D10.A11.x2-2x=0(答案不 唯-）12.n≥-113.214.x1=-7,x2=315.2416.317.1418.-2 【解析】把x=m代入方程x2十2x十n-3=0,得m2十2m十n-3=0.∴.n=-m2-2十 3m-=m-(-m-2m+3)=(a+受)广-头.(m+受)≥0(m+受) 头-头.m一n的最小值是-头19.解：移项，得r+6r=2配方，得十6x 3=2+32,即(x十3)=11.两边开平方，得x十3=士/1I,即x十3=√1T,或x十3= -√工.∴.x1=一3十√T,x2=-3-√工.20.解：她们的解法都不正确.正确的解答 过程如下：原方程可变形为3(x一3)一(x一3)2=0，(x一3)(3一x十3)=0.x一3=0，或 3一x十3=0..x1=3,x2=6.21.解：设该地9,10两个月新安装智能充电桩个数的 月平均增长率为x.根据题意，得200(1十x)2=338,解得x1=0.3=30%,x2=-2.3 (不合题意，舍去).答：该地9,10两个月新安装智能充电桩个数的月平均增长率为 306.22.解：设道路的宽为xm.根据题意，得(50一x)(30一x)=1269,解得x1=3, x2=77(不合题意，舍去).答：道路的宽为3m.23.解：(1)：△=b一4ac=[-(k十 1)]2-4×1×(2k-2)=(k一3)≥0，.方程有两个实数根.(2)由(1)知△=(k-3)2, x=二[-k+1)吉3D_+1±，k-3》,即1=k-1,=2.:方程有一个 2×1 根小于2，∴k-1<2,解得k<3.24.解：（任务1）(50十2.5x)(任务2)根据题意，得 (50-x一20)(50十2.5x)=1560,解得x1=4,x2=6.:要减少库存，.x=6.答：柿饼 的售价应降低6元/kg.25.解：(1)当AB=AD时，四边形ABCD是菱形，即方程x 一m受一子=0有两个相等的实数根.4=（一m一4（受一寸）=0，解得m= 2=1.,当m=1时，四边形ABCD是菱形.(2)由根与系数的关系，得x1十x2=m, 4,=罗-子.：(a-3)-3)=-3(十x)+9=5m罗--3m+9 5m,解得m=名.26，解：)设剪去的小正方形的边长为xcm,根据题意，得(100 2x)(40一2x)=1600,解得x1=10,x2=60(不合题意，舍去).答：剪去的小正方形的边 长为10cm.(2)0设收纳盒的高为acm,则收纳盒底面的长为100,2=(50一a)cm, 2 宽为(40-2a)cm.根据题意，得(50-a)(40-2a)=608,解得a1=12,a2=58(不合题 意，舍去)，答：收纳盒的高为12cm.②不能.理由如下：由①，得该收纳盒的高为12cm. ·1218,.不能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒. 第三章综合评价 1.D2.B3.B4.D5A6,A7.C8.D9.A10.B1.子 12.∠B=∠D (答案不唯-)13.2014.2，-1)15.416.117.号18.号 19.解：a,b,c, d旦成刷残段，..a=方.a=4,6一为C一10，··5d…2.、 b 5 2 .20.解：设AE =Dx.DE/BC裙能即。=后解得x=卓.AE-只 21.证明： 由尔数定理海AC-后DAE-瓜荒号是方号是亮 9.:能-是-是△ACD△BcA 22.解：(1)如图，△A1B1C即为所求. 点B1,C的坐标分别为(6,6)，(9,3).(2)3：123.(1)证明： .四边形ABCD是菱形，∴.BC∥AD..∠AEB=∠DAE.∠B=∠AED,.△ABE∽ △DEA.(2)解：：四边形ABCD是菱形，∴.AD=AB=6.由(1)知△ABE△DEA, ÷=(铝)=（告）=音24解：AB/CD∠A=∠CDB,∠ABE S△DEA ∠C△ABE△E∴8器=提-碧=子又：CD∥E,B那-器=号 (2)CD∥EF,·∠BEF=∠C又∠EBF=∠CBD,△BEF∽△BCD..5= 部器=号器=号需=是E=号CD=65解：由题意知C 76 ⊥AB,DF⊥AD,.∠CBA=∠FDA=90°.又.'∠CAB=∠FAD,.△CAB∽△FAD 六铝-股由题意知，AD=3m,AB=5m,BC=85m号-5DF= 2.1cm,即小视力表中相应“E"的高度是2.1cm.(2)连接A'B',过点C作CD⊥MN于 点D,延长CD交A'B'于点E.由题意知，AB∥MN∥A'B'.易得△MNC∽△A'B'C, ÷器-罡由题意知CE=5m,DE=3n,AB=AB=0,8mCD=CE-DE= 2mM=2,MN=0.32m,镜长至少为0.32m,26,解：CPBD (2)成立，理由如下：设AB,CP交于点O.,∠ABC=∠ADE=26°，∠BAC=∠DAE= 90,△ABC△ADE裙.脚2把：∠BAC=∠DAE=90∠DAB +∠BAE=∠BAE+∠CAE=90°..∠DAB=∠EAC.∴.△ADBO△AEC.∴.∠ABD =∠ACE.:∠OAC=90°，.∠ACE+∠AOC=90°.'∠BOP=∠AOC,∴∠ABD+ ∠BOP=90°..∠OPB=90°，即CP⊥BD.(3)如答图，当点E在线段 AB上时，：△ABC和△ADE是等腰直角三角形，.AD=AE=6,AB =AC=8,∠BAC=∠DAE=90°，∴.CE=√AE+AC=√62+8= 10,BE=AB-AE=8-6=2.在△ADB和△AEC中，1 (AD-AE, ∠DAB=∠EAC,..△ADB≌△AEC(SAS).,.∠ABD=∠ACE.又 答图 AB=AC, ∠PEB=∠AC△PBEn△ACE28器聘-最PB=号 期中综合评价 1.C2.B3.C4.B5.D6.A7.A8.D9.D10.A11.DE∥BC(答案不唯一) 12.313.2.514.4915.64°16.=-2，x=-617.13.518.4或25 19.解：原方程可变形为x(x一3)一(2x一6)=0.(x一3)(x一2)=0.x一3=0，或x一2 0.=3=2.20.解：h∥h∥月6-器AB=6,BC=8,DF=12, 2示号EF=号21.证明：AB=(CD.AD=BC四边形ABCD是平 行四边形..AC=2AO,BD=2OD.OA=OD,.AC=BD..四边形ABCD是矩形. 得∠ACB=∠CDE,∠ABC=∠CED=90',△ABCD = S,即：8-是DE=1.2m.:∠CED-ZHFD=90,∠CDE=∠HDF △CE△HFB:E-8E即志=PSDF=6mEF=DE+DF=.2mn 答：河EF的宽度为7.2m.23.解：(1)根据题意，得△=(2m)-4(m2十m)≥0，解得 m≤0.(2)根据题意，得x1十x2=-2m,x1x2=m2十m.x1十x号=（x1十x2)2-21x2 =12,.(-2m)2-2(m2十m)=12,即m2-1-6=0,解得m1=-2,2=3..m0, .m的值为一2.24.(1)证明：四边形ABCD是矩形，.AB∥CD,CD=AB=4, ∠B=90,:BE=DF=号，AB-BE=CD-DF,即AE=CF=号.四边形AECF 是平行四边形，在R△BCE中，CE=VBE于BC=号.CE=AE.四边形AECF 是菱形.(2)解：连接AC在R△ABC中，AC=VAB+BC=2.“Sr=号AC· EF=AE·BC,EF=2AE:BC=5.25.解：（任务1）设从1月份到3月份该品牌 AC 新能源汽车销售量的月平均增长率为x.根据题意，得3(1十x)2=5.07,解得x1=0.3 =30%,x2=一2.3（不合题意，舍去）.答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量 的月平均增长率为30%.（任务2）设下调后每辆汽车的售价为y万元.根据题意，得(y 一15(8+5×1）=96，解得0=21，=28：此次销售尽最让利于顾客，y 21.答：下调后每辆汽车的售价为21万元.26.解：(1).四边形ABCD是正方形，AE =AB,.AB=AD,∠BAD=90°.∴AE=AD.∴∠AEB=∠ABE,∠AED=∠ADE. :∠AEB+∠ABE+∠AED+∠ADE+∠BAD=360°，.2∠AEB+2∠AED+90°= 360°..∠AEB十∠AED=135°...∠BED=∠AEB十∠AED=135°.(2)如图②， )过点A作AGLBE-于点G,则GB=GE=合BE:CELBF,∴∠BEC= B ∠AGB=∠ABC=90°.：∠BAG+∠ABG=90°，∠CBE+∠ABG=90°，∴.∠BAG= ∠CBE.:BC=AB,△BEC≌△AGB.∴EC=GB=BE.过点P作PH⊥BE于点 一77 H,则PH∥CE.由(1)知∠BED=135°，∴.∠HEP=180°-∠BED=180°-135°=45 ∴∠HPE=∠IEP=45HE=HP,PH/CR,∴△PH△BCE-能 器子÷部-器：BC=6,B即=号BC=4(S如周@，过点A作AM ⊥BE于点M. :AB=AE,∴BM=EM=号BE.:四边形ABCD是矩 P A 形，∴.∠ABC=∠BCD=∠AMB=90°.∴.∠BAM+∠ABM=90°，∠CBF+∠ABM= 90.∠BAM=∠CBR.△ABMD△BFC÷部-兴：点F是CD的中点CP =专CD=4六F=V7=4m.“而型BM=BE 410 5 8Y严，过点E作ENLC于点NEN∥D.∴△BEN∽△BFC器-器= 号器=吉：EN/cD△PEw∽△PmG器-器=日器= 第四章综合评价 1.D2.A3.A4.D5.A6.B7.A8.C9.C10.C11.灯光12.14 13.圆锥14.S4<S2<S15.(3.8,0)16.甲17.3十4√318.60π十48 19.解：如图所示。 主视图 左视图 俯视图 20.解：如图所示 左视图 俯祝图 21.解：(1)102√3(2)这个几何体的侧面积为(4十4十4)×10=120(cm2). 22.解：过点B作BH⊥CC1于点H.在Rt△BHC中，∠BCH=45°，BC=4cm,易得 BH=2√2cm.,正方形纸板ABCD在投影面上的正投影为A1B1CD,,B1C=BH =2√2cm,CD=CD=4cm.Sm边形A,cD,=BC·CD=8√2cm.23.解：(1) 上面的长方体的长为6mm,宽为2mm,高为6mm,下面的长方体的长为10mm,宽为 9mm,高为2mm.(2)这个立体图形的体积为6×2×6+10×9×2=252(mm3). 24.解：(1)16√2(2)过点E作EF⊥AB于点F.易得四边形DEFB是矩形，∴.EF= BD16EmDE=你，“物商与影长的比是1：2盖-AF-合EF=8V万m .DE=BF=AB-AF=(16-8√2)m.答：落在乙楼上的影子DE的长为(16-8√2)m. 25.解：(1)如图所示. 主视图 左视图 (2)226.解：(1)图②图①(2)如答图①所示，FM即为所作， C B GD H FM 答图① (3)如答图②，记图①的投影中心为O,过点O作ON⊥BM于点V. 0 E B GD HFM 答图② .'ON⊥BM,AB⊥MN,CD⊥MN,.AB∥ON,CD∥ON.,.△ABG∽△ONG,△CDH △oNH小点e,8票-盟：AB=8.6m,G=DH=4m,cD=2.25n,BD =6m8祭-即3.6NB+0=40N. 4 4 ON FNB+4+6,即2.25(NB+10) 78第三章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 宝 选择题（每小题3分，共30分） 题号 2 4 5 6 > 8 10 答案 1.下列各组长度的线段中，是成比例线段的是 ( 新 A.2,3,5,6 B.1,2,3,5 C.1,3,3,7 D.2,3,4,6 2.如图1/k/2瓷-号DF=2,则EF的长为 A.8 B.9 C.12 D.15 h C 批 (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，已知△ABC∽△DCA,∠B=33°，∠D=117°，则∠BAD 的度数是 ( ) A.150° B.147° C.1359 D.120° 4.如图，点D是△ABC的边AB的中点，过点D作DE∥BC交 AC于点E,则下列说法不正确的是 苹 A.AE-CE &DE=号BC C.C CAADE-1 S△ADE= D.S四边形ED 4 5.黄金分割是汉字结构最基本的规律.如图，汉字“十”端庄稳重、 舒展美观.横竖笔画交点C恰好是线段AB的黄金分割点 (AC<BC).若AB=2cm,则BC的长为 ) A.(5-1)cm B.(5+1)cm C.(3-√5)cm D.(/5-2)cm (第5题图) (第6题图) (第7题图) 6.如图，添加下列条件后，仍不能判定△AOBP△DOC的是( A.OA·CD=AB·OD OA OD B.OB-OC C.∠A=∠D D.∠B=∠C 7.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且OD=2AD. 若BC=6,则EF的长为 A.2 B.3 C.4 D.5 8.约在两千五百年前，墨子和他的学生做了世界上第1个小孔成 倒像的实验，并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有 13 端，与景长，说在端”.如图所示的小孔成像实验中，若物距为 10cm,像距为15cm,蜡烛火焰的高度是3cm,则蜡烛火焰倒 立的像的高度是 A.2 cm B.2.5 cm C.4 cm D.4.5 cm (第8题图) (第9题图) (第10题图) 9.如图，∠ABC=∠E,S△ABc:S四边形BDEc=1：2.若CB=√2，则 DE的长为 A.6 B.22 C.3√2 D.6 10.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AD,DC上， AE=3ED,F是DC的中点，AF与BE相交于点G,则会祭的 值为 ( ) A.1 B号 c D. 二、填空题（每小题3分，共24分） 1.已知号-是-号y十m≠0，则牛的值是 12.如图，请添加一个条件，使△ABC与△ADE相似，这个条件 可以是 40 C G 0 /16 (第12题图) (第13题图) (第14题图) 13.如图，四边形ABCD∽四边形GEFH,则x= 14.如图，在平面直角坐标系中，△AOB和△COD是以点O为位 似中心的位似图形，A,B两点的坐标分别为（一3,4.5）， (一6,3)，点A的对应点C的坐标是(1，一1.5)，则点D的坐 标是 15.如图，在□ABCD中，点E在BC边上，且CE:BC=2:3, AC与DE相交于点F.若△AFD的周长为6，则△EFC的周 长为 (第15题图) (第16题图) 16.如图，在△ABC中，DE∥BC,若△ADE与四边形DBCE的 面积之化是号，则 D 14 17.如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE 的距离为1.6m,车头FACD近似看成一个矩形，且满足 3FD=2FA.若盲区EB的长度是6m,则车宽FA的长度为 m. E BB (第17题图) (第18题图) 18.如图，在△ABC中，AC=5,BC=4,∠C=60°，D,F分别是线 段BC,AC上的点（不与端，点重合），∠ADF=60°，则线段CF 长的最大值为， 三、解答题（共66分） 19.(6分)已知线段a,b,c,d是成比例线段，其中a=4,b=5,c= 10,求线段d的长. 20.(6分)如图，在△ABC中，DE∥BC,AE=BD.若AB=6, AC=10,求AE的长. 21.(6分)如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE=1.求证： △ACD∽△ECA. -15 22.(6分)如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在 格点上，O为平面直角坐标系的原点.已知点A1的坐标为(0， 3),△ABC三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(2,2),C(3,1). (1)若点A1是点A以原点O为位似中心的对应点，画出 △ABC以原点O为位似中心的位似图形△A,B1C1,并写 出点B,C的对应点B1,C1的坐标； (2)△A1B1C1与△ABC的周长比为 y 23.(10分)如图，在菱形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE, DE,∠AED=∠B (1)求证：△ABE∽△DEA; (2)若AE=4,AB=6,求△ABE与△DEA的面积比. 24.(10分)如图，AD,BC相交于点E,AB∥CD∥EF,点B,F,D 在同一条直线上，AB=10,CD=15. (求的值： (2)求EF的长. —16 25.(10分)为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试 距离为5m的视力表，但两面墙的距离只有3m.在一次课题学 习课上，欢欢向全班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表 问题”的方案，其中甲、乙两名同学设计方案新颖，构思巧妙. 甲 乙 ①C ② ●A' -3m -5m ●B 使用平面镜成像的原理来解决房间 小的问题.如图，在相距3m的两面 左边是测试距离为5m的大 墙上分别悬挂视力表(AB)与平面 视力表①，可以用硬纸板制作 镜(MN),由平面镜成像原理，作出 一个测试距离为3m的小视 方 了光路图，通过调整人的位置，使得 力表②.通过测量大视力表中 从视力表AB的上、下边沿A,B发 “E”的高度(BC的长)，即可 出的光线经平面镜MN的上下边 求出小视力表中相应的“E” 沿反射后射入人眼C处，通过测量 的高度(DF的长) 视力表的全长(AB)就可以计算出 镜长MN (1)甲的方案中如果大视力表中“E”的高度是3.5cm,那么小 视力表中相应“E”的高度是多少？ (2)乙的方案中如果视力表的全长为0.8m,请计算出镜长至 少为多少米 -17 26.(12分)【问题呈现】 如图，△ABC和△ADE是有公共顶点的直角三角形，∠BAC= ∠DAE=90°，点P为射线BD,CE的交点 【问题探究】 (1)如图①，若△ABC和△ADE是等腰直角三角形，CP,BD 的位置关系是 (2)如图②，若∠ABC=∠ADE=26°，(1)中结论是否仍然成 立？请说明理由、 【拓展应用】 (3)在(1)的条件下，AB=8,AD=6,将△ADE绕点A旋转，使 点E恰好落在线段AB上，请直接写出此时PB的长度， 图① 图② 备用图 18