第1章 特殊平行四边形 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

第一章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 宝 选择题（每小题3分，共30分） 题号 5 6 > 8 9 10 答案 1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=DB,CD=5,则AB的 长为 A.10 B.8 C.6 D.5 (第1题图) (第3题图) (第4题图) 2.菱形、矩形和正方形都具有的性质是 A.四个角相等 B.对角线相等 C.对角线互相垂直 D.对角线互相平分 3.我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当 作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形改 为比较专业的名称“矩形”.木艺活动课上，小明用四根细木条 搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否为矩 形，下列测量方案正确的是 ( ) A.测量是否有三个角是直角 B.测量对角线是否相等 C.测量两组对边是否分别相等D.测量对角线是否互相垂直 4.如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOD= 120°，AB=2,则AC的长为 ( A.25 B.4 C.45 D.8 5.如图，已知菱形的两条对角线分别为6cm和8cm,则这个菱形 的边长为 ( A.2.4 cm B.4.8 cm C.5 cm D.9.6 cm 批 3 (第5题图) (第6题图) (第7题图) 6.如图，P为正方形ABCD内一点，连接PA,PB,PC,PD, ∠PBC=∠PCB=60°，则图中的等腰三角形（含等边三角形） 共有 ( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线，E,F分别是AD,BC 的中点，M,N分别是AC,BD的中点.若AB=CD,AB⊥CD, 则四边形EMFN的形状是 ) A.平行四边形B.矩形 C.菱形 D.正方形 8.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=6,AC=8,P为边BC 上一动点，PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,M为EF的中点，则 PM的最小值为 ) A.2 B.2.4 C.2.5 D.2.8 D 0 图① 图② (第8题图) (第9题图) (第10题图) 9.图①是油纸伞展开后的剖面图，图②是油纸伞收起后的剖面图， 已知B,E分别为AC和AF的中点，四边形ABDE是边长为4 的菱形，且∠CAF=120°，D为撑杆AM上可移动的点.当伞从 展开状态到收起状态的过程中，点D移动的距离是( ) A.2 B.4 C.6 D.8 10.如图，在正方形ABCD中，E是边AD的中点，BD,CE相交 于点H,BE,AH相交于点G,有下列结论：①∠ABE ∠DCE;②AG⊥BE;③S△BHE=SACHD;④∠AHB=∠EHD. 其中正确的是 ( A.①③ B.①②③④ C.①②③ D.①③④ 二、填空题（每小题3分，共24分） 11.如图，在矩形ABCD中，AC与BD交于点O,请添加一个条 件： ,使四边形ABCD是正方形 D Ol C (第11题图) (第12题图) (第13题图) 12.如图，两条笔直公路11，l2相交于点O,村庄C的村民在公路 的旁边建2个加工厂A,B,已知OA=AC=CB=BO= 13km,村庄C到公路l1的距离为12km,则村庄C到公路l2 的距离是 km. 13.如图，正方形ABCD的对角线BD是菱形BEFD的一边，且 点C在BE上，连接BF,则∠FBC的度数是 14.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智 慧和深厚的文化底蕴，徐明家有一个菱形中国结装饰如图，测 得∠ABC=80°，BA=BE,则∠BAE的度数为 -2 B (第14题图) (第15题图) (第16题图) 15.如图，矩形ABCD中，AC=8cm,对角线AC,BD相交于点 O,AE垂直平分OB于点E,则AD的长为 16.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的对角线AC,BD相 交于原点O,且点A,C都在x轴上.若点D的坐标为(4,3)， 则点C的坐标为 17.“方胜”是我国古代的一种首饰，它是由两个正方形重叠相连 而成，寓意同心吉祥.如图，将边长为4cm的正方形ABCD 沿对角线AC方向平移1cm得到正方形A'B'C'D',形成一个 “方胜”图案，则点C和点A'之间的距离为 cm, (第17题图) (第18题图) 18.如图，在矩形ABCD中，AB=5,BC=12,E是边AD上的一 个动点，将△ABE沿BE折叠得到△FBE,连接DF,则线段 DF长的最小值为 三、解答题（共66分） 19.(6分)如图，在Rt△ABC中，DC是斜边AB上的中线，EF过 点C且平行于AB.若∠BCF=35°，求∠ACD的度数. D 20.(6分)如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC 延长线上一点，且CE=CF.求证：∠EBC=∠CDF 3 21.(6分)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E,F 分别是AD,CD的中点，连接EF.已知EF=4,AD=5,求菱 形ABCD的面积. 22.(6分)如图，四边形ABCD是矩形，请在矩形ABCD内找一 点P,使PB=PC,∠PAB=45°.（要求：尺规作图，不写作法， 保留痕迹) 23.(10分)如图，四边形ABCD是矩形，E为边BC上一点，作 EG⊥AC于点G,连接AE,F为AE的中点.连接BF,GF. (1)求证：BF=GF; (2)若∠ACB=40°，求∠BFG的度数. 一4 24.(10分)将正方形ABCD和菱形EFGH按照如图所示摆放， 顶点D与顶点H重合，菱形EFGH的对角线HF经过点B, 点E,G分别在AB,BC上， (1)求证：△ADE≌△CDG: (2)若AE=BE=2,求BF的长. D(H) 25.(10分)如图，菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是 AD的中点，点F,G在边AB上，且EF⊥AB,OG∥EF. (1)判断四边形OEFG的形状，并说明理由； (2)若OE=5,EF=4,求AD和BG的长. D 一 5 26.(12分)【模型建立】 如图①，四边形ABCD是正方形，点M,N分别在边CD,BC 上，且∠MAN=45°，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模 型”问题时，旋转是一种常用的方法.如图①，将△ADM绕点 A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE,连接MN. (1)试判断DM,BN,MN之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型应用】 (2)如图②，点M,N分别在正方形ABCD的边CD,BC的延 长线上，∠MAN=45°，连接MN,请写出MN,DM,BN 之间的数量关系，并写出证明过程； 【模型迁移】 (3)如图③，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， ∠B+∠D=180°，点N,M分别在边BC,CD上，∠MAN =60°，请直接写出线段BN,DM,MN之间的数量关系. 图① 图② 图③ —6共有9种等可能的结果，其中两个数的积是正数的结果有2种，∴指针两次所指向的 扇形中的两个数的积是正数的概率是号 能力提升 8.C92 10.解：(1)1 4 (2)列表如下： 、小赵 D 小秦 A (A,A) (A,B) (A,C) (A,D) B (B,A) (B,B) (B,C) (B,D) C (C,A) (C,B) (C,C) (C,D) D (D,A) (D,B) (D,C) (D,D) 共有16种等可能的结果，其中小秦、小赵两人中至少有一人抽中“兵马俑”的结果有7 种，小秦、小赵两人中至少有一人抽中“兵马俑”的概率为6 思维拓展 1 11.解：(1) (2)如图所示. B 共有9种等可能的结 第一次传球 第二次传球A 果，其中球又传到B手上的结果有2种，∴球又传到B手上的概率为子 第2课时利用概率判断游戏的公平性 基础过关 1.C2.不公平3.解：(1)画树状图如下： 开始 共有9 小英 红 红 黄 小明红红黄红红黄红红黄 种等可能的结果，(2)这个游戏规则不公平，理由如下：由(1)可知，两人摸到两球的颜 色相同的结果有5种，两人摸到两球的颜色不相同的结果有4种，小英赢的概率为 吾，小明激的概序为号：号>音∴这个游戏视则不公平。 能力提升 4.C5.公平6.解：(1)列表如下： 、小明 小红 虎 棒 鸡 虎 (虎，虎) (虎，棒) (虎，鸡)（虎，虫） 棒 (棒，虎) (棒，棒) (棒，鸡)（棒，虫） 鸡 (鸡，虎) (鸡，棒)（鸡，鸡）（鸡，虫） 虫 (虫，虎) (虫，棒)（虫，鸡）（虫，虫） 共有16种等可能的结果，其中小红取胜的结果有4种…小红取胜的概率为壳一片 (2)公平.理由如下由表可知，小明取胜的概率为告=子“小明和小红取胜的概率都 为游戏公平。 第3课时利用概率玩“配紫色”游戏 基础过关 1.A2.D3.解：画树状图如下： 开始 共有12种等可能的 白 蓝 蓝 白蓝蓝红蓝蓝红白蓝红白蓝 结果，其中摸到的两管颜料的颜色能配成紫色的结果有4种，∴.摸到的两管颜料的颜 色能配成紫色的气率为立-寸 能力提升 4子5解：不公平，理由如下：画树状图如下： 开始 共有9种等可 红 黄 蓝 红白蓝红白蓝红白蓝 73 能的结果，其中配成紫色的结果有2种，配不成紫色的结果有7种，.配成紫色的概率 为号配不成紫色的概率为子“号≠号，“游戏对双方不公平，修改规则的方法不唯 一，如：若配成紫色，小刚得7分，否则小明得2分 大单元整合练 概率中的跨学科应用问题【落实课标】 1A2.D3 4.解：(1)A,C(2)列表如下： 乙口袋 C D E 甲口袋 A (A.C) (A,D) (A,E) (B,C) (B,D) (B,E) 共有6种等可能的结果，其中抽出的两张卡片均是物理变化的结果有1种，∴.抽出的 两张卡片均是物理变化的概率是。 5.解：(1)1(2)列表如下： S2 S S S (S1,S2) (S,S) (S1,S1) S2 (S2,S) (S,S) (S2,S1) (S,S) (S1,S2) (S,S1) S (S,S) (S1,S2) (S,S) 共有12种等可能的结果，其中小灯泡发光的结果有6种，一.小灯泡发光的概率为2=乞· 61 2用频率估计概率 基础过关 1.D2.A3.B4.0.95 能力提升 5.A6.207.(1)7(2)3 1 (3)3π 第六章章末复习 思维导图 画树状图、列表 考点整合 1.A2.C 3.B4.B5.B63 1.2 ,8.解：11 (2)列表如下. 、欢欢 B C D 乐乐 A (A,A) (B,A) (C,A) (D,A) B (A,B) (B,B) (C,B) (D,B) C (A,C) (B,C) (C,C) (D,C) D (A,D) (B,D) (C,D) (D,D) 共有16种等可能的结果，其中两人摸到的卡片习俗相同的结果有4种，.两人摸到的 卡片习俗相同的概率为 =4 9.解：画树状图如下： 开始 共有9种等可能的结果，其中两数之和是3的倍数的 小王 小丽135 两数之和3575797911 结果有3种，是7的倍数的结果有3种，“两数之和是3的倍数的概率为子-号，两数 之和是7的倍数的概率为号-子“小工获胜的概率是子，小丽获胜的概率是宁 10.C11.12 综合与实践 解：（活动一）20（活动二）(1)0.250.2540(2)40（活动四）设鱼塘中有x条 鱼，依题意，得0品解得：=150，经检验=1500是所列方程的解，且符合医 意..鱼塘中约有1500条鱼 74 综合评价答案 第一章综合评价 1.A2.D3.A4.B5.C6.D7.D8.B9.B10.B11.AB=BC(答案不唯一) 12.1213.22.5°14.70°15.4√3cm16.(5,0)17.(42-1)18.819.解：.AB ∥EF,∴∠B=∠BCF=35°.：DC是斜边AB上的中线，.DC=DB.∠DCB=∠B =35°.∠ACB=90°，∴.∠ACD=90°-35°=55°.20.证明：：四边形ABCD是正方 形，.BC=CD,∠BCE=90°.，.∠DCF=180°-∠BCE=90°.在△BCE和△DCF中， BC=DC, ∠BCE=∠DCF,.△BCE≌△DCF(SAS)..∠EBC=∠CDF.21.解：E,F分 CE=CF. 别是AD,CD边的中点，EF是△ACD的中位线.AC=2EF=8.:四边形ABCD 是菱形，ACLBD,BD=20D,A0=号AC=4.OD=V√AD-AO=3.·BD= 20D=6.SBm=合AC·BD=24., 22.解：如图，点P即为所求. 23.(1)证明：四边形ABCD是矩形，.∠ABC=90°.，EG⊥AC, ∠AGE=90.:F为AE的中点，BF=号AE,GF=号AE.BF=GR.(2)解： :BF=GF=2AE=AF,∠BAF=∠ABF,∠GAF=∠AGR.∴∠BFE=2∠BAF, ∠EFG=2∠GAF.:∠ACB=40°，∠BAC=90°-∠ACB=50°，即∠BAF+∠GAF =50°.∴.∠BFG=∠BFE+∠EFG=2∠BAF+2∠GAF=2(∠BAF+∠GAF)= 2∠BAC=100°.24.(1)证明：四边形ABCD是正方形，四边形EFGH是菱形， .∠A=∠C=90°，AD=CD,ED=GD..Rt△ADE≌Rt△CDG(HL).(2)解：过点E 作EQ⊥DF于点Q,则∠EQB=90°..四边形ABCD是正方形，.∠A=90°，AD=AB =AE+BE=4,∠EBQ=号∠ABC=45.∠QEB=90°-∠EBQ=45°=∠EBQ. ∴.EQ=BQ.:BE=2,∴.EQ十BQ=BE,即2EQ=2,∴.EQ=BQ=√2（负值已舍 去).在Rt△ADE中，DE=AD+AE=25..四边形EFGH是菱形，.EF=DE =2W5..QF=√EF-EQ=3√2.∴.BF=QF-BQ=2√2.25.解：(1)四边形 OEFG是矩形.理由如下：：四边形ABCD是菱形，.OB=OD.E是AD的中点， ∴.OE是△ABD的中位线.∴.OE∥FG.:OG∥EF,∴.四边形OEFG是平行四边形. EF⊥AB,.∠EFG=90°..四边形OEFG是矩形.(2)由(1)知OE是△ABD的中 位线，AB=2OE=10.:四边形ABCD是菱形，.AD=AB=10.:E是AD的中点， AE=2AD=5.EFLAB,∠EFA=90.AF=√AE-EF=3.由(1)知四边 形OEFG是矩形，.FG=OE=5..BG=AB-FG-AF=2.26.解：(1)MN=DM+ BN.证明如下：由旋转的性质，得AE=AM,BE=DM,∠EAM=90°，∠ABE=∠D= 90°..四边形ABCD是正方形，.∠ABC=90°..∠ABE十∠ABC=180°..点E,B, C共线.∠MAN=45°，∴.∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN.在△EAN和 AE-AM. △MAN中，J∠EAN=∠MAN,∴.△EAN≌△MAN(SAS)..EN=MN..'EN=BE AN=AN, 十BN,.MV=DM+BN.(2)MN=BN一DM.证明如下：如图②，在BC上取BE= MD,连接AE.:AB=AD,∠B=∠ADM,∴.△ABE≌△ADM(SAS)..AE=AM, ∠BAE=∠DAM.∴.∠EAM=∠DAE+∠DAM=∠DAE+∠BAE=90°.：'∠MAN =45°，.∠EAN=∠EAM-∠MAN=45°=∠MAN.在△EAN和△MAN中， (AE-AM, ∠EAN=∠MAN,∴.△EAN≌△MAN(SAS).∴.EN=MN.'EN=BN-BE, AN=AN, MN=BN-DM.(3)MN=DM+BV.【解析】如图③，将△ABN绕点A逆时针旋转 120°得△ADE,.∠B=∠ADE,AN=AE,BN=DE.:∠B+∠ADC=180, .∠ADE+∠ADC=180°.∴.点E,D,C共线.，∠BAD=∠NAE=120°，∠MAN= 60°，∴.∠MAE=∠MAN=60°.：AN=AE,AM=AM,.△EAM≌△NAM(SAS), .EM=MN.EM=DEDM,.'.MN=DMBN. 图② 图③ 75