第1章 专题1 中点四边形问题&大单元整合练 特殊四边形的折叠问题（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材）

参考答案 第一章特殊平行四边形 1 认识特殊的平行四边形 基础过关 1.C2.(1)有一组邻边(2)正方3.D4.D5.128°6.证明：.四边形ABCD是 矩形，.AB=CD,AB∥CD...∠C=180°-∠B=90°=∠B..∠BAE=∠CDF .△ABE≌△DCF(ASA).7.证明：四边形ABCD是正方形，.AB∥CD,AD∥ BC...∠BCD=∠A=180°-∠B=90°，∠ADC=180°-∠BCD=90°=∠EDF ∴，∠ADC-∠EDC=∠EDF-∠EDC,即∠ADE=∠CDF.:AD=CD,.△ADE≌ △CDF(ASA)..DE=DF 能力提升 8.D9,A10.(4,3)11.解：(1)，四边形ABCD是矩形，.AD∥BC..∠DAE= ∠AEB.:EA平分∠BED,∴∠AEB=∠AED.∴∠DAE=∠AED..DE=AD=1O. (2):四边形ABCD是矩形，.CD=AB=6,BC=AD=10,AB∥CD..∠C=180° ∠B=90°.∴.CE=DE-CD=8.BE=BC-CE=2. 思维拓展 12.解：(1)如答图①所示. 弥 帐 答图① (2)能，拼成的矩形如答图②所示（答案不唯一），拼成的菱形如答图③所示. 柏 答图② 答图③ 封 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 基础过关 1.B2.B3.84.证明：四边形ABCD是菱形，.OA=OC,AC⊥BD..△AOE和 0 △C0F都是直角三角形.在R△A0E和R△C0F巾，合货-E:R△A0E≌ Rt△COF(HL)..∠EAO=∠FCO.5.156.D7.解：(1)：四边形ABCD是菱 形，0A=4,0B=3,AC=20A=8,BD=20B=6.S0wm=合AC·BD=24. (2)四边形ABCD是菱形，.AC⊥BD.∴∠AOB=90°.∴AB=√OA+OB=5. :CELAB.:.S=ABCE=24.CE-琴8.4V5或2万 能力提升 9.D10.111.9.612.(1)证明：四边形ABCD为菱形，.AD∥BC,AC⊥BD 线 ·DE⊥BD,.DE∥AC..四边形ACED为平行四边形.(2)解：·四边形ABCD为 菱形，OD=号BD=4.:四边形ACED为平行四边形，DE=AC=6,:DELBD, .∠ODE=90°..OE=√OD+DE=213.13.(1)证明：连接BD.:四边形 ABCD是菱形，.BD⊥AC.E,F分别是边AB,AD的中点，，.EF是△ABD的中位 线.∴.EF∥BD.∴.EF⊥AC.(2)解：∠DAC=30°，四边形ABCD是菱形，∴∠DAB= 60°，AD=AB.∴△ABD是等边三角形..BD=AB=2.EF是△ABD的中位线， ∴EF=号BD=1. 思维拓展 14.3【点拨】连接BD.易证△ADE≌△BDF,即可推出AE=BF,列出方程即可解题. 第2课时菱形的判定 基础过关 1.C2.AD∥BC(答案不唯一)3.证明：AB=AF,O为BF的中点，.AO⊥BF ∠BAO=∠FAO..AE垂直平分BF.,.BE=EF.四边形ABCD是平行四边形 ∴.AD∥BC.∠FAO=∠BEA.∠BAO=∠BEA.∴.AB=BE.∴.AB=BE=EF= AF..四边形ABEF是菱形.4.B5.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.AE∥CD,AB=CD.:DE∥AC,.四边形ACDE是平行四边形.又：AB=AC, .CD=AC..四边形ACDE是菱形.(2)解：四边形ACDE是菱形，.AD⊥CE,AE 49 =AC=3..∠AHE=90°.四边形ABCD是平行四边形，.BC∥AD.,.∠BCE= ∠AHE=90°.AB=AC=3,.BE=AB十AE=6..CE=√/BE-BC=4√2.6.C 能力提升 7.B8.D9.(1)证明：四边形AECF是菱形，.OA=OC,OE=OF,AC⊥EF.BE =DF,.BE十OE=DF+OF,即OB=OD..四边形ABCD是平行四边形.又'AC EF,即AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形.(2)解：由(1)知四边形ABCD是菱形， ·∠ADB=7∠ADC=∠ABC=30,AD=AB=6√3.：AE⊥AD,∴.∠EAD月 90°..DE=2AE.在Rt△AED中，AE十AD=DE2,即AE十(6√3)2=(2AE)2, .AE=6.∴.菱形AECF的周长为4AE=24. 思维拓展 10.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下：由题意，得AB∥CD,AD∥BC,∴.四边形 ABCD是平行四边形.过点A分别作CD,BC边上的高AE,AF.,两张矩形纸条的宽 都为1cm,∴.AE=AF.:SaAD=CD·AE=BC·AF,.CD=BC.∴.四边形ABCD 是菱形.(2)由(1)，得AE=AF=1cm..AD∥BC,.∠ABF=∠BAD=30°..AB= 2AF=2cm.,四边形ABCD是菱形，∴.BC=AB=2cm.∴.重叠部分的面积为BC· AF=2 cm2. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 基础过关 1.A2.C3.84.证明：(1)四边形ABCD为矩形，·∠ABC=∠DCB=90°，AB= (AB=DC, DC.∴·∠ABE=∠DCF=90°.在△ABE和△DCF中，∠ABE=∠DCF,∴.△ABE≌ BE=CF, △DCF(SAS).(2).△ABE≌△DCF,.∠BAE=∠CDF..四边形ABCD为矩形， .∠BAD=∠ADC=90°.，，∠BAD+∠BAE=∠ADC+∠CDF..∠EAD=∠FDA. 5.0.96.50°7.证明：.BD∥CM,CD∥AB,∴.四边形BMCD是平行四边形. ”∠ACB=90,M是AB边的中点，CM=AB=BM.“四边形BMCD是菱形. 8.D 能力提升 9.C10.A11.5.512.313.(1)证明：.DE=OC,CE=OD,.四边形OCED是 平行四边形.：四边形ABCD为矩形，.OA=OC=OD=OB.∴.四边形OCED为菱 形.(2)解：四边形ABCD为矩形，∠ABC=90,OA=AC-6,AF垂直平分线 段OB,∴.AB=OA=6.∴.BC=√AC-AB=63. 思维拓展 14.解：.四边形ACBD是矩形，∴.∠DAC=90°，AD∥BC.∴.∠EAF=180°一∠DAC =90,:在R△AEF中，G是EF的中点，AG=FG=号ER.∠GAF=∠R.:EF =2AB,.AB=AG..,∠ABG=∠AGB=∠F十∠GAF=2∠F..AD∥BC,..∠F= ∠CBF..∠ABG=2∠CBF..∠ABC=3∠CBF..∠CBF是∠ABC的一个三等分角. 第2课时矩形的判定 基础过关 1.C2.有三个角是直角的四边形是矩形3.证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AB=CD,AD=BC,AD∥BC..DE∥BC.AD=DE,.CB=DE..四边形BCED 是平行四边形.，AB=BE,.CD=BE..四边形BCED是矩形.4.A5.12 6.(1)答案不唯一，如：选择①.证明：'AD∥BC,AB∥CD,∴.四边形ABCD是平行四 边形.：∠ABC=90°，.四边形ABCD是矩形.(2)解：在Rt△ABC中，AB=3,AC= 5,∴BC=V√AC一AB=4.由(1)知四边形ABCD是矩形，∴.S矩形Acn=AB·BC=12. 7.C 能力提升 8.B9.1010.(1)证明：AO=CO=10,BO=DO,.四边形ABCD是平行四边形， AC=AO+CO=20..AB=12,BC=16,,.AB2+BC=122+162=202=AC ∴.△ABC是直角三角形，且∠ABC=90°.∴.四边形ABCD是矩形.(2)解：四边形 ABCD是矩形，∴∠ADC=90°.：∠ADF:∠FDC=3:2,∠ADF+∠FDC=∠ADC =90,∠FDC=名∠ADC=36.DF⊥AC,.∠DC0=90°-∠FDC=54.四边 形ABCD是矩形，.CO=DO...∠ODC=∠DCO=54°..∠BDF=∠ODC-∠FDC =18°. 思维拓展 11.解：(I)选小星的说法，连接BE.:AE∥BD,DE∥BA,.四边形ABDE是平行四 边形.∴.AE=BD.BD=BC,.AE=BC.AE∥BC,.四边形AEBC是平行四边 形.∠ACB=90°，.四边形AEBC是矩形.∠EBC=90°.∴.BE⊥CD.选小红的说 法，连接BE,CE.:AE∥BD,DE∥BA,∴.四边形ABDE是平行四边形.∴AE=BD, AB=DE.BD=BC,.AE=BC.AE∥BC,.四边形AEBC是平行四边形. '∠ACB=90°，∴.四边形AEBC是矩形..AB=CE..CE=DE.（任选一个即可) 2)C=号，设BC=2k,则AC=3k.CD=4k,在R△ACD中，“AC+CD定 AD,.(3k)2十(4k)2=(5√2)2，解得k=√2（负值已舍去）.，.AC=3√2. 50 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 基础过关 1.B2.D3.24.√2-15.67.5°6.30°7.证明：：四边形ABCD是正方形， /B=/D, .AB=BC=DC=AD,∠B=∠D.在△ABE和△ADF中，AB=AD, ,.△ABE ∠BAE=∠DAF, ≌△ADF(ASA)..BE=DF.∴.BC-BE=DC-DF,即CE=CF.8.解：：四边形 ABCD是正方形，.AC⊥BD,OC=OB=√2..∠COB=90°..BC=√/OB十OC=2. :BF⊥CE,∴∠BFC=∠BFE=90°.：BF平分∠DBC,∠CBF=∠EBF.∴∠BCE =∠BEC..BE=BC=2..OE=BE-OB=2-√2.9.15°或75 能力提升 10.C11.C12.4913.证明：(1).四边形ABCD为正方形，.AB=CB,∠ABE= (AB=CB, ∠CBE=45°.在△EAB和△ECB中，J∠ABE=∠CBE,.△EAB≌△ECB(SAS). BE=BE, (2).四边形ABCD为正方形，.∠BDC=45°.·△EAB≌△ECB,∠AEC=45°， ·∠CED=∠AED=2∠AEC=22.5°，∠DCE=∠BDC-∠CED=22.5, .∠CED=∠DCE..DC=DE.14.(1)证明：.四边形ABCD和四边形CEFG是正 方形，.∠ACD=∠GCF=45°..∠ACF=∠ACD十∠GCF=90°..H是AF的中点， ∴CH=2AF.(2)解：·四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，AB=BC=1,EF =CE=3,∠B=∠E=90°.∴.AC=W√AB+BC=√2，CF=√EF+CE=3√2. :∠ACF=90,.AF=AC+CF=25.CH=号AF=5, 思维拓展 15.(1)5(2)6【点拨】(1)过点M作MP⊥BC于点P,MQ⊥AB于点Q,证明 △NMP≌△EMQ即可得解.(2)过点E作EF⊥BM于点F,证明△EFM≌△MHN, 得EF=MH,再求出EF,HN的长即可得解. 第2课时正方形的判定 基础过关 1.A2.①②（或①③）3.证明：四边形ABCD是矩形，，.∠A=∠ADC=90°.由折 叠的性质，得AE=EF,∠A=∠DFE=90°，.四边形ADFE是矩形.，AE=EF,.四 边形ADFE是正方形.4.证明：CE∥BD,DE∥AC,.四边形CODE是平行四 边形.四边形ABCD是正方形，.OD=OC,AC⊥BD..四边形CODE是菱形， ∠DOC=90°..四边形CODE是正方形.5.(1)证明：DE∥AB,DF∥AC,.四边 形AFDE是平行四边形.∠BAC=90°，∴.四边形AFDE是矩形.AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD.'DF∥AC,.∠FDA=∠CAD..∠FDA=∠BAD..AF=DF. ∴.四边形AFDE是正方形.(2)解：四边形AFDE是正方形，.∠AFD=90°，∴.AF 十DF=AD.:AF=DF,AD=2W2,.2DF2=(2V2)2..S四边形AFDE=DF2=4. 能力提升 6.C7.22.5°8.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∠BAD=90°，AC是∠BAD 的平分线.：PM⊥AD,PN⊥AB,∴.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90°..∠PMA= ∠PNA=∠BAD=90°..四边形PMAN是矩形.又：PM=PN,∴.四边形PMAN是 正方形.(2)解：：四边形PMAN是正方形，∴∠APM=∠APN=45.:∠EPA=15°， ·∠EPM=∠APM-∠EPA=30°.∴.EM=- EP-1.PM-EP-EMF-3. .S正方形PMAV=(W5)2=3. 思维拓展 9.(1)证明：过点E作EM⊥BC于点M,EN⊥CD于点N,.∠EMC=∠ENC= ∠END=90°.：四边形ABCD是正方形，∴.∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA.∴.∠MEN =360°-∠EMC-∠ENC-∠BCD=90°，EM=EN...∠FEM十∠FEN=90°..EF ⊥DE,∴.∠DEF=90°.∴.∠DEN+∠FEN=90°..∠FEM=∠DEN.∴.△FEM≌ △DEN(ASA)..FE=DE..矩形DEFG是正方形.(2)解：CE十CG的长是定值.由 (1)知矩形DEFG是正方形，.DE=DG,∠EDC十∠CDG=90°..四边形ABCD是正 方形，∴.AD=CD=AB=4√E,∠ADE+∠EDC=90°.∠ADE=∠CDG.∴.△ADE≌ △CDG(SAS).∴.AE=CG.∴.CE+CG=CE+AE=AC=√AD+CD=8,是定值. 专题一中点四边形问题【回归教材】 1.(1)证明：连接BD.E,H分别是AB,DA的中点，.EH是△ABD的中位线 ∴EH=2BD,EH∥BD.同理，FG=号BD,FG∥BD.∴.EH=FG,EH∥FG..四边 形EFGH是平行四边形.(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC, BD交于点O.E,F分别是AB,BC的中点，.EF是△ABC的中位线..EF∥AC, EF=AC.同理，得HG∥AC,HG=2AC.∴EF∥HG,EF=HG..四边形EFGH 是平行四边形.AB=AD,BC=CD,.AC是线段BD的垂直平分线..AC⊥BD. :E,H分别为AB,AD的中点，EH是△ABD的中位线..EH∥BD.:EF∥AC, ∴EF⊥EH,即∠HEF=90°.∴四边形EFGH是矩形.【变式题C【拓展练】 51 大单元整合练特殊四边形的折叠问题【落实课标】 1.D2.75°3.44.证明：(1)，四边形ABCD是矩形，∴AB=CD,∠B=∠D=90°. 由折叠的性质，得∠F=∠D=∠B=90°，CF=CD=AB.,∠AEB=∠CEF,,∴.△ABE ≌△CFE(AAS).(2):△ABE≌△CFE,∴.AE=CE.△AEC是等腰三角形.(3)解： 设CE=AE=x.四边形ABCD是矩形，.BC=AD=8...BE=BC-CE=8一x.在 Rt△ABE中，BE2十AB2=AE,即(8-x)2十42=x2,解得x=5..AE=5.5.(1)证 明：由折叠的性质知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,.2(∠PAB十∠PAD)= 180°，即∠BAD=∠PAB+∠PAD=90°.同理可得∠ADC=∠ABC=90°.∴.四边形 ABCD是矩形.(2)解：连接AC.由折叠的性质知AE=AP=AF,“.AF=号ER,同理 可得CG=之GH.四边形EFGH是菱形，∴.EF=GH,EF∥GH.∴AF=CG,AF∥ CG..四边形ACGF是平行四边形..FG=AC.四边形ABCD是矩形，.BC=AD =√6，∠ABC=90.∴.AC=√AB+BC=3.∴.FG=3,即菱形纸片EFGH的边长为3. 专题二与正方形有关的三种常考模型 1.解：两条路等长，它们的位置关系是互相垂直，理由如下：，四边形ABCD是正方形 .BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.AE=DF,.△BAE≌△ADF(SAS).∴.BE AF,∠ABE=∠DAF..∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，.∠BAO+∠ABE=90° ∴∠AOB=180°-（∠BAO十∠ABE)=90°..AF⊥BE.∴.AF与BE等长，且互相垂 直.【变式题1】4【变式题2】3√22.(1)证明：在AB上截取BM=BE,连接ME ·四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°..∠BAE+∠AEB= 90°.：BM=BE,·△BEM是等腰直角三角形，AM=EC.∴.∠BME=45°..∠AME =180°-∠BME=135°..EF⊥AE,..∠AEF=90°.∴.∠AEB+∠CEF=90° ∴.∠BAE=∠CEF.:∠DCG=180°-∠BCD=90°，CF平分∠DCG,∴.∠DCF= ∠GCF=45°.∴.∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°..∠AME=∠ECF=135. ∴△AME≌△ECF(ASA).∴.AE=EF.(2)解：仍然成立.理由如下：延长BA至点H 使AH=CE,连接HE.:四边形ABCD是正方形，∴.∠B=90°，AB=BC,AD∥BC. BH=BE,∠HAD=90°，∠DAE=∠AEB..△BEH是等腰直角三角形..∠H= 45,CF平分∠DCE,∠ECF=2∠DCE=45.∠H=∠ECF.“∠AEF=90, .∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠AEB.∴.∠HAE=∠CEF..△AEH≌△EFC (ASA)..AE=EF.3.解：(1)·四边形ABCD为正方形，.∠B=∠ADF=90°，AB =AD.∴∠ADG=90°=∠B.:DG=BE,∴.△ADG≌△ABE(SAS).∴.∠DAG= ∠BAE,AE=AG..∠FAG=∠FAD十∠GAD=∠FAD+∠BAE=90°-∠EAF= 45°，即∠EAF=∠FAG..AF=AF,.△AFG≌△AFE(SAS)..EF=FG..EF= DF十DG=DF十BE,即EF=BE十DF.(2)DF=EF十BE.证明如下：在CD上截取 GD=BE,连接AG.同(1)可证△AEB≌△AGD,∴.AE=AG,∠EAB=∠GAD.又 ∠BAG+∠GAD=90°，.∠EAG=∠EAB+∠BAG=∠GAD十∠BAG=90°. ∴∠FAG=∠EAG-∠EAF=45°.∴.∠EAF=∠GAF.:AF=AF,.△EAF≌ AGAF(SAS)...EF-FG..FD-FGDG..'.DF=EFBE. 专题三 特殊平行四边形中的定值、最值问题【热点】 1.5【变式题1唱 【变式题2】解：(1)：四边形ABCD是菱形，AO=CO,AC」 BD,B0=号BD=8.在R△AB0中，A0=√AB-BO=6.AC=2A0=12. “S霜n=AC·BD=96,(2)GE+GF的值不发生变化.理由如下：连接AG.由题 意，得Sam=号Sm=SA十Sm,即号X96=分X10GE+合×10G,GE +GF=9.6.,.GE+GF的值不发生变化.2.B3.(1)证明：四边形ABCD是菱 形AD/BC,∠BAC=号∠BAD=60.∴∠B=180-∠BAD=60.△ABC为等 边三角形.∴.AB=BC=AC.:△AEF为等边三角形，∴.AE=AF,∠EAF=60 ∴.∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF.∴.△ABE≌△ACF(SAS) ∴BE=CF.(2)解：四边形AECF的面积不发生变化.，△ABE≌△ACF,.S△AE S△ACF.∴.S四边形ABF=S△AEC十S△ACF=S△Ar十S△ABE=S△ABC.由(1)知△ABC为等边三 角形，过点A作AH_BC于点H.易得AH=2,S=子×4X2B=4V5, S边形c=SAx=45.4.3)55.1.26.57.尽8.35【变式题6V5 9.√2【延伸问】110.2+21311.25 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 【观察判断】①③【回顾反思】48【解决问题】解：菱形ABCD的内接矩形EFGH 的三种草图如图所示 D(H) C(G 52 【拓展探究】解：(1)(2)如图所示 图① 图② 第一章章末复习 思维导图 相等垂直平分相等互相垂直相等一半直角相等且互相平分一半 直角相等直角直角相等相等且互相垂直平分相等互相垂直直角 相等 考点整合 1.C2.C3.C4.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.△EAC 是等边三角形，.EA=EC..EO⊥AC..四边形ABCD是菱形.(2)解：由(1)知四边 形ABCD是菱形，OA=OC=AC=4,OB=OD.在Rt△AOB中，OB= √AB2-OA平=3..OD=OB=3.:△EAC是等边三角形，.AE=AC=8.在 Rt△AOE中，OE=JAE2-OA2=4W3,..DE=OE-OD=4W3-3.5.C6.20 7.(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC.∴∠ABC十∠DCB=180°. :BE平分∠ABC,CE平分∠BCD,·∠EBC=号∠ABC,∠ECB=是∠BCD, ∴.∠EBC+∠ECB=(∠ABC+∠BCD)=90°.∴∠BEC=180°-（∠EBC+∠ECB) =90°.四边形BECF是平行四边形，∴.四边形BECF是矩形.(2)解：：四边形ABCD 是平行四边形，AD=4,∠A=120°，.AD∥BC,BC=AD=4.∴.∠ABC=180°-∠A= 60.∠CBE=2∠ABC=30,由(1)知∠BEC=90,·CE=2BC=2.BE √BC-CE=2V5.由(1)知四边形BECF是矩形，∴.Sm边形F=BE·CE=4√5. 8.AB=AC(答案不唯一)9.510.(1)证明：.四边形ABCD是正方形，·AD=BC, AD∥BC.·∠ADE=∠CBF.又DE=BF,∴△ADE≌△CBF(SAS).(2)解：连接 AC,交BD于点O.,四边形ABCD是正方形，∴.BD⊥AC,OA=OC=OB=OD= 号BD=5.:DE=BR,∴OD-DE=OB-BF,即OE=OE.“四边形AECF是平行四 边形.又'BD⊥AC,.四边形AECF是菱形，EF=2OF.四边形AECF的周长为 4AF=4√34，∴.AF=√34.在Rt△AOF中，OF=AF-OA=3.∴.EF=2OF=6. 聚焦课标 11.解：(1)AH=CH十√2BH.理由如下：，四边形ABCD与四边形D BEFG都是正方形，∴.AB=BC,BE=BH,∠ABC=90°，∠EBH=90°. ∴.EH=√2BH,∠ABE=90°-∠EBC=∠CBG.∴.△ABE≌△CBG M (SAS)...AE-CG...AH=AEEH=CH/2BH.(2)AH=CH+ A 3B √2BH,理由如下：在AE上截取AM=CH,如答图①.由(1)得△ABE 答图① ≌△CBG(SAS),∴.∠1=∠2.：AB=BC,∴.△MAB≌△HCB(SAS).∴∠3=∠4，BM =BH.:∠5=90°-∠4-∠EBC,∠6=90°-∠3-∠EBC,∴∠5=∠6，∴∠MBH= ∠6+∠EBC+∠4=∠5十∠EBC+∠4=∠EBG=90°.∴.△MBH是D 等腰直角三角形.∴.MH=√2BH.:AH=AM十MH,∴.AH=CH十 √2BH.(3)CH=AH十√2BH.理由如下：在CG上截取CM=AH,如 答图②.由(1)得△ABE≌△CBG(SAS),∴.AE=CG,∠1=∠2.：BCA =AB,.△ABH≌△CBM(SAS)..BH=BM,∠3=∠4.同理， △MBH是等腰直角三角形，，.MH=√2BH..CH=CM十MH, 答图② .CH=AH+√2BH. 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 基础过关 1.B2.C3.3x2-7=02x2-4x+5=0x2-3x-4=03210-4-3 -75-44.C5.x(12-x)=32x2-12x十32=0 能力提升 6.B7.(65十2x)(30十2x)=24508.解：(1)设较短一段的长为xm.根据题意，得 2x=(2-x)2.化成一般形式为x2一6x十4=0.(2)设中间的奇数为x.根据题意，得(x -2)2十x2+(x十2)2=251.化成一般形式为3x2-243=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 基础过关 1.B2.53.一94.C5.解：假设能围成，设矩形花圃的长为xm,则宽为(20一x)m. 一 53 根据题意，得x(20-x)=75.整理，得x2-20x十75=0.用列表法估算方程的解，可得 x1=5,x2=15.当x=5时，20-x=15;当x=15时，20-x=5.答：能围成一个面积为 75m的矩形花圃，矩形花圃的长为15m,宽为5m. 能力提升 6.B7.20348.x=1x=-19.解：根据题意可列方程为251-号×10=15.用 列表法估算方程的解，可得t1≈0.7，t2≈4.3.答：约0.7s或4.3s后它在离抛出点 15m高的地方. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 基础过关 1.C2.D3解：1)整理，得=-要”-罗<0方程没有实数根，(2)移项，得 (x-5)2=9.两边开平方，得x-5=±3，即x-5=3,或x-5=-3..x1=8,x2=2. (8)两边开平方，得3x-1=士9，即3x-1=9,或3x一1=-9.∴=号，=-令. 41D93(2)号号(3)品是5D6解：1)移项，得x+10x=-8.配方， 得x2+10x (受)=8+（号），即+5=1，两边开平方，得x+5=士， 即x+5=√17，或x十5=-√17..x1=-5十√17，x2=-5-√17.(2)移项，得x2 4x=-1.配方，得2-x十（受）=-1十（合），即(x一2)=8两边开平方，得x 4 2=±√5，即x-2=√5，或x-2=-5.x1=2十√5，x2=2-5.7.5 能力提升 8.C9D10.C1.解：1)整理，得(2x+1)-2空两边开平方，得2x+1=±号， .5 4 即2x十1= 号，或2x1=-号=是=-子.(2)整理，得2-25x=3.配 方，得-26十(2兰)=3十(2受)即(=8两边开平方，得一后= 士2√2，即x-5=2√2，或x-√5=-2√2.x1=5+2√2，x2=√5-2√2.(3)整理， 得-9x=-9,配方，得7-9x+(号)=-9+（号），即(-号)=织两边开 2 9-3√5 2 思维拓展 12.解：(1)53(2)原方程变形，得[(x十2)-4][(x十2)十4]=4..(x十2)2-42=4. .(x十2)2=20.两边开平方，得x十2=±25..x1=-2+25,x2=-2-25. 第2课时用配方法求解较复杂的一元二次方程 基础过关 2、 1.B2.A3.解：1)两边都除以2，得r+2x=3.配方，得r+2x+(）=3+ (号)即(x十1)=4.两边开￥方，得x十1=士2.即x十1=2，或x十1=一2.∴ 1,=-3(2)移项，得5-2x=3.两边都除以5，得2-子x=子配方，得2 号十（合×号）=号+（宁×号）即（一日）广-是两边开平方，得日 1 2 2 一2两边都除以号得2-8x=一4.配方，得-8x十（受）=一4什（受），即x 8 4)=12.两边开平方，得x-4=士2√3，即x-4=2√3，或x-4=-2√3.∴=4十 2V5,x2=4-2√5. 能力提升 4.D5.三 6-3或号 7.解：(1)整理，得2x2一8.x=10.两边都除以2，得x2-4x= 5.配方，得x2-4x十（ 号)=5十（号），即(x-2=9.两边开平方，得x一2=士3， 即x-2=3,或x-2=-3.∴=5，x2=-1.(2)整理，得3x2十2x=-1.两边都除以 3得2十号= 合配方：得2+号+（合×号）=一合十（合×号），即( 吉)=一号一号<0方程没有实数根 54专题一中点四边 1.一题多问思维递进（教材P23习题T10变式） 如图①，在四边形ABCD中，E,F,G,H分 别是边AB,BC,CD,DA的中点，顺次连接 E,F,G,H,得到的四边形EFGH叫作中点 四边形 (1)求证：四边形EFGH是平行四边形； 图① (2)如图②，若四边形ABCD是正方形，则四 边形EFGH的形状一定是 图② 图③ (3)如图③，若四边形ABCD是矩形，AB= 3,AD=4,则四边形EFGH的周长是 ,面积是； (4)当四边形ABCD的对角线AC,BD满足条 件 时，四边形EFGH是菱形； (5)如图④，若AB=AD,BC=CD,求证：四 边形EFGH是矩形. 图④ 15第一章特殊平行四边形 形问题【回归教材】 名师总结：中点四边形的形状由原四边形的对角线 之间的关系决定： ①任意四边形中点四边形平行四边形： ②对角线相等的四边形（含等腰梯形）中点四边形 菱形： ③对角线互相垂直的四边形中点四边形短形； ④对角线互相垂直且相等的四边形中点四边花正方形. 【变式题】本质不变，四点为四边形各边中 点→一组对边及两条对角线的中点 如图，AC,BD是四边形ABCD的对角线，若 E,F,G,H分别是BD,BC,AC,AD的中点， 顺次连接点E,F,G,H,得到四边形EFGH, 则下列结论不正确的是 ) A.四边形EFGH一定是平行四边形 B.当AB=CD时，四边形EFGH是菱形 C.当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形 D.四边形EFGH可能是正方形 【拓展练】如图，菱形ABCD的对角线长分别 为a,b,以菱形ABCD各边的中点为顶点作 矩形A1B1C1D1,然后再以矩形A1B1C1D1各 边的中点为顶点作菱形A2B2C2D2…如此 下去，则四边形A35B35C35D35的面积为 .（用含a,b的代数式表示) 名师总结：中点四边形的周长是原四边形两条对角 线的长度之和，面积是原四边形面积的一半。 大单元整合练！ 特殊四边 任务1：会利用轴对称解决折叠中的角度问题 1.如图，已知矩形ABCD,将△BCD沿对角线 BD折叠，点C的对应点为C.若∠ADC= 40°，则∠BDC的度数为 A.25 B.40° 40C.D C.50° D.65 2.如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，E是边 AD上的点，沿BE折叠，使点A恰好落在BD 上的点F处，则∠BF℃的度数是 A G B (第2题图) (第3题图) 任务2：会利用轴对称十勾股定理解决折叠中 的线段长问题 3.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形 折叠，使顶点D落在边BC上的点E处，折 痕为GH.若BE:CE=2：1,则线段CH的 长为 4.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折 叠，使点D落在点F处，AF与BC相交于 点E (1)求证：△ABE≌△CFE; (2)求证：△AEC是等腰三角形； 形的折叠问题【落实课标】 (3)若AB=4,AD=8,求AE的长. 任务3：会利用轴对称解决折叠中的特殊平行 四边形的判定问题 5.如图，有一张菱形纸片EFGH,A,B,C,D分 别是边EF,EH,HG,GF上的点，连接AB, AD,BC,CD,BD.将△AEB,△AFD, △CDG,△CBH分别沿AB,AD,CD,BC折 叠，点E,F落在BD上的点P处，点H,G 落在BD上的点Q处. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若AD=√6，AB=√3，求菱形纸片EFGH 的边长. 数学九年级上册配BSD版16