第1章 大单元整合练 特殊四边形的折叠问题&专题1 特殊平行四边形中的作图问题（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 宁夏专版）

大单元整合练！ 特殊四边 任务1：会利用轴对称解决折叠中的角度问题 1.如图，已知矩形ABCD,将△BCD沿对角线 BD折叠，点C的对应点为C.若∠ADC= 40°，则∠BDC的度数为 A.25 B.40° C.50° D.65° 2.如图，在菱形ABCD中，∠A=120°，E是边 AD上的点，沿BE折叠，使点A恰好落在BD 上的点F处，则∠BF℃的度数是 A G B (第2题图) (第3题图) 任务2：会利用轴对称十勾股定理解决折叠中 的线段长问题 3.如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形 折叠，使顶点D落在边BC上的点E处，折 痕为GH.若BE:CE=2：1,则线段CH的 长为 4.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折 叠，使点D落在点F处，AF与BC相交于 点E (1)求证：△ABE≌△CFE; (2)求证：△AEC是等腰三角形； 15第一章特殊平行四边形 形的折叠问题【落实课标】 (3)若AB=4,AD=8,求AE的长. 任务3：会利用轴对称解决折叠中的特殊平行 四边形的判定问题 5.如图，有一张菱形纸片EFGH,A,B,C,D分 别是边EF,EH,HG,GF上的点，连接AB, AD,BC,CD,BD.将△AEB,△AFD, △CDG,△CBH分别沿AB,AD,CD,BC折 叠，点E,F落在BD上的点P处，点H,G 落在BD上的点Q处. (1)求证：四边形ABCD是矩形； (2)若AD=√6，AB=√3，求菱形纸片EFGH 的边长. 专题一特殊平行四边形 类型1尺规作图 1.(银川外国语实验学校期未)下面是小明设 计的“在一个平行四边形内作菱形”的尺规 作图过程， 已知：四边形ABCD是平行四边形， 求作：菱形ABEF(点E在BC上，，点F在 AD上). 作法：①以A为圆心，AB长为半径作弧，交 AD于点F;②以B为圆心，AB长为半径作 弧，交BC于点E;③连接EF. .四边形ABEF为所求作的菱形 (1)根据小明的做法，使用直尺和圆规，补全 图形；（保留作图痕迹） (2)证明：四边形ABEF是菱形. 2.(中卫期中)如图，已知正方形ABCD,E为BC 上任意一点，请仅用无刻度的直尺完成下列作 图，不写作法，保留作图痕迹.（用虚线表示画图 过程，实线表示画图结果) (1)请在图①中完成：在边AD上找点F,使 得直线EF将正方形ABCD的面积平均 分成相等的两部分； (2)请在图②中完成：在边AB上找点G,使 得BG=BE. 图① 图② 中的作图问题【宁夏热点】 类型2网格作图 3.(银川六中月考)图①，图②，图③均是5×5 的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格 点，每个小正方形的边长均为1，点A,B均 在格点上.只用无刻度的直尺，在给定的网 格中按下列要求画图，所画图形的顶点均在 格点上且不全等，不要求写画法 (1)在图①中以线段AB为边画一个平行四 边形； (2)在图②中以线段AB为边画一个正方形； (3)在图③中以线段AB为边画一个菱形，所 画菱形的面积为 图① 图② 图③ 4.(吴忠期中)图①，图②，图③均是3×3的正 方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个 小正方形的顶点称为格点.点A,B均在格点 上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格 中按下列要求作四边形ABCD,使其是轴对 称图形且点C,D均在格点上， (1)在图①中，四边形ABCD的面积为2； (2)在图②中，四边形ABCD的面积为3； (3)在图③中，四边形ABCD的面积为4. B 图① 图② 图③ 数学九年级上册配BSD版16能力提升 5.C6.22.5°7.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∴.∠BAD=90°，AC是∠BAD 的平分线.PM⊥AD,PN⊥AB,∴.PM=PN,∠PMA=∠PNA=90°.∴.∠PMA= ∠PNA=∠BAD=90°.∴.四边形PMAN是矩形.又：PM=PN,.四边形PMAN是 正方形.(2)解：：四边形PMAN是正方形，.∠APM=∠APN=45°.∠EPA=15°， ∠EPM=∠APM-∠EPA=30.∴EM=2ED=1.PM=√E-EM-E. .SE方形PMAN=(W5)2=3. 教材拓展角 (1)C(2)正方形(3)106(4)AC=BD(5)证明：连接AC,BD交于点O.,E,F 分别是AB,BC的中点EF是△ABC的中位线.EF∥AC,EF=2AC同理，得 HG∥AC,HG=号AC.∴EF∥HG,EF=HG.·四边形EFGH是平行四边形.：AB= AD,BC=CD,AC是线段BD的垂直平分线.∴.AC⊥BD.E,H分别为AB,AD的 中点，∴EH是△ABD的中位线.∴.EH∥BD.:EF∥AC,∴EF⊥EH,即∠HEF= 90°..四边形EFGH是矩形. 大单元整合练特殊四边形的折叠问题【落实课标】 1.D2.75°3.44.证明：(1)四边形ABCD是矩形，.AB=CD,∠B=∠D=90° 由折叠的性质，得∠F=∠D=∠B=90°，CF=CD=AB.:∠AEB=∠CEF,∴.△ABE ≌△CFE(AAS).(2),△ABE≌△CFE,∴.AE=CE.∴.△AEC是等腰三角形.(3)解： 设CE=AE=x.四边形ABCD是矩形，.BC=AD=8..BE=BC-CE=8-x.在 Rt△ABE中，BE十AB=AE,即(8-x)2十4=x2,解得x=5..AE=5.5.(1)证 明：由折叠的性质知∠EAB=∠PAB,∠FAD=∠PAD,.2(∠PAB十∠PAD)= 180°，即∠BAD=∠PAB十∠PAD=90°，同理可得∠ADC=∠ABC=90°，∴四边形 ABCD是矩形.(2)解：连接AC.由折叠的性质知AE=AP=AF,“AF=之ER,同理 可得CG=2GH,“四边形EFGH是菱形，∴.EF=GH,EF∥GH.AF=CG,AF∥ CG..四边形ACGF是平行四边形.∴.FG=AC.:四边形ABCD是矩形，∴.BC=AD= √6，∠ABC=90°..AC=√AB+BC=3.∴.FG=3,即菱形纸片EFGH的边长为3. 专题一特殊平行四边形中的作图问题【宁夏热点】 1.(1)解：如图，菱形ABEF即为所求. FD(2)证明：：四边形ABCD是 平行四边形，.AD∥BC.AF=AB,BE=AB,.AF=BE..四边形ABEF是平行四 边形.AB=AF,∴.四边形ABEF是菱形.2.解：(1)如图①，点F即为所求.(2)如 图②，点G即为所求. 图① 图② 3.解：(1)如图①，平行四边形ABCD即为所求（答案不唯一）.(2)如图②，正方形AB- CD即为所求.(3)如图③，菱形ABCD即为所求.8 图① 图② 图③ 4.解：(1)(2)(3)如图. 图① 图② 图③ 专题二与正方形有关的三种常考模型 1.解：两条路等长，它们的位置关系是互相垂直，理由如下：，四边形ABCD是正方形 ,.BA=AD=CD,∠BAE=∠D=90°.AE=DF,,.△BAE2△ADF(SAS)..BE= AF,∠ABE=∠DAF.,∠BAE=∠BAO+∠DAF=90°，.∠BAO十∠ABE=90. ∠AOB=180°-（∠BAO十∠ABE)=90°..AF⊥BE..AF与BE等长，且互相垂 直.【变式题1】4【变式题2】3√22.(1)证明：在AB上截取BM=BE,连接ME, 58 四边形ABCD是正方形，.AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°..∠BAE十∠AEB= 90.BM=BE,∴.△BEM是等腰直角三角形，AM=EC.∴.∠BME=45°.∠AME= 180°-∠BME=135.EF⊥AE,∴.∠AEF=90°..∠AEB+∠CEF=90°..∠BAE ∠CEF.∠DCG=180°-∠BCD=90°，CF平分∠DCG,.∠DCF=∠GCF=45. ∴.∠ECF=∠BCD+∠DCF=135°.∴.∠AME=∠ECF=135°.∴.△AME≌△ECF (ASA).∴AE=EF.(2)解：仍然成立.理由如下：延长BA至点H,使AH=CE,连接 HE.,四边形ABCD是正方形，.∠B=90°，AB=BC,AD∥BC..BH=BE,∠HAD= 90°，∠DAE=∠AEB.∴△BEH是等腰直角三角形.∴.∠H=45°.：CF平分∠DCE, ∴∠ECF=号∠DCE=45.∠H=∠ECRF.:∠AEF=90,.∠HAD+∠DAE= ∠AEF+∠AEB..∠HAE=∠CEF..△AEH≌2△EFC(ASA)..AE=EF.3. 解：(1).四边形ABCD为正方形，.∠B=∠ADF=90°，AB=AD.,.∠ADG=90°= ∠B.:DG=BE,∴△ADG≌△ABE(SAS).∴.∠DAG=∠BAE,AE=AG.∴∠FAG= ∠FAD+∠GAD=∠FAD十∠BAE=90°-∠EAF=45°，即∠EAF=∠FAG..'AF= AF,.△AFG≌△AFE(SAS)..EF=FG..EF=DF+DG=DF+BE,即EF= BE+DF.(2)DF=EF+BE.证明如下：在CD上截取GD=BE,连接AG.同(1)可证 △AEB≌△AGD,.AE=AG,∠EAB=∠GAD.又.'∠BAG+∠GAD=90°，∴.∠EAG= ∠EAB+∠BAG=∠GAD+∠BAG=90°.∴·∠FAG=∠EAG-∠EAF=45°. ∴∠EAF=∠GAF.AF=AF,∴△EAF≌△GAF(SAS).∴.EF=FG.:FD=FG+ DG..'.DF-EFBE. 专题三特殊平行四边形中的定值、最值问题【宁夏热点】 1.B【变式题1】g【变式题2】解：1)：四边形ABCD是菱形，∴A0=C0,AC1 BD,B0=合BD=8.在R△AB0中，A0=VAB-B0=6.AC=2A0=12. ∴Sm=分AC·BD=96.(2)GE十GF的值不发生变化.理由如下：连接AG.由题 意，得S4D=2SD=S4x十Sa,即号×96=号X10GE+X10GF,GE 1 GF=9.6..GE十GF的值不发生变化.2.B3.(1)证明：：四边形ABCD是菱形， 六AD∥BC,∠BAC=Z∠BAD=60.·∠B=180°-∠BAD=60.△ABC为等边 三角形..AB=BC=AC.:△AEF为等边三角形，.AE=AF,∠EAF=60°. ∴.∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC,即∠BAE=∠CAF.·△ABE≌△ACF(SAS). BE=CF.(2)解：四边形AECF的面积不发生变化.：△ABE≌△ACF,.SAAE S△AF,.S四边形AECF=S△Ax十S△AKF=S△AEc十S△ABE=S△AC·由(1)知△ABC为等边三 角形，过点A作AH.LBC于点H.易得AH=2,∴Sc=号X4X25=45 Saa5m=Sa=44395.3万6.107.后84 【变式题6√ 9.√2110.2十2/1311.2√5 问题解决活动：作内嵌于正方形的正八边形 【观察判断】①③【回顾反思】48【解决问题】解：菱形ABCD的内接矩形EFGH 的三种草图如图所示， A(E) D(H) C(G) 【拓展探究】解：(1)(2)如图所示. 图① 图② 第一章章末复习 思维导图 相等垂直平分相等互相垂直相等一半直角相等且互相平分一半 直角相等直角直角相等相等且互相垂直平分相等互相垂直直角 相等 考点整合 1.C2.C3.C4.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，.OA=OC.△EAC 59 是等边三角形，∴.EA=EC.∴.EO⊥AC.∴.四边形ABCD是菱形.(2)解：由(1)知四边 形ABCD是菱形，OA=OC=子AC=4,OB=OD.在R1△AOB中，OB √AB-OA=3.,.OD=OB=3.△EAC是等边三角形，..AE=AC=8.在 R△A0E中，OE=V/AE-0A=4EDE=0E-OD=4E-3.5.C6号 7.解：(1)如图，线段BE即为所求。 (2)如图，截取线段BF,连接DF. 四边形ABCD是菱形，.AB∥CD..BF∥DE.BF=DE,.四边形DFBE是平行 四边形.由(1)作法知：BE⊥CD,∴.∠BED=90°，.四边形DFBE是矩形..∠DFB= 90°.∠DFA=90°.：四边形ABCD是菱形，AB=8,∴.AD=AB=8.在R△AFD中， :∠A=60,∴∠ADF=30.∴AF=号AD=4.·DF=VAD-AF=V8-平= 4√3，BF=AB-AF=8-4=4..矩形DFBE的周长为(43十4)×2=8W3十8. 8.AB=AC(答案不唯一)9.510.(1)证明：：四边形ABCD是正方形，∴.AD=BC, AD∥BC.∴∠ADE=∠CBF.又：DE=BF,∴.△ADE≌△CBF(SAS).(2)解：连接 AC,交BD于点O.:四边形ABCD是正方形，.BD⊥AC,OA=OC=OB=OD= 号BD=5.:DE=BR,∴OD-DE=OB-BF,即OE=OF.四边形AECF是平行四 边形.又BD⊥AC,.四边形AECF是菱形，EF=2OF.四边形AECF的周长为 4AF=4√34，∴AF=√34.在Rt△AOF中，OF=√AF-OA=3.∴.EF=2OF=6. 聚焦课标 11.【概念理解】解：菱形，正方形【性质探究】解：AD十BC BDXAC【问题解决】 2 (1)解：1340(2)解：5a(3)证明：设CE与AB交于点M,BG与CE交于点V. :四边形ACFG是正方形，∴.AC=AG,∠GAC=90°.：四边形ABDE是正方形，∴.AE= AB,∠BAE=90°.∴.∠GAC十∠BAC=∠BAE十∠BAC,即∠GAB=∠CAE.在 AG=AC, △GAB和△CAE中，∠GAB=∠CAE,.△GAB≌△CAE(SAS)..∠GBA= AB=AE, ∠CEA..∠BAE=90°，∴.∠CEA十∠AME=90°..∠GBA+∠AME=90°. ∠AME=∠BMN,∴∠GBA十∠BMN=90.∴.∠BNM=90°..BGLCE..四边形 BCGE为“垂美四边形” 第二章一元二次方程 1认识一元二次方程 第1课时一元二次方程 基础过关 1.C2.C3.3x2-7=02x2-4x十5=0x2-3x-4=03210-4-3 -75-44.B5.x(12-x)=32x2-12x十32=0 能力提升 6.B7.(65十2x)(30十2x)=24508.解：(1)设较短一段的长为xm.根据题意，得 2x=(2-x).化成一般形式为x2一6x十4=0.(2)设中间的奇数为x.根据题意，得 (x-2)2十x2十（x十2)2=251.化成一般形式为3x2-243=0. 第2课时一元二次方程的解及其估算 基础过关 1.B2.C3.一94.B5.解：假设能围成，设矩形花圃的长为xm,则宽为(20一x)m. 根据题意，得x(20-x)=75.整理，得x2-20x十75=0.用列表法估算方程的解，可得 x1=5,x2=15.当x=5时，20-x=15;15>5,.不合理，舍去.当x=15时，20-x= 5.答：能围成一个面积为75m2的矩形花圃，矩形花圃的长为15m,宽为5m. 能力提升 6.B7.20348x=1x=-19.解：根据题意可列方程为251一号×10r=15.用 列表法估算方程的解，可得t1≈0.7，t2≈4.3.答：约0.7s或4.3s后它在离抛出点 15m高的地方. 2一元二次方程的解法 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 基础过关 1.C2.D3.解：(1)整理，得x2=- “-写<0∴方程没有实数根.(2)移项，得 9· 60