第1章 3 第2课时 矩形的判定（PDF部分书稿）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 贵州专版）

第 【新知导学 >P预习新知 新知梳理 ①有一个角是直角的平行四边形是矩形， ②有三个角是 的四边形是矩形， ③对角线 的平行四边形是矩形. ☑例题引路 【例1】如图，在△ABC M 中，AB=AC,AD是 △ABC的中线，AN是 △ABC的外角∠CAM 的平分线，CE∥AD,交 B AN于点E,连接DE.求证：四边形 ADCE是矩形. 【方法点拨】判定一个四边形是矩形的 思路： 证有三个角是直角 证对角 四边形 证该四边形是了线相等 矩形 平行四边形 证有一个 角是直角 【学生解答】 易错典例 【例2】依据所标数据，下列四边形不 定是矩形的是 .(填序号) 90° 690° 5 ① ② 8 90 40°40y 690 8 40°40 ③ ⑦ 【易错剖析】对矩形的判定定理理解不 透彻而致错 【学生解答】 2课时 矩形的判定 ■基础过关 ●●●逐点击破 知识点1矩形的判定 1.(2025·贵阳南明区模拟)在□ABCD中，对角线AC, BD相交于点O,添加一个条件，可以得到平行四边形 ABCD是矩形的是 A.AC=BD B.AC⊥BD C.AB=CD D.∠ACD=90° 2.生产生活情境化如图，矩形农田规划 能减少边角闲置，且对边平行方便农机 直线作业，直角利于转弯，提高作业效 率，还便于构建规则灌排系统等.农业技术人员在检测 一农田是否是矩形时，只需用到一个直角尺，则他的判 定依据是 3.(毕节七星关区期未)如图，四边形ABHD是平行四边 形，在△ABC中，AB=AC,BC=2AD.求证：四边形 AHCD是矩形. 知识点2矩形的性质与判定的综合 4.(六盘水期中)如图，在□ABCD中，对角线AC,BD相 交于点O,且OA=OD,∠OAD=55°，则∠OCD的度数 为 A.35° B.40° C.45° D.509 A -K (第4题图) (第5题图) 5.如图，直角∠AOB内的任意一点P到这个角两边的距 离之和为6cm,则图中四边形的周长为 cm 第一章特殊平行四边形9 口能力提升 ♪>>整合运用 6.如图，在□ABCD中，M,N是BD上两点， BM=DN,连接AM,MC,CN,NA,添加 个条件，使四边形AMCV是矩形，这个条 件是 ) A.MB=MO B.OM-ZAC C.BD⊥AC D.∠AMB=∠CND 】 （第6题图) (第7题图) 7.如图，O是菱形ABCD对角线的交点，DE∥ AC,CE∥BD,连接OE.若AC=12,BD= 16,则OE的长为 8.半开放性题新趋势（教材P14随堂练习变式）》 如图，点M在□ABCD的边AD上，BM=CM! 有以下三个选项：①∠1=∠2；②AM=DM; ③∠3=∠4，选择一个合适的选项作为已知 条件，使□☐ABCD为矩形 (1)你添加的条件是 ;(填序号) (2)添加条件后，求证：口ABCD为矩形. 10数学九年级全一册(BS) ·思维拓展 >◆强化素养 9.数学文化新趋势(2025-2026·六盘水期 中)中国古代数学家刘徽在《九章算术注》 中，给出了证明三角形面积公式的出入相补 法.如图所示，在△ABC中，分别取AB,AC 的中点D,E,连接DE,过点A作AF⊥DE, 垂足为F,延长FD至点G,使得DG=DF, 延长FE至点H,使得EH=EF,连接BG, CH. (1)求证：四边形BCHG是矩形； (2)若DE=6,AF=5,求△ABC的面积. 提示 清完成阶段微测试（一）[1.1~1.3]参考答案 第一章特殊平行四边形 1 认识特殊的平行四边形 新知梳理 ①邻边直角邻边直角②相等互相平分两四 例题引路 【例1】D【例2】证明：：四边形ABCD是正方形，AD=CD,∠B=90°，∴.∠ADC=∠B= 90°，∠A=∠BCD=180°-∠B=90°..∠DCF=90°=∠A.又：∠EDF=90°，.∠ADC ∠EDC=∠EDF-∠EDC,即∠ADE=∠CDF.∴.△ADE≌△CDF(ASA).∴.DE=DF. 基础过关 1.C2.(1)有一组邻边(2)正方3.D4.128°5.证明：：四边形ABCD是矩形，∴.AB= CD,AB∥CD.∴.∠C=180°-∠B=90°=∠B.:∠BAE=∠CDF,∴.△ABE≌△DCF (ASA). 弥能力提升 6.D7.A8.(4,3)9.证明：四边形ABCD是菱形，.AB=CD.又AB=AD,.AD= 帐 CD..∠DAC=∠DCA.AE=CF,∴.AE+EF=CF+EF,即AF=CE..△ADF≌△CDE (SAS).∴∠ADF=∠CDE.10.解：(1)：四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∠DAE= ∠AEB.:EA平分∠BED,∴∠AEB=∠AED.∴∠DAE=∠AED..DE=AD=10.(2) :四边形ABCD是矩形，.CD=AB=6,BC=AD=10,AB∥CD.∴.∠C=180°-∠B= 90°.∴.CE=DE-CD=8..BE=BC-CE=2. 思维拓展 11.解：(1)如答图①所示 封 答图① (2)能，拼成的矩形如答图②所示（答案不唯一），拼成的菱形如答图③所示. 答图② 答图③ 验 2菱形的性质与判定 第1课时菱形的性质 新知梳理 ①相等垂直②一半 例题引路 【例1】解：(1)：四边形ABCD是菱形，.OA=号AC=4,AC⊥BD.∠AOB=90,在 Rt△AOB中，AB=√OA十OB=2√5.∴菱形ABCD的周长是4X2√5=8√5.(2)：四边 形ABCD是菱形，BD=20B=4.∴SAn=子AC·BD=16. 【例2】6或2√3 基础过关 1.B2.B3.84.155.解：(1).四边形ABCD是菱形，OA=4,OB=3,.AC=2OA 1 8,BD=2OB=6.S麦形Am=2AC·BD=24.(2):四边形ABCD是菱形，AC⊥BD, ∴∠AOB=90..AB=√OA+OB=5.:CE⊥AB,∴S菱形AD=AB·CE=24..CE= 24 55 能力提升 6.B7,18,登9.(1证明：四边形ABCD为菱形，AD/BC.ACLBD..DE BD,. ∴DE∥AC.∴四边形ACED为平行四边形.(2)解：：四边形ABCD为菱形，∴OD=号BD= 2 4,:四边形ACED为平行四边形，∴.DE=AC=6.:DE⊥BD,∴∠ODE=90°.∴.OE= √OD+DE=2√I3.10.(1)证明：连接BD.:四边形ABCD是菱形，∴.BD⊥AC.E, F分别是边AB,AD的中点，EF是△ABD的中位线..EF∥BD.∴.EF⊥AC(2)解： ∠DAC=30°，四边形ABCD是菱形，∴.∠DAB=60°，AD=AB.·△ABD是等边三角 形.BD=AB=2.:E,F分别是边AB,AD的中点EF=BD=1. 思维拓展 11.3【点拨】连接BD.易证△ADE≌△BDF,即可推出AE=BF,列出方程即可解题. 第2课时菱形的判定 新知梳理 ②相等③垂直 例题引路 【例1】证明：四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC,AD∥BC.DE=BF,.AD一DE= BC一BF,即AE=CF.又.AE∥CF,∴.四边形AECF是平行四边形.AC⊥EF,∴.四边形 AECF是菱形. 【例2】D 基础过关 1.B2.AD∥BC(答案不唯一)3.C4.70°5.(1)证明：，四边形ABCD是平行四边 形，∴.AB∥CD.∴∠BAC=∠DCA.:AC平分∠DAB,∴.∠DAC=∠BAC.∴∠DAC= ∠DCA.AD=CD.∴□ABCD是菱形.(2)解：：四边形ABCD是菱形，.AO=CO= 合AC=2,B0=D0=BD=1,AC1BDAB=VOA+0B-后.：Sum=合AC: BD=AB·DE,DE=4YE 5 能力提升 6.B7.D8.(1)证明：四边形AECF是菱形，.OA=OC,OE=OF,AC⊥EF..BE= DF,.BE+OE=DF+OF,即OB=OD..四边形ABCD是平行四边形.又：AC⊥EF,即 AC⊥BD,∴.四边形ABCD是菱形.(2)解：由(1)知四边形ABCD是菱形，.∠ADB= 号∠ADC-合∠ABC=30,AD=AB=6E.:AELAD.∠EAD=90.DE=2AE.在 Rt△AED中，AE+AD=DE,即AE+(6V3)2=(2AE)2,AE=6.∴.菱形AECF的周 长为4AE=24. 思维拓展 9.解：(1)四边形ABCD是菱形.理由如下：由题意，得AB∥CD,AD∥BC,.四边形ABCD 是平行四边形.过点A分别作CD,BC边上的高AE,AF,:两张矩形纸条的宽都为1cm, ∴AE=AF.:SaAD=CD·AE=BC·AF,∴.CD=BC..四边形ABCD是菱形.(2)由 (1),得AE=AF=1cm.:AD∥BC,∴∠ABF=∠BAD=30°.AB=2AF=2cm.:四边 形ABCD是菱形，∴.BC=AB=2cm.∴.重叠部分的面积为BC·AF=2cm. 3矩形的性质与判定 第1课时矩形的性质 新知梳理 ①直角相等②一半 例题引路 【例】(1)证明：：四边形ABCD是矩形，.AC=BD,BC∥AD.:CE∥BD,∴.四边形DECB是 平行四边形.∴.BD=CE.∴.AC=CE.(2)解：：四边形ABCD是矩形，∠ADC=∠CDE= 90,G0-号AC,D0号BD,AC=BD,D0=C0-号AC.在R△EDC中，DE=9,CD= 12CE=DB+CD=15.AC=CE=15.0=0=号△c0D的周长为C0 DO+CD=27. 56 基础过关 1.A2.A3.C4.证明：：四边形ABCD是矩形，AB=CD,∠B=∠C=90°.BE= CF,∴BE十EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中，AB=DC,∠B=∠C,BF= CE,∴.△ABF≌△DCE(SAS)..AF=DE.5.C6.50° 能力提升 7.C8.5.59.810.(1)证明：：DE=OC,CE=OD,.四边形OCED是平行四边形. 四边形ABCD为矩形，.OC=OD..四边形OCED为菱形.(2)解：四边形ABCD为矩 形∠ABC=90,0A=号AC=6.:AF垂直平分线段OB,AB=0A=6.BC= √AC-AB=6√. 思维拓展 11.解：四边形ACBD是矩形，.∠DAC=90°，AD∥BC.∴.∠EAF=180°-∠DAC=90 :在R△AEF巾，G是EF的中点AG=FG=号ER.∠GAF=∠R:EF=2AB. .AB=AG.∴∠ABG=∠AGB=∠F+∠GAF=2∠F.:AD∥BC,∴∠F=∠CBF ∴∠ABG=2∠CBF.∴.∠ABC=3∠CBF..∠CBF是∠ABC的一个三等分角. 第2课时矩形的判定 新知梳理 ②直角③相等 例题引路 【例1J证明：AB=AC,AD是△ABC的中线.ADLRC,∠CAD=∠BAC∠ADC= 90.:AN平分∠CAM,∠CAN=号∠CAM.∠DAE=∠CAD+∠CAN=号（∠BAC+ ∠CAM=Z×180=90.CE/AD∴∠AEC=180-∠DAE=90.∠ADC=∠DAE= ∠AEC=90°..四边形ADCE是矩形.【例2】②④ 基础过关 1.A2.有三个角是直角的四边形是矩形3.证明：：四边形ABHD是平行四边形，AB= DH,AD=BH,AD∥BH..AD∥HC.BC=BH+HC=2AD,.AD=HC..四边形AHCD 是平行四边形.：AB=AC,.AC=DH.四边形AHCD是矩形.4.A5.12 能力提升 6.B7.108.答案不唯一，如：(1)解：①(2)证明：·四边形ABCD为平行四边形，∴.AB∥ DC,AB=DC.∴.∠A十∠D=180°.在△ABM和△DCM中，AB=DC,∠1=∠2，BM=CM, .△ABM≌△DCM(SAS)..∠A=∠D=90°..□ABCD为矩形. 思维拓展 9.(1)证明：：AF⊥DE,∴∠AFD=∠AFE=90°.：点D,E分别是AB,AC的中点，∴.AD= BD.在△ADF和△BDG中，DF=DG,∠ADF=∠BDG,AD=BD,.△ADF≌△BDG(SAS). ∴.AF=BG,∠AFD=∠G=90°.同理可得：△CHE≌△AFE(SAS),∴.CH=AF,∠AFE= ∠H=90°.∴.BG=CH.:∠G十∠H=180°，∴.BG∥CH..四边形BCHG为平行四边形. :∠H=90°，.四边形BCHG为矩形.(2)解：由(1)可知，△ADF≌△BDG,△CHE≌ △AFE,.S△Ac=SE形HG.·点D,E分别是AB,AC的中点，.DE是△ABC的中位线. .BC=2DE=12.由(1)可知，BG=AF=5,.S矩形xHc=BC·BG=12X5=60..S△Ac= S矩形HG=60. 4正方形的性质与判定 第1课时正方形的性质 新知梳理 直角相等相等且互相垂直平分 例题引路 【例1】解：：四边形ABCD是正方形，.AC⊥BD,OC=OB=√2.∴∠COB=90°.∴.BC= √OB+OC=2.:BF⊥CE,.∠BFC=∠BFE=90°.：BF平分∠DBC,.∠CBF= ∠EBF..∠BCE=∠BEC,.BE=BC=2..OE=BE-OB=2-√2.【例22或√2 57