第3章 2 探索三角形相似的条件（随堂反馈）-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 宁夏专版）

2探索三角形相似的条件 第1课时利用两角判定三角形相似 知识梳理 ①定义：三角 、三边 的两个三角形叫作相似三角形. ②相似三角形的性质：对应角 ,对应边 ③定理：两角 的两个三角形相似. 当堂练习 1.如图，在△ABC中，D,E分别是边AB,AC上的点，若△ADE△ACB,∠C=110°，则 ∠BDE的度数为 A.110° B.70° C.55° D.50° D 50 D B 40入 E (第1题图) (第2题图) (第3题图) (第4题图) 2.下列三角形中，与如图所示的三角形相似的是 40D 90 90°452 50 90° 30 40 A B D 3.如图，已知点B,E,C,F在同一条直线上，∠A=∠D.要使△ABC∽△DEF,还需添加 一个条件，则添加的条件可以是 4.如图，在△ABC中，∠ACD=∠B.若AD=3,AC=5,则BD的长为 5.如图，在四边形ACBD中，AB平分∠CAD,∠ABC=∠D=90°. (1)求证：△ABC∽△ADB; (2)若AC=6cm,AD=4cm,求AB的长， ·19· 第2课时利用两边及夹角判定三角形相似 知识梳理 定理：两边 且 相等的两个三角形相似. 当堂练习 1.下列条件可以判定△ABC∽△A'B'C'的是 A.∠A=∠B'=∠C B指-S∠A=∠C CA0-且∠A=∠A D.以上都不对 2.如图，AD,BC相交于点O,添加下列条件后仍不能判定△AOB∽△DOC的是( A.AB∥CD B.∠A=∠D c80兴 器鸽 B (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，D是△ADC的边AB上一点，BD=专，AB=3.当BC的长是 时，△CBD∽△ABC. 4.如图，已知AD:AB=AE:AC,∠C=20°，∠A=60°，则∠ADB的度数为 5.如图，∠BAD=∠CAE,AC=2AE,AB=2AD.若BC=3cm,求DE的长 ·20· 第3课时利用三边判定三角形相似 知识梳理 定理：三边 的两个三角形相似. 当堂练习 1.有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为2,4,5，乙三角形木框的三边 长分别为6,12,15，则甲、乙两个三角形 A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.无法判断 2.把一个三角形的三边长都缩小为原来的)，则得到的三角形与原三角形 A.一定相似 B.一定不相似 C.可能相似，也可能不相似 D.以上都不对 3.在△ABC和△DEF中，BC=8cm,AC=4cm,AB=6cm,DE=3cm,EF=4cm,则当 DF的长为cm时，△ABC∽△DEF. 4如图，在AABC和△ADE中，8-E-S∠BAD=20,∠DAE=60,求∠DAC 的度数 5.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格 的格点上，判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由. ·21· 第4课时黄金分割 知识梳理 二A 般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如果A宇 C B C,那么称线段AB被点C黄金分望，点C叫作线段AB的黄金分点，AC与AB的巴 t作黄金比，支金比福-西618 当堂练习 1.如图，已知C是线段AB的黄金分割点（其中AC>BC),AB=4,则线段AC的长是 ( B A.√5-1 B.2√5-2 C.3-√5 D.6-25 2.许多少数民族服饰在设计时，会将服装的某些关键部位（如腰线、袖口、裙摆等）设置在 整体长度的黄金分割点上，以达到视觉上的和谐美感.若某种苗族传统服饰的上衣长度 与裙子长度的比等于黄金分割比，且裙子的长度是1，则上衣的长度是 m. 3.小华想设计一张版面为黄金矩形的海报（即宽与长的比位是石。已知海报的宽为 (20+2√5)cm,则海报的长应设计为 cm. 4.在花艺造型中，黄金分割率被赞誉为最美的比例.如图，在竖向的花艺作品中，花材的高 AC,花器的高5C以及整体作品的高AB满足黄金分制率，即CS≈0618，若要使 花艺造型满足黄金分割率，且花器的高BC=20cm,则整体作品的高AB约为多少厘 米？（精确到0.1cm) B ·22·-4×2×2=-15<0,∴方程没有实数根.(3)将原方程化为一般形式，得号x2-厄x十 1=0.这里a=7,b=-E,c=1.6-4ac=(-2)-4×号×1=0，x 1 -（-一2)±0=2，即x1=x=E. 2×2 第4课时用因式分解法求解一元二次方程 知识梳理 ②00 当堂练习 1.C2.x十2-3=0x1=-5,x2=13.(1)直接开平方(2)配方(3)公式 (4)因式分解4.解：(1)原方程可变形为2x(x十5)=0.2x=0,或x十5=0..x1=0, (2)原方程可变形为(2x十3)1一x)=0,2x十3=0，或1一x=0, x2=1.(3)原方程可变形为x(x-5)十(x十5)(x-5)=0,(x-5)(2x十5)=0.x-5= 0,或2x十5=0.1A=5=-号.(4)原方程可变形为(x-1)-2(x-1)=0,(x 1)(x-1-2)=0,即(x-1)(x-3)=0.x-1=0,或x-3=0.x1=1,x2=3. 3一元二次方程的根与系数的关系 知识梳理 0-6c ②≥ a 当堂练习 1.A2.D3.A4.-225.解：(1)这里a=-2,b=6,c=3.△=b2-4ac=62- 4X(一2)×3=60>0方程有两个实数根，∴1十=-92=3,1=-号(2)将 原方程化为一般形式，得x2-x-5=0.这里a=1,b=-1,c=-5.△=b-4ac= (-1)2-4×1×(-5)=21>0,.方程有两个实数根..x1十x2=1,x1x2=-5. 6,解：1由题意，得△=[-2(m-1D了-4m≥0，解得m≤宁.(2)由根与系数的关系， 得x1十x2=2(m-1),x1x2=m2.x1x2十x1十x2-1=0,∴.m2十2(m-1)-1=0,解 得m=一3，m=1.m≤之六m=一3. 4一元二次方程的应用 第1课时行程、几何图形及动点问题 当堂练习 1.C2.C3.解：设这个矩形菜园垂直于墙的边长为xm.根据题意，得x(32一2x)= 120,解得x1=6,x2=10.当x=6时，32-2x=20>18,不合题意，舍去：当x=10时，32 -2x=12<18,符合题意.∴.x=10.答：这个矩形菜园垂直于墙的边长为10m.4.解： 设点P的运动时间为ts(0<t4),则CP=tcm,AQ=2tcm,.CQ=AC-AQ=(8一 20cm当Sam=sauc时，2Cp.CQ=子×号BC,AC,7(8-2)=×号 1 ×4×8,解得t1=t2=2.答：点P的运动时间为2s. 第2课时平均变化率及营销问题 知识梳理 ①a(1十x)"=ba(1-x)"=b 当堂练习 1.C2.(a-25)(400-10a)=50030或353.解：设该商场投入资金的月平均增长 率为x.根据题意，得20(1十x)2=24.2,解得x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意，舍 去)，答：该商场投入资金的月平均增长率为10%，4.解：设每件商品应降价x元.根 据题意，得(250-x-200)(30+2x)=2100,解得x1=20,x2=15.:尽可能让顾客得 到实惠，.x=20.答：每件商品应降价20元. 第三章图形的相似 1相似多边形 第1课时成比例线段与相似多边形 知识梳理 0号-9 ·③相等成比例 当堂练习 1.C2.D3.B4.解：(1)，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',∴∠A'=∠A=102°， ∠B'=∠B=90°.∴∠D=360°-∠A'-∠B-∠C=48°.(2)：四边形ABCD∽四边 形ABCn常=品-品∴号-g-铝C=12,cD=15. 103 第2课时等比性质 知识梳理 当堂练习 1A2B3宁4105解0器-光=方万CC 3.“△AB'C的周长为90cm,AB'+BC'+AC'=90cm∴AB+BC+AC 号(AB'+BC'+AC)=30cm∴△ABC的周长为30cm6.解：6若=方= 2a 26 ,h+gta十a+b-ga士h9=k.k=1. 2c 2a+2b+2c 2(a+b+c) 2探索三角形相似的条件 第1课时利用两角判定三角形相似 知识梳理 ①分别相等成比例②相等成比例③分别相等 当堂练习 1.B2.B3.AB∥DE(答案不唯-）4.背5.(I)证明：AB平分∠CAD, ∴.∠CAB=∠BAD.:∠ABC=∠D=90°，∴.△ABC∽△ADB.(2)解：：△ABC∽ △ADB指-铝脚品=9AB=26m 第2课时利用两边及夹角判定三角形相似 知识梳理 成比例夹角 当堂练习 D3.24100°5.解：AC=2AE,AB=2AD,A=D=2.2 ∠CAE,∴.∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD,即∠BAC=∠DAE.∴.△BAC∽ △DAE.能8-2.DE=1.5em 第3课时利用三边判定三角形相似 知识梳理 成比例 当堂练习 1A2.A3.24解：0-能△ABCn△ADE.∠BAC=∠DAE 60.:∠BAD=20°，∠DAC=∠BAC-∠BAD=40°.5.解：△ABCD△DEF.理 由如下：由图可知AB=2,EF=2.由勾股定理，得AC=√22+4=2√5，BC=√/22+2四 =区.=年=mE=小T=店祭-%-荒-后- S-2-E.架-提-s△ABC△DER, 第4课时黄金分割 当堂练习 1.B2.后3.(15+11V5)4解：根据题意，得≈0.618.BC=20mAC BC 2 ≈32.36cm..AB=AC十BC≈52.4cm.答：整体作品的高AB约为52.4cm. 3相似三角形判定定理的证明 第1课时平行线分线段成比例 知识梳理 ①成比例 ②成比例 当堂练习 1C2.B3g495解：：A/h/,00:AD=3,DE=6AB 45瓷=音BC=9.2:a/0提：”成旺=号BE婴 .4.53 3 “第2课时相似三角形判定定理的证明 当堂练习 1,D2.D3.证明：：四边形ABCD是平行四边形，∴∠A=∠C.∠EDB=∠A, ÷∠EDB=∠C∠DBF=∠CBD△BDFO△BCD.∴2-S甲BD=C BF.4.(1)证明：：CD,BE分别是AB,AC边上的高，∠ADC=∠AEB=90°. —104 ∠A=∠A,∴，△ACD∽△ABE.(2)解：相似，理由如下：△ACD∽△ABE, AD AE 器是指：∠A=∠A,△AED△AnC 4相似三角形的性质 第1课时相似三角形中的对应线段之比 知识梳理 相似比 当堂练习 1.A2.C3.号 4.645.解：·∠AED=∠B,∠EAD=∠BAC,..△ADEc∽ △ACB.AF平分∠BAC架是即京C=号∴FG=2 第2课时相似三角形的周长与面积之比 知识梳理 相似比相似比的平方 当堂练习 1.A2.B3.124.85.406.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形，∴.AD∥ BC.∴∠ADF=∠EBF,∠DAF=∠BEF.∴.△AFD∽△EFB.(2)解：：四边形ABCD 是平行四边形，AD=BC.BE:CE=3:1,.BE:BC=3:4..BE:AD=3:4, AaEm-(崇设59a 5图形的位似 第1课时位似图形及其性质与画法 知识梳理 ①位似多边形 位似中心 当堂练习 1.D 2.B 3.9 4.解：如图，△ABC与△AB,C2即为所求. 第2课时 平面直角坐标系中的位似变化 知识梳理 ①k②(kx,ky)(-kx,-ky) 当堂练习 1.C2.A3.2 9 4.解：如图， 矩形A'B'C'D'和矩形A"B"C" CD" 45x D"即为所求.点A'的坐标为(-4，-2)或(4,2). 第四章投影与视图 1投影 第1课时投影与中心投影 当堂练习 1.D2.A3.解：如图所示. 第2课时平行投影与正投影 当堂练习 1.B2.D3.30 2视图 第1课时几何体的三视图 知识梳理 ①正②正左上 105