第3章 图形的相似 综合评价-【鸿鹄志·名师测控】2026-2027学年九年级上册数学（北师大版·新教材 宁夏专版）

第三章综合评价 (时间：120分钟满分：120分) 害 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的四个 选项中只有一个符合题目要求) 1.下列各组长度的线段中，是成比例线段的是 ( 数 A.2,3,5,6 B.1,2,3,5 C.1,3,3,7 D.2,3,4,6 AB 5 2.如图4∥L∥%C=3,DF=24,则EF的长为 ( A.8 B.9 C.12 D.15 A D/ B C B (第2题图) (第3题图) (第4题图) 3.如图，已知△ABCp△DCA,∠B=33°，∠D=117°，则∠BAD的度 数是 ( ) A.150° B.147° C.135° D.120 4.黄金分割是汉字结构最基本的规律.如图，汉字“十”端庄稳重、舒展 美观.横竖笔画交点C恰好是线段AB的黄金分割点(AC<BC).若 AB=2cm,则BC的长为 ( A.(W5-1)cm B.(√5+1)cm 啊 C.(3-√5)cm D.(5-2)cm 5.如图，添加下列条件后，仍不能判定△AOB∽△DOC的是( A.OA·CD=AB·OD B.OA_OD OB OC C.∠A=∠D D.∠B=∠C D (第5题图) (第6题图) (第7题图) 6.如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，且OD=2AD.若 BC=6,则EF的长为 ( 站 A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图，∠ABC=∠E,S△Bc:S四边形BDsc=1:2.若CB=√2，则DE的 长为 A.√6 B.2√2 C.3√2 D.6 8.如图，在正方形ABCD中，点E,F分别在边AD,DC上，AE=3ED, F是DC的中点，AF与BE相交于点G,则的值为 6 A.1 B.6 c. 4 0.3 13 (第8题图) (第10题图) (第11题图) 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 9已知子品子则中的值是 y十m 10.如图，请添加一个条件，使△ABC与△ADE相似，这个条件可以是 11.如图，在△ABC中，DE∥BC.若AD:AB=1:3,DE=4,则BC= 12.如图，四边形ABCD∽四边形A'B'C'D',则∠A的度数是 D B 1309 Q75 60≥cc660 ODX (第12题图) (第13题图) 13.如图，在平面直角坐标系中，△AOB和△COD是以点O为位似中心的 位似图形，A,B两点的坐标分别为(-3,4.5)，(-6,3)，点A的对应点C 的坐标是(1，一1.5)，则点D的坐标是 14.如图，在□ABCD中，点E在BC边上，且CE：BC=2:3,AC与 DE相交于点F.若△AFD的周长为6，则△EFC的周长为 B E B (第14题图) (第15题图) 15.如图，EB为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P处与地面BE的距离 为1.6m,车头FACD近似看成一个矩形，且满足3FD=2FA.若盲 区EB的长度是6m,则车宽FA的长度为 m. 16.如图，在△ABC中，AC=5,BC=4,∠C=60°，D,F分 别是线段BC,AC上的点（不与端点重合），∠ADF= 60°，则线段CF长的最大值为 三、解答题（本题共10道小题，其中17、18、19、20、21、22题 每题6分，23、24题每题8分，25、26题每题10分，共72分) 17.已知线段a,b,c,d是成比例线段，其中a=4,b=5,c=10,求线段d 的长 14 18已知号-分求法的值 19.如图，在7×4的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫作格点，点 A,B,C均在格点上，用无刻度的直尺作图. (1)在图①中画一个格点三角形与原三角形相似（不全等）且有一条 公共边； (2)在图②中的线段AC上找一个点E,使AC=3AE. 图① 图② 20.如图，∠ABE=90°，且AB=BC=CD=DE=1,求证：△ACD∽ △ECA. 21.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，O为 平面直角坐标系的原点.已知点A1的坐标为(0,3)，△ABC三个顶 点的坐标分别为A(0,1),B(2,2),C(3,1). (1)若点A1是点A以原点O为位似中心的对应点，画出△ABC以 原点O为位似中心的位似图形△A,BC,并写出点B,C的对应 点B1,C1的坐标； (2)△A1BC与△ABC的周长比为 15 22.如图，在菱形ABCD中，E是BC边上一点，连接AE,DE,∠AED=∠B. (1)求证：△ABED△DEA; (2)若AE=4,AB=6,求△ABE与△DEA的面积比. 23.如图，AD,BC相交于点E,AB∥CD∥EF,点B,F,D在同一条直线 上，AB=10,CD=15. BF (1)求丽的值： (2)求EF的长. 24.定义：如果一个三角形中有一个角是另一个角的2倍，那么我们称 这样的三角形为倍角三角形.根据上述定义可知倍角三角形中有一 个角是另一个角的2倍，所以我们就可以通过作出其中的2倍角的 角平分线，得出一对相似三角形，再利用我们学过的相似三角形的 性质解决相关问题.请通过这种方法解答下列问题： (1)如图①，△ABC中，AD是角平分线，且AB2=BD·BC,求证： △ABC是倍角三角形； (2)如图②，已知△ABC是倍角三角形，且∠A=2∠C,AB=8, BC=10,求AC的长， 图① 图② 16 25.为了加强视力保护意识，欢欢想在书房里挂一张测试距离为5m的 视力表，但两面墙的距离只有3.在一次课题学习课上，欢欢向全 班同学征集“解决空间过小，如何放置视力表问题”的方案，其中甲、 乙两名同学设计方案新颖，构思巧妙， 甲 乙 ①C ② -●A M 例 D -3m- -5m B 使用平面镜成像的原理来解决房间小 左边是测试距离为5m的 的问题.如图，在相距3m的两面墙上 大视力表①，可以用硬纸板 分别悬挂视力表(AB)与平面镜 制作一个测试距离为3m (MN),由平面镜成像原理，作出了光 的小视力表②.通过测量大 案视力表中“E”的高度(BC 路图，通过调整人的位置，使得视力表 AB的上、下边沿A,B发出的光线经 的长)，即可求出小视力表 平面镜MV的上下边沿反射后射入人 中相应的“E”的高度（DF 眼C处，通过测量视力表的全长(AB) 的长) 就可以计算出镜长MN (1)甲的方案中如果大视力表中“E”的高度是3.5cm,那么小视力表 中相应“E”的高度是多少？ (2)乙的方案中如果视力表的全长为0.8m,请计算出镜长至少为多 少米 17- 26.解决下列问题： 图① 图② 图③ 【证明体验】 (1)如图①，△ACB和△AED中，∠ACB=∠AED=90°，∠ABC= ∠ADE=30°，点D,E均在△ABC外，连接DB,DC,EC.求证： △DAB∽△EAC; 【思考探究】 (2)如图②，在(1)的条件下，若∠DCA一∠DBA=90°，DB=4, DA=3,求DC的长； 【拓展延伸】 (3)如图③，Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，P为△ABC 内一点，∠BPC=120°，连接AP,若BP=4,求△PAB的面积. —18△ADH(SAS)..AE=AH,∠BAE=∠DAH..∠BAE+∠BAH=∠BAH+∠DAH= 90°，即∠EAH=∠BAD=90°.∠EAF=45°，∴∠EAF=∠FAH=45°.在△EAF和△HAF AE-AH, 中，∠EAF=∠HAF,∴.△EAF≌△HAF(SAS),.EF=HF.DH+HF=DF, AF-AF. .BE+EF=DF.(3)如图③， 将△ADN绕点A顺时针旋转90°得到 △ABK,连接KM.:四边形ABCD是正方形，.AB=AD=3√2，∠BAD=90°， ∠ABD=∠ADB=45,BD=VAB+AD=6.÷BM=专BD=2.DM=BD BM=4.由旋转可得，∠KAN=90°，AK=AN,BK=DN,∠ABK=∠ADB=45°， ∴∠KBM=∠ABK+∠ABD=90°.：∠KAN=90°，∠MAN=45°，.∠KAM= ∠MAN=45°.AM=AM,.△AMK≌△AMN(SAS),∴.KM=MN.设MK=MN= x,则BK=DN=4-x.在Rt△BMK中，由勾股定理，得BK+BM=MK.∴.(4 x)2+2=x2,解得x=2.5,.MN=2.5. 第二章综合评价 1.C2.B3.B4.A5.C6.D7.D8.A9.x2-2x=0(答案不唯-)10.n≥-1 1山.212.-213.4014.-1215.316.-头【解析把x=m代入方程+2x十 n-3=0,得t+2m十n-3=0..n=-m2-2m十3.∴.m-n=m-（-m2-2m十3)= (+号）广-卧：(m+子）广≥0(a号)广-裂一斗m的最小做是 3、 。17.解：移项，得+6x=2.配方，得2十6x十=2+3，即（x十3)P=1.两边 开平方，得x十3=士√/工.∴.x1=一3十√，x2=一3-√工.18.解：她们的解法都不 正确.正确的解答过程如下：原方程可变形为3(x一3)一(x一3)2=0.∴.(x一3)(3一x十 3)=0,∴.x一3=0，或3一x十3=0..x1=3,x2=6.19.解：设该地9,10两个月新安 装智能充电桩个数的月平均增长率为x.根据题意，得200(1十x)=338,解得x1=0.3= 30%,x2=一2.3（不合题意，舍去）.答：该地9,10两个月新安装智能充电桩个数的月 平均增长率为30%.20.解：设道路的宽为xm.根据题意，得(50一x)(30一x)= 1269,解得=3，=77（不合题意，舍去），答：道路的宽为3m.21.解：(1)，△=b一 4ac=[-(k+1)]-4×1×(2k-2)=(k-3)≥0，.方程有两个实数根.(2)由(1)知 △=k-3,x=二[-k+1)±k=3)-士1±k-3)》,即，=k-1,x,=2. 2 :方程有一个根小于2-1<2，解得<3.2解：1)：a=3,6=-号a-6 3-()=名6-1=3×(）-1=-号：号≠-号(3，-)不是相 伴有理数对”.(2)：(n,一n)是“相伴有理数对”，.n-(-n)=n·（-n)-1,即2n= n-1,整理，得n2+2n十1=0，即(n十1)2=0，解得n=-1.23.解：（任务1）(50十2. 5x)(任务2)根据题意，得(50-x-20)(50十2.5x)=1560,解得x1=4,x2=6.:要 减少库存，.x=6.答：枸杞的售价应降低6元/kg.24.解：(1)当AB=AD时，四边形 ABCD是菱形，即方程x2一mx十9-二=0有两个相等的实数根.A=(一m) 24 4(受-）=0，解得m=m=1.当m=1时，四边形ABCD是菱形.(2)由根与系 数的关系，得十=m,1g-1.(x一3)x3)=1x93(x十)」 5m,受-子-3m十9=5m,解得m=名，25，解：124(2)x2十16x-5=2+ 16x十82-69=(x十8)2-69.：(x十8)2≥0，∴.(x+8)2-69≥-69..当x=-8时，x2 十16x-5有最小值，最小值为-69.(3)S>S.理由如下：由题意，得S=(3a十2)(2a十5)= 6a2+19a+10,S2=5a(a十5)=5a2+25a,.S1-S=6a2+19a十10-5a2-25a=a2 6a十10=(a-3)2+1.:(a-3)2≥0，.(a-3)2十1>0.∴.S1-S2>0.∴.S>S2. 26.解：(1)设剪去的小正方形的边长为xcm.根据题意，得(100-2x)(40-2x)= 1600,解得x1=10,x2=60(不合题意，舍去).答：剪去的小正方形的边长为10cm. (2)0设收纳盒的高为acm,则收纳盒底面的长为100,24=(50一a)cm,宽为 (40-2a)cm.根据题意，得(50-a)(40-2a)=608,解得a1=12,a2=58(不合题意，舍 去).答：收纳盒的高为12cm,②不能.理由如下：由①，得该收纳盒的高为12cm, 12<18,∴.不能把玩具机械狗完全立着放入该收纳盒. 85 第三章综合评价 1.D2.B3.B4.A5.A6.C7.A8.B9.3 10.∠B=∠D(答案不唯一) 1.1212.95°13.(2.-1)14.415.号16号 17.解：a,b,c,d是成比例线 段号-台a=4,6=5=10号=9.d= 2 。18.解：工=1， y3y= 3,六原式=产经=号=-719.解：1)如图①.△0G甲为所求，（②）如图②， 一x 点E即为所求， 图① 图② 20宝到：由肉数定理得c-0-64正-瓜器-号是方9铝 5=E·AC_CD=AD 02…CE=AC 元△ACD0△ECA.21.解：I)如图，△AB,C即为所 求. 点B,C的坐标分别为B1(6,6),C(9,3).(2)3:1 O■■ 22.(1)证明：四边形ABCD是菱形，∴.BC∥AD..∠AEB=∠DAE.:∠B ∠AED,∴.△ABED△DEA.(2)解：四边形ABCD是菱形，∴.AD=AB=6.由(1)知 △DEA兰（篇-（传）广-京双年1BcnA ∠CDB,∠ABE=∠C△ABBO△CR,8=品-号=号又：CD∥EP, ÷B票-=号.(2)：CD/EF,∠BEF=∠C又：∠EBF=∠CBD,∴△BEF △Bcn品邵那-音部景5名EF-cD-6 24I)证明：AB=BD·BC0-0:∠B=∠B△ABD0△CBA ∴.∠BAD=∠C.:AD是△ABC的角平分线，∠BAC=2∠BAD.∴∠BAC=2∠C, ∴.△ABC是倍角三角形.(2)解：作△ABC的角平分线AD,则∠BAC=2∠BAD= 2∠CAD,.∠BAC=2∠C,∴.∠BAD=∠C..∠B=∠B,.△ABD∽△CBA,.AB= BD·BC,∴.BD=6.4..CD=BC-BD=10-6.4=3.6.∠CAD=∠C,∴AD= CD=3.6“把船是AC=45.2五，解：1h题痘知BC1AB,DF AD∠CBA=∠FDA=90.又：∠CAB=∠FAD△CAB△FAD÷0-既 由题意知，AD=3m,A=5m,BC=3,5cm号咒DF-=2.1m,即小视力表 中相应“E”的高度是2.1cm.(2)连接A'B',过点C作CD⊥MN于点D,延长CD交 AB'于点E.由题意知AB/MN/A.易得△MNC△ABC,∴答-罡由题 意知CE=5m,DE=3m,AB'=AB=0.8m,“CD=CEDE=2m大g=3 .MN=0.32m.镜长至少为0.32m.26.(1)证明：：∠ACB=∠AED=90°， ∠ABC=∠ADE=0,÷0-2=2,∠CAB=∠EAD=60.∠DAB=∠EAC △DABO△EAC(2)解：F△DABO△EAC,∴∠DBA=∠ECA,光-是=2， DB=4,EC=2.:DA=3,DE=33∠DCA-∠DBA=90,∴∠DCA ∠CA=0,即∠DCE=0DC=DE-C-√）-2=.(3)解： 如图， 过点C作CP的垂线交BP的延长线于点H,连接AH.,'∠BPC= 一 86 120°，∴.∠HPC=60°..∠PHC=30°.∠ACB=∠HCP=90°，∠BAC=30°， ∠ACH-∠CP,瓷-S-原，△ACHO△BCP,∠AHC=∠BPC-12m. 部瓷-.BP=AH=4a:∠PH=30∠AP120-30=90, 即AHLBH,.Sm=合BP,AH=号×4X4V5=8VE. 期中综合评价 1.C2.B3.C4.D5.A6.D7.D8.A9.DE∥BC(答案不唯一)10.3 11.112.7713.64°14.x1=-2,x2=-615.13.516.4√3-417.解：原方程 可变形为x(x一3)一(2x一6)=0，(x一3)(x一2)=0..x一3=0，或x一2=0.∴.x1=3, x2=2.18.证明：AB=CD,AD=BC,.四边形ABCD是平行四边形..AC= 2AO,BD=2OD.OA=OD,AC=BD..四边形ABCD是矩形.19.解：(1)垂直 平分线(2)四边形AECF是菱形，理由如下：由作图可知，AE=CE,AF=CF,MN⊥ AC..∠EAC=∠ECA,∠FAC=∠FCA,∠EOA=∠FOA=90°.，·四边形ABCD是矩 形，∴.AB∥CD..∠ECA=∠FAC..∠EAC=∠FAC.:AO=AO,.△EAO≌△FAO (ASA)..AE=AF..AE=CE=AF=CF..四边形AECF是菱形.20.解：(1)①③ (2)解方程x2-2x=0,可得x1=2,x2=0.当相同的根是x=2时，把x=2代入方程 x2+3x十m-1=0,得22+3×2十m-1=0,解得m=-9.此时方程为x2+3x-10=0, 解得x1=2,x2=一5，符合题意；当相同的根是x=0时，把x=0代入方程x2十3.x十 m-1=0,得02十3×0十m一1=0，解得m=1,此时方程为x2十3x=0,解得x1=0,x2 -3,符合题意；∴m的值是-9或1,21.证明：：四边形ABCD是矩形，∴∠DAB= 90°.BD⊥EC,∴∠DFE=90°.∴∠DAB=∠DFE.∠FDE=∠ADB,∴.△FDE∽ △ADB,÷器器是品又：∠FDA=∠EDB△AFD△BED 22.解：(1)如图，△CMN即为所求.M 1:4(2)如图，点M即为所求， 23.解：由题意，得∠ACB=∠CDE,∠ABC=∠CED=90°，.△ABC B △CED是器即8-DE=1.2m∠CED=∠HFD=90,∠CDE- ∠HDP,△CED△HFD5-B,即=P5DF=6m∴ER=DE+DF= 7.2m答：河EF的宽度为7.2m.24.解：(1)根据题意，得△=(2m)2-4(m2十m)≥ 0,解得m≤0.(2)根据题意，得x1十x2=-2m,x1x2=m2十m.x号十x=(x1十x2)2- 2x1x2=12,∴.(-2m)2-2(m2十m)=12,即m2-m-6=0,解得m1=-2,2=3. :m≤0，m的值为-2.25.解：（任务1）设从1月份到3月份该品牌新能源汽车销 售量的月平均增长率为x.根据题意，得3(1十x)2=5.07,解得x1=0.3=30%,x2= 一2.3（不合题意，舍去）.答：从1月份到3月份该品牌新能源汽车销售量的月平均增长 率为30%.（任务2）设下调后每辆汽车的售价为y万元.根据题意，得(y一15)(8+ 2装写×1）=96，解得以=21,0=23.“此次销售尽量让利于厦客y一21，答：下调 后每辆汽车的售价为21万元.26.解：(1)W2(2):△ABC为等腰直角三角形， .∠ABC=45°，∠BAC=90°.：四边形BCDE为矩形，∴.∠EBC=∠E=90°. ∴.∠EBF=∠EBC-∠ABC=45°.∴△EBF为等腰直角三角形.设EB=EF=a,则 BF=√EB+EF=√2a,ED经过AB的中点F,∴AB=2BF=2√2a.∠EBF= ∠A仪-45∠R-∠A-0△FB△ABC器克9，即相板比为得 (3)如图③， P延长EA交BF于点H,交FC的延长线于点G.:'△BEF, △ABC为等腰直角三角形，∴.AB=AC,BE=EF,∠BEF=∠BAC=90°，∠EBF= ∠AC=45,BF=EF-何E,BC=V网AC-AB小器-能 √E.:∠EBF-∠ABF=∠ABC-∠ABF,∴.∠EBA=∠FBC.∴△EBA∽△FBC. 一 87-