精品解析：湖南省张家界市桑植县第四中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题

桑植县第四中学2025~2026学年度上学期12月月考 高一数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章至第五章第4节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知角，那么的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 2021年，安徽省广德市王氏制扇技艺被列入第五批国家级非遗代表性项目名录. 如图是王氏明德折扇的一款扇面，若该扇形的中心角的弧度数为3，外弧长为 内弧长为 则连接外弧与内弧的两端的线段长均为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递增 11. 已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. D. 在上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的定义域为______. 13. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是______． 14. 已知函数且时，，则______，的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）计算； （2）已知，求的值. 16. （1）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值； （2）若，求的值. 17. 已知函数 （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，求的最大值和最小值． 18. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）分别写出与时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 19. 我们把函数叫做双曲正弦函数，记作；把函数叫做双曲余弦函数，记作. （1）证明：在上是奇函数； （2）证明：； （3）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图像的局部对称点.若（1，0）是函数的图像的局部对称点，求实数的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 桑植县第四中学2025~2026学年度上学期12月月考 高一数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第一册第一章至第五章第4节. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 所以，，故. 故选：C. 2. 已知角，那么的终边在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据终边相同角的定义计算确定角的象限即可. 【详解】因为，其中，故的终边在第四象限． 故选:D． 3. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】由，所以且，则，充分性成立； 当时，取，，则，所以必要性不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 4. 函数与，它们的大致图象在同一直角坐标系中有可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性及纵截距即可判断结果. 【详解】对于A，C，由于函数是增函数，图象应该呈上升趋势，所以A，C错误； 对于D，因为，所以直线在轴上的截距大于1，故D错误； 故选：B 5. 已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知，和是方程的两根，利用韦达定理得到，代入求解即可. 【详解】由题知，和是方程的两根， 由韦达定理得，所以，即， 所以等价于， 因为，所以，即， 所以关于的不等式的解集为. 故选：D. 6. 已知，，，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】与0和1比较大小即可. 【详解】由题知， ，即， ，即， ，因为，所以， 所以 故选：C 7. 2021年，安徽省广德市王氏制扇技艺被列入第五批国家级非遗代表性项目名录. 如图是王氏明德折扇的一款扇面，若该扇形的中心角的弧度数为3，外弧长为 内弧长为 则连接外弧与内弧的两端的线段长均为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由扇形的弧长公式求解即可. 【详解】由题知，内弧对应扇形的半径为， 设连接外弧与内弧的两端的线段长均为，则，所以， 连接外弧与内弧的两端的线段长均为 故选： 8. 已知，，且，则的最小值为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】整理可得，，结合基本不等式运算求解即可. 【详解】由得， 因为，，则，可得， 则， 当且仅当，即，时，取得等号， 所以的最小值为3. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据不等式的性质逐一判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以， 即， 所以，即，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，即， 又因为， 所以，故C正确； 对于D，因为，， 所以，故D正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列说法错误的是（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数的图象关于点对称 D. 函数在上单调递增 【答案】ABC 【解析】 【分析】由正弦函数的最小正周期可得A错误；代入验证可得B错误；C错误；由正弦函数的递增区间可得D正确. 【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A错误； 对于B，， 则直线不是函数的对称轴，故B错误； 对于C，， 则点不是函数的对称中心，故C错误； 对于D，令，解得， 取，，可得， 则函数在上单调递增，故D正确. 故选：ABC. 11. 已知函数是定义在上的偶函数，若满足，且在上单调递增，则以下说法一定正确的是（ ） A. B. 为周期函数 C. D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】由，确定函数图像关于对称，再结合奇偶性、单调性逐个判断即可； 【详解】对于A，由，得的图象关于对称，又因为定义域为，所以，故A不正确； 对于B，因为是偶函数，，，所以的一个周期为8，故B正确； 对于C，由于周期性和奇偶性，，故C正确； 对于D，因为是偶函数且在上单调递增，所以在上单调递减， 又的图象关于对称，所以在上单调递减， 由于周期为8，在上的单调性与上的单调性相同，所以在上单调递减，故D不正确． 故选：BC． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数且的定义域为______. 【答案】或 【解析】 【分析】根据函数有意义列不等式计算即可求解. 【详解】由题知，解得或， 即函数的定义域为或. 故答案为：或 13. 函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】由题知该函数的最小正周期为，利用正切函数的周期公式运算得解. 【详解】由题意知函数的最小正周期为， ∴． 故答案为：8. 14. 已知函数且时，，则______，的取值范围是______. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】由题意画出图形，得出各自的范围以及关系，进一步即可求解. 【详解】函数，作出函数图象如下： 结合图象可得，，， ∵，∴，， ∴，∴，∴. 故答案为：1；. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤. 15. （1）计算； （2）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据分数指数幂的运算、对数运算，特殊角的三角函数值求解出结果； （2）先计算出的值，然后通过立方和公式求解出结果. 【详解】（1）原式 ； （2）因为， 所以， 所以， 所以. 16. （1）已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据题意求，再结合诱导公式运算求解； （2）根据“1”的代换结合齐次式问题分析求解即可. 【详解】（1）因为角的终边经过点，则， 可得，，， 所以； （2）因为， 且，所以原式. 17. 已知函数 （1）求函数的单调递减区间； （2）当时，求的最大值和最小值． 【答案】（1）； （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】（1）结合余弦函数的单调递减区间求结论； （2）由条件求出的范围，再结合余弦函数性质求函数的最值. 【小问1详解】 由，， 可得，， 所以函数的单调递减区间为； 【小问2详解】 由已知， 所以， ， 所以， 所以， 所以当，即时，函数取最大值，最大值为， 当，即时，函数取最小值，最小值为. 18. 2024年8月16日，商务部等7部门发布《关于进一步做好汽车以旧换新工作的通知》.根据通知，对符合《汽车以旧换新补贴实施细则》规定，报废旧车并购买新车的个人消费者，补贴标准由购买新能源乘用车补1万元、购买燃油乘用车补7000元，分别提高至2万元和1.5万元，某新能源汽车配件公司为扩大生产，计划改进技术生产某种组件.已知生产该产品的年固定成本为2000万元，每生产百件，需另投入成本万元，且时，；当时，，由市场调研知，该产品每件的售价为5万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）分别写出与时，年利润y（万元）与年产量x（百件）的关系式（利润=销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少百件时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1）答案见解析； （2）年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元 【解析】 【分析】（1）结合题意，分和时利用利润=销售收入-成本求出关系式即可； （2）当时，由二次函数求出最值，当时，由基本不等式求出最值，再确定结果即可； 【小问1详解】 由题意可得当时，， 当时，， 【小问2详解】 由（1）得时，， 此时（百件）时，（万元）， 当时，， 当且仅当，即时等号成立，（万元）， 而，故（百件）时，利润最大， 综上所述，年产量为50百件时，该企业所获年利润最大，最大年利润是2830万元. 19. 我们把函数叫做双曲正弦函数，记作；把函数叫做双曲余弦函数，记作. （1）证明：在上是奇函数； （2）证明：； （3）若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图像的局部对称点.若（1，0）是函数的图像的局部对称点，求实数的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的定义判断； （2）将双曲正、余弦函数解析式分别代入式子左边与右边，计算、化简，等式两边结果相同即证； （3）根据局部对称函数的定义得到，令，求出，根据单调性求出的最小值，进而求出的最大值. 【小问1详解】 因为，所以在上是奇函数. 【小问2详解】 ， . 故. 【小问3详解】 . 由（1，0）是函数的图像的局部对称点，可得，，代入整理得， 设，则，， 则， 所以. 当时，和均为增函数， 所以在上是增函数， 所以，所以， 所以实数的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $