精品解析：湖南省涟源市部分高中2025-2026学年高一上学期开学考试数学试题

2026届湖南省涟源市部分高中高一入学考试 数学试题 （时量：120分钟 满分：120分） 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用相反数的定义求解. 【详解】实数的相反数是. 故选：A 2. 氧气是人类赖以生存的物质，一个氧原子的直径是，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法表示即可. 【详解】因为. 故选：B. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合幂的运算法则，通过举反例判断A，B，D，结合同底数幂的乘法法则判断C． 【详解】对于A，当时，，，，A错误， 对于B，当时，，，，B错误， 对于D，当时，，，，D错误， 对于C，，C正确， 故选：C. 4. 长沙窑创始于唐代，窑址首选发现于今湖南省长沙市郊铜官镇瓦渣坪，故而又称铜官窑，晚唐至五代是其盛期，而衰于五代，产品以青釉为主，器物为家用寻常品，壶和罐的造型多样，其突出成就是创烧了釉下彩绘装饰新工艺．图为一长沙瓷作品，有关其三视图下列说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 左视图和俯视图相同 C. 主视图和左视图相同 D. 三视图各不相同 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用几何体的特征判断即得. 【详解】观察几何体，知该几何体绕竖直的轴线任意旋转，图形不变，因此该几何体主视图和左视图相同， 而俯视图是几个同心圆构成，与主视图、左视图都不相同，ABD错误，C正确. 故选：C 5. 的平方根是（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平方根的定义求解即可. 【详解】的平方根是. 故选：C. 6. 下列说法中，假命题的个数为（ ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等 ②如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行 ③过一点有且只有一条直线与这条直线平行 ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线、垂线的性质，平行线公理判断命题真假即可. 【详解】①两条直线被第三条直线所截，只有这两条直线相互平行时，同位角才相等，故①假命题； ②在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行，故②是假命题； ③过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故③是假命题； ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④是真命题； 综上①②③是假命题， 故选：C 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为6米，半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到AB的距离等于（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意和圆的性质知点为的中点，连接交于，在应用勾股定理求得，即得答案. 【详解】 根据题意和圆的性质知点为的中点， 连接交于，则， 在中，， ∴， ∴， 即点到弦所在直线的距离是米， 故选： 8. 某数学社团开展“讲数学家故事的活动”．通过查阅资料，该社团了解了祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得这4位著名数学家的生平，知晓了他们取得的伟大成就对世界数学发展起到的巨大推进作用．现从这4位数学家中随机选取其中2位的故事进行分享，则选取的2位都是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用列举法求出古典概率. 【详解】由题意知，祖冲之、刘徽、赵爽是中国数学家，欧几里得不是中国数学家， 从4位数学家中随机选取2位是中国数学家的情况有：(祖冲之,刘徽)、(祖冲之,赵爽)、(赵爽,刘徽)，共3种， 从4位数学家中随机选取2位数学家的总情况有：(祖冲之,刘徽)、(祖冲之,赵爽)、 (赵爽,刘徽)、(祖冲之,欧几里得)、(刘徽,欧几里得)、(赵爽,欧几里得)，共6种， 所以从4位数学家中随机选取2位，2位都是中国数学家的概率. 故选：C 9. 如图，等边中，，D是BC上一个动点（不与点B，C重合），交AC于点E．设，的面积是y，则y与x的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数关系，进而确定函数的图象. 【详解】在等边中，，则是等边三角形，， 作交于点，则边上的高， 因此的面积是， 所以y与x函数图象是开口向下，对称轴为的抛物线的一部分，D正确. 故选：D 10. 定义一种新运算：m※n＝，下列说法： ①若※，则； ②若※，则※的解集为； ③代数式|2※|＋|3※||9※|取得最小值时，； ④函数|※x|的图象与直线※（k为常数）有且仅有两个交点，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】对①，根据新定义运算判断；对②，根据新定义运算判断；对③，根据新定义分，，，讨论求解；对④，根据新定义分，，讨论，数形结合求解判断. 【详解】对于①，由新定义※，即，解得，故①正确； 对于②，当时，则， 所以※，解得，所以不等式的解集为，故②错误； 对于③，|2※|＋|3※|++|9※|， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 所以代数式|2※|＋|3※|++|9※|取得最小值时，，故③错误； 对于④，|※|，※， 当时，，令，则， 所以与在第二象限必有一个交点，则在第一象限只有一个交点， 联立得，则， ，解得，且此时交点为， 当时，，则与有且只有两个交点， 当时，， 对称轴为，开口向上，如图，必有两个交点， 综上，函数|※|的图象与※有且仅有两个交点，则或，故④错误. 综上，正确的个数有1个. 故选：A. 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 详解】根据被开方数非负可得，即， 所以代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是. 故答案为：. 12. 分解因式：＝_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用提公因式法及公式法分解因式. 【详解】. 故答案为： 13. 《易经》是中国传统文化精髓．如图是易经中的一个卦图，它由8个卦组成，其中每一卦又由3根线构成（线形为或），例如正上方的卦为，它由3根线构成．现从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是_______． 【答案】 【解析】 【分析】由古典概型的概率计算公式可得结果. 【详解】从8个卦中任取一卦，基本事件总数， 其中由2根和1根构成的基本事件个数， 所以从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是. 故答案为：. 14. 如图，点A，B分别是函数和部分图象上的点，轴，则的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出点横坐标的关系，进出求出三角形面积. 【详解】设，由轴，得，解得， ，而边上的高， 所以的面积. 故答案为： 15. 在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当x＝y时，称“整点”P为“平衡整点”．已知点是一个“平衡整点”，则a＝______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平衡整点的定义，列方程即可求解. 【详解】由题意可得,化简可得，解得或， 当时，点不是整点，舍去， 故， 故答案为： 16. 如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点，最短路径长是______． 【答案】 【解析】 【分析】求出圆锥的底面圆的周长，再求圆锥的侧面展开图的圆心角的大小，结合展开图求结论. 【详解】由已知，圆锥的底面圆的半径为，所以底面圆的周长为， 设圆锥的侧面展开后的扇形的圆心角为， 根据底面周长等于展开后扇形的弧长得， 解得：，所以展开图中， 由勾股定理可得， 所以该蚂蚁在圆锥表面从点爬到的中点的最短路径长是， 故答案为： 17. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，分别与所在圆相切于点．若该圆半径是，，则的长是______． 【答案】 【解析】 【分析】设圆心为，连接,先由相切得，再由四边形内角和求出，则优弧对应的圆心角为，进而求得优弧的长. 【详解】如图，设圆心为，连接, 因为分别与所在圆相切于点．所以, 因为，所以, 优弧对应的圆心角为， 所以优弧的长是 故答案为： 18. 已知平行四边形ABCD中，为边CD上的一动点，则的最小值等于______. 【答案】 【解析】 【分析】过作，交的延长线于，利用三点共线时直线最短即可求解. 【详解】过作，交的延长线于， ，四边形ABCD为平行四边形，， 又，所以， 当三点共线时取得最小值， 此时， 所以得最小值为. 故答案为：. 三、解答题（本题共8小题，共66分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值运算和指数运算即可求解. 【详解】原式. 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】根据多项式的运算法则，化简原式为，再将代入计算，即可求解. 【详解】解：由＝， 当时，原式． 21. 某调查小组采用随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下不完整的统计图． （1）填空：本次调查的中位数为______小时； （2）通过计算补全条形统计图；（写出求解过程） （3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间． 【答案】（1）1 （2）作图见解析 （3）小时． 【解析】 【分析】（1）先由扇形统计图和条形统计图得到运动0.5小时的人数及所占比例，求出总人数；再根据中位数定义求解即得； （2）由（1）中的总人数求出1.5小时的人数即得对应的条形的高； （3）由总时间除以总人数即得. 小问1详解】 由题意可得：小时的人数为：100人，所占比例为：，， ∴本次调查共抽样了500名学生； 由条形统计图得：第250名、第251名学生的运动时间均为1小时， ∴中位数小时， 故答案为：1； 【小问2详解】 阳光体育运动时间为1.5小时的人数为：（人）. 补全条形统计图，如图所示： 【小问3详解】 根据题意得：， 则可估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间约小时． 22. 如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作，与线段EF的延长线交于点D，连接CE，BD． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，在点E的运动过程中，当时，请问四边形是什么图形？并说明理由． 【答案】（1）证明见解析； （2）四边形是菱形，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全等三角形性质、平行四边形的判定推理得证. （2）由（1）的结论，利用等边三角形性质、菱形的判定判断即可. 【小问1详解】 由点F是的中点，得，由，得， 则，因此，又， 所以四边形是平行四边形. 【小问2详解】 由，得， 由，得是等边三角形，则， 又四边形是平行四边形，则四边形是菱形， 所以当时，四边形是菱形. 23. 市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，，，坐垫E与点B的距离BE为15cm． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）小明的腿长为80cm，根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长（结果精确到0.1）（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用直角三角形边角关系求出E到地面的距离. （2）利用直角三角形边角关系求出，进而求出的长. 【小问1详解】 如图，过点作，垂足为， 依题意，，， 在中，， 所以坐垫到地面的距离为. 【小问2详解】 如图，过作于，当时，人骑行最舒服， 在中，， 所以. 24. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”，为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于9.8万元而不超过12万元，应该购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少？ 【答案】（1）购进1件甲种农机具万元，1件乙种农机具万元． （2）答案见解析 （3）购买甲种农机具5件，乙种农机具5件需要的资金最少，最少资金是万元． 【解析】 【分析】（1）根据题意，设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元，列方程组求解即可. （2）根据题意，设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具件，列不等式组求解即可. （3）根据题意，设需要的资金为w万元，列出资金w关于农机具件数m的函数，根据函数性质分析即可求解. 【小问1详解】 设购进1件甲种农机具x万元，1件乙种农机具y万元． 根据题意得，解得 答：购进1件甲种农机具1.5万元，1件乙种农机具0.5万元. 【小问2详解】 设购进甲种农机具m件，购进乙种农机具件， 根据题意得，解得． 因为m为整数，所以m可取5、6、7．故有三种方案： 方案一：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件； 方案二：购买甲种农机具6件，乙种农机具4件； 方案三：购买甲种农机具7件，乙种农机具3件. 【小问3详解】 设需要的资金为w万元． 则， 因为，所以w随m的增大而增大， 所以时，w最小，此时． 答：购买甲种农机具5件，乙种农机具5件需要的资金最少，最少资金是5.5万元． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E，过点P作x轴的平行线PF交直线BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ＋∠ACO＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）最大值为，此时点P的坐标为 （3）存在，Q的坐标为或 【解析】 【分析】（1）将点两点坐标代入解析式求得即可求解； （2）设直线的解析式为，代入坐标求得直线的方程，，设，求得，可求△PEF面积的最大值； （3）当点在上方时，作点关于轴的对称点，过点作交抛物线于点，可求得直线的方程，设直线解析式为，分情况讨论可求得的坐标. 【小问1详解】 把代入得，， 解得，∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 由可得，，设直线的解析式为， 把代入得，，解得， ∴直线的解析式为，， ，， ∵轴，轴，， ∴为等腰直角三角形，， 设，则， ， 当时，即取最大值，此时的面积最大， 则； 【小问3详解】 存在．当点在上方时，作点关于轴的对称点， 过点作交抛物线于点， ∵与关于轴对称，，又∵， ，， ，， 同理可得直线解析式为， 设直线解析式为，将代入得，， ，，由，解得或，； 当点在下方时，作点，直线与抛物线交于点， ，同理可得直线解析式为， ，， ，， 联立，解得或，， 综上，点的坐标为或． 26. 如图，是⊙O的直径，是⊙O上异于C、D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB． 【认识图形】（1）求证：直线AB是⊙O的切线； 【探索关系】（2）若，探求BC与CD的数量关系； 【解决问题】（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若，求PA和PE的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3），． 【解析】 【分析】（1）利用平面几何知识可得，进而可得结论； （2）利用已知可得，进而可得，结合已知计算可得结论； （3）由已知可得，，进而利用相似求得，可求得，过C作于H，于G，可证明和是等腰直角三角形，利用面积法求得，进而计算可求解. 【详解】（1）证明：如图，连接，， ，， ，是的直径， ，， ，是的半径，直线是的切线； （2），， ，，， ，，，， ； （3）由（2）可知，，，， ，，平分，， ，，， ，是的直径，， ，， ，，， ，，， ，，， ∴（舍负）， 过C作于H，于G， ∵，，∴由， ∴，，∵，平分， ∴，则和是等腰直角三角形， ， 四边形的面积， ， ， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届湖南省涟源市部分高中高一入学考试 数学试题 （时量：120分钟 满分：120分） 一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 实数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 氧气是人类赖以生存的物质，一个氧原子的直径是，这个数用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 长沙窑创始于唐代，窑址首选发现于今湖南省长沙市郊铜官镇瓦渣坪，故而又称铜官窑，晚唐至五代是其盛期，而衰于五代，产品以青釉为主，器物为家用寻常品，壶和罐的造型多样，其突出成就是创烧了釉下彩绘装饰新工艺．图为一长沙瓷作品，有关其三视图下列说法正确的是（ ） A. 主视图和俯视图相同 B. 左视图和俯视图相同 C 主视图和左视图相同 D. 三视图各不相同 5. 的平方根是（ ） A. 8 B. C. D. 6. 下列说法中，假命题的个数为（ ） ①两条直线被第三条直线所截，同位角相等 ②如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线互相平行 ③过一点有且只有一条直线与这条直线平行 ④在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O在水面上方，且圆O被水面截得的弦AB长为6米，半径长为4米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到AB的距离等于（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 8. 某数学社团开展“讲数学家故事的活动”．通过查阅资料，该社团了解了祖冲之、刘徽、赵爽、欧几里得这4位著名数学家的生平，知晓了他们取得的伟大成就对世界数学发展起到的巨大推进作用．现从这4位数学家中随机选取其中2位的故事进行分享，则选取的2位都是中国数学家的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，等边中，，D是BC上一个动点（不与点B，C重合），交AC于点E．设，的面积是y，则y与x的函数图象大致为（ ） A. B. C. D. 10. 定义一种新运算：m※n＝，下列说法： ①若※，则； ②若※，则※的解集为； ③代数式|2※|＋|3※||9※|取得最小值时，； ④函数|※x|的图象与直线※（k为常数）有且仅有两个交点，则． 其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 12. 分解因式：＝_______． 13. 《易经》是中国传统文化的精髓．如图是易经中的一个卦图，它由8个卦组成，其中每一卦又由3根线构成（线形为或），例如正上方的卦为，它由3根线构成．现从图中任取一卦，它是由2根和1根构成的概率是_______． 14. 如图，点A，B分别是函数和部分图象上的点，轴，则的面积为_______． 15. 在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），若x，y均为整数，则称点P为“整点”．特别地，当x＝y时，称“整点”P为“平衡整点”．已知点是一个“平衡整点”，则a＝______． 16. 如图，圆锥底面圆直径长是，母线长是，一只蚂蚁在圆锥表面从点爬到中点，最短路径长是______． 17. 某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，分别与所在圆相切于点．若该圆半径是，，则的长是______． 18. 已知平行四边形ABCD中，为边CD上一动点，则的最小值等于______. 三、解答题（本题共8小题，共66分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 计算： 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 某调查小组采用随机抽样方法，对某市部分中小学生一天中阳光体育运动时间进行了抽样调查，并把所得数据整理后绘制成如下不完整统计图． （1）填空：本次调查的中位数为______小时； （2）通过计算补全条形统计图；（写出求解过程） （3）请估计该市中小学生一天中阳光体育运动的平均时间． 22. 如图，在△ABC中，点F是BC的中点，点E是线段AB的延长线上的一动点，连接EF，过点C作，与线段EF的延长线交于点D，连接CE，BD． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，在点E的运动过程中，当时，请问四边形是什么图形？并说明理由． 23. 市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，②是其示意图，其中AB、CD都与地面l平行，车轮半径为32cm，，，坐垫E与点B的距离BE为15cm． （1）求坐垫E到地面的距离； （2）小明的腿长为80cm，根据经验，当坐垫E到CD的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适，现将坐垫E调整至坐骑舒适高度位置，求的长（结果精确到0.1）（参考数据：，，） 24. “中国人的饭碗必须牢牢掌握在咱们自己手中”，为扩大粮食生产规模，某粮食生产基地计划投入一笔资金购进甲、乙两种农机具，已知购进2件甲种农机具和1件乙种农机具共需3.5万元，购进1件甲种农机具和3件乙种农机具共需3万元． （1）求购进1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ （2）若该粮食生产基地计划购进甲、乙两种农机具共10件，且投入资金不少于98万元而不超过12万元，应该购进甲种农机具m件，则有哪几种购买方案？ （3）在（2）的方案下，由于国家对农业生产扶持力度加大，每件甲种农机具降价0.7万元，每件乙种农机具降价0.2万元，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少？ 25. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A（－1，0），B（3，0）两点，y轴交于点C． （1）求抛物线的解析式； （2）如图1，点P是直线BC上方抛物线上的一动点，过点P作y轴的平行线PE交直线BC于点E，过点P作x轴的平行线PF交直线BC于点F，求△PEF面积的最大值及此时点P的坐标； （3）如图2，连接AC，BC，抛物线上是否存在点Q，使∠CBQ＋∠ACO＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 26. 如图，是⊙O的直径，是⊙O上异于C、D的一点，点B是DC延长线上一点，连接AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB． 【认识图形】（1）求证：直线AB是⊙O的切线； 【探索关系】（2）若，探求BC与CD的数量关系； 【解决问题】（3）在（2）的条件下，作∠CAD的平分线AP交⊙O于P，交CD于E，连接PC、PD，若，求PA和PE的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $