第05讲 相反数与绝对值（暑假预习讲义）新七年级数学新教材北师大版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第05讲相反数与绝对值 予内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 3题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1求一个数的相反数 题型2判断是否互为相反数 题型3化简多重符号 题型4相反数的应用 题型5求一个数的绝对值 题型6绝对值的非负性 题型7利用绝对值的非负性求最值 题型8利用绝对值比较大小 04过关检测→练考点· 强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解相反数的概念（仅从数值关系：只有符号不同的两个数），能熟练求 出一个有理数的相反数。 相反数、绝对值、几何2.理解绝对值的代数定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相 意义、非负性、距离、反数，0的绝对值是0。 多重符号、负数比较。 3.能根据定义准确求出任意有理数的绝对值，并掌握绝对值的非负性（≥ 0)。 4.能利用绝对值比较两个负数的大小（绝对值大的反而小），初步体会分类 讨论思想。 学习重点：相反数的概念及求法；绝对值的概念及求法；利用绝对值比较两个负数的大小。 学习难点：理解绝对值的几何意义（距离慨念）及其非负性；多重符号的化简（如-(-）=a);理解 “两个负数，绝对值大的反而小的算理。 02 教材全解 知1识|框|架 1/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 符号相反和为0 相反数口诀 解题方法与口诀 定义 只有符号不同的两个数 正数本身负相反 绝对值口诀 互为相反数的和为0 非负性质记心间 相反数 性质 在数轴上关于原点对称 忽略绝对值非负性 0的相反数是0 负数绝对值符号处理失误 高频易错点 表示方法 在一个数前加负号 相反数符号混淆 相反数与绝对值 定义 数轴上点到原点的距离 相反数计算 非负性 绝对值化简 高频考点 绝对值 正数绝对值是它本身 绝对值的非负性应用 性质 负数绝对值是它的相反数 绝对值大的反而小 两个负数比较 比较大小 0的绝对值是0 右大左小 利用数轴 几何意义 距离棍念 知|识|精I讲 知识点01相反数 1概念：只有符号不同数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数特别的0的相反数是Q, 2.性质：若a与b互为相反数，则a十b=0,即=-b;反之，若a十b=0,则a与b互为相反数， 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数②多个符号：三个或三个以上的符号的化简， 看负号的个数. (注意：当“一”号的个数是偶数个时，结果取正号当“一”号的个数是奇数个时，结果取负号) 【易错提醒】 相反数易错警示：互为相反数的两个数和为0，在数轴上关于原点对称。注意：0的相反数是0；多重符号 化简时，奇负偶正（如-(3）=3)。勿认为带负号就是负数。 即时即练1.实数3的相反数是 2.化简下列各数： (1)-(-3= (2)+(-3= (3)-+3= (4)-（-(-3)= 3.写出下列各数的相反数：+2，-3,0，-35,4 知识点02绝对值 1概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值 2/9 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若引a=|b1,则a=b或a=-b)；②负数的绝对值是它的相反数： ③0的绝对值是Q: 3.代数符号意义：①a>0,1a=a,反之，|al=a,则a20,1al=-a,则a≤0；②a=0,|al=0;③a<0,| al=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 4.性质：绝对值是a(a>0)的数有2个，他们互为相反数.即士a 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即I20.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若 |a十1b1=0,则a=0,b=0: 【易错提醒】 绝对值易错警示：la表示数轴上点a到原点的距离，结果非负。注意al=a仅当a≥0，若a<0则a=-a。 去掉绝对值符号时，务必判断原数正负。 即时即练1.下列各对数中互为相反数的是() A.5与--5列 B.-5和-+5 c.-5和5 D.5和--5) 2.-2026的相反数是 3.若a=-2,则a= 4.比较下列各组数的大小： (1)-8与-8； 、7 (3)--3.2与-(+3.6). 03 题型突破 题型1求一个数的相反数 【例1】2026的相反数是 【例2】1的相反数是 【技巧归纳】 求相反数：直接在原数前咖“-”号。正数变负，负数变正，0的相反数是0。对于多重符号，奇数个负号为负， 偶数个为正。注意含字母时，a的相反数是-a,a-b的相反数是b-a。化简后再判断。 【变式1-1】请分别写出下列各数的相反数： 3/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -5,1.13. 【变式12】与出下列各数的月反数：子6,8，-35， 210,-10,3 题型2判断是否互为相反数 【例3】下列各组数中，互为相反数的是() 岁 B.3与月 C.- D. 3 【例4】下列各数中，互为相反数的是() A.-2与2 B,-2与月 C.-2与- 2 D.-(-2)与-2 【技巧到归纳】 判断两数是否为相反数：验证它们的和是否为0。也可检查它们是否符号相反、绝对值相等。0的相反数是自身。 对于分数、根号等，先化简雨相加或化为同分母。注意代数式相反数需整体加括号后再运算。 【变式21】下列各数中，互为相反数的是() A.+(+3)与3B.-（+3)与-3 C.-（-3)与-3 D.+(-3)与-3 【变式2-2】下列各组数中，互为相反数的是() A.-(-5)和-列 B.+(+4)和+-4 C.--3和-3 D.+-7和-7 题型3化简多重符号 【例5】化简：-（-23)= 【例6】化简 【技巧归纳】 化简多重符号：从最内层往外，根据负号个数确定最终符号。奇数个负号为负，偶数个为正。例如-(+2)=-2，- (~2)=2。逐步去括号，避免跳步。正号可直接省略。注意与绝对值、指数运算的区别。 【变式3-1】计算-[+(-2的结果为 【变式3-2】化简： (1)-(+4)= (2)-（-2024)= (3)-[-(+1.5]=；(4)-[-(-1.5)]= 4/9 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型4相反数的应用 【例7】若a、b互为相反数， 则2026+a-1+b= 【例8】若代数式3x-6与代数式12-6x的值互为相反数，则x= 【技巧归纳】 相反数应用：简化方程（移项变号）、求对称点（数轴上关于原点对称）、解带绝对值问题（如=a得x=±）、 列方程时利用和为委构造等式。在比较大小中，负数相反数变为正数，便于排序。 【变式4-1】若m,n互为相反数，则5m+5n+3= 【变式4-2】x= 时，代数式5x-7与代数式2x+21的值互为相反数. 题型5求一个数的绝对值 【例9】-3的绝对值是： 【例10】计算：--3= 【技巧归纳】 求绝对值：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数（即去掉负号）。对于表达式，先判断整体 正负，再根据定义化简。注意绝对值结果非负，字母需讨论范围或分类去绝对值。 【变式5-1】-5的相反数是， -9的绝对值是■ 【变式5-2】4的绝对值是一 二的绝对值是一；绝对值是1的数是；绝对值最小的数是 题型6绝对值的负性 【例11】若13-a+|b-1=0,则a= b 【例12】若x-1+y-5=0,那么x= 【技巧归纳】 绝对值的非负性：任何实数的绝对值都≥0，且仅当该数伪0时取0。解题时常用“多个非负数之和为0，则每个 必须为0”列仿程。也用于求最小值：x最小值0。注意与平方、算术平方根的非负性结合应用。 【变式6-1】a是最大的负整数，且a、b、c满足a+b+c-5=0.那么a= ，b C= 【变式6-2】已知b、c满足b-40- =0,则b+c的值是， 5/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型7利用绝对值的非负性球最值 【例13】(1)当x取何值时，x-2025有最小值？这个最小值是多少？ (2)当x取何值时，2025-x-有最大值，这个最大值是多少？ 【例14】已知m为整数. (1)m有最 (填“大”或“小”)值，是 ,此时n= (2)2+m有最 (填“大”或小”)值，是 此时m= (3)2-m有最 (填“大”或“小”)值，是 此时m= (4)2+m-1有最 (填“大”或“小”)值，是 此时= (5)2-m-1有最 (填“大”或“小”)值，是 ,此时= 【技巧归纳】 绝对值剷非负性：a≥0。多个非负式和为0时每项为0。求最小值时，x-最小值0。含多个绝对值可用零点分段 法或数轴距离和求最值。 【变式7-l】根据a≥0这一性质，解答下列问题： (1)当a=时，|a-4有最小值，此时最小值为_： (2)当a取何值时，a-1+3有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，4-a有最大值？这个最大值是多少？ 【变式7-2】(1)同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数， 在这一学习过程中，主要体现的数学思想有 A. 数形结合思想 B. 转化思想 C.方程思想 D,分类讨论思想 回答下列问题： (2)若x=2,求x的值. (3)若y-1=0,求y的值， (4)当x= 时，x-有最小值，最小值为 (5)当x+4+y-7取最小值时，求x,y的值 题型8利用绝对值量比较大小 【例15】比较下列各组数的大小： 6/9 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)-3.5与-4.2； 9与 -与7 【例16】比较下列各组数的大小： (1)4和-8 (2)-8与-8 创与日 7 (4)--3.2与-(+3.6例 【技巧归纳】 同号时，正数绝对值越大数越大，负数绝对值越大数越小；异号时正数大于负数。比较时先看符号，若同号再去 绝对值比，负数记得反转结果 【变式8-1】比较下列各组数的大小。 (1)5和-2： (2)-3和-7； (3)-(-1和-(+2)： (4)-(-0.5)和-1.5. 【变式8-2】比较下列各组数的大小： (1)-7和2； 2号和会 (3)--5.71和-2.9： 好 04过关检测 一、单选题 1.下列四个数中，绝对值最大的数是() 7/9 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.1.5 B.-2 C.0 2.下列有理数的大小关系正确的是（) A.-2<0 B.-5<+5 C.-(-5<-4 D. 2-1.25 3.某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”.下面四个零件中， 最接近标准质量的是() A. +1.3g B H0.8g 0.5g D -1.1g 4.下列各组数中，互为相反数的是(). A.--2与+(-2)B.--2)与+(-2)C.-(+2)与-2 D.--2与-2 5.下列说法正确的是() A.若d=-a,则a必为负数 B.绝对值不大于3的整数有6个，分别是±1，±2,3 C.若a>0,则a=a,反之，若a=a,则a>0 D.任意有理数的绝对值都是非负数 二、填空题 6.比较大小，（填“><”或“=”） 1)3 3 4 -5 (2)--2.25 -2.5. 7.若a=2,则a= .化简[(-10] 8.已知x-1+2y+1=0,则x= ，y= 9.若x为有理数，则式子-2024+2025的最小值为 10.将下列各数填在相应的集合里. -3.8,-10,4.3,7 0 42,x,3,1o1o0o01,0,-（ 整数集合：{ 负有理数集合：{ }； 分数集合：{ 三、解答题 8/9 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 11.分别写出下列各数的相反数： 5,7,3212. 12.请比较下列各组中两个数的大小： (1)0和-1： (2)3和-4； 刊g和0 10 ④号和子 13.如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内. 、 4-7,+2.8-9.9,-十12，-(5列，0，+-12 ... 正数集 整数集 负数集 14.己知：α与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数，回答以下问题. (1)a= ，b=; (2)已知m-a+b+n上0，求m. 15.根据x是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当x=时，x-2025有最小值，这个最小值是· (2)当x=时，2025-x-有最大值，这个最大值是 16.出租车司机小李新年这天从鼓楼出发，上午营运时是在南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正， 向北为负，他这天上午所接的六位乘客的行车里程（单位：km)如下： -3,+5,-1,+1,-6,+2 (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为0.2L/km(升/千米)，这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为8元，起步里程为3km(包括3km),超过部分每千米1.5元，问小李这天上午共得车 费多少元？ 9/9 第05讲 相反数与绝对值 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 求一个数的相反数 题型2 判断是否互为相反数 题型3 化简多重符号 题型4 相反数的应用 题型5 求一个数的绝对值 题型6 绝对值的非负性 题型7 利用绝对值的非负性求最值 题型8 利用绝对值比较大小 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 相反数、绝对值、几何意义、非负性、距离、多重符号、负数比较。 1. 理解相反数的概念（仅从数值关系：只有符号不同的两个数），能熟练求出一个有理数的相反数。 2. 理解绝对值的代数定义：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 3. 能根据定义准确求出任意有理数的绝对值，并掌握绝对值的非负性（|a| ≥0）。 4. 能利用绝对值比较两个负数的大小（绝对值大的反而小），初步体会分类讨论思想。 学习重点：相反数的概念及求法；绝对值的概念及求法；利用绝对值比较两个负数的大小。 学习难点：理解绝对值的几何意义（距离概念）及其非负性；多重符号的化简（如−(−a) = a）；理解“两个负数，绝对值大的反而小”的算理。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 相反数 1.概念:只有符号不同,数量相等，我们称其中一个数为另一个数的相反数.特别的0的相反数是0. 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之，若a＋b=0，则a与b互为相反数. 3.多重符号的化简：①两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数.②多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数. （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 【易错提醒】 相反数易错警示：互为相反数的两个数和为0，在数轴上关于原点对称。注意：0的相反数是0；多重符号化简时，奇负偶正（如-(-3)=3）。勿认为带负号就是负数。 即时即练1．实数3的相反数是______． 【答案】 【详解】解：实数3的相反数是． 2．化简下列各数： （1）________； （2）________； （3）________； （4）________． 【答案】 【分析】本题主要考查了多重符号的化简，解题的关键是掌握多重符号的化简法则． 根据多重符号化简的法则，化简结果的符号由负号的个数决定：如果负号的个数为偶数，结果为正；如果负号的个数为奇数，结果为负． 【详解】解：（1） =3， 故答案为：3； （2）， 故答案为：； （3）， 故答案为：； （4）， 故答案为：． 3．写出下列各数的相反数：，，0，，． 【答案】的相反数是，的相反数是3，0的相反数是0，的相反数是，的相反数是． 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 根据相反数的定义作答即可． 【详解】的相反数是，的相反数是3，0的相反数是0，的相反数是，的相反数是． 知识点02 绝对值 1.概念：一个数的数量大小叫做这个数的绝对值. 2.代数意义：①正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b）；②负数的绝对值是它的相反数；③ 0的绝对值是0. 3.代数符号意义：①a＞0，|a|=a，反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≤0；②a = 0， |a|=0；③a＜0，|a|=-a. 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数. 4.性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数.即±a. 5.非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0.几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0.故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0； 【易错提醒】 绝对值易错警示：|a|表示数轴上点a到原点的距离，结果非负。注意|a| = a仅当a ≥ 0，若a < 0则|a| = -a。去掉绝对值符号时，务必判断原数正负。 即时即练1.下列各对数中互为相反数的是（    ） A．5与 B．和 C．和 D．5和 【答案】A 【知识点】求一个数的绝对值、化简多重符号、相反数的定义 【分析】本题主要考查了相反数的识别，化简多重符号和求一个数的绝对值，先根据化简多重符号和绝对值的定义求出每个选项中两个数的结果，再根据只有符号不同的两个数互为相反数判断即可． 【详解】解：A、5与互为相反数，故此选项符合题意； B、和不互为相反数，故此选项不符合题意； C、和不互为相反数，故此选项不符合题意； D、5和不互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：A． 2．的相反数是_____． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的定义和相反数，先求出的值，再根据相反数的定义求出相反数． 【详解】解：， 2026的相反数是． 故答案为：． 3．若，则_____． 【答案】 【分析】绝对值为正数的数有两个，且这两个数互为相反数． 【详解】解：∵， ∴． 4．比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查有理数大小的比较，熟知有理数大小比较规则是解答的关键． （1）先求绝对值，再根据正数大于负数求解即可； （2）根据负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可； （3）先化简各数，再根据负数比较大小，绝对值大的反而小求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，，， ∴； （3）解：，， ∵，，， ∴． 题型1 求一个数的相反数 【例1】2026的相反数是 ． 【答案】-2026 【分析】本题考查了相反数的概念，掌握只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解答此题的关键．根据符号不同，绝对值相同的两个数互为相反数即可求得答案． 【详解】解：2026的相反数是-2026． 故答案为：-2026． 【例2】的相反数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了相反数的定义，属于应知应会题型，熟知相反数的概念是关键； 只有符号不同的两个数叫做互为相反数，根据相反数的定义解答即可． 【详解】解：的相反数是； 故答案为：． 【技巧归纳】 求相反数：直接在原数前加“−”号。正数变负，负数变正，0的相反数是0。对于多重符号，奇数个负号为负，偶数个为正。注意含字母时，a的相反数是−a，a-b的相反数是b-a。化简后再判断。 【变式1-1】请分别写出下列各数的相反数： ，13，0，，． 【答案】5；；0；； 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数．根据相反数的定义进行求解即可． 【详解】的相反数是； 13的相反数是； 0的相反数是0； 的相反数是； ， 的相反数是． 【变式1-2】写出下列各数的相反数：，，，，，，，． 【答案】，，8，，，，100， 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义逐项求解即可． 【详解】解：的相反数为， 6的相反数为， 的相反数为8， 的相反数为， 的相反数为， 10的相反数为， 的相反数为100， 的相反数为． 题型2 判断是否互为相反数 【例3】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．与3 B．3与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，理解相反数的定义是解题的关键．根据只有符号不同的两个数互为相反数求解即可． 【详解】解：A：与不互为相反数，故此选项不符合题意； B：与不互为相反数，故此选项不符合题意； C：与互为相反数，故此选项符合题意； D：与不互为相反数，故此选项不符合题意； 故选：C． 【例4】下列各数中，互为相反数的是（     ） A． 与2 B． 与 C． 与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了相反数、绝对值以及去括号等知识，解题关键是熟练掌握相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数．根据相反数的定义，并结合去括号法则、绝对值的性质，逐项分析，即可获得答案． 【详解】解：A. 与2互为相反数，本选项符合题意； B. 与不是相反数，本选项不符合题意； C. 与不是相反数，本选项不符合题意； D. ，，所以与不是相反数，本选项不符合题意． 故选：A． 【技巧归纳】 判断两数是否为相反数：验证它们的和是否为0。也可检查它们是否符号相反、绝对值相等。0的相反数是自身。对于分数、根号等，先化简再相加或化为同分母。注意代数式相反数需整体加括号后再运算。 【变式2-1】下列各数中，互为相反数的是（    ） A．与3 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题主要考查相反数，先化简多重符号，再根据相反数的定义进行判断即可求出结果． 【详解】解：A． 与3相等；不符合题意； B． 与相等；不符合题意； C． 与互为相反数，符合题意； D． 与相等；不符合题意； 故选：C． 【变式2-2】下列各组数中，互为相反数的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】本题考查了相反数、绝对值，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、，，5和5不是相反数，不符合题意； B、，，4和4不是相反数，不符合题意； C、，，和3互为相反数，符合题意； D、，和不是相反数，不符合题意； 故选：C． 题型3 化简多重符号 【例5】化简： ． 【答案】23 【知识点】化简多重符号 【分析】根据有理数的负数计算即可． 本题考查了有理数的负数，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：23． 【例6】化简 ． 【答案】 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握相反数的定义是解题的关键．根据相反数的定义化简多重符号即可解答． 【详解】解：． 故答案为：． 【技巧归纳】 化简多重符号：从最内层往外，根据负号个数确定最终符号。奇数个负号为负，偶数个为正。例如 -(+2) = -2，-(-2)=2。逐步去括号，避免跳步。正号可直接省略。注意与绝对值、指数运算的区别。 【变式3-1】计算的结果为 ． 【答案】2 【知识点】化简多重符号、相反数的定义 【分析】本题考查了相反数，熟知只有符号不同的两个数叫做互为相反数是解题的关键； 根据相反数的定义解答即可． 【详解】解： ． 【变式3-2】化简： （1） ；（2） ； （3） ；（4） ． 【答案】 2024 【知识点】化简多重符号 【分析】本题考查了化简多重符号，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 根据化简多重符号的法则计算即可得解； 【详解】解：（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：；2024；；． 题型4 相反数的应用 【例7】若a、b互为相反数，则=______． 【答案】2025 【分析】本题考查相反数的定义．由和互为相反数，可得，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵和互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：2025． 【例8】若代数式与代数式的值互为相反数，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查相反数的定义，整式的加减以及解一元一次方程，根据题意可知，求解即可． 【详解】因为代数式与的值互为相反数，可得 ． 解得 ． 故答案为： 【技巧归纳】 相反数应用：简化方程（移项变号）、求对称点（数轴上关于原点对称）、解带绝对值问题（如 |x|=a 得 x=±a）、列方程时利用和为零构造等式。在比较大小中，负数相反数变为正数，便于排序。 【变式4-1】若m，n互为相反数，则___． 【答案】3 【分析】本题考查了相反数的性质，求代数式的值，掌握相反数和为0是解题的关键． 由相反数的性质可知，进而简化表达式 【详解】解：∵ m，n 互为相反数， ∴ ， ∴ ． 故答案为 3． 【变式4-2】___________时，代数式与代数式的值互为相反数． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，相反数的定义，解题的关键是掌握相反数的定义． 根据相反数的定义，两个代数式的值互为相反数时，它们的和为零，由此列出方程并求解即可． 【详解】解：∵代数式与代数式的值互为相反数， ∴， 解得． 故答案为：． 题型5 求一个数的绝对值 【例9】的绝对值是： ． 【答案】3 【分析】此题主要考查求一个数的绝对值，解题的关键是熟知绝对值的性质. 根据绝对值的定义即可求解. 【详解】解：的绝对值是：3． 故答案为：3. 【例10】计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 【技巧归纳】 求绝对值：正数和0的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数（即去掉负号）。对于表达式，先判断整体正负，再根据定义化简。注意绝对值结果非负，字母需讨论范围或分类去绝对值。 【变式5-1】的相反数是 ，的绝对值是 ． 【答案】 5 9 【分析】本题主要考查了相反数、绝对值的性质，掌握相反数定义和绝对值的性质成为解题的关键． 直接根据相反数的定义和绝对值的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴的相反数是5， ∵， ∴． 故答案为：5，9． 【变式5-2】的绝对值是 ；的绝对值是 ；绝对值是的数是 ；绝对值最小的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值，根据绝对值的意义解答即可求解，掌握绝对值的意义是解题的关键． 【详解】解：的绝对值是；的绝对值是；绝对值是的数是；绝对值最小的数是； 故答案为：；；；． 题型6 绝对值的非负性 【例11】若，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的非负性；根据非负数的性质可得，即可求解． 【详解】因为，且，， 所以，所以． 故答案为：，． 【例12】若，那么 ， ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值的非负性和解一元一次方程，熟练掌握任何数的绝对值都是非负数是解题的关键，据此作答即可． 【详解】∵， ∴， 解得， 故答案为：1，5． 【技巧归纳】 绝对值的非负性：任何实数的绝对值都≥0，且仅当该数为0时取0。解题时常用“多个非负数之和为0，则每个必须为0”列方程。也用于求最小值：|x|最小值0。注意与平方、算术平方根的非负性结合应用。 【变式6-1】a是最大的负整数，且a、b、c满足．那么a＝ ，b＝ ，c＝ ． 【答案】 1 5 【分析】本题考查了绝对值非负性的应用，先根据已知条件得到a的值，然后根据绝对值的非负性得到b、c的值，掌握绝对值的非负性是解题的关键． 【详解】解：∵a是最大的负整数， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式6-2】已知b、c满足，则的值是 ． 【答案】// 【分析】本题考查了绝对值的性质，根据，得到, 代入计算即可． 【详解】∵， ∴， ∴， 故答案为：或或． 题型7 利用绝对值的非负性求最值 【例13】（1）当取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ （2）当取何值时，有最大值，这个最大值是多少？ 【答案】（1），0；（2），2025 【分析】此题考查绝对值的性质，代数式的最值问题， （1）根据是非负数且最小得时，有最小值，这个最小值是0； （2）根据时，有最小值为0，得有最大值，这个最大值是2025． 【详解】解：（1）因为是非负数，且非负数中最小的数是0， 所以当时，有最小值，这个最小值是0； （2）当时，有最小值，这个最小值为0， 此时有最大值，这个最大值是2025． 【例14】已知为整数． （1）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （2）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （3）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （4）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． （5）有最__________（填“大”或“小”）值，是__________，此时__________． 【答案】 （1）小， ，；（2）小，，；（3）大，，；（4）小，，；（5）大，， 【分析】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的非负性是解题的关键； （1）根据绝对值的非负性可以得到的取值范围以及最值； （2）根据绝对值的非负性可以得到的取值范围和最值，根据的取值范围可以得到的取值范围和最值； （3）根据的取值范围和最值确定的范围和最值然后就可以确定的取值范围和最值； （4）根据的取值范围和最值确定的取值范围和最值； （5）根据的取值范围和最值确定的取值范围和最值然后就可以确定的取值范围和最值. 【详解】解：（1）根据绝对值的非负性可知， 有最小值是，此时； （2） 则有最小值是，此时； （3）， ， ； 则有最大值是，此时； （4）， 则有最小值是，此时； （5） ； 则有最大值是，此时 故答案为：（1）小，，；（2）小，，；（3）大，，；（4）小，，；（5）大，， ． 【技巧归纳】 绝对值非负性：|a|≥0。多个非负式和为0时每项为0。求最小值时，|x-a|最小值0。含多个绝对值可用零点分段法或数轴距离和求最值。 【变式7-1】根据这一性质，解答下列问题： (1)当 时，有最小值，此时最小值为 ； (2)当a取何值时，有最小值？这个最小值是多少？ (3)当a取何值时，有最大值？这个最大值是多少？ 【答案】(1)4，0 (2)，3 (3)，4 【分析】本题考查了整式的绝对值的求解能力，对绝对值的性质的理解和掌握是解题的关键． （1）根据绝对值的性质，可知0的绝对值最小，为0，则可得时，有最小值，由此即可求解； （2）要使有最小值，则要取最小，即，由此即可求解； （3）要使有最大值，则取最小值，结合即可求解． 【详解】（1）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是0． 故答案为：4，0 （2）因为，所以当时，有最小值，这个最小值是3． （3）因为，所以，所以当时，有最大值，这个最大值是4． 【变式7-2】（1）同学们知道，正数的绝对值是它本身，零的绝对值是零，负数的绝对值是它的相反数，在这一学习过程中，主要体现的数学思想有________________ A． 数形结合思想 B． 转化思想 C． 方程思想 D． 分类讨论思想 回答下列问题： （2）若，求x的值． （3）若，求y的值． （4）当__________时，有最小值，最小值为__________． （5）当取最小值时，求x，y的值． 【答案】（1）D （2）（3）1（4）1，0 （5） 【分析】（1）按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想，解答即可． （2）根据题意，分类解答即可． （3）根据，解答即可． （4）根据，得到最小值为0，此时解答即可． （5）根据，得到，得到时，取得最小值，解答即可． 本题考查了分类思想，绝对值的非负性，应用非负性求最小值，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性是解题的关键． 【详解】（1）解：按照正数，负数，零三种情形解答，体现了分类的思想， 故选：D． （2）解：∵， ∴时，； 时，，解得； 故x的值为． （3）解：根据，得，， 解得， 故y的值为1． （4）解：根据，得到时，取得最小值，且最小值为0， 故， 解得； 故当x的值为1,取得最小值，且最小值为0． （5）解：根据题意，得， 故， 故时，取得最小值， 此时， 解得， 故． 题型8 利用绝对值比较大小 【例15】比较下列各组数的大小： (1)与； (2)与； (3)与． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握正数大于零，零大于负数，正数大于负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小是解答本题的关键．两个负数比较大小，先比较绝对值，利用绝对值大的反而小即可得解； 【详解】（1）， ， ， （2）， ， ， （3）， ， ， 【例16】比较下列各组数的大小： (1)4和 (2)与 (3)与 (4)与 【答案】(1)； (2)； (3)； (4) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，绝对值，多重符号化简，解题的关键是掌握有理数的大小比较法则． （1）直接比较大小即可； （2）先求绝对值，再比较大小； （3）先比较绝对值大小，再比较大小； （4）先化简各数，再比较大小 【详解】（1）解： （2）解：∵， ∴ （3）解：∵，，即 ， ∴ （4）解：∵，，，，， ∴ 【技巧归纳】 同号时，正数绝对值越大数越大，负数绝对值越大数越小；异号时正数大于负数。比较时先看符号，若同号再去绝对值比，负数记得反转结果。 【变式8-1】比较下列各组数的大小． (1)5和； (2)和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查有理数的大小比较，结合绝对值的化简和相反数，熟练掌握有理数大小的比较法则是解题的关键． （1）根据整数大于负数即可解答； （2）根据负数比较大小，绝对值大的反而小，即可解答； （3）先化简，再利用一个正数和一个负数比较大小的法则比较即可解答； （4）先化简，再比较大小即可解答． 【详解】（1）解：因为正数大于负数， 所以． （2）解：． 因为，即， 所以． （3）解：． 因为正数大于负数， 所以，即． （4）解：． 因为， 所以． 【变式8-2】比较下列各组数的大小： (1)和2； (2)和； (3)和； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正数大于负数，即可作答． （2）根据负数的绝对值越大的数反而越小，即可作答． （3）先化简绝对值，再根据正数大于负数，即可作答． （4）结合正数大于0，0大于负数，负数的绝对值越大的数反而越小，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，； （2）解：依题意，， ∵， ∴； （3）解：依题意，， ∵， ∴； （4）解：依题意，， ∵， ∴． 一、单选题 1．下列四个数中，绝对值最大的数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵，，，， ∴比较大小得 ， ∴是四个数中最大的绝对值，即绝对值最大的数是． 2．下列有理数的大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先化简每个选项中的式子，再根据有理数比较大小的规则判断即可． 【详解】解：选项A，，，，A错误； 选项B，，，，B错误； 选项C，，，，，C错误； 选项D，，两个负数比较大小，绝对值大的数更小， 又，，，，即，D正确． 3．某商品的质量按照“超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数”．下面四个零件中，最接近标准质量的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每个数的绝对值，根据绝对值的大小找出绝对值最小的数即可． 【详解】解：∵， ∴最接近标准质量的是选项C． 4．下列各组数中，互为相反数的是（    ）． A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】解：选项A：，，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项B：，，与绝对值相等，符号相反，互为相反数，符合题意； 选项C：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意； 选项D：，两个数相等，不互为相反数，不符合题意． 5．下列说法正确的是（    ） A．若，则a必为负数 B．绝对值不大于3的整数有6个，分别是，， C．若，则，反之，若，则 D．任意有理数的绝对值都是非负数 【答案】D 【分析】本题考查绝对值的性质，根据绝对值的性质进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、若，则，不一定为负数，故A选项不符合题意； B、绝对值不大于3的整数包括，，和0，共7个，故B选项不符合题意； C、若，则正确；但反之若，则，故C选项不符合题意； D、任意有理数的绝对值都是非负数，故D选项符合题意； 故选：D． 二、填空题 6．比较大小．（填“>”“<”或“=”） （1）______；         （2）______． 【答案】 【分析】先化简待比较的数，再分别求出两个数的绝对值，根据负数比较大小的法则：绝对值大的负数反而小，即可判断大小． 【详解】（1）解： ，， ， （2）解：，，，， ，即 7．若，则________．化简________． 【答案】 【分析】本题考查了绝对值的应用，化简多重符号．第一空根据绝对值的定义求解；第二空通过多重符号的化简规则计算． 【详解】解：由，得； 故答案为：； 8．已知，则_________，_________． 【答案】 1 / 【分析】本题考查了绝对值的非负性．根据绝对值的非负性，两个非负数的和为零，则每个数都为零，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴， 解得， 解得， 故答案为：． 9．若为有理数，则式子的最小值为______ 　． 【答案】2025 【分析】此题主要考查了绝对值的非负性．利用绝对值的性质得出的最小值为0，进而得出答案． 【详解】解：∵， ∴当时，取最小值，最小值为2025． 故答案为：2025． 10．将下列各数填在相应的集合里． ，，，，42，，3，，0， 整数集合：____________________ ； 负有理数集合：______________________ ； 分数集合：______________________ ． 【答案】 ，42，3，0 ，， ，，， 【分析】本题考查了绝对值的定义，化简多重符号，有理数的分类． 根据有理数的分类，整数包括正整数、负整数和零；负有理数包括负整数和负分数；分数包括正分数和负分数，但不包括整数和无理数.逐个判断每个数所属的集合。 【详解】解：，， 整数集合：，42，3，； 负有理数集合：，，； 分数集合：，，，． 故答案为：，42，3，0；，，；，，，． 三、解答题 11．分别写出下列各数的相反数： ，，，． 【答案】，7，， 【分析】本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，其中一个数是另一个数的相反数，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数． 【详解】解：的相反数是，的相反数是7，的相反数是，的相反数是． 12．请比较下列各组中两个数的大小： (1)0和； (2)3和； (3)和； (4)和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数大小比较的方法是解题的关键． （1）根据“正数负数”直接比较大小即可； （2）根据“正数负数”直接比较大小即可； （3）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，先求出它们的绝对值，再比较绝对值的大小； （4）根据“两个负数比较大小，绝对值大的反而小”，先求出它们的绝对值，再比较绝对值的大小． 【详解】（1）解：由“正数负数”可知：； （2）解：由“正数负数”可知：； （3）解：， ， 又， ； （4）解：， ， 又， ． 13．如图所示，将下列各数填入相应的集合圈内． 【答案】见解析 【详解】解：， 如图所示，即为所求： 14．已知：a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数，回答以下问题． (1)______，______； (2)已知，求． 【答案】(1) (2)或3 【分析】本题主要考查相反数、绝对值的非负性； （1）根据相反数及绝对值可直接进行求解a、b的值； （2）根据（1）及绝对值的非负性可得m、n的值，然后代入求解即可． 【详解】（1）∵a与3互为相反数，b的绝对值为最小的正整数， ∴ （2）∵ ∴ ∴ 当时，； 当时，； 综上：或3； 15．根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： (1)当_____时，有最小值，这个最小值是_____． (2)当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】(1)，0 (2)1， 【分析】（1）仅当时，有最小值； （2）,要使得有最大值，则只需满足即可. 【详解】（1）解：根据题意得：， 仅当时， 即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：， ， 仅当时，即， ， 当时，有最大值，这个最大值为2025. 【点睛】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键. 16．出租车司机小李新年这天从鼓楼出发，上午营运时是在南北走向的大街上进行的，如果规定向南为正，向北为负，他这天上午所接的六位乘客的行车里程（单位：）如下： ． (1)将最后一位乘客送到目的地时，小李在什么位置？ (2)若汽车耗油量为（升/千米），这天上午小李接送乘客，出租车共耗油多少升？ (3)若出租车起步价为元，起步里程为（包括3km），超过部分每千米元，问小李这天上午共得车费多少元？ 【答案】(1)鼓楼以北处 (2) (3) 【分析】本题考查了有理数的加法和正负数的意义，有理数的运算在实际问题中的应用，包括位置的确定、耗油量的计算以及车费的计算． ()先将这几个数相加，根据题干规定，若和为正，则在出发点的南方；若和为负，则在出发点的北方；； ()将这几个数的绝对值相加，再乘以耗油量，即可得出答案； ()分别计算六次行程的车费后求和，即可． 【详解】（1）解：． 答：将最后一位乘客送到目的地时，小李在鼓楼以北处． （2）， ， 答：出租车共耗油． （3）第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 第次里程，车费元； 总车费为(元)． 答：小李这天上午共得车费元． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $