第04讲 认识有理数（暑假预习讲义）新七年级数学新教材北师大版

第04讲 认识有理数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正数的识别 题型2 负数的识别 题型3 相反意义的量 题型4 正负数的实际应用 题型5 有理数概念的理解 题型6 对0的理解 题型7 有理数的分类 题型8 带“非”字的有理数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正数、负数、相反意义的量、有理数、分类、整数、分数。 1. 理解正数与负数的概念，能准确识别并举例说明，知道0既不是正数也不是负数。 2. 会用正、负数表示生活中具有相反意义的量（如温度、海拔、收支等），体会引入负数的必要性。 3. 理解有理数的意义，掌握有理数的两种分类方法：按定义（整数和分数）和按性质符号（正有理数、0、负有理数）。 4. 经历从实际情境抽象出有理数概念的过程，培养观察归纳能力和数感。 学习重点：理解正、负数的概念，会用正、负数表示相反意义的量；掌握有理数的概念及两种分类标准。 学习难点：理解负数的抽象意义（特别是引入负数后数的范围扩充），以及能按不同标准对有理数进行准确分类且做到不重不漏。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正数和负数 正数的概念：大于0的数叫做正数. 负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） 【易错提醒】 0既不是正数也不是负数。带“+”号不一定是正数（如+(-3)），带“-”号不一定是负数（如-(-3)）。 即时即练1．有五个数：，，，，，其中正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查了对正数和负数定义的理解，难度不大，注意0既不是正数也不是负数． 根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数． 【详解】解：是正数，既不是负数也不是正数，是负数，是正数，是负数， 正数有2个， 故选B． 2．在，0，，，，中，负数的个数有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】正负数的定义 【分析】本题考查正数和负数，解题的关键是明确正数和负数在题目中实际含义．根据题目中的数据可以判断哪些数是负数，从而可以解答本题． 【详解】解：在，0，，，，中，负数有：，，，共3个， 故选：B． 知识点02 相反意义的量 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 【易错提醒】 必须同时具备：两个量、意义相反、属于同一属性（如温度增减），且可带不同单位。无相反意义（如“向南”与“向上”）不算。 即时即练1．我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正负数表示相反意义的量的运用，理解题意，掌握相反意义的量的运用是关键． 根据正数和负数表示具有相反意义的量，即可解答． 【详解】解：∵水库的水位升高时，水位变化记作， ∴水库的水位下降时，水位变化记作， 故答案为：． 2．一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 【答案】 【知识点】相反意义的量 【分析】本题考查了正数和负数，根据正数和负数是一组相反意义的量即可求得答案，理解正数和负数是一组相反意义的量是解题的关键． 【详解】解：∵食品净重记为， ∴食品净重就记为， 故答案为：． 知识点03 有理数的概念 概 念：整数和分数统称有理数. 整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 【易错提醒】 有理数是整数和分数（有限小数或无限循环小数）的总称。注意：π不是有理数；分数形式须约分为最简整数比，且q≠0 。 即时即练1.下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】D 【知识点】有理数的定义、有理数的分类、带“非”字的有理数 【分析】本题主要考查了有理数的分类，根据有理数的两种分类方法判断即可． 【详解】解：① 是负分数，故①正确； ②是分数，不是整数，故②正确； ③非负有理数是大于或等于零的有理数，故③错误； ④是有理数，故④错误； ⑤没有最小的有理数，故⑤错误； ⑥有理数包括整数和分数，故⑥错误； 故选：D． 2.下列说法正确的有（   ） ①正有理数是正整数和正分数的统称； ②整数是正整数和负整数的统称； ③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称； ④0是偶数，但不是自然数； ⑤偶数包括正偶数、负偶数和零． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的概念及分类，运用时注意分类的依据，还要做到不重不漏． 此题运用有理数的概念及分类（按正负分：正有理数，0和负有理数或正数、负数、0；按数的性质分：整数、分数）即可解答． 【详解】①正有理数是正整数和正分数的统称，正确； ②整数是正整数，零和负整数的统称，故不正确； ③有理数是正整数、负整数、零、正分数、负分数的统称，故不正确； ④0是偶数，也是自然数，故不正确； ⑤偶数包括正偶数、负偶数和零，正确． 综上所述，说法正确的有2个． 故选A． 知识点04 有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 【易错提醒】 按定义分整数（含0）和分数；按性质分正有理数、0、负有理数。注意：小数（如0.5）需先判断是否可化分数，循环小数是有理数，π等不是。 即时即练1.把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题主要查了有理数的分类．根据有理数的分类解答即可． 【详解】解：如图： 2.将下列各数填入相应的集合内： 13.2，，12，0，，，， 整数集合：{                     ……} 正有理数集合：{                …… } 负有理数集合：{                 ……} 【答案】见解析 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数包括正整数，负整数和零，正有理数包括正整数和正分数，负有理数包括负整数和负分数，进行作答即可． 【详解】解：整数集合：{12，0，……} 正有理数集合：{13.2，12，……} 负有理数集合：{， ，，……}． 题型1 正数的识别 【例1】下列各数中，是正数的是（   ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】解：是正数，是负数，既不是正数，也不是负数. 【例2】，，0，，3这几个数中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题根据正数的定义进行判断，大于0的数是正数，0既不是正数也不是负数，逐个判断给定的数，统计正数的个数即可得到结果． 【详解】解：∵正数的定义为大于0的数，0既不是正数也不是负数 给定的数分别为，，0，，3， 其中大于0的数为，，，共3个 ∴正数有3个． 【技巧归纳】 1. 大于0：正数即大于0的数，含正整数、正分数、正无理数。 2. 判符号：看“+”（可省略）或直接比较与0的大小。 【变式1-1】在，，0，，中，正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了正数的定义，解题的关键是明确正数是大于0的数，0既不是正数也不是负数；逐一判断所给数是否大于0，统计正数的个数． 【详解】解：逐一判断：（非正数），（正数），既不是正数也不是负数，（非正数），（正数），故正数有2个． 故选：B． 【变式1-2】在、、、、、中， 一共有(  ) 个正数． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查的是正负数的定义，根据大于0的数叫做正数，依据正数的定义解答即可． 【详解】解：在、、、、、中， 、、是正数，一共有3个正数 故选：B． 题型2 负数的识别 【例3】在，，，，，，中，负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了负数，根据负数的定义即可求解，理解负数的定义是解题的关键． 【详解】解：在，，，，，，中，负数有，，，共个， 故选：． 【例4】下列六个数、1.010010001、、0、、，其中负数有（     ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了负数：小于0的数是负数，根据负数的意义求解即可． 【详解】解：在、1.010010001、、0、、中，属于负数的是：、、共3个， 故选：A． 【技巧归纳】 1. 小于0：负数即小于0的数，如带“−”号（负号）。 2. 看符号：负号不可省略，0 既非正也非负。注意 “−a” 不一定是负数（当 a 为负时为正）。 【变式2-1】在、0、5、、+4.9、、+2019中，是负数的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查负数的概念，熟练掌握负数的概念是解题的关键； 比0大的数叫正数，比0小的数叫负数，负数前边要写负号“﹣”，正数前边可以写正号“﹢”，也可以将正号省略，0既不是负数，也不是正数，据此数出有几个负数． 【详解】解：根据分析可得： 、，是负数，共2个； 故选：A． 【变式2-2】在，，，，，这个数中，负数有几个（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了负数的定义，熟练掌握负数的定义是解题关键．根据负数的定义即可解答，即小于的数叫做负数． 【详解】解：根据负数的定义可得： 负数有、、共三个数． 故选：C． 题型3 相反意义的量 【例5】在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸记作，那么低于标准尺寸记作__________． 【答案】 【详解】解：由题意可知，低于标准尺寸记作． 【例6】某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为__________． 【答案】 【详解】解：依题意，最低气温为零下， 则最低气温记为． 【技巧归纳】 1. 定基准：明确“正方向”意义（如上升、收入）。 2. 成对出现：意义相反（如上升5米与下降3米），数值可不同。 3. 辨无关：不是所有正负数都是相反意义，需描述方向或属性对立。 【变式3-1】中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入了负数．若收入200元记作元，则支出100元记作______元． 【答案】 【详解】解：收入200元记作元，则支出100元记作元． 【变式3-2】2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8米记作米，那么下降10米记作______米． 【答案】 【分析】根据题意，上升记为正数，下降与上升是相反意义的量，因此下降记为负数，即可得到结果． 【详解】解：上升米记作米， 下降米记作米． 题型4 正负数的实际应用 【例7】一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【答案】(1)是 (2)米 【分析】本题考查了正负数的实际应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）把所有数据相加即可解答； （2）把跑过的路程相加即可． 【详解】（1）解：由题意可得：， 答：守门员最后回到了球门线的位置． （2）解：由题意可得：， 答：守门员全部练习结束后，他共跑了米． 【例8】某电商在网上销售一种水果，其每箱的标准质量为．现抽取6箱样品进行检测，结果如下表： 每箱样品的质量/ 如果规定高于标准质量的部分记作正，请分别用带“”或“”的数表示样品质量与标准质量的差． 【答案】，， ， ， ， 【分析】本题考查了正数和负数，解题关键是掌握正数和负数的意义，利用正数和负数的意义解答即可． 【详解】解：样品质量与标准质量的差分别为，， ， ， ， ． 【技巧归纳】 1. 定基准：规定正方向（如收入为正，支出为负）。 2. 算差值：用“末－初”或“正数和－负数和”求变化量。 3. 判盈亏：总和>0盈利，<0亏损，=0持平。 【变式4-1】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【答案】(1)，， (2)见解析 【分析】本题考查了正数、负数的意义，掌握“正负数可以用来表示相反意义的量”是解题的关键． （1）从，先向右走格，对应，再向上走格，对应；从开始先向左走格，再向下走格，到达处； （2）从开始先向右走格，向上走格，接着向右走格，向下走格，之后向左走格，向上走格，最后向左走格，向下走格，即可明确的位置． 【详解】（1）解：因为向上、向右走为正，向下、向左走为负， 所以到记为，到记为； （2）解：点位置如图所示： 【变式4-2】出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 【答案】(1)出租车在公司的东方，距离公司千米 (2)共需要元油费 (3)司机这天下午运营是盈利，盈利了元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，分析题意从中获取相关信息是解题的关键． （1）把所给的行程数据相加分析即可； （2）运算出总路程，再运算油费即可； （3）求出出租车的总收入，再减去油费即可解答． 【详解】（1）解：由题意可得：（千米）， 答：出租车在公司的东方，距离公司3千米． （2）解：总路程（千米）， 油费（元）， 答：共需要33元油费． （3）解：超过千米的行程有9，，，，，，，，共次行程， 超过部分（千米）， 不超千米的行程有：，，共2次行程， 所以出租车的收入为：（元）， （元）， 答：司机这天下午运营是盈利，盈利了元． 题型5 有理数概念的理解 【例9】下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查的是有理数的分类与定义，据有理数定义及其分类解答即可． 【详解】解：①可以写成分数形式的数称为有理数，故①正确； ②有理数不是正数就是负数或，故②不正确； ③非负数就是正数和0，故③正确； ④没有最小的整数，故④不正确． 正确的有①③； 故选：C． 【例10】下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 【答案】B 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题考查了整数和有理数，根据整数和有理数的定义逐项判断即可求解，掌握整数和有理数的定义是解题的关键． 【详解】解：、正整数、、负整数统称为整数，该选项说法错误，不合题意； 、整数和分数统称为有理数，该选项说法正确，符合题意； 、非负有理数就是和正有理数，该选项说法错误，不合题意； 、零是有理数，该选项说法错误，不合题意； 故选：． 【技巧归纳】 有理数是整数和分数的统称，可化为 （q≠ 0）形式。判断时，整数、有限小数、无限循环小数均为有理数；无限不循环小数（如 π 不是。注意带根号且能开尽的也是有理数。 【变式5-1】下列说法中正确的是（　　） A．最小的有理数是0 B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C．分数分为正分数和负分数 D．非负整数即为正整数 【答案】C 【知识点】有理数的分类、有理数的定义 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的概念；根据没有最小的有理数，由此即可判断A；整数集合包括正整数，负整数和0，由此即可判断B；分数分为正分数和负分数，由此可判断C；非负整数包括0和正整数，由此即可判断D． 【详解】解：A、没有最小的有理数，原说法错误，不符合题意； B、整数集合包括正整数，负整数和0，原说法错误，不符合题意； C、分数分为正分数和负分数，原说法正确，符合题意； D、非负整数即为正整数和0，原说法错误，不符合题意； 故选C． 【变式5-2】下列说法中正确的是（   ） A．0不是有理数 B．在有理数中有最小的数 C．有理数不是整数就是分数 D．若是有理数，则一定是负数 【答案】C 【知识点】有理数的定义、有理数的分类 【分析】本题主要考查了有理数的分类，有理数的定义．有理数可以分为正数、0、负数或分为正有理数、0、负有理数，整数和分数统称有理数，根据上面两种分类方法去判断正误即可． 【详解】解：A、0是有理数，故A错误，不符合题意； B、在有理数中没有最小的数，故B错误，不符合题意； C、有理数不是整数就是分数，故C正确，符合题意； D、a是有理数，则不一定是负数，如时，，故D错误，不符合题意． 故选：C． 题型6 对0的理解 【例11】下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【答案】C 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了的意义，根据的意义逐一排除即可，正确理解的意义是解题的关键． 【详解】解：、既不是正数，也不是负数，原选项说法错误，不符合题意； 、可以表示没有，也可以表示其他，原选项说法错误，不符合题意； 、既不是正数，也不是负数，原选项说法正确，符合题意； 、比负数大，原选项说法错误，不符合题意； 故选：． 【例12】下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【答案】A 【知识点】0的意义、有理数的分类 【分析】本题主要考查了正负数的定义，分式的定义，0的意义，大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数，0既不是正数，也不是负数，据此结合分数的定义可得答案． 【详解】解：A、是负分数，原说法正确，故此选项符合题意； B、是负数，也是整数，原说法错误，故此选项不符合题意； C、0不是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； D、是分数，也是正数，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 【技巧归纳】 1. 分界与中性：0既非正也非负，是正负分界点。 2. 运算特征：加0不变、乘0得0、0不能作除数。 3. 意义：表示“没有”或“起点”（如数轴原点、温度零度）。 【变式6-1】下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【答案】A 【知识点】0的意义、有理数的分类 【分析】本题考查了的意义，有理数的分类，根据的意义逐项分析判断即可求解． 【详解】解：0既不是正数也不是负数，是整数 故选：A． 【变式6-2】下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】0的意义 【分析】本题考查了正数和负数，根据0的意义，逐一判断即可解答． 【详解】①因为正数大于0，负数小于0，所以0是正数与负数的分界，故①正确； ②0除了表示 “什么也没有”，还可以表示其他意义，如等，故②错误； ③0可以表示特定的意义，如，故③正确； ④0既不是正数，也不是负数，故④错误， 综上所述：正确的有①③，共2个， 故选：B． 题型7 有理数的分类 【例13】把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【答案】①④⑧；③⑤⑦；②⑧ 【知识点】有理数的分类 【分析】本题考查了实数的分类，按照实数的分类填写，实数分为有理数和无理数，无理数是无限不循环小数，有理数分为整数和分数，整数分为正整数，0和负整数，分数分为正分数和负分数，掌握有理数的概念和实数的分类方法是解题的关键． 【详解】解：①，②0.2，③，④0，⑤，⑥，⑦，⑧中， 整数集合①，④0，⑧； 负分数集合③，⑤，⑦； 正有理数集合②0.2，⑧， 故答案为：①④⑧；③⑤⑦；②⑧． 【例14】将下列各数填入相应的集合中．0.6，，，，0，，，，． 自然数集合：{ …}；负整数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}；有理数集合：{ …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，根据有理数的分类进行作答即可． 【详解】解：自然数集合：； 负整数集合：； 正分数集合：； 有理数集合：． 【技巧归纳】 有理数按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。按性质分为正有理数、0、负有理数。分类时注意：有限小数和无限循环小数归属分数，百分数化成分数形式后判断。 【变式7-1】把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，． 正整数集合：{                         }； 负整数集合：{                         }； 正分数集合：{                         }； 负分数集合：{                         }． 【答案】，；；，；，， 【分析】本题考查了有理数的分类，根据正整数、负整数、正分数和负分数的定义解答即可求解，掌握有理数的有关定义是解题的关键． 【详解】解：正整数集合：{，，}； 负整数集合：{，}； 正分数集合：{，，}； 负分数集合：{，，，}； 故答案为：，；；，；，，． 【变式7-2】把下面的有理数填在相对应的集合内：，，，，，，，，， 正数集合：｛                             … ｝ 负数集合：｛                             … ｝ 整数集合：｛                             … ｝ 分数集合：｛                             … ｝ 【答案】正数集合：｛， ， ，， …｝， 负数集合：｛，，，，…｝， 整数集合：｛，，，，，… ｝， 分数集合：｛，，，， …｝ 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题的关键． 根据正数、负数、整数、分数的定义即可得到答案． 【详解】解：正数集合：｛， ， ，， …｝， 负数集合：｛，，，，…｝， 整数集合：｛，，，，，… ｝， 分数集合：｛，，，， …｝． 题型8 带“非”字的有理数 【例15】把下列各数分别填在相应的集合内： 、、、、、、、、， 正数集合{____________________________} 负分数集合{____________________________} 非负整数集合{___________________________} 【答案】、、、、 、 、、、 【分析】本题主要考查有理数的分类，理解正数、负分数、非负整数的概念及识别，掌握有理数分类是解题的关键． 正数包括正整数、正分数；负分数包括负分数、负小数；非负整数包括正整数和0，由此即可求解． 【详解】解：、、、、、、、、 正数集合{、、、、}； 负分数集合{、}； 非负整数集合{、、、}； 故答案为：、、、、；、；、、、． 【例16】把下列各数填入相应的集合中： ，，，0.618，，0，，，． 正数集合：{         …}； 分数集合：{         …}； 非负整数集合：{         …}． 【答案】，0.618，，，；，，0.168，，；0，． 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类方式是解答本题的关键．有理数可分为整数和分数，整数分正整数，零和负整数；分数分正分数和负分数．有理数也可分为正有理数，零和负有理数，正有理数分为正整数和正分数，负有理数分为负整数和负分数． 【详解】解：正数集合：{，0.618，，，，…}． 分数集合：{，，0.168，，，…}． 非负整数集合：{0，，…}． 故答案为：，0.618，，，；，，0.168，，；0，． 【技巧归纳】 “非”字表示否定，如非负数即正数和0，非正整数即0和负整数。解题时先明确否定范围，用数轴画出对应区域，注意端点是否包含。转化时去掉“非”字，补充相反情况，避免遗漏0。 【变式8-1】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，6，，0， 正有理数集合{                     …}； 负有理数集合{                     …}； 整数集合{                     …}； 非负整数集合{                     …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数的分类，根据整数包括正整数和负整数和0，分数包括正分数和负分数，非负整数包括正整数和0，负有理数为小于0的有理数数，进行作答即可． 【详解】解：正有理数集合{，6，，…}； 负有理数集合{，，…}； 整数集合{ 6，，0， …}； 非负整数集合{ 6，0，…} 【变式8-2】请把下面的有理数填在相应的集合内： 1，，，，0，，，． 正有理数集合：{____________________________…}． 负整数集合：{______________________________…}． 正分数集合：{______________________________…}． 非负整数集合：{____________________________…}． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．根据有理数的分类填写即可． 【详解】解：正有理数集合：； 负整数集合：； 正分数集合：； 非负整数集合：． 一、单选题 1．我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若气温零上记作，则气温零下记作（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵气温零上记作，说明规定零上为正， ∴与零上意义相反的零下为负，因此气温零下记作． 2．在，0，1，，，7，中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了正负数的定义，负数是指小于零的数，需逐一判断每个数是否小于零，即可作答． 【详解】解：依题意，，，，， 故负数有3个， 故选：C． 3．下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据整数、有理数、非负数的定义逐一判断各说法正误，统计正确结论个数即可． 【详解】解：①整数包含负整数、0、正整数，所有负整数都小于0，原说法错误； ②有理数分为正有理数、0、负有理数，原说法错误； ③非负数就是正数和0，原说法错误； ④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数，正确． 综上，正确的结论共有1个． 4．在1，，0，，，，2025，中， 非负数有（    ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的分类，非负数是大于或等于0的数，据此可得答案． 【详解】解：在1，，0，，，，2025，中，非负数有1，0，，2025，，共5个， 故选：D． 5．中国古代用算筹来记数，算筹的摆放有纵横两种形式（如下表）： 当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、横相间：个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，“0”用空位来代替，以此类推．在个位数算筹上面斜着放一支算筹表示负数．例如：“”表示＋238，“”表示．由此可知“”表示的数是（    ） A．6028 B． C．6208 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了有理数的定义，根据题中新定义求解即可． 【详解】 解：由题意得，“”表示的数是， 故选：D． 二、填空题 6．在，，0，中，有理数有_____个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数的定义逐个判断，即可求解． 【详解】解：，，0，是有理数；不是有理数，有理数有3个． 故答案为3． 7．如盈利记为正，则亏本记为负，元表示______，元表示_______． 【答案】 盈利3000元 亏本240元 【分析】本题考查正负数的意义，题目已规定盈利记为正，亏本记为负，只需根据规定判断正负数对应的实际意义即可． 【详解】解：根据正负数表示具有相反意义的量， 由题意得，盈利记为正，则正号表示盈利，负号表示亏本， 因此元表示盈利元，元表示亏本元． 8．在＋8，0，，，2023，，0.26，11中，非正整数有________个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了有理数的分类， 根据非正整数包括负整数和0解答即可. 【详解】解：非正整数有，一共有2个. 故答案为：2. 9．下列各数：3，，0，2，，，9，，85，1．其中正数有_______个，负数有_______个 【答案】 7 4 【分析】本题考查了正负数的定义，熟练掌握正负数的定义是解题的关键． 根据大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数求解即可． 【详解】解：正数有，总共7个， 负数有，总共4个， 故答案为：7，4． 10．在下列各数，，，2，，13，0，，，中，整数有__________，负分数有____________________． 【答案】 ，2，13，0 ， 【分析】本题主要考查整数和负分数的定义；根据整数和负分数的定义，整数包括正整数、负整数和零；负分数是负的有理数且不是整数．逐个判断给定数即可得出答案． 【详解】解：在给定的数中，是负整数，属于整数； 是负小数，属于负分数； 2是正整数，属于整数； 是正分数，既不是整数也不是负分数； 13是正整数，属于整数； 0是整数，既不是正数也不是负数； 是正分数，既不是整数也不是负分数； 转化为，是负分数； 是正分数，既不是整数也不是负分数． 因此，整数有，2，13，0；负分数有，． 故答案为：，2，13，0；，． 三、解答题 11．把下列各数的序号填在相应的数集内：①π；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧． (1)整数集合{____________________________________}； (2)正有理数集合{______________________________}； (3)负有理数集合{________________________________}． 【答案】(1)④⑦⑧ (2)③⑤⑦ (3)②⑥⑧ 【分析】本题考查有理数的分类： （1）根据整数包括正整数，0和负整数，分类即可； （2）根据正有理数是大于0的有理数，分类即可； （3）根据负有理数是小于0的有理数，分类即可． 【详解】（1）解：整数集合{④⑦⑧} 故答案为：④⑦⑧； （2）正有理数集合{③⑤⑦}； 故答案为：③⑤⑦； （3）负有理数集合{②⑥⑧} 故答案为：②⑥⑧． 12．某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 【答案】(1)见解析 (2)四月的营业状况最好，六月的营业状况最差 【分析】本题主要考查了正数和负数的意义，在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． （1）根据正负数表示具有相反意义的两种量，再结合题意即可解答； （2）根据（1）中表格数据可得答案． 【详解】（1）解：用正负数表示百货商店的盈亏情况如下： 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 （2）解：根据（1）中的百货商店的盈亏情况表可知，四月的营业状况最好，六月的营业状况最差． 13．请把下列各数分别填入相应的圈内： ，，，，，，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查了有理数的分类，熟练掌握有理数的分类是解题关键．根据正整数、负整数、正数与负数的定义解答即可得． 【详解】解：把下列各数分别填入相应的圈内如下： ． 14．将下列各数填入相应的大括号里． 正分数集合：{                                     }； 非正整数集合：{                                     }； 正数集合：{                                     }； 有理数集合：{                                     }． 【答案】见解析 【分析】本题考查有理数分类．根据题意利用有理数分类逐一对每个数进行分类即可得到本题答案． 【详解】解：∵ ∴正分数集合{ }， 非正整数集合{} 正数集合{} 有理数集合{} 15．小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 【答案】(1)他此时在出发地A处东边，距A处8千米； (2)小王师傅接送8次乘客共收车费元； 【分析】（1）根据有理数的加法，把相反意义的行程理数相加求和，根据正数在东，负数在西方可得答案； （2）判断出大于3千米与小于3千米的，根据收费标准列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：由题意可得， ， ∴他此时在出发地A处东边，距A处8千米； （2）解：由题意可得， 只有，，，四次大于3千米， 分别超过：2千米，5千米，1千米，4千米， ∴费用为：（元）， ∴小王师傅接送8次乘客共收车费元． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲 认识有理数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正数的识别 题型2 负数的识别 题型3 相反意义的量 题型4 正负数的实际应用 题型5 有理数概念的理解 题型6 对0的理解 题型7 有理数的分类 题型8 带“非”字的有理数 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 正数、负数、相反意义的量、有理数、分类、整数、分数。 1. 理解正数与负数的概念，能准确识别并举例说明，知道0既不是正数也不是负数。 2. 会用正、负数表示生活中具有相反意义的量（如温度、海拔、收支等），体会引入负数的必要性。 3. 理解有理数的意义，掌握有理数的两种分类方法：按定义（整数和分数）和按性质符号（正有理数、0、负有理数）。 4. 经历从实际情境抽象出有理数概念的过程，培养观察归纳能力和数感。 学习重点：理解正、负数的概念，会用正、负数表示相反意义的量；掌握有理数的概念及两种分类标准。 学习难点：理解负数的抽象意义（特别是引入负数后数的范围扩充），以及能按不同标准对有理数进行准确分类且做到不重不漏。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 正数和负数 正数的概念：大于0的数叫做正数. 负数的概念：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数. 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数. （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数.） 【易错提醒】 0既不是正数也不是负数。带“+”号不一定是正数（如+(-3)），带“-”号不一定是负数（如-(-3)）。 即时即练1．有五个数：，，，，，其中正数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在，0，，，，中，负数的个数有几个（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点02 相反意义的量 意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量. 【易错提醒】 必须同时具备：两个量、意义相反、属于同一属性（如温度增减），且可带不同单位。无相反意义（如“向南”与“向上”）不算。 即时即练1．我国古代数学著作《九章算术》中提出了正数，负数的概念．若水库的水位升高时，水位变化记作，则水库的水位下降时，水位变化记作 ． 2．一种袋装食品的标准净重为，质监部门工作人员为了了解该种食品每袋净重与标准净重的误差，把食品净重记为，那么食品净重就记为 ． 知识点03 有理数的概念 概 念：整数和分数统称有理数. 整 数：正整数、0、负整数统称为整数. 分 数：正分数、负分数统称分数.（有限小数与无限循环小数都是有理数.） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数. 【易错提醒】 有理数是整数和分数（有限小数或无限循环小数）的总称。注意：π不是有理数；分数形式须约分为最简整数比，且q≠0 。 即时即练1.下列说法中，错误的有（   ） ① 是负分数；② 不是整数；③ 非负有理数不包括；④ 不是有理数；⑤是最小的有理数；⑥正整数、负整数统称为有理数 ． A．个 B．个 C．个 D．个 2.下列说法正确的有（   ） ①正有理数是正整数和正分数的统称； ②整数是正整数和负整数的统称； ③有理数是正整数、负整数、正分数、负分数的统称； ④0是偶数，但不是自然数； ⑤偶数包括正偶数、负偶数和零． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 知识点04 有理数的分类 两种分类： ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 【易错提醒】 按定义分整数（含0）和分数；按性质分正有理数、0、负有理数。注意：小数（如0.5）需先判断是否可化分数，循环小数是有理数，π等不是。 即时即练1.把下列各数填入图中相应的位置，并填写公共部分的名称． ，0，，，， 2.将下列各数填入相应的集合内： 13.2，，12，0，，，， 整数集合：{                     ……} 正有理数集合：{                …… } 负有理数集合：{                 ……} 题型1 正数的识别 【例1】下列各数中，是正数的是（   ） A． B． C． D．0 【例2】，，0，，3这几个数中，正数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【技巧归纳】 1. 大于0：正数即大于0的数，含正整数、正分数、正无理数。 2. 判符号：看“+”（可省略）或直接比较与0的大小。 【变式1-1】在，，0，，中，正数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】在、、、、、中， 一共有(  ) 个正数． A．2 B．3 C．4 D．5 题型2 负数的识别 【例3】在，，，，，，中，负数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【例4】下列六个数、1.010010001、、0、、，其中负数有（     ）个 A．3 B．4 C．5 D．6 【技巧归纳】 1. 小于0：负数即小于0的数，如带“−”号（负号）。 2. 看符号：负号不可省略，0 既非正也非负。注意 “−a” 不一定是负数（当 a 为负时为正）。 【变式2-1】在、0、5、、+4.9、、+2019中，是负数的有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式2-2】在，，，，，这个数中，负数有几个（    ） A． B． C． D． 题型3 相反意义的量 【例5】在零件尺寸检测中，如果一个零件的尺寸超出标准尺寸记作，那么低于标准尺寸记作__________． 【例6】某市元旦的最高气温为零上，记为；最低气温为零下，则最低气温记为__________． 【技巧归纳】 1. 定基准：明确“正方向”意义（如上升、收入）。 2. 成对出现：意义相反（如上升5米与下降3米），数值可不同。 3. 辨无关：不是所有正负数都是相反意义，需描述方向或属性对立。 【变式3-1】中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入了负数．若收入200元记作元，则支出100元记作______元． 【变式3-2】2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会在北京天安门广场隆重举行，其中无人机智能作战群的精准飞行成为亮点之一．若无人机在飞行过程中，上升8米记作米，那么下降10米记作______米． 题型4 正负数的实际应用 【例7】一位足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正，返回记作负，他的记录（单位：米）如下：，，，，，，． (1)守门员最后是否回到了球门线的位置？ (2)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 【例8】某电商在网上销售一种水果，其每箱的标准质量为．现抽取6箱样品进行检测，结果如下表： 每箱样品的质量/ 如果规定高于标准质量的部分记作正，请分别用带“”或“”的数表示样品质量与标准质量的差． 【技巧归纳】 1. 定基准：规定正方向（如收入为正，支出为负）。 2. 算差值：用“末－初”或“正数和－负数和”求变化量。 3. 判盈亏：总和>0盈利，<0亏损，=0持平。 【变式4-1】如图，一只甲虫在的方格（每小格边长为）上沿着网格线运动，它从处出发去看望，，处的甲虫，规定：向上、向右走为正，向下、向左走为负．例如从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向． (1)图中 ， ， ； (2)若这只甲虫从处去处的行走路线依次为，，，，请在图中标出的位置． 【变式4-2】出租车司机小凯一天下午从公司出发，在一条东西方向的大街上营运．规定向东为正，向西为负，按照接送乘客的先后顺序记录如下（单位：千米）：，，，，，，，，，． (1)司机将最后一名乘客送到目的地时，出租车在公司的什么方向，距离公司多少千米？ (2)若出租车每千米耗油升，油价为每升元．求这天下午运营过程中，共需要多少油费？ (3)在第（2）问的条件下，若该出租车的计价标准为每趟乘车行驶路程不超过千米收费元，超过千米的部分每千米加收元，如果不计其它成本且不考虑其它因素，该司机这天下午运营是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？（运营收入乘客所给的总车费油费） 题型5 有理数概念的理解 【例9】下列说法：①可以写成分数形式的数称为有理数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数和0；④0是最小的整数．其中正确的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【例10】下列说法正确的是（    ） A．正整数和负整数统称为整数 B．整数和分数统称为有理数 C．非负有理数就是正有理数 D．零表示不存在，所以零不是有理数 【技巧归纳】 有理数是整数和分数的统称，可化为 （q≠ 0）形式。判断时，整数、有限小数、无限循环小数均为有理数；无限不循环小数（如 π 不是。注意带根号且能开尽的也是有理数。 【变式5-1】下列说法中正确的是（　　） A．最小的有理数是0 B．正整数集合与负整数集合合在一起就构成整数集合 C．分数分为正分数和负分数 D．非负整数即为正整数 【变式5-2】下列说法中正确的是（   ） A．0不是有理数 B．在有理数中有最小的数 C．有理数不是整数就是分数 D．若是有理数，则一定是负数 题型6 对0的理解 【例11】下列说法正确的是（   ） A．既是正数，也是负数 B．表示没有 C．既不是正数，也不是负数 D．比负数小 【例12】下列说法正确的是（    ） A．是负分数 B．是负数，但不是整数 C．0是正数 D．是分数但不是正数 【技巧归纳】 1. 分界与中性：0既非正也非负，是正负分界点。 2. 运算特征：加0不变、乘0得0、0不能作除数。 3. 意义：表示“没有”或“起点”（如数轴原点、温度零度）。 【变式6-1】下列叙述中，正确的是（    ） A．0既不是正数也不是负数 B．0是正数 C．0是负数 D．0不是整数 【变式6-2】下列对“0”的说法正确的个数是（    ） ①0是正数与负数的分界；②0只表示“什么也没有”；③0可以表示特定的意义，如；④0是正数． A．1 B．2 C．3 D．4 题型7 有理数的分类 【例13】把下列各数的序号填在相应的集合里：     ①，②0.2，③ ，④0，⑤ ， ⑥，⑦，⑧． 整数集合：{ __________________ }； 负分数集合：{ __________________ }； 正有理数集合：{ __________________ }． 【例14】将下列各数填入相应的集合中．0.6，，，，0，，，，． 自然数集合：{ …}；负整数集合：{ …}； 正分数集合：{ …}；有理数集合：{ …}． 【技巧归纳】 有理数按定义分为整数（正整数、0、负整数）和分数（正分数、负分数）。按性质分为正有理数、0、负有理数。分类时注意：有限小数和无限循环小数归属分数，百分数化成分数形式后判断。 【变式7-1】把下列各数填在相应的大括号里： ，，，，，，，，． 正整数集合：{                         }； 负整数集合：{                         }； 正分数集合：{                         }； 负分数集合：{                         }． 【变式7-2】把下面的有理数填在相对应的集合内：，，，，，，，，， 正数集合：｛                             … ｝ 负数集合：｛                             … ｝ 整数集合：｛                             … ｝ 分数集合：｛                             … ｝ 题型8 带“非”字的有理数 【例15】把下列各数分别填在相应的集合内： 、、、、、、、、， 正数集合{____________________________} 负分数集合{____________________________} 非负整数集合{___________________________} 【例16】把下列各数填入相应的集合中： ，，，0.618，，0，，，． 正数集合：{         …}； 分数集合：{         …}； 非负整数集合：{         …}． 【技巧归纳】 “非”字表示否定，如非负数即正数和0，非正整数即0和负整数。解题时先明确否定范围，用数轴画出对应区域，注意端点是否包含。转化时去掉“非”字，补充相反情况，避免遗漏0。 【变式8-1】把下列各数填在相应的表示集合的大括号里． ，，6，，0， 正有理数集合{                     …}； 负有理数集合{                     …}； 整数集合{                     …}； 非负整数集合{                     …}． 【变式8-2】请把下面的有理数填在相应的集合内： 1，，，，0，，，． 正有理数集合：{____________________________…}． 负整数集合：{______________________________…}． 正分数集合：{______________________________…}． 非负整数集合：{____________________________…}． 一、单选题 1．我国古代的《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数．若气温零上记作，则气温零下记作（     ） A． B． C． D． 2．在，0，1，，，7，中，负数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．下列说法：①0是最小的整数；②有理数不是正数就是负数；③非负数就是正数；④正数中没有最小的数，负数中没有最大的数．其中正确的结论有（    ）个 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．在1，，0，，，，2025，中， 非负数有（    ）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 5．中国古代用算筹来记数，算筹的摆放有纵横两种形式（如下表）： 当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的算筹需要纵、横相间：个位、百位、万位数用纵式表示，十位、千位、十万位数用横式表示，“0”用空位来代替，以此类推．在个位数算筹上面斜着放一支算筹表示负数．例如：“”表示＋238，“”表示．由此可知“”表示的数是（    ） A．6028 B． C．6208 D． 二、填空题 6．在，，0，中，有理数有_____个． 7．如盈利记为正，则亏本记为负，元表示______，元表示_______． 8．在＋8，0，，，2023，，0.26，11中，非正整数有________个． 9．下列各数：3，，0，2，，，9，，85，1．其中正数有_______个，负数有_______个 10．在下列各数，，，2，，13，0，，，中，整数有__________，负分数有____________________． 三、解答题 11．把下列各数的序号填在相应的数集内：①π；②；③；④0；⑤；⑥；⑦；⑧． (1)整数集合{____________________________________}； (2)正有理数集合{______________________________}； (3)负有理数集合{________________________________}． 12．某百货商店的每个月的营业成本是12万元，去年上半年月收入分别是： 1月：13万元， 2月：16万元， 3月：11万元，4月：17万元，5月：12万元， 6月：10万元 (1)你会用正负数表示百货商店的盈亏情况吗？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） (2)哪个月的营业状况最好？哪个月的营业状况最差？ 月份 一月 二月 三月 四月 五月 六月 盈亏情况（万元） 0 13．请把下列各数分别填入相应的圈内： ，，，，，，，． 14．将下列各数填入相应的大括号里． 正分数集合：{                                     }； 非正整数集合：{                                     }； 正数集合：{                                     }； 有理数集合：{                                     }． 15．小王师傅是一名出租车司机．一天下午，他在一条东西走向的马路上连续接送8次乘客，并把每个乘客的行程记录如下： ，，，，，，，． （注：向西记作“”，向东记作“+”，单位是千米）请同学们思考并回答下列问题： (1)小王师傅在A处接上第一名乘客出发，将最后一名乘客送到目的地时，他此时在出发地A处什么方向？距A处多远？ (2)公司规定每趟车的起步价是元，且每趟车3千米以内（含3千米）只收起步价；若超过3千米，除收起步价外，超过的每千米还需收2元钱，小王师傅接送8次乘客共收车费多少元？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $