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04
期末复习(二)——全等三角形
期末复习
考点1 全等形的概念
1. 【24-25八上·云南曲靖·期中】下列图形中,是全等形的是
( D )
点拨:本题主要考查全等形,能够完全重合的两个图形
叫作全等形.找出大小和形状都一致的图形即可.
D
2. 【24-25八上·山东聊城·阶段练习】如图,
△ABC≌△CDA,下列结论:①AB与AD是对应边;②AD与
CB是对应边;③∠CAB与∠ACD是对应角;④∠BAC与
∠DAC是对应角.其中正确的是( B )
A. ①③ B. ②③
C. ①④ D. ②④
点拨:本题考查全等三角形的概念,熟练
寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键.
B
考点2 全等三角形的性质
3. 【24-25八上·安徽合肥·期末】如图,△ABC≌△DBE,若
AB=10,BE=4,则CD的长为( C )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
点拨:本题主要考查全等三角形的性质,
熟练掌握全等三角形对应边相等是解题
的关键.
C
4. 【23-24八上·湖南衡阳·期末】如图,ABC≌△A'B'C',
若∠B=25°,∠A=70°,∠A'CB=45°,则∠B'CB的度数
为( D )
A. 25° B. 30°
C. 35° D. 40°
点拨:本题考查三角形内角和定理,
全等三角形的性质.利用角的和差关
系即可求解.
D
考点3 全等三角形的判定
5. 【24-25八上·河北石家庄·期末】要测量A,B两点间的距
离(无法直接测出),两位同学提供了测量方案:方案Ⅰ:①如
图1,选定点O;②连接AO并延长到点C,使OC=OA,连接
BO并延长到点D,使OD=OB;③连接DC,测量DC的长度
即可.方案Ⅱ:①如图2,选定点O;②连接AO,BO,并分别
延长到点F,E,使OF=OB,OE=OA;③连接EF,测量
EF的长度即可.对于方案Ⅰ,Ⅱ,下列说法正确的是( D )
D
A. Ⅰ可行、Ⅱ不可行 B. Ⅰ不可行、Ⅱ可行
C. Ⅰ,Ⅱ都不可行 D. Ⅰ,Ⅱ都可行
点拨:本题考查了全等三角形的应用.
6. 【22-23八上·福建福州·开学考试】如图,∠1=∠2,AC
=AD. 给出下列条件:①AB=AE;②BC=ED;③∠B=
∠E;④∠C=∠D. 从这四个条件中再选一个使
△ABC≌△AED,符合条件的有( C )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
C
点拨:本题考查了全等三角形的判定,
掌握全等三角形的判定方法(即SSS,
SAS,ASA,AAS和HL)是解题的关键.
7. 【24-25八上·湖南永州·期末】如图,陈同学用10块高度都
是2 cm的相同长方体小木块,垒了两堵与地面垂直的木墙,木
墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB
=90°),点C在DE上,点A和B分别与木墙的顶端重合.
(1)求证:△ADC≌△CEB;
(1)证明:由题意得:AC=BC,
∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,
所以∠ADC=∠CEB=90°,
所以∠ACD+∠BCE=90°,
∠ACD+∠DAC=90°,
所以∠BCE=∠DAC,
在△ADC和△CEB中,
所以△ADC≌△CEB(AAS).
(2)求两堵木墙之间的距离.
(2)解:由(1)知△ADC≌△CEB,所以
DC=EB,AD=CE,
又根据题意由图可得:AD=EC=2×3=6
cm,DC=BE=2×7=14 cm,所以DE=DC
+CE=20(cm).
答:两堵木墙之间的距离为20 cm.
点拨:此题主要考查了全等三角形的判定与性质的应
用,关键是正确找出证明三角形全等的条件.
8. 【24-25八上·广西柳州·期中】阅读理解,自主探究:“一
线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况,即三个等
角角度为90°,于是有三组边相互垂直.所以称为“一线三垂
直模型”.当模型中有一组对应边长相等时,则模型中必定存
在全等三角形.
(1)问题解决:如图1,在等腰直角△ABC中,∠ACB=
90°,AC=BC,过点C作直线DE,AD⊥CE于点D,
BE⊥DE于点E,则CD与BE的数量关系是 ;
CD=BE
(2)问题探究:如图2,在等腰直角△ABC中,∠ACB=
90°,AC=BC,过点C作直线CE,AD⊥CE于点D,
BE⊥CE于点E,AD=2 cm,DE=1.6 cm,求BE的长.
解:(2)因为AD⊥CE,BE⊥CE,
∠ACB=90°,所以∠ADC=∠E=90°,
所以∠ACD+∠CAD=90°,
∠ACD+∠BCE=90°,所以∠CAD=∠BCE,
在△ACD与△CBE中,
所以△ACD≌△CBE(AAS),
所以BE=CD,CE=AD=2 cm,又DE=1.6 cm,
所以BE=CD=CE-DE=2-1.6=0.4(cm).
点拨:本题考查了全等三角形的判定与性质,解题的关键是熟
练掌握全等三角形的判定定理.
考点4 尺规作图(作一个角等于已知角,角的平分线)
9. 【24-25八上·陕西榆林·期末】如图,在∠ABC中,点D在
边AB上,请用尺规作图法,过点D作直线DE∥BC. (保留作
图痕迹,不写作法)
解:如答图,直线DE即所求.
点拨:本题主要考查尺规作图、平行线的判定定理.
用尺规以点D为顶点作∠ADE=∠B即可.
10. 【24-25八上·陕西渭南·期中】如图,在△ABC中,∠C=
90°,请用尺规作图法,在BC边上求作一点D,使得点D到
AB边的距离等于CD的长.(保留作图痕迹,不写作法)
解:如答图,作∠CAB的平分线交BC于点D,则点D即为
所求.
点拨:本题考查了尺规作图,熟练掌握角平分线的
作法是解题的关键.
考点5 角平分线的性质和判定
11. 【24-25八下·江西九江·期中】如图,OC是∠AOB的平分
线,AC⊥OB于点D,BC⊥OA于点E. 求证:AC=BC.
证明:因为OC是∠AOB的平分线,AC⊥OB,BC⊥OA,所
以CE=CD,
在△AEC和△BDC中,
所以△AEC≌△BDC(ASA),所以AC=BC.
点拨:本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定和性
质,熟练掌握相关知识点是解题的关键.
12. 【24-25八上·广东汕头·阶段练习】如图,在△ABC中,
∠BAC=90°,AD⊥BC,垂足为D.
(1)求作∠ABC的平分线(要求:尺规作图,保留作图痕
迹,不写作法);
(1)解:如答图,射线BQ即为所作;
(2)若∠ABC的平分线分别交AD,AC于P,Q两点,试说
明∠APQ=∠AQP.
(2)证明:因为AD⊥BC,所以∠ADB=90°,
所以∠BPD+∠PBD=90°.
因为∠BAC=90°,所以∠AQP+∠ABQ=90°.
因为∠ABQ=∠PBD,所以∠BPD=∠AQP.
因为∠BPD=∠APQ,所以∠APQ=∠AQP.
点拨:本题考查尺规作角平分线,角平分线的定义,
同角的余角相等.
13. 【24-25八上·河南信阳·期末】
【发现问题】
(1)课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:在△ABC
中,若AB=3,AC=2,求BC边上的中线AD的取值范围.小
亮在组内经过合作交流,得到了如下解决方法:如图①,延长
AD到点E,使DE=AD,连接BE,得到△ADC≌△EDB,他
用到的判定定理是 (用字母
表示);可以求得BC边上的中线AD
的取值范围是 ;
SAS
<AD<
【解决问题】
(2)小刚发现,解题时,条件中若出现“中点”、“中线”
的字样,可以考虑构造全等三角形,要学好数学一定要多思
考,做到举一反三,于是他又提出了一个新的问题:如图②,
当AD平分∠BAC时,若AB=m,AC=n,求S△ABD∶S△ACD的值(用含m,n的式子表示).
因为AD为∠BAC的平分线,所以DE=DF.
因为AB=m,AC=n,
所以S△ABD∶S△ACD= ∶ =m∶n.
解:(2)如答图,过点D作DE⊥AB于点E,
DF⊥AC于点F.
(3)如图③,AD平分∠BAC,延长AD到点E,使得AD=
DE,连接BE,若AC=3,AB=5,S△BDE=10,求S△ABC
的值.
解:(3)因为AD=DE,
所以S△ABD∶S△EBD=1∶1.
因为S△BDE=10,
所以S△ABD=10.
因为AC=3,AB=5,AD平分∠CAB,
所以由(2)知,S△ABD∶S△ACD=AB∶AC=5∶3,
所以S△ACD=6,
所以S△ABC=10+6=16.
点拨:本题考查了全等三角形的判定与性质,角平分线的性质
和三角形的面积公式,能根据(1)(2)得出规律是解此题的
关键.
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