精品解析：河南郑州市郑州中学2025-2026学年下学期九年级数学学科第四次阶段性评价

2025—2026下学期九年级数学学科第四次阶段性评价 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，绝对值最大的数是（ ） A. B. C. D. 2. 《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．数据47000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 正六棱柱是一种立方体，底面为正六边形且六个侧棱均与底面垂直．如图是一个正六棱柱，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是小宣在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后得到光线，若，反射角（等于入射角）的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，是正方形网格上的五个点，若半径为1的与线段交于点，则的余弦值是（ ） A. B. 2 C. D. 9. 如图1，是等边三角形，动点从点出发，沿方向匀速运动，在运动过程中的长度与运动时间的关系如图2所示，若的面积为则的长为（ ） A. B. C. D. 10. 【新情境·区间测速】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 代数式中的取值范围是_____． 12. 如果正六边形的半径是1，那么它的边心距是__________________． 13. 生物学中，向日葵花盘的种子排列、松果鳞片的螺旋线条、兔子的繁殖等都遵循着一种神奇的规律．观察下面的数列（斐波那契数列）： 1 1 2 3 5 8 13…… 若该数列中连续的三个数分别为a，b，，则紧接着后面的一个数是______．（用含a，b的代数式表示） 14. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，点是边上的一点，且，连接，并将沿折叠，此时，点的对应点恰好落在弧上，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 15. 如图，，平分，P为射线上一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点F．若，，则的最小值为______． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算、化简： （1） （2） 17. 随着人工智能技术范式的演变与认知赋能的深度渗透，其已不再仅是工具意义上的“金钥匙”，而成为一种重塑学习生态的本体性力量．为了解学生从“学”向“用”的行为转化，某校抽取了九年级部分学生，统计其每周利用学习的时长，绘制成如图表，已知第二组的最大值为，第三组的最小值为，根据信息，解决下列问题． 时间/小时 数据 第一组 ，，，， 第二组 ， 第三组 ， 第四组 ，，， （1）本次调查的总人数为_______人，第三组的人数为_______人； （2）补全频数分布直方图； （3）第一组所对应的圆心角的度数是_______，本次调查所得数据的中位数是_______； （4）若该校共有学生人，试估算该校约有多少人每周利用学习的时间不少于小时． 18. 某科技公司研发了一款基于人工智能的智能农业系统，用于优化温室大棚中作物的生长环境．研究人员发现，在一定范围内，番茄植株的日均生长高度与每日光照时间之间存在明显的相关性，为建立数学模型以指导自动化灌溉和补光系统，团队采集了不同光照条件下番茄幼苗的生长数据．以下是实验记录的部分数据： 每日光照时间（小时） 日均生长高度（毫米） 解答下列问题： （1）在平面直角坐标系中，描出上述数据所对应的点； （2）观察这些点的分布情况，并推测该函数的类型为 （填“一次函数”或“正比例函数”），其解析式为 ； （3）若某天由于天气原因，温室仅能提供9小时光照，预测该番茄植株当天的生长高度，并说明光照对植物生长的影响趋势． 19. 已知：在中，，． （1）尺规作图：求作内部的一点，使得点到的距离等于到的距离，且点在边的高线上（不写作法，但要保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，连接并延长交于点，若，，求的长． 20. 高铁座椅靠背及小桌板图（）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）图（）中，______； （2）靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为．若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点），求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，，） 21. 在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形． （1）概念理解：若为和谐三角形，且，则_____，_____，_____．（任意写一种即可） （2）问题探究：如果在和谐三角形中，，那么的度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若的度数改变，写出的变化范围；若的度数不变，写出的度数，并说明理由． （3）拓展延伸：如图，和谐内接于，，直径的长为，过点C的切线交的延长线于点．求的长． 22. 某公司用1号，2号无人机分别在空中，投放点向平坦地面投放物资． 研究背景 1号，2号无人机和物资的落点都在同一竖直平面内，物资的运动路径近似看作抛物线的一部分． 建立方法 如图，以水平地面为轴，投放点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径分别是抛物线，． 收集信息 ①无人机在空中投放物资时，物资与地面的垂直距离与距投放点的水平距离之间的函数解析式为，表示投放物资时无人机与地面的垂直距离（单位：米）．表示投放物资时无人机的水平初速度（单位：米/秒）． ②1号无人机在空中以20米/秒的水平初速度投放物资，当物资距投放点的水平距离为40米时，垂直高度为60米． ③2号无人机在1号无人机竖直上方100米处，以10米/秒的水平初速度同时投放物资． 建立模型 （1）求抛物线，的解析式； 应用模型 （2）求两物资落点之间的水平距离； （3）在保持1号，2号无人机在同一竖直线上，同时投放物资，且物资落点不变的前提下，通过改变2号无人机的投放高度及水平初速度，来避免物资相撞．若无人机投放物资的最低飞行高度为45米，直接写出2号无人机投放物资时的水平初速度的取值范围． 23. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形在该边上的“平方点”．如图1，在中，D是边上一点，连接，若，则称点D是在边上的“平方点”． （1）如图2，的顶点是的小正方形网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“平方点”； （2）如图3，是的内接三角形，是的直径，于点D，连接并延长，交于点E，连接． ①求证：点D是在边上的“平方点”． ②若的半径为5，，求的长． （3）如图4，矩形的边在x轴上，点A在反比例函数的图象上，连接，交反比例函数的图象于点E，连接，已知，．若点E是在边上的“平方点”，请直接写出k的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026下学期九年级数学学科第四次阶段性评价 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个数中，绝对值最大的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵，，，， ∴比较大小得 ， ∴是四个数中最大的绝对值，即绝对值最大的数是． 2. 《康熙字典》是中国古代汉字字数最多的字典，共收录汉字47000余个．数据47000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据47000用科学记数法表示为； 故选：D． 3. 正六棱柱是一种立方体，底面为正六边形且六个侧棱均与底面垂直．如图是一个正六棱柱，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意可见的棱用实线表示． 【详解】解：根据图示的正六棱柱可得其俯视图是 ． 4. 某学校组织学生参加科技展览活动，展览方为同学们准备了以“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”为主题的三款文创产品，每名同学可随机获得一款作为纪念品．每款获得的可能性相等，则甲、乙两名同学获得相同主题的文创产品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用列举法求出所有等可能结果数，再得到符合条件的结果数，利用概率公式计算概率即可． 【详解】解：记三款文创产品“智能机器人”“虚拟现实设备”“量子通信模型”分别为，，，根据题意列表如下： ∵共有种等可能的结果，其中甲、乙获得相同主题文创产品的结果有种， ∴所求概率为． 5. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别解两个不等式，然后在数轴上表示其解集即可． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集在数轴上表示为： 6. 在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是，物体B的质量是时，物体B的体积比物体A的体积大．如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，掌握相关量之间的数量关系是解题的关键． 先将物体B的体积表示出来，再根据物体A的密度是物体B密度的2倍，利用质量与体积关系列方程，即可． 【详解】解：物体A的体积是，物体B的体积比物体A的体积大， 物体B的体积为， 根据物体A的密度是物体B密度的2倍，得． 故选：A． 7. 如图，这是小宣在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后得到光线，若，反射角（等于入射角）的度数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据光的反射得出相等的角，然后根据垂直和平行线的性质求解． 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 8. 如图，在边长为1的正方形网格中，，，，，是正方形网格上的五个点，若半径为1的与线段交于点，则的余弦值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先在中，利用勾股定理可得，从而可得，，再根据圆周角定理可得，即可求解． 【详解】解：由题意得：是直角三角形，，， ∴， ∴， 由圆周角定理得，， ∴． 9. 如图1，是等边三角形，动点从点出发，沿方向匀速运动，在运动过程中的长度与运动时间的关系如图2所示，若的面积为则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据与的函数图象，可知BC边上的高为a，结合三角形的面积公式，求出BC的值，即可得到答案． 【详解】由与的函数图象可知：当AD⊥BC时，AD=a， ∵的面积为， ∴，解得：BC=8， ∵是等边三角形， ∴= BC=8． 故选D． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质以及函数的图象，理解函数图象上点的坐标的意义，是解题的关键． 10. 【新情境·区间测速】如图1，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间段的平均行驶速度与行驶时间是反比例函数关系（如图2），已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过，最低车速不得低于，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间段的时间可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，解题的关键在于熟练掌握反比例函数的关系式和图象性质以及路程公式．根据反比例函数的图象性质和路程与速度、时间之间的关系，分别求出最高车速时的时间以及最低车速的时间，即可求出答案． 【详解】解：由题图②得，限速区间段的总路程为， 最高车速为， 在最高车速下的行驶时间（分钟）， 同理可得，在最低车速下的行驶时间为（分钟）， 通过段限速区间的行驶时间应该在分钟之间． 选项符合题意． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 代数式中的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题根据分式有意义的条件和二次根式有意义的条件求解． 【详解】解：要使代数式有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，可得：， 解得． 12. 如果正六边形的半径是1，那么它的边心距是__________________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正六边形的性质得到∠BOG＝∠BOC＝30°，再根据余弦的定义计算即可； 【详解】解：∵ABCDDEF为正六边形， ∴∠BOC＝360°÷6＝60°，OG⊥BC． ∴∠BOG＝∠BOC＝30°． 在Rt△BOG中，cos∠BOG＝． ∵OB＝1， ∴OG＝OB•cos∠BOG＝1×＝． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了正多边形的性质和余弦的性质，准确分析计算是解题的关键． 13. 生物学中，向日葵花盘的种子排列、松果鳞片的螺旋线条、兔子的繁殖等都遵循着一种神奇的规律．观察下面的数列（斐波那契数列）： 1 1 2 3 5 8 13…… 若该数列中连续的三个数分别为a，b，，则紧接着后面的一个数是______．（用含a，b的代数式表示） 【答案】## 【解析】 【分析】观察可得该数列的特征是：从第三个数开始，后面的一个数总是前面两个数的和，进而可得答案． 【详解】解：观察数列：1 1 2 3 5 8 13……， 可得该数列的特征是：从第三个数开始，后面的一个数总是前面两个数的和， 若该数列中连续的三个数分别为a，b，，则紧接着后面的一个数是． 14. 如图，在矩形中，，，以点为圆心，长为半径画弧，交边于点，点是边上的一点，且，连接，并将沿折叠，此时，点的对应点恰好落在弧上，则图中阴影部分的面积是________．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形性质和已知边长求出的长，在中利用三角函数求出的度数，由折叠性质得出，，，进而判断为等边三角形，得出，从而求出的度数，观察图形可知阴影部分面积等于扇形的面积减去四边形的面积，四边形的面积等于2倍的面积，代入数据计算即可． 【详解】解：连接，如下图， 四边形是矩形， ， ，， ， 在中，， ， 由折叠的性质可知，， ，，， ， 又点在弧上， ， 是等边三角形， ， ， 由图可知，阴影部分的面积扇形的面积四边形的面积， 四边形的面积 ， ， 阴影部分的面积为． 15. 如图，，平分，P为射线上一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点F．若，，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过A作于G，连接，先根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得,，，进而可得，故当最小时，有最小值，此时，由对称性质得，，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得，进而可得的最小值． 【详解】解：过A作于G，连接，则， ∵，平分， ∴， 在中，， ∴，， 在中，， ∴, 故当最小时，有最小值，此时，则， 由对称性质得，， ∴， ∴，则， ∴， 故的最小值为． 三、解答题（共8小题，共75分） 16. 计算、化简： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据立方根的定义，绝对值的性质，负整数指数幂的运算法则，特殊角的三角函数值，对各项分别化简后再进行加减运算即可； （2）根据分式的混合运算法则，先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分后即可得到化简结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 随着人工智能技术范式的演变与认知赋能的深度渗透，其已不再仅是工具意义上的“金钥匙”，而成为一种重塑学习生态的本体性力量．为了解学生从“学”向“用”的行为转化，某校抽取了九年级部分学生，统计其每周利用学习的时长，绘制成如图表，已知第二组的最大值为，第三组的最小值为，根据信息，解决下列问题． 时间/小时 数据 第一组 ，，，， 第二组 ， 第三组 ， 第四组 ，，， （1）本次调查的总人数为_______人，第三组的人数为_______人； （2）补全频数分布直方图； （3）第一组所对应的圆心角的度数是_______，本次调查所得数据的中位数是_______； （4）若该校共有学生人，试估算该校约有多少人每周利用学习的时间不少于小时． 【答案】（1），6 （2）补全频数分布直方图，如图： （3），3.9 （4）人 【解析】 【分析】（1）由第一组的人数除以占比求解总人数，再由总人数乘以第三组的占比求解第三组的人数； （2）先由总数求出第四组的人数，即可补全频数分布直方图； （3）先用乘以占比即可求解圆心角，然后根据中位数的定义求解； （4）用样本估计总体的方法求解． 【小问1详解】 解：，， ∴本次调查的总人数为人，第三组的人数为人； 【小问2详解】 解：由统计表可得第四组的人数为4，则第二组有， 补全频数分布直方图见答案； 【小问3详解】 解：， 共有20个数据，则中位数是第10、11个数据的平均数， 由频数分布直方图可得，第10个数据是第二组的最后一个数据，第11个数据是第三组的第一个数据，故中位数为； 【小问4详解】 解：（人） 答：该校约有人每周利用AI学习的时间不少于小时． 18. 某科技公司研发了一款基于人工智能的智能农业系统，用于优化温室大棚中作物的生长环境．研究人员发现，在一定范围内，番茄植株的日均生长高度与每日光照时间之间存在明显的相关性，为建立数学模型以指导自动化灌溉和补光系统，团队采集了不同光照条件下番茄幼苗的生长数据．以下是实验记录的部分数据： 每日光照时间（小时） 日均生长高度（毫米） 解答下列问题： （1）在平面直角坐标系中，描出上述数据所对应的点； （2）观察这些点的分布情况，并推测该函数的类型为 （填“一次函数”或“正比例函数”），其解析式为 ； （3）若某天由于天气原因，温室仅能提供9小时光照，预测该番茄植株当天的生长高度，并说明光照对植物生长的影响趋势． 【答案】（1）见解析 （2）一次函数； （3）毫米；在一定范围内，光照时间越长，番茄植株日均生长高度越高，呈正相关线性增长趋势 【解析】 【分析】（1）描点、连线即可求解； （2）根据所有点都在一条直线上，得出函数类型，进而待定系数法求解析式，即可求解； （3）将代入，即可求解，根据函数图象可得在一定范围内，光照时间越长，番茄植株日均生长高度越高． 【小问1详解】 解：描点、连线如图 【小问2详解】 解：该函数的类型为一次函数， 设其解析式为，代入， ∴ 解得： ∴ 经检验，其他的点也符合解析式； 【小问3详解】 解：当时， 预测该番茄植株当天的生长高度为 4.4毫米 在一定范围内，光照时间越长，番茄植株日均生长高度越高． 19. 已知：在中，，． （1）尺规作图：求作内部的一点，使得点到的距离等于到的距离，且点在边的高线上（不写作法，但要保留作图痕迹）． （2）在（1）的条件下，连接并延长交于点，若，，求的长． 【答案】（1）如图，点即为所求； （2） 【解析】 【分析】（1）由点到的距离等于到的距离，得到点在的平分线上，故作出的平分线和过点作的垂线，交点即为点； （2）延长至点，使得，先得到，由勾股定理求解，则，记上的高为，然后证明，再由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长至点，使得 由题意得，， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 记上的高为， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴． 20. 高铁座椅靠背及小桌板图（）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，． （1）图（）中，______； （2）靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为．若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点），求乘客水杯的最大高度．（参考数据：，，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）过点作，再利用平行线的性质解答即可求解； （）过点作的垂线交于点，解可得，进而即可求解； 本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过点作的垂线交于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴乘客水杯的最大高度约为． 21. 在一个三角形中，如果三个内角的度数之比为连续的正整数，那么我们把这个三角形叫做和谐三角形． （1）概念理解：若为和谐三角形，且，则_____，_____，_____．（任意写一种即可） （2）问题探究：如果在和谐三角形中，，那么的度数是否会随着三个内角比值的改变而改变？若的度数改变，写出的变化范围；若的度数不变，写出的度数，并说明理由． （3）拓展延伸：如图，和谐内接于，，直径的长为，过点C的切线交的延长线于点．求的长． 【答案】（1）30；60；90（答案不唯一） （2）不变，，理由如下： 由题意得可设，其中，为正整数， 的度数不变，且． （3） 【解析】 【分析】（1）依据题意可设为任意的连续的正整数比，根据三角形内角和可分别求得，，的度数； （2）依据题意可设，其中，为正整数，根据三角形内角和可得，进而可以得解； （3）连接，先解求出，再导角证明即可求解． 【小问1详解】 由题意可设（其它任意连续正整数比亦可）， ， 同理可得， ，；（答案不唯一） 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， 由（2）可得 ∵是的直径， ∴ ∴， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵是的切线， ∴ ∴ ∴ ∴． 22. 某公司用1号，2号无人机分别在空中，投放点向平坦地面投放物资． 研究背景 1号，2号无人机和物资的落点都在同一竖直平面内，物资的运动路径近似看作抛物线的一部分． 建立方法 如图，以水平地面为轴，投放点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，物资的运动路径分别是抛物线，． 收集信息 ①无人机在空中投放物资时，物资与地面的垂直距离与距投放点的水平距离之间的函数解析式为，表示投放物资时无人机与地面的垂直距离（单位：米）．表示投放物资时无人机的水平初速度（单位：米/秒）． ②1号无人机在空中以20米/秒的水平初速度投放物资，当物资距投放点的水平距离为40米时，垂直高度为60米． ③2号无人机在1号无人机竖直上方100米处，以10米/秒的水平初速度同时投放物资． 建立模型 （1）求抛物线，的解析式； 应用模型 （2）求两物资落点之间的水平距离； （3）在保持1号，2号无人机在同一竖直线上，同时投放物资，且物资落点不变的前提下，通过改变2号无人机的投放高度及水平初速度，来避免物资相撞．若无人机投放物资的最低飞行高度为45米，直接写出2号无人机投放物资时的水平初速度的取值范围． 【答案】（1）， （2）两物资落点之间的水平距离为20米 （3） 【解析】 【分析】（1）结合函数解析式中系数的实际意义以及图象上点的坐标求解即可； （2）分别求出和时对应的自变量的值，即为物资落点到投放点的水平距离，进而求解即可； （3）首先根据已知条件确定出不改变落地点且能避免相撞时，2号无人机竖直高度的范围、高度和速度之间的关系式，然后进一步求解即可． 【小问1详解】 解：∵1号无人机投放物资时的水平初速度， ． 将，代入，得 ， 解得， 抛物线的函数解析式为； ∵2号无人机投放物资时的水平初速度，距地面的垂直距离， ； 【小问2详解】 解：当时，， 解得，或（不合题意，舍去）． 当时，， 解得，或（不合题意，舍去）． ， 两物资落点之间的水平距离为20米； 【小问3详解】 解：．理由： 由（1）得，时，，即2号无人机投放物资的落点坐标为， 将代入，可得 ，即． 由（1）得，1号无人机投放物资的落点坐标为， ∴要使得两个无人机投放的物资不相撞，即两个抛物线无交点，故可降低2号无人机的投放高度，使其低于1号无人机的投放高度． 当2号无人机的投放高度与1号无人机的投放高度一致时，将，代入，得， 解得或（不合题意，舍去）． 当无人机投放物资的最低飞行高度为45米时，将代入，得， 解得或（不合题意，舍去）， 的取值范围为． 【点睛】本题综合考查了二次函数在实际问题中的应用．在熟悉掌握二次函数的图象和性质的基础上，能对实际意义的量、函数的变量以及点的坐标三者之间准确地进行转化是解题的关键． 23. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形在该边上的“平方点”．如图1，在中，D是边上一点，连接，若，则称点D是在边上的“平方点”． （1）如图2，的顶点是的小正方形网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“平方点”； （2）如图3，是的内接三角形，是的直径，于点D，连接并延长，交于点E，连接． ①求证：点D是在边上的“平方点”． ②若的半径为5，，求的长． （3）如图4，矩形的边在x轴上，点A在反比例函数的图象上，连接，交反比例函数的图象于点E，连接，已知，．若点E是在边上的“平方点”，请直接写出k的值． 【答案】（1）见解析； （2）①证明见解析；② （3）的值为6或 【解析】 【分析】（1）如图1，取格点R，连接交于点D，即可；如图2，取格点，连接交于点E，即可； （2）①连接，证明，可得，即可；②根据题意可得是的中位线，可得，然后在中，利用勾股定理解答即可； （3）根据题意得，当E是边的中点，或时，，然后分两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：如图1，点D 即为所求．（或如图2，点E 即为所求．） 理由： 如图1，由作法得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即点D是在边上的“平方点”； 如图2，由作法得：四边形为矩形， ∴， ∴， 即点E是在边上的“平方点”； 【小问2详解】 ①证明：如图3，连接． ∵， ∴， 又， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴点D是在边上的“平方点”． ②解：在中，由勾股定理，得 由①可得 ∴， 又， ∴是的中位线， ∴， ∵是的直径， ∴，即， 在中，由勾股定理，得， ∴ 【小问3详解】 解：根据题意得，当E是边的中点，或时， ，即点E是在边上的“平方点”． 分以下两种情况讨论： ①如题图4，当E是边的中点时，设点A的横坐标为m． ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， ∵点A，E都在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ②如题图5，当时，过点E作于点F． ∵四边形是矩形，， ， ∴， ∵， ∴， ∴ 即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴ 设点A的横坐标为n， ∴ ， ∵点A，E都在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 综上所述，k的值为6或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $