衔接点03 列方程解应用题（讲义，全国通用北师大版）数学小升初衔接

衔接点03 列方程解应用题 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习简单的列方程解应用题，培养的核心数学素养是学生的运算能力和简单的方程思想。 初中阶段在列方程解应用题方面增加了新的概念，还有了大的延伸，分析数量关系的范围有所扩大（增加了配套、方案等）；解题方面主要要求学生上升到思维习惯的转变、思想方法的转变。培养的核心数学素养是学生的数学运算、数学建模（方程思想）能力、逻辑推理思维和创新思维等。 衔接引导 为了让学生后续方程的学习，可以引导学生思维方式从算术思维逐步向代数思维转变，无疑是中小学数学教学衔接的重要内容。小学解方程，都按四则运算的各部分之间的关系来解，现在（初中）都是按等式的性质解方程。可以肯定的说，用等式的性质解方程，是解方程的正途。加强这一方面的教学，目的就是要有利于学生初中阶段能更好的学习稍复杂的列方程解应用题。 考点阐释 1．列方程解应用题的优点：先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 2. 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 3．常见的数量关系 1）公式形数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长 2）约定型数量关系 利息问题、利润问题、质量分数问题、比例尺问题、折扣等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量 现价÷原价＝折数 解题方略 1.列方程解应用题一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． （1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的关系，找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2．分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系：将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系：当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 3）图解法分析数量关系：用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。 题型1、列方程解应用题之找等量关系 【解题技巧】与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。 例1．（2026·四川成都·小升初模拟）红花的朵数比黄花多，等量关系式错误的是（    ）。 A．红花比黄花多的朵数＝黄花× B．黄花朵数＝红花× C．红花朵数＝黄花× D．红花朵数＝黄花朵数＋黄花朵数× 例2．（25-26六年级上·河南许昌·期末）据图（ ）可以写出“桃树棵数梨树棵数”这个等量关系式。 A． B． C． D． 例3．（25-26六年级上·浙江宁波·期末）狮子奔跑时最高时速可达60千米，但还是比猎豹奔跑时的最高时速慢，猎豹奔跑时最高速度是多少？ (1)请在如图框内画出线段图。 (2)已经写出一种数量关系式①，请写出另一个数量关系式②，并根据对应的关系式列方程解决。 ①猎豹速度-狮子比猎豹慢的部分＝狮子速度 ②（                                            ） 变式1．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）一小学排球队、篮球队和田径队的队员人数之间的关系，如下图所示。根据图中信息，同学们列出了四个等量关系，其中正确的（    ）。 ①篮球队人数×＝排球队人数    ②篮球队人数×＝田径队人数 ③排球队人数×＝田径队人数    ④排球队人数×＝田径队人数 A．只有②③ B．只有②④ C．只有①②④ D．有①②③④ 变式2．（2025·河北沧州·一模）《孙子算经》中有一道题，翻译为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？小明在解此题时，设有辆车，列出方程：．小明列此方程的等量关系依据是（   ） A．车辆数量不变 B．乘车的总人数不变 C．每辆车乘车的人数不变 D．剩余的车辆数不变 变式3．（24-25六年级上·山西运城·期末）解决下图中的问题用到的等量关系是：__________；可列式为：__________。（只列算式不解答） 变式4．（25-26六年级上·河南信阳·期末）浉河区科技兴趣小组的学生在科技馆观看了“天宫课堂”直播，根据线段图，求出观看直播的男生和女生各有多少人？（写出等量关系式，列方程解答） 题型2、列方程解应用题之已知方程探索条件 例1．（2026·浙江温州·小升初模拟）下面不能用方程表示的是（    ）。 A． B． C． D． 例2．（25-26六年级上·北京丰台·期末）数量关系不能用x－x＝20表达的是（    ）。 A．公园里有一条长方形的甬道，长x米，宽米。如果宽增加到米，面积则增加20平方米。 B．三个同学跳绳，小明跳了x个，小强跳的个数是小明的，小亮跳的个数是小明的，小亮比小强少跳了20个。 C．商店售卖x件服装，第一周卖了全部的，第二周卖了余下的，第一周比第二周多卖了20件。 D．从A地到B地，有甲、乙、丙三条路，甲路长x千米，乙是甲的，丙是甲的，乙比丙长20千米。 例3．（25-26六年级上·广东深圳·期末）甲数为80，求乙数。如果设乙数为，可以用方程“3－7＝80”来表示两数之间等量关系。横线上需要补充的信息是（    ）。 A．甲数比乙数的3倍多7 B．乙数比甲数的3倍多7 C．甲数比乙数的3倍少7 变式1．（25-26六年级下·广东清远·期中）下面的情境中，不能用比例“2∶3＝3∶”求出未知数的是（    ）。 A．买2本练习本用3元。买3本同样的练习本，要用元。 B．一台抽水机匀速抽水，2分钟抽3吨，3分钟可以抽吨。 C．2个篮球可以换3个足球，3个篮球可以换个足球。 D．一根钢管，锯成2段需要3分钟，锯成3段需要分钟。 变式2．（25-26六年级上·河南商丘·期末）某小区2025年拥有新能源汽车的家庭有240户，_____。该小区2024年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区2024年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）。 A．比2024年的多 B．2024年的比2025年的少 C．比2024年的少 D．2024年的比2025年的多 变式3．（25-26六年级下·江苏·小升初复习）下面等量关系中，可以用3－6＝30表示的是（    ）。 A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 题型3、列方程解应用题之数学文化问题 【解题技巧】数学文化类问题主要根据题干中译释找到等量关系解题即可。 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 例1．（2025·吉林长春·模拟预测）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？解：设甲原来有元，则所列方程为： ． 例2．（2025·山东青岛·小升初真题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（    ）灯。 A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 变式1．（25-26六年级上·湖南长沙·期末）《九章算术》中记载了关于“三畜食苗”的问题，大意是：有牛、马、羊吃了别人的青苗，青苗主人要求牛，马、羊的主人赔偿谷物7斗，羊的主人说：“我的羊吃的苗是马吃的一半。”马主人说：“我的马吃的苗是牛吃的一半”，现要求依据牛、马、羊吃苗的量按比例进行赔偿，设牛主人应赔偿x斗，下面符合题意的式子是（    ）。 A．4x＋2x＋x＝7 B． C． D． 变式2．（25-26六年级上·河南省直辖县级单位·期末）中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一个问题为：三百七十八里关，初行健步不为难。次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还。意思是：一个人到关口要走378里路。第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口，算算每天行走的里数。（“里”是我国古代长度单位）根据题中的信息，这个人第一天走的路程是( )里。 变式3．（24-25七年级下·山西临汾·期中）《九章算术》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思：用绳子量井深，把绳三折来量，并外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 变式4．（2025·江西·模拟预测）《九章算法比类大全》是明代吴敬撰写的算书，书中载有一首“数学诗”：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，顶尖共有几盏灯？”（注：从塔的底层开始，每层的灯数是上一层灯数的2倍，直到顶层为止）根据诗中大意，则最中间层灯的盏数为 ． 题型4、列方程解应用题之年龄问题 【解题技巧】 “年龄差不变”是隐藏在年龄问题中的重要已知条件，每个年龄问题都是与年龄差发生关系，找出年龄差是解题的关键。 例1．（2025·湖北武汉·小升初真题）妈妈今年74岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子32岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为40岁，那么儿子今年______岁。 例2．（2026·陕西西安·小升初模拟）马丁一家人坐火车回家乡。车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄。马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的1.2倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日。”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 变式1．（2026·重庆渝北·小升初模拟）“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年( )岁。 变式2．（2025·河南郑州·小升初真题）父亲今年47岁，儿子21岁，( )年前父亲的年龄是儿子年龄的3倍。 变式3．（2026·四川成都·小升初模拟）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和70岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，现在三人的年龄各是多少岁？ 题型5、列方程解应用题之行程问题 【解题技巧】 行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间； Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间； Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 例1．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）汽车以每小时108千米的速度笔直地开往寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，听到回声时汽车离山谷的距离是___________米。 例2．（2024·江苏常州·小升初真题）只列方程不计算。 甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发，相背而行，2.4小时后相距216千米。甲车的速度是42千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ 解：设乙车的速度是x千米/时。 _________________ 例3．（2025·河南郑州·小升初真题）小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？ 例4．（2025·黑龙江哈尔滨·小升初模拟）杭州到衢州的杭金衢高速全长290千米，甲、乙两辆汽车分别从杭州和衢州同时出发相向而行，甲车每小时行105千米，经过1.4小时两车还未相遇，此时两车相距17千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解） 例5．（24-25六年级下·浙江·期中）一条河中有甲、乙两船，现同时从地顺流航行，乙船到地时接到通知要立即返回到地执行任务，甲船继续颠流航行。已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5千米/时，水流速度为2.5千米/时，、两地间距离为10千米，如果乙船由地经地再到达地共用4小时，请问：（1）甲船顺流航行的速度为多少？（2）乙船从地到达地时甲船驶离地有多远？（温馨提示：有两种情况） 例6．（2024·河南郑州·小升初真题）如图，甲、乙两人沿着边长为70米的正方形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边 （AB、BC、CD或DA）上。 变式1．（2025·重庆江北·小升初真题）一辆汽车原计划6小时从A城到B城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟。如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米。 变式2．（2025·北京·小升初真题）小仓鼠的学校距家有800米。平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？ 变式3．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙两车同时从相距342km的A、B两地相向而行，甲车每小时行80km，经过2小时两车之间的距离为乙车行驶路程的，则乙车每小时行______km。 变式4．（25-26六年级下·江苏淮安·期中）周末，李叔叔驾驶汽车从淮安出发前往苏州参加培训，完成培训活动后立即原路返回淮安，全程共用时9小时。已知去程时汽车每小时行驶120千米，返程时因道路拥堵速度降至每小时80千米。请问淮安到苏州距离是多少千米？ 变式6．（25-26六年级上·福建·校考期末）周末，小希一家自驾从莆田经过福州去太姥山旅游。 （1）小希一家从莆田出发，以100千米/时的速度，行驶了1小时，到达福州市，这时已行的路程比未行路程的少20千米。如果以同样的速度继续前行再行多少小时能到达太姥山？（2）到达太姥山，景区广场有个用鹅卵石铺成的心形图案，小希和弟弟从A点开始沿着这心形的边相背而行，在距离B点12米处的C点相遇，相遇时弟弟走的路程是小希的，这个心形鹅卵石道的周长是多少米？ 变式7．（24-25六年级上·四川达州·期中）甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行。相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1千米，如果第一次相遇到第二次相遇时间相隔1小时20分，则河水的流速为每小时 千米。 题型6、列方程解应用题之工程问题 【解题技巧】 我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。 例1．（2026·四川成都·小升初真题）一项工作，甲单独完成需要24天，乙单独完成需要36天，丙单独完成需要48天。现在甲、乙、丙三人轮流单独工作，甲、乙工作的天数比为1∶2，乙、丙工作的天数比为3∶5，完成这项工作一共用了几天？ 例2．（2025·湖南长沙·小升初真题）某项工程，A、B、C、D单独做分别需15天、30天、18天、45天。现在四人合作，但中途A休息1天、B休息2天、C休息3天。那么一共需要几天才能完工？ 例3．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积。 变式1．（2025·湖北武汉·小升初真题）工艺品店接到一批紫砂壶的订单，原计划平均每人制作40件；如果增加5名工人，那么平均每人的工作量减少8件，这份订单订购了______件紫砂壶。 变式2．（25-26六年级下·四川成都·校考期末）明明和妹妹帮社区整理图书。如果明明单独整理，10天完成；如果妹妹单独整理，30天完成。现在两人共同整理，在这段时间里明明休息了2天，妹妹休息了8天，两个人没有同一天休息过，从开始整理图书到结束一共用了( )天。 变式3．（2024·四川绵阳·小升初真题）一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍，上午在乙工地工作的人数是甲工地的，下午这批工人中的在乙工地工作，其余的工人在甲工地工作。一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天。这批工人有( )人。（假设上午、下午工作时间相同，每个工人的工作效率相同） 题型7、列方程解应用题之销售问题 【解题技巧】 此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 例1．（25-26六年级上·湖北荆州·期末）某系统引入了人工智能技术，简化了购票、退票、改签等操作流程，该系统上关于火车票的退票规定如下： ★开车前8天及以上退票，不收取退票手续费； ★开车前48小时及以上，不足8天的按票价的​收取退票手续费； ★开车前24小时及以上，不足48小时的按票价的​收取退票手续费； ★开车前不足24小时的按票价的收取退票手续费。 (1)聪聪爸爸花费835元购买了12月20日20：00的车票，因工作原因当天17：30要退票，请问爸爸退票后损失了多少钱？ (2)李阿姨购买了12月28日的火车票，因雨雪天气原因，于12月25日退票成功，退到手有665元的费用，请问李阿姨购买的车票原价是多少钱？（建议用方程解答） 例2．（2025·重庆江北·小升初真题）元旦节即将来临，公司推出新款手镯，开始接单生产，该款手镯由两种金属按一定的重量比例构成，金属原来的成本为200元/克，金属原来的成本为150元/克，现由于市场价格波动，金属的成本上涨，金属的成本下跌到原来的，每克手镯现在的总成本比原来增加了37.5元。(1)求手镯中金属和金属的重量比。(2)手镯按原来的成本价格销售可获得的利润，现在，公司为了推出元旦礼盒，再投入现在总成本的做包装，这样，按现在的成本价格销售手镯，可获得的利润，求现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨的百分比。 例3．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。(1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？(2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 变式1．（2025·湖南长沙·小升初真题）张欣和李明相约到图书城去买书。 张欣：“听说花20元办张会员卡，买书可以享受8折优惠？” 李明：“是的，我上次买了几本书，加上办卡的费用，还省了12元。” 李明上次所买书籍的原价是______元。 变式2．（2025·重庆江北·小升初真题）李师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，以1元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格将剩下的苹果卖出。不过最后他不仅赚了24元钱，还剩下了1个苹果，那么他买了个___________苹果。 变式3．（2025·重庆江北·小升初真题）商店里有玻璃杯和保温杯两种杯子，保温杯比玻璃杯贵10元，妈妈带的钱如果买10个玻璃杯还剩6元，如果买5个保温杯还缺4元，妈妈带了___________元钱。 变式4．（25-26·福建·七年级期中）某社区超市第一次用6000元购进一批甲乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，两件商品的进价和售价如下图所示： (1)超市购进的这批货中甲乙两种商品各有多少件？(2)该超市第二次分别以第一次同样的进价购进第二批甲乙两种商品，其中乙商品的件数是第一批乙商品件数的3倍，甲商品件数不变，甲商品按照原售价销售，乙商品在原价的基础上打折销售，第二批商品全部售出后获得的总利润比第一批获得的总利润多720元，求第二批乙商品在原价基础上打几折销售？ 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 题型8、列方程解应用题之分段计费问题 【解题技巧】 此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等 例1．（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取了价格调控手段，该市自来水收费见价目表。 价目表 每月用水量 单价 不超过6立方米 每立方米2元 超过6立方米不超过10立方米的部分 每立方米4元 超过10立方米部分 每立方米8元 注：水费按月结算 (1)若该户居民1月份用水12.5立方米，则应该收水费多少元？ (2)若某户居民2月份上缴水费40元，则2月份的用水量是多少立方米？ (3)若该户居民3、4月份共用水15立方米（4月份用水量超过3月份的用水量），共缴水费44元，则该户居民3、4月份各用水多少立方米？ 例2．（2026六年级·成都·小升初模拟）某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档。例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算。 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 0－360（含） 2.53 第二档 360－600（含） 2.78 第三档 600以上 3.54 （1）李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ （2）赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 变式1．（25-26·山东·七年级校考期中）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表： 行驶里程 计费方法 不超过3公里 起步价8元 超过3公里且不超过7公里的部分 每公里按标准租费收费 超过7公里且不超过25公里的部分 每公里再加收标准租费的50% 超过25公里且不超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的75% 超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的100% 说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算； 行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里． 若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（       ） A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里 变式2．（2024·山东德州·小升初真题）滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式。 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟。 （1）李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ （2）6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 变式3．（25-26六年级下·广东·校考期中）某保险公司的医疗保险方案针对住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表。某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费是多少元？ 住院医疗费（元） 报销率（%） 不超过500元的部分 0 超过500不超过1000元的部分 60 超过1000不超过3000元的部分 70 …… 题型9、列方程解应用题之数字与日历问题 【解题技巧】 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 例1．（2025·河南商丘·小升初真题）一个两位数，十位上的数比个位上的数少，把它各数位上的数字互换所得的数比原来大18，原来这个数是______。 例2．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）6条谜语让50人猜测，共猜对了178条。已知每人至少猜对2条，且猜对2条的有16人，猜对4条的有9人，猜对3条和5条的人数一样多，那么6条全猜对的有( )人。 例3．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）数学文化节的选手，平均分数是66分，其中男选手比女选手多50%，而女选手的平均分比男选手高25%，女选手的平均分数是______分。 例4．（24-25六年级下·重庆渝中·期末）如图，是某月的月历。 （1）带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？（2）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由。（3）在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 变式1．（2025·重庆江北·小升初真题）一个最简分数的分子与分母的和为17，且分子减少3，分母增加6后得到的新分数化简后为，则原分数为___________。 变式2．（2025·湖北黄石·小升初真题）有着3500多年历史的盘龙城遗址是我国商代前期的城址，是武汉的城市之根。盘龙城国家考古遗址公园的核心保护区面积为1.39平方千米，比公园规划占地面积的多0.08平方千米，公园规划占地面积是多少平方千米？（列方程解答） 变式3．（24-25六年级下·福建莆田·期中）有两根长度相同的蜡烛，粗的可燃3小时，细的可燃2小时。一天晚上8时停电，莉莉同时点燃两根蜡烛。通电时，莉莉发现粗蜡烛余下长度正好是细蜡烛的2倍。请问什么时候来电？ 变式4．（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： 图1                                                      图2 （1）请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； （2）圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由。 变式5．（25-26·河南·七年级期中）将连续的奇数1、3、5、7、9、11等，按一定规律排成如图：图中的T字框框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（       ） A．34 B．62 C．118 D．158 题型10、列方程解应用题之牛吃草问题 【解题技巧】 解题关键在于理解草的生长和消耗之间的平衡关系，通过设定和计算，找出不变的量（如原有的草量和每天新长的草量），进而解决问题。这类问题不仅考验数学计算能力，也锻炼了逻辑思维和问题解决能力。 例1．（2025·湖南长沙·小升初真题）某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的。一个入场口每分钟可以进来10个游客，如果开放4个入场口，20分钟就没有人排队了。现在开放6个入场口，那么开门后多少分钟后就没有人排队了？ 例2．（2025·重庆渝北·小升初真题）有三块草地，面积分别为7公顷、19公顷、30公顷，每块草地每公顷的草量相等，而且生长速度一样。7公顷草地可供15头牛30只羊吃28天；19公顷草地可供39头牛54只羊吃38天。30公顷的草地可供57头牛72只羊吃_____天。（已知1头牛1天吃的草量相当于4只羊一天吃的草量） 例3．（2024·四川成都·小升初真题）甲、乙两管同时打开，10分钟就能注满水池。现在先打开甲管，9分钟后再打开乙管，再过4分钟就注满了水池。已知甲管比乙管每分钟多注入立方米的水，那么这个水池的容积是( )立方米。 变式1．（2024·湖南岳阳·小升初真题）牧场上的青草每天匀速生长。这片牧草可供24头牛吃6周或20头牛吃10周。那么，可供19头牛吃( )周。 变式2．（2022·河南郑州·小升初真题）某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始后平均每分钟有10人来排队等候检票。一个检票口每分钟平均能让25人检票进站。如果只开一个检票口，那么检票开始8分钟后就可以无人排队；如果开两个检票口，那么开始检票 分钟后就暂时无人排队了。 变式3．（25-26六年级·广东·校考期中）甲、乙两个水池同时以相同的速度向外排水（匀速），甲池3小时可以排完，乙池2小时可以排完。开始排水 小时后，甲池的水量是乙池的8倍。 题型11、列方程解应用题之其他问题 【解题技巧】 例1．（2025·河南商丘·小升初真题）某次中外公司谈判会议开始10分钟听到挂钟打钟（只有整点时打钟，几点钟就响几下），整个会议当中共听到14下钟声，会议结束时，时针和分针恰好成90度角，求会议开始的时间，结束的时间各是什么时刻。 例2．（2025·浙江台州·小升初模拟）某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。 (1)李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月3次。他选择哪种方式更划算？ (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 例3．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）某班学生去参加义务劳动，其中一组到果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，……以此类推，后来的学生都比前面一个多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了11个梨子，请问这组学生的人数是___________人。 例4．（2025·重庆江北·小升初真题）甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？ 例5．（2025·浙江杭州·小升初真题）中国北斗卫星导航系统是我国自主研制的全球卫星导航系统，目前在轨卫星有50颗，比全球定位系统（GPS）卫星数量的少6颗。全球定位系统（GPS）有几颗卫星？（用方程解） 变式1．（2025·重庆江北·小升初真题）两箱图书共有66本，甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本。甲箱原有图书___________本。 变式2．（2025·广东广州·小升初模拟）小明三天读完一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了8页，余下64页没有读，这本书有________页。 变式3．（2025·四川绵阳·小升初真题）绵阳有一古寺叫圣水寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364个碗。圣水寺里的和尚一共有( )个。 变式4．（2025·广东广州·小升初模拟）红旗小学六（1）班王老师、李老师带领45个学生去公园春游，大船每条船坐7人，小船每条船坐4人，共有8条船，则大船有________条，小船有________条。 变式5．（2025·河南郑州·小升初真题）实验小学五年级共有学生152人，选出男同学的和5名女同学参加科技小组，剩下的男、女同学人数正好相等。五年级男同学有( )人。 1．（25-26六年级下·重庆江北·期中）“双11”某网店所有商品打五折出售。聪聪的妈妈在该网店购得运动鞋一双，加上邮费（邮费相当于原价的5%）共付132元，这双运动鞋的原价是（    ）。 A．264 B．240 C．260 D．132 2．（25-26六年级上·四川乐山·期末）市中区某小学今年六年级毕业学生450人，比去年多了，该小学去年毕业学生多少人？设去年毕业学生人，下面方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 3．（25-26六年级上·广西钦州·期中）现在弟弟的年龄恰是哥哥的，而六年前弟弟年龄只是哥哥的，哥哥现在的年龄是（    ）。 A．14岁 B．16岁 C．18岁 D．20岁 4．（2026·成都·小升初模拟）“神24”电力机车以超强的牵引动力刷新了世界纪录。现安排运送一批货，如果增加28节车厢，10次就可以运完；如果只增加1节车厢，需要20次才可以运完。现在增加了19节车厢，运完这批货需要（    ）次。 A．11 B．12 C．15 D．17 5．（25-26七年级下·河北保定·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设井深为尺，所列方程为 B．设绳子的长为尺，所列方程为 C．绳子的长是32尺 D．井深8尺 6．（25-26六年级上·山东潍坊·期末）当人体的上半身和下半身的比约为0.618：1时，会给人一种优美的视觉感受，人们称它为“黄金比”。明明的妈妈上半身长61.8cm，下半身长94cm，按照“黄金比”，她应该选择( )cm高的高跟鞋。 7．（2025·江苏无锡·小升初模拟）延时服务时，老师带来象棋、飞行棋共12副。恰好可供全班38名同学进行活动。象棋2人下一副，飞行棋4人下一副。象棋有( )副，飞行棋有( )副。 8．（2025·重庆渝北·小升初真题）现在是北京时间上午9点，再过____分时，时针和分针首次在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。 9．（2026·山东德州·小升初模拟）张叔叔运送了250件瓷器，规定完整运一个到目的地可以得到运送费20元，损坏一个赔偿100元，运完这批瓷器张叔叔共得到运费4160元，张叔叔在运输过程中，完整运送了( )件瓷器，损坏了( )件瓷器。 10．（25-26六年级·重庆·培优）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走35级台阶，女孩每分钟走22级台阶。男孩用了3分钟到达楼上，女孩用了4分钟到达楼上。这个自动扶梯共有 级台阶露在外面。 11．（25-26六年级下·山东聊城·期中）4月23日为世界读书日，新华书店新购进一批图书，其中故事书有640本，比科技书多25%，新购进科技书多少本？（列方程解答） 线段图： 数量关系式： 解答： 12．（25-26六年级上·山西临汾·期末）艺术节就要到了，学校为锣鼓队表演的学生们统一购买了小号，中号，大号的演出服装共260套，中号服装比小号多70套，大号服装比小号少50套，大号、中号、小号演出服装各多少套？ 13．（25-26六年级上·福建漳州·期末）甲、乙两辆汽车同时从相距512千米的两地相对开出，经过3.2小时相遇。已知甲车的速度是乙车速度的，乙车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 14．（2025·重庆·小升初真题）某信用社将10800元分为两部分同时贷给甲、乙两人。一部分以年利率9.5%贷给甲，另一部分以年利率8.5%贷给乙，甲、乙两人一年后同时交来的利息恰好相等。甲、乙各贷款多少元？ 15．（2025·四川达州·小升初真题）青山果园的苹果树和梨树一共有120棵，其中梨树的棵数是苹果树的。青山果园的苹果树和梨树各有多少棵？（用方程解答） 16．（2025·广东揭阳·小升初模拟）淘气攒了1元硬币和5角硬币这两种硬币，总共75元。其中5角硬币占总枚数的，淘气一共攒了多少枚硬币？（列方程解答） 17．（2025·四川绵阳·小升初真题）妈妈给红红一些钱去买贺卡，有甲、乙、丙三种贺卡，甲种卡每张0.5元，丙种卡每张1.2元，用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张，妈妈给红红多少钱？乙种卡每张多少钱？ 18．（25-26六年级上·福建漳州·期末）甲、乙两辆汽车同时从相距512千米的两地相对开出，经过3.2小时相遇。已知甲车的速度是乙车速度的，乙车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 19．（25-26六年级上·广东江门·期中）有甲、乙、丙三辆小轿车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一辆大卡车，这三辆车分别用6分、8分、10分追上大卡车，现在已知甲轿车的速度为每小时120千米，乙轿车每小时100千米，那么丙轿车和大卡车每小时多少千米？ 20．（25-26六年级下·江苏盐城·期中）小可和小美一共有378元，小可用去自己钱的，小美用去自己钱的，合买了一套书。这时，两人剩下的钱正好相等。 (1)小可和小美原来分别有多少钱？(2)买完书到家后，妈妈又给了小美一些钱，此时小可和小美的钱数之比是5∶6，你觉得有可能吗？用你喜欢的方法阐述理由。 21．（2025·湖南长沙·小升初真题）据了解，火车票按“”的方法来确定。已知A站至H站总里程数为1500千米，全程参考价为180元。下表是沿途各站至H站的里程数： 车站名 A B C D E F G H 各站至H站的里程数（单位：千米） 1500 1130 910 622 402 219 72 例如，要确定从B站至E站火车票价，其票价为：（元）。 （1）求A站至F站的火车票价（结果精确到1元）； （2）旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价66元，马上说下一站就到了。请问王大妈实际乘车的里程数是多少千米？在哪两个站之间？（要求写出解答过程）。 22．（25-26六年级上·江苏淮安·期末）为深入推进新时代小学生劳动教育实践，实验小学建设了470平方米的“快乐小农场”，其中萝卜的种植面积比白菜少40平方米，红薯的种植面积比白菜多60平方米。三种种植区的面积分别是多少平方米？（先把下面的线段图补充完整，再解答） 23．（2025·江苏·小升初模拟）12月30日光明小学组织了“迎元旦知识竞赛”，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答。如表记录了三位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 （1）这次竞赛中答对一题得（    ）分；（2）参赛学生小红得分为70分，求她答对了几道题？ （3）参赛学生小明说他的得分为60分，你认为可能吗？请说明理由。 24．（24-25六年级下·浙江杭州·期末）欢欢与乐乐同时从学校去图书馆，欢欢一开始以6千米/时的速度步行，中途改为速度48千米/时的出租车。乐乐以12千米/时的速度骑自行车，结果欢欢比乐乐提前10分钟到达。学校离图书馆有多远？ 25．（2025六年级下·广东·专题练习）重庆市电价阶梯式收费标准如下表。 分档 用户年用电量（千瓦时） 电费价格（元/千瓦时） 第一档 0～2400（含） 0.52 第二档 2401～4800（含） 0.57 第三档 4801以上 0.82 （1）李阿姨家七月和八月的阶梯电量使用情况如图。李阿姨家八月应付电费多少元？ （2）2023年5月13日，重庆市发展改革委印发了《关于建立居民分时电价机制的通知》，2023年6月1日起，“一户一表”城乡居民用户和居民充电设施用户自愿选择是否执行（分时电价如图）。已经有阶梯电价为什么还要建立分时电价呢？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点03 列方程解应用题 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习简单的列方程解应用题，培养的核心数学素养是学生的运算能力和简单的方程思想。 初中阶段在列方程解应用题方面增加了新的概念，还有了大的延伸，分析数量关系的范围有所扩大（增加了配套、方案等）；解题方面主要要求学生上升到思维习惯的转变、思想方法的转变。培养的核心数学素养是学生的数学运算、数学建模（方程思想）能力、逻辑推理思维和创新思维等。 衔接引导 为了让学生后续方程的学习，可以引导学生思维方式从算术思维逐步向代数思维转变，无疑是中小学数学教学衔接的重要内容。小学解方程，都按四则运算的各部分之间的关系来解，现在（初中）都是按等式的性质解方程。可以肯定的说，用等式的性质解方程，是解方程的正途。加强这一方面的教学，目的就是要有利于学生初中阶段能更好的学习稍复杂的列方程解应用题。 考点阐释 1．列方程解应用题的优点：先用一个字母代替未知数，再把它看作已知数参与列式和运算，便于把题中的数量关系直接反映出来，使问题简单化。 2. 列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答． 3．常见的数量关系 1）公式形数量关系 生活中许多数学应用情景涉及如周长、面积、体积等公式。在解决这类问题时，必须通过情景中的信息，准确联想有关的公式，利用有关公式直接建立等式方程。 长方形面积=长×宽 长方形周长=2（长+宽） 正方形面积=边长×边长 正方形周长=4边长 2）约定型数量关系 利息问题、利润问题、质量分数问题、比例尺问题、折扣等涉及的数量关系，像数学中的公式，但常常又不算数学公式。我们称这类关系为约定型数量关系。 3）基本数量关系 在简单应用情景中，与其他数量关系没有什么差别，但在较复杂的应用情景中，应用方法就不同了。我么把这类数量关系称为基本数量关系。 单价×数量=总价 速度×时间=路程 工作效率×时间=总工作量 现价÷原价＝折数 解题方略 1.列方程解应用题一般步骤为：审、设、列、解、检验、答． （1）“审”指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，它们之间的关系，找等量关系； （2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数； （3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一； （4）“解”就是解方程，求出未知数的值． （5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可； （6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚． 2．分析数量关系的常用方法 1）直译法分析数量关系 将题中关键性的数量关系的语句译成含有未知数的代数式，并找出没有公国的等量关系，翻译成含有未知数的等式。 2）列表分析数量关系 当题目中条件较多，关系较复杂时，要列出表格，把已知量和未知量填入表格，利用表格进行分析。这种方法的好处在于把已知量和未知量“对号入座”，便于正确理解各数量之间的关系。 3）图解法分析数量关系 用图形表示题目中的数量关系，这种方法能帮助我们透彻地理解题意，并可直观形象的体会题意。在行程问题中，我们常常用此类方法。 题型1、列方程解应用题之找等量关系 【解题技巧】与用字母表示式子的思路相同，寻找题干中的等量关系，利用未知数表示出来。 例1．（2026·四川成都·小升初模拟）红花的朵数比黄花多，等量关系式错误的是（    ）。 A．红花比黄花多的朵数＝黄花× B．黄花朵数＝红花× C．红花朵数＝黄花× D．红花朵数＝黄花朵数＋黄花朵数× 【答案】B 【详解】根据分析可写出等量关系：红花比黄花多的朵数＝黄花的朵数×，红花的朵数＝黄花的朵数＋黄花的朵数×，红花的朵数＝黄花的朵数×（1＋）。 所以红花的朵数比黄花多，等量关系式错误的是：黄花朵数＝红花×（1－）。 例2．（25-26六年级上·河南许昌·期末）据图（ ）可以写出“桃树棵数梨树棵数”这个等量关系式。 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据分析： A．，表示把桃树棵数平均分成３份，梨树棵数占了其中的４份，即梨树棵数是桃树棵数的，不符合题意。 B．，表示把桃树棵数平均分成4份，梨树棵数占了其中的3份，即梨树棵数占桃树棵数的，符合题意。 C．，表示把桃树棵数平均分成5份，梨树棵数占了其中的4份，即梨树棵数占桃树棵数的，不符合题意。 D．，表示把桃树棵数平均分成4份，梨树棵数占了其中的5份，即梨树棵数占桃树棵数的，不符合题意。故答案为：B 例3．（25-26六年级上·浙江宁波·期末）狮子奔跑时最高时速可达60千米，但还是比猎豹奔跑时的最高时速慢，猎豹奔跑时最高速度是多少？ (1)请在如图框内画出线段图。 (2)已经写出一种数量关系式①，请写出另一个数量关系式②，并根据对应的关系式列方程解决。 ①猎豹速度-狮子比猎豹慢的部分＝狮子速度 ②（                                            ） 【答案】(1)见详解 (2)猎豹最高时速×（）＝狮子最高时速；110千米/时 【详解】（1） （2）解：设猎豹奔跑时最高速度是千米。 （1－）＝60 答：猎豹奔跑时最高速度是110千米/时。 变式1．（25-26六年级上·江苏泰州·期末）一小学排球队、篮球队和田径队的队员人数之间的关系，如下图所示。根据图中信息，同学们列出了四个等量关系，其中正确的（    ）。 ①篮球队人数×＝排球队人数    ②篮球队人数×＝田径队人数 ③排球队人数×＝田径队人数    ④排球队人数×＝田径队人数 A．只有②③ B．只有②④ C．只有①②④ D．有①②③④ 【答案】A 【详解】①篮球队人数的不是排球队人数。该等量关系错误。 ②根据篮球队人数的是田径队人数，写出等量关系篮球队人数×＝田径队人数。该等量关系正确。 ③根据排球队人数的（）是田径队人数，写出等量关系排球队人数×＝田径队人数。该等量关系正确。④排球队人数的不是田径队人数。该等量关系错误。 所以，等量关系正确的有②③。故答案为：A 变式2．（2025·河北沧州·一模）《孙子算经》中有一道题，翻译为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问：共有多少人？多少辆车？小明在解此题时，设有辆车，列出方程：．小明列此方程的等量关系依据是（   ） A．车辆数量不变 B．乘车的总人数不变 C．每辆车乘车的人数不变 D．剩余的车辆数不变 【答案】B 【详解】解：设有辆车，根据“若每3人共乘一车，则最终剩余2辆车”可得乘车的总人数为； 根据“若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘”可得乘车的总人数为． 再根据乘车的总人数不变列出方程．故选：B． 变式3．（24-25六年级上·山西运城·期末）解决下图中的问题用到的等量关系是：__________；可列式为：__________。（只列算式不解答） 【答案】 机器人社团人数＝编程社团人数×（） 150×（） 【详解】等量关系为：机器人社团人数＝编程社团人数×（） 150×（）＝150×＝250（人） 所以机器人社团人数为250人。 变式4．（25-26六年级上·河南信阳·期末）浉河区科技兴趣小组的学生在科技馆观看了“天宫课堂”直播，根据线段图，求出观看直播的男生和女生各有多少人？（写出等量关系式，列方程解答） 【答案】男生人数＋女生人数＝270； 150人，120人； 【详解】男生人数＋女生人数＝270 解：设男生有x人。 x＋x＝270 x＝270 x÷＝270÷ x＝270× x＝150 270－150＝120（人） 答：男生有150人，女生有120人。 题型2、列方程解应用题之已知方程探索条件 【解题技巧】 例1．（2026·浙江温州·小升初模拟）下面不能用方程表示的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A．合格产品是个，则不合格产品是个，等量关系为：合格产品＋不合格产品＝80个，列方程为； B．等底等高的圆锥体积是圆柱体积的，圆柱的体积是立方厘米，所以圆锥的体积是立方厘米，等量关系为：圆锥的体积＋圆柱的体积＝80立方厘米，列方程为：； C．3小段线段表示元，则一小段线段表示元，等量关系为：一小段线段＋3小段线段＝80元，列方程为：； D．白色三角形与阴影三角形等高，白色三角形的底边是阴影三角形底边的3倍，白色三角形的面积是平方厘米，则阴影三角形的面积是平方厘米，等量关系为：阴影三角形的面积＋白色三角形面积＝80平方厘米，所以。故答案为：A 例2．（25-26六年级上·北京丰台·期末）数量关系不能用x－x＝20表达的是（    ）。 A．公园里有一条长方形的甬道，长x米，宽米。如果宽增加到米，面积则增加20平方米。 B．三个同学跳绳，小明跳了x个，小强跳的个数是小明的，小亮跳的个数是小明的，小亮比小强少跳了20个。 C．商店售卖x件服装，第一周卖了全部的，第二周卖了余下的，第一周比第二周多卖了20件。 D．从A地到B地，有甲、乙、丙三条路，甲路长x千米，乙是甲的，丙是甲的，乙比丙长20千米。 【答案】C 【详解】A．甬道长x米，宽从米增加到米，面积增加20平方米，列方程（－）x＝20，展开得x－x＝20，符合题干数量关系。 B．小明跳x个，小强跳x个，小亮跳x个，小亮比小强少跳20个，列方程x－x＝20，符合题干数量关系。 C．服装总数x件，第一周卖x件，余下x－x＝x件，第二周卖x×＝x件，列方程x－x＝20，无法转化为题干方程，不符合数量关系。 D．甲路长x千米，乙的长度是甲的，即x千米；丙的长度是甲的，即x千米。由乙比丙长20千米，列方程x－x＝20，符合题干数量关系。故答案为：C 例3．（25-26六年级上·广东深圳·期末）甲数为80，求乙数。如果设乙数为，可以用方程“3－7＝80”来表示两数之间等量关系。横线上需要补充的信息是（    ）。 A．甲数比乙数的3倍多7 B．乙数比甲数的3倍多7 C．甲数比乙数的3倍少7 【答案】C 【详解】A．甲数比乙数的3倍多7，列方程为：3＋7＝80。不符合题意。 B．乙数比甲数的3倍多7，列方程为：＝80×3＋7。不符合题意。 C．甲数比乙数的3倍少7，列方程为：3－7＝80。符合题意。 所以，横线上需要补充的信息是甲数比乙数的3倍少7。 变式1．（25-26六年级下·广东清远·期中）下面的情境中，不能用比例“2∶3＝3∶”求出未知数的是（    ）。 A．买2本练习本用3元。买3本同样的练习本，要用元。 B．一台抽水机匀速抽水，2分钟抽3吨，3分钟可以抽吨。 C．2个篮球可以换3个足球，3个篮球可以换个足球。 D．一根钢管，锯成2段需要3分钟，锯成3段需要分钟。 【答案】D 【详解】A．因为练习本的单价是一定的，即总价与数量的比值一定，所以总价和数量成正比例关系。可列出比例式2∶3＝3∶，该选项不符合题意。 B． 因为抽水机的抽水速度是一定的，即抽水的吨数与时间的比值一定，所以抽水的吨数和时间成正比例关系。可列出比例式2∶3＝3∶，该选项不符合题意。 C．因为篮球和足球的交换比例是一定的，即篮球个数与足球个数的比值一定，所以篮球个数和足球个数成正比例关系。可列出比例式2∶3＝3∶，该选项不符合题意。 D．锯的次数比段数少1。因为锯一次的时间是一定的，即锯的时间与锯的次数的比值一定，所以锯的时间和锯的次数成正比例关系。可列出比例式3∶（2－1）＝∶（3－1），即3∶1＝∶2，而不是2∶3＝3∶，该选项符合题意。 不能用比例“2∶3＝3∶”求出未知数的是：一根钢管，锯成2段需要3分钟，锯成3段需要分钟。 变式2．（25-26六年级上·河南商丘·期末）某小区2025年拥有新能源汽车的家庭有240户，_____。该小区2024年拥有新能源汽车的家庭有多少户？如果设该小区2024年拥有新能源汽车的家庭有户，列式为，那么横线上应该填的条件是（    ）。 A．比2024年的多 B．2024年的比2025年的少 C．比2024年的少 D．2024年的比2025年的多 【答案】A 【详解】根据方程（）x＝240，可知2025年拥有新能源汽车的家庭数量比2024年拥有新能源汽车的家庭数量多。 变式3．（25-26六年级下·江苏·小升初复习）下面等量关系中，可以用3－6＝30表示的是（    ）。 A．小芳买了只水笔，每支3元，付给营业员30元，找回6元 B．黑兔有只，白兔有30只，黑兔比白兔的3倍多6只 C．故事书有本，科技书有30本，科技书比故事书多6本 D．书法小组有人，舞蹈小组有30人，舞蹈小组的人数比书法小组人数的3倍少6人 【答案】D 【详解】A．列方程为：3＋6＝30，不符合题意；B．列方程为：－6＝30×3，不符合题意； C．列方程为：30－＝6，不符合题意；D．列方程为：3－6＝30，符合题意。故答案为：D 题型3、列方程解应用题之数学文化问题 【解题技巧】数学文化类问题主要根据题干中译释找到等量关系解题即可。 （1）基本量及关系：增长量＝原有量×增长率，现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量－降低量． （2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等． 例1．（2025·吉林长春·模拟预测）中国古代数学著作《张邱建算经》中有一道问题：“今有甲、乙怀钱，各不知其数．甲得乙十钱，多乙余钱五倍．乙得甲十钱，适等．问甲、乙怀钱各几何？”问题大意：甲、乙两人各有钱币干枚．若乙给甲10枚钱，此时甲的钱币数比乙的钱币数多出5倍，即甲的钱币数是乙钱币数的6倍；若甲给乙10枚钱，此时两人的钱币数相等．问甲、乙原来各有多少枚钱币？解：设甲原来有元，则所列方程为： ． 【答案】 【详解】解：设甲有钱x枚，则乙有钱枚， 由题意得：，即．故答案为：． 例2．（2025·山东青岛·小升初真题）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？意思是一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有（    ）灯。 A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 【答案】B 【详解】解：设顶层x盏灯。 x＋2x＋4x＋8x＋16x＋32x＋64x＝381 127x＝381 127x÷127＝381÷127 x＝3 塔的顶层共有3盏灯。故答案为：B 变式1．（25-26六年级上·湖南长沙·期末）《九章算术》中记载了关于“三畜食苗”的问题，大意是：有牛、马、羊吃了别人的青苗，青苗主人要求牛，马、羊的主人赔偿谷物7斗，羊的主人说：“我的羊吃的苗是马吃的一半。”马主人说：“我的马吃的苗是牛吃的一半”，现要求依据牛、马、羊吃苗的量按比例进行赔偿，设牛主人应赔偿x斗，下面符合题意的式子是（    ）。 A．4x＋2x＋x＝7 B． C． D． 【答案】D 【详解】由分析可知，设牛主人应赔偿x斗，马吃的苗是斗,羊吃的苗是斗。 符合题意的式子是。故答案为：D 变式2．（25-26六年级上·河南省直辖县级单位·期末）中国古代数学名著《算法统宗》中记载了一些诗歌形式的数学问题，其中一个问题为：三百七十八里关，初行健步不为难。次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见每朝行里数，请公仔细算相还。意思是：一个人到关口要走378里路。第一天健步行走，从第二天起因脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天到达关口，算算每天行走的里数。（“里”是我国古代长度单位）根据题中的信息，这个人第一天走的路程是( )里。 【答案】192 【分析】设这个人第一天走的路程是x里，因为每天走的路程为前一天的一半，即前一天的，求一个数的几分之几是多少用乘法，因此第二天走了x里，第三天走了x里，第四天走了x里，第五天走了x里，第六天走了x里，根据第一天走的路程＋第二天走的路程＋第三天走的路程＋第四天走的路程＋第五天走的路程＋第六天走的路程＝总路程，列出方程求出x的值即可。 【详解】解：设这个人第一天走的路程是x里。 x＋x＋x＋x＋x＋x＝378 x＋x＋x＋x＋x＋x＝378 x＝378 x÷＝378÷ x＝378× x＝192 这个人第一天走的路程是192里。 变式3．（24-25七年级下·山西临汾·期中）《九章算术》中记载了这样一道题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺．绳长、井深各几何？这段话的意思：用绳子量井深，把绳三折来量，并外余绳四尺；把绳四折来量，井外余绳一尺．绳长、井深各几尺？若设井深为尺，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：设井深为尺，根据题意，得．故选：D 变式4．（2025·江西·模拟预测）《九章算法比类大全》是明代吴敬撰写的算书，书中载有一首“数学诗”：“远望巍巍塔七层，红灯点点倍加增，共灯三百八十一，顶尖共有几盏灯？”（注：从塔的底层开始，每层的灯数是上一层灯数的2倍，直到顶层为止）根据诗中大意，则最中间层灯的盏数为 ． 【答案】24 【详解】解：设顶层的灯有x盏，由题意，得．解得． ∴塔的顶层有3盏灯．故最中间层灯的盏数为24．故答案为：24． 题型4、列方程解应用题之年龄问题 【解题技巧】 “年龄差不变”是隐藏在年龄问题中的重要已知条件，每个年龄问题都是与年龄差发生关系，找出年龄差是解题的关键。 例1．（2025·湖北武汉·小升初真题）妈妈今年74岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子32岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为40岁，那么儿子今年______岁。 【答案】46 【详解】74－40＝34（岁） 解：设当年儿子为3x岁、女儿为2x岁，则今年儿子为（3x＋34）岁、女儿为（2x＋34）岁。 72－3x＝2（32－x）＋4 72－3x＝64－2x＋4 72－3x＋3x＝64－2x＋4＋3x 72＝68＋x 68＋x＝72 68＋x－68＝72－68 x＝4 3×4＋34 ＝12＋34 ＝46（岁） 儿子今年46岁。 例2．（2026·陕西西安·小升初模拟）马丁一家人坐火车回家乡。车上有个很唠叨的人，不停地问这问那，最后问起马丁一家人的年龄。马丁有些不耐烦，就说：“我儿子的年龄是我女儿年龄的5倍，我妻子的年龄是我儿子年龄的5倍，我的年龄是我妻子年龄的1.2倍，把我们的年龄都加起来，正好是祖母的年龄，今天她正要庆祝61岁的生日。”那人想了一会儿想不出来，你知道马丁多少岁吗？ 【答案】30岁 【详解】解：设马丁的女儿岁，则儿子岁，马丁妻子岁，马丁岁。 马丁的年龄：（岁） 答：马丁30岁。 变式1．（2026·重庆渝北·小升初模拟）“重阳节”那天，延龄茶社来了25位老人品茶。他们的年龄恰好是25个连续自然数，两年以后，这25位老人的年龄之和正好是2000，其中年龄最大的老人今年( )岁。 【答案】90 【详解】2000－2×25＝2000－50＝1950（岁） 解：设最小的老人是n岁，由题意得： n＋（n＋1）＋（n＋2）＋（n＋3）＋…＋（n＋23）＋（n＋24）＝1950 25n＋（1＋2＋3＋…＋23＋24）＝1950 25n＋300＝1950 25n＋300－300＝1650－300 25n＝1650 25n÷25＝1650÷25 n＝66 那么年龄最大的老人今年的岁数是： n＋24＝66＋24＝90（岁） 因此，年龄最大的老人今年90岁。 变式2．（2025·河南郑州·小升初真题）父亲今年47岁，儿子21岁，( )年前父亲的年龄是儿子年龄的3倍。 【答案】8 【详解】设x年前父亲的年龄是儿子年龄的3倍。 47－x＝3×（21－x） 47－x＝63－3x 47－x＋3x＝63－3x＋3x 47＋2x＝63 47＋2x－47＝63－47 2x＝16 2x÷2＝16÷2 x＝8 所以8年前父亲的年龄是儿子年龄的3倍。 变式3．（2026·四川成都·小升初模拟）爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和70岁，当爸爸的年龄是哥哥年龄的3倍时，妹妹是9岁，当哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍时，爸爸是34岁，现在三人的年龄各是多少岁？ 【答案】妹妹12岁、哥哥16岁、爸爸42岁 【详解】解：设当妹妹9岁时，哥哥x岁，爸爸3x岁。 3×13＝39（岁） 9＋13＋39＝61（岁） （70－61）÷3＝9÷3＝3（岁） 妹妹：9＋3＝12（岁） 哥哥：13＋3＝16（岁） 爸爸：39＋3＝42（岁） 答：现在妹妹12岁，哥哥16岁，爸爸42岁。 题型5、列方程解应用题之行程问题 【解题技巧】 行程问题总公式：路程=速度×时间。不同类型问题，在求解速度时有所不同，具体如下： ①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间； Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离． ②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间； Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程． ③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度； Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑． 解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析． 例1．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）汽车以每小时108千米的速度笔直地开往寂静的山谷，驾驶员按一声喇叭，4秒后听到回声，已知声音的速度是每秒340米，听到回声时汽车离山谷的距离是___________米。 【答案】620 【详解】1千米＝1000米 1小时＝3600秒 108×1000÷3600＝108000÷3600＝30（米/秒） 30×4＝120（米） 340×4＝1360（米） 解：设听到回响时汽车离山谷的距离是x米，那么按喇叭时汽车离山谷的距离是（x＋120）米。 2（x＋120）＝120＋1360 2x＋2×120＝1480 2x＋240＝1480 2x＝1480－240 2x＝1240 x＝1240÷2 x＝620 听到回响时汽车离山谷的距离是620米。 例2．（2024·江苏常州·小升初真题）只列方程不计算。 甲、乙两辆汽车同时从同一地点出发，相背而行，2.4小时后相距216千米。甲车的速度是42千米/时，乙车的速度是多少千米/时？ 解：设乙车的速度是x千米/时。 _________________ 【答案】2.4×（42＋x）＝216 【详解】解：设乙车的速度是x千米/时。 2.4×（42＋x）＝216 100.8＋2.4x＝216 100.8＋2.4x－100.8＝216－100.8 2.4x＝115.2 2.4x÷2.4＝115.2÷2.4 x＝48 答：乙车的速度是48千米/时。 例3．（2025·河南郑州·小升初真题）小张和父亲搭乘家门口的公共汽车赶往火车站，去家乡看望爷爷。在行驶了三分之一路程后，估计继续乘公共汽车将会在火车开车后半小时到达火车站。随即下车改乘出租车，车速提高了一倍，结果赶在火车开车前15分钟到达了火车站，已知公共汽车的平均速度是40千米/时，问小张家到火车站有多远？ 【答案】90千米 【详解】解：设小张家到火车站的路程是3千米。 3－＝2（千米） 40×2＝80（千米/时） 45分钟＝小时 答：小张家到火车站有90千米。 例4．（2025·黑龙江哈尔滨·小升初模拟）杭州到衢州的杭金衢高速全长290千米，甲、乙两辆汽车分别从杭州和衢州同时出发相向而行，甲车每小时行105千米，经过1.4小时两车还未相遇，此时两车相距17千米，乙车每小时行多少千米？（用方程解） 【答案】90千米 【详解】解：设乙车每小时行x千米。 17＋105×1.4＋1.4x＝290 17＋147＋1.4x＝290 164＋1.4x＝290 1.4x＝290－164 1.4x＝126 x＝126÷1.4 x＝90 答：乙车每小时行90千米。 例5．（24-25六年级下·浙江·期中）一条河中有甲、乙两船，现同时从地顺流航行，乙船到地时接到通知要立即返回到地执行任务，甲船继续颠流航行。已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5千米/时，水流速度为2.5千米/时，、两地间距离为10千米，如果乙船由地经地再到达地共用4小时，请问：（1）甲船顺流航行的速度为多少？（2）乙船从地到达地时甲船驶离地有多远？（温馨提示：有两种情况） 【答案】（1）10千米/时（2）20km或km； 【详解】（1）7.5＋2.5＝10（千米/时） 答：甲船顺流航行的速度为10千米/时。 （2）设设乙船由B地返航到C地用x小时。 当C地在AB两地之间： （7.5＋2.5）×（4－x）－（7.5－2.5）x＝10 40－10x－5x＝10 15x＝30 x＝2 （7.5＋2.5）×2 ＝10×2 ＝20（km） 当C地在BA的延长线上时： （7.5－2.5）x－（4－x）（7.5＋2.5）＝10 5x－40＋10x＝10 15x＝50 x＝ （7.5＋2.5）× ＝10× ＝ （km） 答：乙船从地到达地时甲船驶离地有20km或km。 例6．（2024·河南郑州·小升初真题）如图，甲、乙两人沿着边长为70米的正方形，按逆时针的方向行走，甲从A以65米/分的速度行走，乙从B以72米/分的速度行走，当乙第一次追上甲时，是在正方形的边 （AB、BC、CD或DA）上。 【答案】DA 【详解】解：设乙第一次追上甲用了x分钟。 72x＝65x＋70×3 72x－65x＝65x＋210－65x 7x＝210 7x÷7＝210÷7 x＝3050（ 65×30＝19米） （米） 1950÷280＝6（圈）……270（米） AB的距离是70米，AB与BC的和是（米），AB、BC与CD的和是（米） 所以，乙第一次追上甲是在DA边上。 变式1．（2025·重庆江北·小升初真题）一辆汽车原计划6小时从A城到B城。汽车行驶了一半路程后，因故在途中停留了30分钟。如果按照原定的时间到达B城，汽车在后一半路程的速度就应该提高12千米/时，那么A、B两城相距___________千米。 【答案】 【详解】解：设原来的速度为v千米/时。后一半路程为6v÷2＝3v（千米），一半路程所用时间6÷2－0.5＝3－0.5＝2.5（小时） （千米） 那么A、B两城相距千米。 变式2．（2025·北京·小升初真题）小仓鼠的学校距家有800米。平时它放学后总是慢悠悠地滚着它的仓鼠球回家，每分钟滚40米。有一天，它路过香喷喷的瓜子铺时，实在忍不住钻进去狂嗑了3分钟瓜子！结果它突然想起——回家晚了会被仓鼠妈妈发现！于是它立刻开启“疯狂滚球模式”，以每分钟60米的速度冲刺回家，最终竟然和平常到家的时间一模一样！小仓鼠的学校离瓜子铺有多少米？ 【答案】440米 【详解】解：设小仓鼠的学校离瓜子铺有x米，则瓜子铺离小仓鼠家有（800－x）米。 800÷40－3＝20－3＝17（分钟） ＋＝17 ×120＋×120＝17×120 3x＋2×（800－x）＝2040 3x＋1600－2x＝2040 x＋1600＝2040 x＋1600－1600＝2040－1600 x＝440 答：小仓鼠的学校离瓜子铺有440米。 变式3．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·期末）甲、乙两车同时从相距342km的A、B两地相向而行，甲车每小时行80km，经过2小时两车之间的距离为乙车行驶路程的，则乙车每小时行______km。 【答案】70或130 【详解】情况一：两车相遇前两车之间的距离为乙车行驶路程的； 解：设乙车每小时行千米。 80×2＋2＋2×＝342 160＋2＋＝342 160＋＝342 ＝342－160 ＝182 ＝182÷ ＝182× ＝70 情况二：两车相遇后两车之间的距离为乙车行驶路程的； 解：设乙车每小时行千米。 80×2＋2－2×＝342 160＋2－＝342 160＋＝342 ＝342－160 ＝182 ＝182÷ ＝182× ＝130 则乙车每小时行70或130km。 变式4．（25-26六年级下·江苏淮安·期中）周末，李叔叔驾驶汽车从淮安出发前往苏州参加培训，完成培训活动后立即原路返回淮安，全程共用时9小时。已知去程时汽车每小时行驶120千米，返程时因道路拥堵速度降至每小时80千米。请问淮安到苏州距离是多少千米？ 【答案】 432 千米 【详解】解：设淮安到苏州距离是千米。 根据题意，去程时间为小时，返程时间为小时。 列方程得： 方程两边同时乘 240，得： 答：淮安到苏州距离是432千米。 变式6．（25-26六年级上·福建·校考期末）周末，小希一家自驾从莆田经过福州去太姥山旅游。 （1）小希一家从莆田出发，以100千米/时的速度，行驶了1小时，到达福州市，这时已行的路程比未行路程的少20千米。如果以同样的速度继续前行再行多少小时能到达太姥山？（2）到达太姥山，景区广场有个用鹅卵石铺成的心形图案，小希和弟弟从A点开始沿着这心形的边相背而行，在距离B点12米处的C点相遇，相遇时弟弟走的路程是小希的，这个心形鹅卵石道的周长是多少米？ 【答案】（1）2.1小时；（2）168米 【详解】（1）（100×1＋20）÷ ＝（100＋20）÷ ＝120÷ ＝120× ＝210（米） 210÷100＝2.1（小时） 答：如果以同样的速度继续前行再行2.1小时能到达太姥山。 （2）解：设小希走了x米，则弟弟走了x米， （x＋x）÷2－x＝12 x÷2－x＝12 x×－x＝12 x－x＝12 x＝12 x÷＝12÷ x＝12×8 x＝96 96＋96× ＝96＋72 ＝168（米） 答：这个心形鹅卵石道的周长是168米。 变式7．（24-25六年级上·四川达州·期中）甲、乙两船分别在一条河的A、B两地同时相向而行，甲顺流而下，乙逆流而行。相遇时，甲、乙两船行了相等的航程，相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地后，都立即按原来路线返航，两船第二次相遇时，甲船比乙船少行1千米，如果第一次相遇到第二次相遇时间相隔1小时20分，则河水的流速为每小时 千米。 【答案】 【详解】1小时20分＝小时 ×＝（小时） 解：设甲船的速度为，乙船的速度为，河水的流速为。 [（＋）－（－）]×＝1 [（＋）－（－）]×＝1 [＋－＋]×＝1 ×＝1 ＝1÷ ＝1× ＝ ＝÷4 ＝× ＝ 所以，河水的流速为每小时千米。 题型6、列方程解应用题之工程问题 【解题技巧】 我们常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用几分之几表示。在工程问题中，常常用“不同的对象所完成的工作量之和等于总工作量”这个关系来列写等式方程。 工程问题关键是把“一项工程”看成单位“1”，工作效率就可以用工作时间的倒数来表示。复杂的工程问题，往往需要设多个未知数，不要担心，在求解过程中，有一些未知数是可以约掉的。 例1．（2026·四川成都·小升初真题）一项工作，甲单独完成需要24天，乙单独完成需要36天，丙单独完成需要48天。现在甲、乙、丙三人轮流单独工作，甲、乙工作的天数比为1∶2，乙、丙工作的天数比为3∶5，完成这项工作一共用了几天？ 【答案】38天 【详解】1÷24＝ 1÷36＝ 1÷48＝ 1∶2＝（1×3）∶（2×3）＝3∶6 3∶5＝（3×2）∶（5×2）＝6∶10 甲、乙、丙工作的天数比是3∶6∶10 解：设每份天数是天。 ×3＋×6＋×10＝1 2×3＋2×6＋2×10 ＝6＋12＋20 ＝38（天） 答：完成这项工作一共用了38天。 例2．（2025·湖南长沙·小升初真题）某项工程，A、B、C、D单独做分别需15天、30天、18天、45天。现在四人合作，但中途A休息1天、B休息2天、C休息3天。那么一共需要几天才能完工？ 【答案】天 【详解】设一共需要x天，则A工作（x－1）天，B工作（x－2）天，C工作（x－3）天，D工作x天。 答：一共需要天才能完工。 例3．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）有一些相同的房间需要粉刷墙面，一天3名一级技工去粉刷8个房间，结果其中有50平方米墙面未来得及刷；同样时间内5名二级技工粉刷了10个房间之外，还多刷了另外的40平方米墙面。每名一级技工比二级技工一天多粉刷10平方米墙面。求每个房间需要粉刷的墙面面积。 【答案】52平方米 【详解】解：设每个房间需要粉刷的墙面面积是x平方米。 （8x－50）÷3－（10x＋40）÷5＝10 x－－2x－8＝10 x－2x－－8＝10 x－x－－＝10 x－＝10 x－＋＝10＋ x＝ x×＝× x＝52 答：每个房间需要粉刷的墙面面积是52平方米。 变式1．（2025·湖北武汉·小升初真题）工艺品店接到一批紫砂壶的订单，原计划平均每人制作40件；如果增加5名工人，那么平均每人的工作量减少8件，这份订单订购了______件紫砂壶。 【答案】800 【详解】解：设原来的工人是人。 40×20＝800（件），则这份订单订购了800件紫砂壶。 变式2．（25-26六年级下·四川成都·校考期末）明明和妹妹帮社区整理图书。如果明明单独整理，10天完成；如果妹妹单独整理，30天完成。现在两人共同整理，在这段时间里明明休息了2天，妹妹休息了8天，两个人没有同一天休息过，从开始整理图书到结束一共用了( )天。 【答案】11 【详解】明明单独整理每天完成1÷10＝，妹妹单独整理每天完成1÷30＝。 解：设从开始整理图书到结束一共用了x天。 （x－2）＋（x－8）＝1 3（x－2）＋（x－8）＝30 3x－3×2＋x－8＝30 3x－6＋x－8＝30 4x－14＝30 4x＝30＋14 4x＝44 x＝44÷4 x＝11 答：从开始整理图书到结束一共用了11天。 变式3．（2024·四川绵阳·小升初真题）一批工人到甲、乙两个工地工作，甲工地的工作量是乙工地工作量的1.5倍，上午在乙工地工作的人数是甲工地的，下午这批工人中的在乙工地工作，其余的工人在甲工地工作。一天下来，甲工地的工作已完成，乙工地的工作还需4名工人再做一天。这批工人有( )人。（假设上午、下午工作时间相同，每个工人的工作效率相同） 【答案】36 【详解】假设每个工人每个上午（或下午）的工作量为1。 解：设这批工人有人。 ＋（1－）＝（＋＋4×2）×1.5 ＋＝（＋＋8）×1.5 ＝（＋8）×1.5 ＝×1.5＋8×1.5 ＝＋12 －＝12 ＝12 ＝12÷ ＝12×3 ＝36 这批工人共有36人。 题型7、列方程解应用题之销售问题 【解题技巧】 此类题型，需要我们找出利润和利润率之间的关系来列写等式方程。 实际售价＝标价×打折率 利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率 标价＝成本(或进价)×(1＋利润率) 注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售． 例1．（25-26六年级上·湖北荆州·期末）某系统引入了人工智能技术，简化了购票、退票、改签等操作流程，该系统上关于火车票的退票规定如下： ★开车前8天及以上退票，不收取退票手续费； ★开车前48小时及以上，不足8天的按票价的​收取退票手续费； ★开车前24小时及以上，不足48小时的按票价的​收取退票手续费； ★开车前不足24小时的按票价的收取退票手续费。 (1)聪聪爸爸花费835元购买了12月20日20：00的车票，因工作原因当天17：30要退票，请问爸爸退票后损失了多少钱？ (2)李阿姨购买了12月28日的火车票，因雨雪天气原因，于12月25日退票成功，退到手有665元的费用，请问李阿姨购买的车票原价是多少钱？（建议用方程解答） 【答案】(1)167元(2)700元 【详解】（1）退票时间距离开车时间的时长： 20日20：00－20日17：30＝2小时30分 因为2小时30分不足24小时，所以按票价的收取退票手续费。 计算损失金额：835×＝167（元） 答：爸爸退票后损失了167元。 （2）退票日期距离开车日期的天数： 28－25＝3（天） 3天等于72小时，满足开车前48小时及以上，不足8天的条件，所以按票价的收取退票手续费。 解：设李阿姨购买的车票原价是x元。 （1－）x＝665 x＝665 x÷＝665÷ x＝665× x＝700 答：李阿姨购买的车票原价是700元。 例2．（2025·重庆江北·小升初真题）元旦节即将来临，公司推出新款手镯，开始接单生产，该款手镯由两种金属按一定的重量比例构成，金属原来的成本为200元/克，金属原来的成本为150元/克，现由于市场价格波动，金属的成本上涨，金属的成本下跌到原来的，每克手镯现在的总成本比原来增加了37.5元。(1)求手镯中金属和金属的重量比。(2)手镯按原来的成本价格销售可获得的利润，现在，公司为了推出元旦礼盒，再投入现在总成本的做包装，这样，按现在的成本价格销售手镯，可获得的利润，求现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨的百分比。 【答案】(1)3∶1(2)19.25% 【详解】（1）金属A上涨30%后的成本：（元/克） 金属B下跌到原来的80%后的成本：（元/克） 设每克手镯中金属A占克，则每克金属B占克。 （克） 金属A与金属B的重量比为： 答：手镯中金属A和金属B的重量比是3∶1。 （2）原来每克手镯的总成本：（元） 原来每克手镯的售价：（元） 现在每克手镯的材料总成本：（元） 现在每克手镯含包装的总成本：（元） 现在每克手镯的售价：（元） 售价上涨的百分比： 答：现在一个手镯的售价比原来一个手镯的售价上涨19.25%。 例3．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）一水果店主分两批购进某一种水果。第一批所用资金为2400元，因天气原因水果涨价，第二批所用资金是2700元。由于第二批每箱单价比第一批单价多10元，以致购买的数量比第一批少25%。 (1)该水果店主购进两批水果的单价分别是多少元？ (2)该水果店主计划两批水果的售价均定为每箱40元，实际销售时按计划无损耗售完第一批后，发现第二批水果品质不如第一批，于是该店主将售价下降a%销售，结果还是出现了20%的损耗，但这两批水果销售完后仍赚了1716元，求a的值。 【答案】(1)第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。(2)30 【详解】（1）解：设第一批购进每箱单价为 元，则第二批每箱单价为 元。： 第二批单价：（元） 答：第一批水果的单价是 20 元，第二批水果的单价是 30 元。 （2） （箱） （元） （箱） （箱） 2400＋2700＝5100（元） a=30 答： 的值是 30。 变式1．（2025·湖南长沙·小升初真题）张欣和李明相约到图书城去买书。 张欣：“听说花20元办张会员卡，买书可以享受8折优惠？” 李明：“是的，我上次买了几本书，加上办卡的费用，还省了12元。” 李明上次所买书籍的原价是______元。 【答案】160 【详解】解：设李明上次所买书籍的原价为x元。 x－（20＋80%x）＝12 x－（20＋0.8x）＝12 x－20－0.8x＝12 0.2x－20＝12 0.2x－20＋20＝12＋20 0.2x＝32 0.2x÷0.2＝32÷0.2 x＝160 所以李明上次所买书籍的原价是160元。 变式2．（2025·重庆江北·小升初真题）李师傅以1元钱3个苹果的价格买进苹果若干个，以1元钱2个苹果的价格将这些苹果卖出，卖出一半后，因为苹果降价只能以2元钱7个苹果的价格将剩下的苹果卖出。不过最后他不仅赚了24元钱，还剩下了1个苹果，那么他买了个___________苹果。 【答案】408 【详解】解：设李师傅买了个苹果。 ＋－＝24 ＝24 ＝24 ＝24 ＝24＋ ＝24＋ ＝ ＝ ＝ ＝ 变式3．（2025·重庆江北·小升初真题）商店里有玻璃杯和保温杯两种杯子，保温杯比玻璃杯贵10元，妈妈带的钱如果买10个玻璃杯还剩6元，如果买5个保温杯还缺4元，妈妈带了___________元钱。 【答案】86 【详解】解：设玻璃杯单价为x元，则保温杯单价为（x＋10）元。 10x＋6＝5（x＋10）－4 10x＋6＝5x＋50−4 10x＋6＝5x＋46 10x－5x＋6＝5x－5x＋46 5x＋6＝46 5x＋6－6＝46－6 5x＝40 5x÷5＝40÷5 x＝8 总钱数：10×玻璃杯单价＋6 ＝10×8＋6 ＝80＋6 ＝86（元） 变式4．（25-26·福建·七年级期中）某社区超市第一次用6000元购进一批甲乙两种商品，其中甲商品的件数比乙商品件数的2倍少30件，两件商品的进价和售价如下图所示： (1)超市购进的这批货中甲乙两种商品各有多少件？ (2)该超市第二次分别以第一次同样的进价购进第二批甲乙两种商品，其中乙商品的件数是第一批乙商品件数的3倍，甲商品件数不变，甲商品按照原售价销售，乙商品在原价的基础上打折销售，第二批商品全部售出后获得的总利润比第一批获得的总利润多720元，求第二批乙商品在原价基础上打几折销售？ 甲 乙 进价（元/件） 22 30 售价（元/件） 29 40 【答案】(1)甲种商品150件，乙种商品90件；(2)9折． 【解析】（1）解：设第一次购进乙种商品m件，则购进甲种商品（2m﹣30）件， 依题意，得：30m+22×（2m﹣30）＝6000， 解得：m＝90，∴2m﹣30＝150， 答：超市购进的这批货中甲种商品150件，乙种商品90件． （2）设第二次乙种商品是按原价打y折销售， 由（1）可知，第一次两种商品全部卖完可获得利润为： （29﹣22）×150+（40﹣30）×90＝1950（元）． 依题意得：（29﹣22）×150+（40×﹣30）×90×3＝1950+720，解得：y＝9． 答：第二次乙种商品是按原价打9折销售． 题型8、列方程解应用题之分段计费问题 【解题技巧】 此类题型，收费往往因为不同的分段，标准会不一样。因此，在列写此类问题的等式方程时，需要先依据题意将路程进行合理分段，然后在按照不同分段中的收费标准列写等式方程。 常见试题背景：水费、电费、气费、车费、纳税、社保医保体系等 例1．（2025·新疆克拉玛依·小升初真题）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取了价格调控手段，该市自来水收费见价目表。 价目表 每月用水量 单价 不超过6立方米 每立方米2元 超过6立方米不超过10立方米的部分 每立方米4元 超过10立方米部分 每立方米8元 注：水费按月结算 (1)若该户居民1月份用水12.5立方米，则应该收水费多少元？ (2)若某户居民2月份上缴水费40元，则2月份的用水量是多少立方米？ (3)若该户居民3、4月份共用水15立方米（4月份用水量超过3月份的用水量），共缴水费44元，则该户居民3、4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)48元(2)11.5立方米(3)3月份用水4立方米，4月份用水11立方米 【详解】（1）2×6＋（10－6）×4＋（12.5－10）×8 ＝12＋4×4＋2.5×8 ＝12＋16＋20 ＝48（元） 答：应该收水费48元。 （2）超过10立方米部分：（40－2×6－4×4）÷8 ＝（40－12－16）÷8 ＝12÷8 ＝1.5（立方米） 2月份用水：10＋1.5＝11.5（立方米） 答：2月份用水为11.5立方米。 （3）解：设3月用水x立方米，则4月用水（15－x）立方米。 （1）当0＜x＜6，6＜15－x≤10时 2x＋6×2＋4×（15－x－6）＝44 2x＋6×2＋4×（9－x）＝44 2x＋12＋36－4x＝44 48－2x＝44 48－2x＋2x＝44＋2x 44＋2x－44＝48－44 2x＝4 2x÷2＝4÷2 x＝2 与6＜15－x≤10矛盾，舍去。 （2）当0＜x＜6，10＜15－x时 2x＋6×2＋4×4＋8×（15－x－10）＝44 2x＋12＋16＋8×（5－x）＝44 2x＋12＋16＋40－8x＝44 68－6x＝44 68－6x＋6x＝44＋6x 44＋6x＝68 44＋6x－44＝68－44 6x＝24 6x÷6＝24÷6 x＝4 四月份：15－4＝11（立方米） （3）当6＜x＜10，6＜15－x＜10时 2×6×2＋4×（x－6＋15－x－6）＝44 24＋4×3＝44 左边＝36，右边＝44 36≠44 方程无解。 答：3月份用水为4立方米，4月份用水为11立方米。 例2．（2026六年级·成都·小升初模拟）某市居民家庭全年用气（天然气）量划分为三档，气价实行超额累进加价，先用第一档，再用第二档，最后用第三档。例如：王明家年用气量为400立方米，前360立方米按2.53元计算，后40立方米按2.78元计算。 用气量（立方米） 单价（元） 第一档 0－360（含） 2.53 第二档 360－600（含） 2.78 第三档 600以上 3.54 （1）李强家年用气量为440立方米，李强家需交燃气费多少元？ （2）赵刚家全年的燃气费平均每立方米2.60元，赵刚家年用气量是多少立方米？ 【答案】（1）1133.20元（2）500立方米 【详解】（2）360×2.53＋（440－360）×2.78＝910.8＋80×2.78＝910.8＋222.4＝1133.2（元） 答：李强家需交燃气费1133.2元。 （2）600立方米用气量的总费用：360×2.53＋240×2.78＝910.8＋667.2＝1578（元） 平均每立方米的费用：1578÷600＝2.63（元） 2.60＜2.63，因此用气量不足600立方米。 设赵刚家用气量为立方米。 答：赵刚家年用气量是500立方米。 变式1．（25-26·山东·七年级校考期中）潍坊出租车采用阶梯式的计价收费办法如下表： 行驶里程 计费方法 不超过3公里 起步价8元 超过3公里且不超过7公里的部分 每公里按标准租费收费 超过7公里且不超过25公里的部分 每公里再加收标准租费的50% 超过25公里且不超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的75% 超过100公里的部分 每公里再加收标准租费的100% 说明：行驶里程不足1公里，按1公里计算； 行驶里程超过3公里时的标准租费为1.8元/公里． 若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为（       ） A．13公里 B．12公里 C．11公里 D．10公里 【答案】C 【详解】解：设行驶里程为x公里，乘车费用为26元． 若，根据题意得，不成立． 若，根据题意得．解得（舍）． 若，根据题意得．解得． 若，根据题意得． 解得（舍）． 若时，根据题意得． 解得（舍）． ∴若某人一次乘车费用为26元，那么行驶里程为11公里．故选：C． 变式2．（2024·山东德州·小升初真题）滴滴网约车是通过网络预约的出租车，下表是滴滴网约车各费用项计价方式。 【起步价】包含一定里程和时长 普通时段 5.00元/含2.3千米；含7分钟 00：00～09：00 17：00～00：00 6.00元/含2.3千米；含7分钟 【里程费】超出起步里程后计算 【时长费】超出起步时长后计算 普通时段 1.55元/千米 普通时段 0.30元/分钟 00：00～06：00 23：00～00：00 2.40元/千米 00：00～06：00 23：00～00：00 0.60元/分钟 说明：包含里程或包含时长任意一项超出，将在起步价基础上累加计费；超出部分计数单位以整数计，例如0.1千米为1千米，0.1分钟为1分钟。 （1）李叔叔6月3日晚上9时在滴滴出行平台预约了一辆车，里程和时长如图，李叔叔需要支付多少元？ （2）6月14日早上5：30李叔叔又在该平台预约了出行服务，时长6分钟，共支付10.8元，李叔叔本次里程最长多少千米？ 【答案】（1）14.95元（2）4.3千米 【详解】（1）6.5－2.3＝4.2（千米） 4.2千米≈5千米 6＋5×1.55＋（11－7）×0.3 ＝6＋7.75＋4×0.3 ＝13.75＋1.2 ＝14.95（元） 答：李叔叔需要支付14.95元。 （2）设李叔叔本次里程最长x千米。 6＋（x－2.3）×2.4＝10.8 6＋（x－2.3）×2.4－6＝10.8－6 （x－2.3）×2.4＝4.8 （x－2.3）×2.4÷2.4＝4.8÷2.4 x－2.3＝2 x－2.3＋2.3＝2＋2.3 x＝4.3 答：李叔叔本次里程最长4.3千米。 变式3．（25-26六年级下·广东·校考期中）某保险公司的医疗保险方案针对住院治疗的病人享受分段报销，保险公司制定的报销细则如下表。某人住院治疗后得到保险公司报销金额是1000元，那么此人住院的医疗费是多少元？ 住院医疗费（元） 报销率（%） 不超过500元的部分 0 超过500不超过1000元的部分 60 超过1000不超过3000元的部分 70 …… 【答案】2000元 【详解】解：设住院医疗费是x元。 答：此人住院的医疗费是2000元。 题型9、列方程解应用题之数字与日历问题 【解题技巧】 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a． 例1．（2025·河南商丘·小升初真题）一个两位数，十位上的数比个位上的数少，把它各数位上的数字互换所得的数比原来大18，原来这个数是______。 【答案】13 【详解】解：设个位上的数字为，则十位上的数字为。 ＝ ＝1 所以，个位上的数字为3，十位上的数字为1，原来这个数是13。 例2．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）6条谜语让50人猜测，共猜对了178条。已知每人至少猜对2条，且猜对2条的有16人，猜对4条的有9人，猜对3条和5条的人数一样多，那么6条全猜对的有( )人。 【答案】5 【详解】猜对3条、5条、6条一共的人数： 50－16－9＝25（人） 分别猜对3条、5条、6条的人一共猜对的总条数： 178－2×16－4×9 ＝178－32－36 ＝110（条） 解：设猜对3条的有人，猜对5条的有人，猜对6条的有（25－－）人。 猜对6条的人数： 25－10－10 ＝15－10 ＝5（人） 所以猜对6条的人数为5人。 例3．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）数学文化节的选手，平均分数是66分，其中男选手比女选手多50%，而女选手的平均分比男选手高25%，女选手的平均分数是______分。 【答案】75 【详解】假设女选手有2人。 男选手人数：2×（1＋50%）＝2×150%＝2×1.5＝3（人） 总分数：66×（2＋3）＝66×5＝330（分） 解：设男选手的平均分数为x分，则女选手的平均分数为（1＋25%）x分。 3x＋2×（1＋25%）x＝330 3x＋2×125%x＝330 3x＋2×1.25x＝330 3x＋2.5x＝330 5.5x＝330 5.5x÷5.5＝330÷5.5 x＝60 60×（1＋25%） ＝60×125% ＝60×1.25 ＝75（分） 例4．（24-25六年级下·重庆渝中·期末）如图，是某月的月历。 （1）带阴影的十字框中的5个数的和与十字框中间的数有什么关系？ （2）这个结论对于任何一个月的月历都成立吗？说明理由。 （3）在该月的月历上用十字框框出5个数，能使这5个数的和为100吗？ 【答案】（1）5倍（2）都成立；理由见详解（3）不能 【详解】（1）9＋15＋16＋17＋23＝80 80÷16＝5 答：带阴影的十字框中的5个数的和是十字框中间的数的5倍。 （2）假设中间数为x。 （x－1）＋x＋（x＋1）＋（x－7）＋（x＋7） ＝ x－1＋ x ＋ x＋1＋ x－7＋ x＋7 ＝5x 5x÷x＝5 答：这个结论对于任何一个月的月历都成立。 （3）解：设中间数为x。 5x＝100 5x÷5＝100÷5 x＝20 答：在该月历上，20是最后一列上的数，不能成为十字框中间的数。 变式1．（2025·重庆江北·小升初真题）一个最简分数的分子与分母的和为17，且分子减少3，分母增加6后得到的新分数化简后为，则原分数为___________。 【答案】 【详解】解：设原分数分子为，则分母为。 分母： 原分数为： 变式2．（2025·湖北黄石·小升初真题）有着3500多年历史的盘龙城遗址是我国商代前期的城址，是武汉的城市之根。盘龙城国家考古遗址公园的核心保护区面积为1.39平方千米，比公园规划占地面积的多0.08平方千米，公园规划占地面积是多少平方千米？（列方程解答） 【答案】6.55平方千米 【详解】解：设公园规划占地面积是x平方千米。 x＋0.08＝1.39 x＋0.08－0.08＝1.39－0.08 x＝1.31 x×5＝1.31×5 x＝6.55 答：公园规划占地面积是6.55平方千米。 变式3．（24-25六年级下·福建莆田·期中）有两根长度相同的蜡烛，粗的可燃3小时，细的可燃2小时。一天晚上8时停电，莉莉同时点燃两根蜡烛。通电时，莉莉发现粗蜡烛余下长度正好是细蜡烛的2倍。请问什么时候来电？ 【答案】晚上9时30分 【详解】解：设停电时间为小时，把蜡烛的长度看作单位“1”。 粗蜡烛每小时燃烧，细蜡烛每小时燃烧。 由题意得： 小时 ＝小时分 时＋小时分＝时分 答：晚上9时30分来电。 变式4．（24-25六年级下·北京海淀·开学考试）下图为2018年1月的月历，认真观察图1中的方框圈出五个数的关系，回答下列问题： 图1                                                      图2 （1）请你用相同的方框在图2中圈出五个数，使得五个数的和为115； （2）圈出的五个数的和能为130吗？若能，在图中圈出，若不能，说明理由。 【答案】（1）见详解（2）圈出的五个数的和不能为130，因为根据观察得知的规律，五个数的和是中间数的5倍，则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130。 【详解】（1）解：设中间的数为。 画图如下： （2） 答：圈出的五个数的和不能为130，因为根据观察得知的规律，五个数的和是中间数的5倍，则中间数为26，在图2中26的下方没有数字，所以五个数的和不能是130。 变式5．（25-26·河南·七年级期中）将连续的奇数1、3、5、7、9、11等，按一定规律排成如图：图中的T字框框住了四个数字，若将T字框上下左右移动，按同样的方式可框住另外的四个数．若将T字框上下左右移动，则框住的四个数的和不可能得到的数是（       ） A．34 B．62 C．118 D．158 【答案】A 【详解】由题意，设T字框内处于中间且靠上方的数为2n﹣1， 则框内该数左边的数为2n﹣3，右边的为2n+1，下面的数为2n﹣1+10， ∴T字框内四个数的和为：2n﹣3+2n﹣1+2n+1+2n﹣1+10＝8n+6．故T字框内四个数的和为：8n+6． A、由题意，令框住的四个数的和为34，则有：8n+6＝34，解得n＝3.5．不满足整数的条件．故框住的四个数的和不能等于34，故本选项符合题意； B、由题意，令框住的四个数的和为62，则有：8n+6＝62，解得n＝7．满足整数的条件．故本选项不符合题意； C、由题意，令框住的四个数的和为118，则有：8n+6＝118，解得n＝14．满足整数的条件．故本选项不符合题意； D、由题意，令框住的四个数的和为158，则有：8n+6＝158，解得n＝19．满足整数的条件．故本选项不符合题意；故选：A． 题型10、列方程解应用题之牛吃草问题 【解题技巧】 解题关键在于理解草的生长和消耗之间的平衡关系，通过设定和计算，找出不变的量（如原有的草量和每天新长的草量），进而解决问题。这类问题不仅考验数学计算能力，也锻炼了逻辑思维和问题解决能力。 例1．（2025·湖南长沙·小升初真题）某游乐场在开门前有400人排队等待，开门后每分钟来的人数是固定的。一个入场口每分钟可以进来10个游客，如果开放4个入场口，20分钟就没有人排队了。现在开放6个入场口，那么开门后多少分钟后就没有人排队了？ 【答案】10分钟 【详解】4×10×20＝800（人） 800－400＝400（人） 400÷20＝20（人/分钟） 解：设开门后分钟就没人排队，由题意列方程 答：开门后10分钟后就没有人排队了。 例2．（2025·重庆渝北·小升初真题）有三块草地，面积分别为7公顷、19公顷、30公顷，每块草地每公顷的草量相等，而且生长速度一样。7公顷草地可供15头牛30只羊吃28天；19公顷草地可供39头牛54只羊吃38天。30公顷的草地可供57头牛72只羊吃_____天。（已知1头牛1天吃的草量相当于4只羊一天吃的草量） 【答案】48 【详解】1头牛1天吃草量相当于4只羊。 7公顷草地：15头牛和30只羊相当于15×4＋30＝90只羊，吃28天。 19公顷草地：39头牛和54只羊相当于39×4＋54＝210只羊，吃38天。 设每公顷初始草量为S（羊单位），每公顷每天生长草量为G（羊单位）。 根据7公顷草地：90×28＝7×S＋7×G×28 即2520＝7S＋196G S＋28G＝360 根据19公顷草地：210×38＝19×S＋19×G×38 即7980＝19S＋722G S＋38G＝420 解方程组： （S＋38G）－（S＋28G）＝420－360 S＋38G－S－28G＝420-360 10G＝60 G＝6 G＝6 代入S＋28×6＝360 S＋168＝360 S＝192 对于30公顷草地：57头牛和72只羊相当于57×4＋72＝300只羊。 初始总草量：30×192＝5760。 每天生长草量：30×6＝180。 设吃T天 则300T＝5760＋180T 120T＝5760 T＝48 因此30公顷草地可供57头牛72只羊吃48天。 例3．（2024·四川成都·小升初真题）甲、乙两管同时打开，10分钟就能注满水池。现在先打开甲管，9分钟后再打开乙管，再过4分钟就注满了水池。已知甲管比乙管每分钟多注入立方米的水，那么这个水池的容积是( )立方米。 【答案】8.4 【详解】设乙管每分钟注水为x立方米，甲管每分钟的注水为（x＋0.28）立方米。 10×（x＋x＋0.28）＝9（x＋0.28）＋4×（x＋x＋0.28） 10×（2x＋0.28）＝9x＋9×0.28＋4×（2x＋0.28） 10×2x＋10×0.28＝9x＋2.52＋4×2x＋4×0.28 20x＋2.8＝9x＋8x＋2.52＋1.12 20x＋2.8＝17x＋3.64 20x－17x ＝3.64－2.8 3x＝0.84 x＝0.84÷3 x＝0.28 则甲管每分钟的注水：0.28＋0.28＝0.56（立方米） 池水的体积：10×（0.28＋0.56）＝10×0.84＝8.4（立方米） 则这个水池的容积是8.4立方米。 变式1．（2024·湖南岳阳·小升初真题）牧场上的青草每天匀速生长。这片牧草可供24头牛吃6周或20头牛吃10周。那么，可供19头牛吃( )周。 【答案】12 【详解】求每周新长草量（20×10－24×6）÷（10－6）＝（200－144）÷4＝56÷4＝14（份） 求牧场原有的草量24×6－14×6＝144－84＝60（份） 计算可供19头牛吃的周数 解：设可供19头牛吃x周。 19x＝60＋14x 19x－14x＝60＋14x－14x 5x÷5＝60÷5 5x×＝60× x＝12 可供19头牛吃12周。 变式2．（2022·河南郑州·小升初真题）某火车站的检票口在检票开始前已经有人在排队，检票开始后平均每分钟有10人来排队等候检票。一个检票口每分钟平均能让25人检票进站。如果只开一个检票口，那么检票开始8分钟后就可以无人排队；如果开两个检票口，那么开始检票 分钟后就暂时无人排队了。 【答案】3 【详解】原来有：25×8－10×8＝200－80＝120（人） 设开两个窗口后x分钟后就暂时无人排队了，则得方程： （25×2）x－10x＝120 解：50x－10x＝120 40x＝120 x＝120÷40 x＝3 所以开始检票3分钟后就暂时无人排队了。 变式3．（25-26六年级·广东·校考期中）甲、乙两个水池同时以相同的速度向外排水（匀速），甲池3小时可以排完，乙池2小时可以排完。开始排水 小时后，甲池的水量是乙池的8倍。 【答案】 【详解】假设甲、乙两水池的排水速度都为1， 解：设开始排水x小时后，甲池的水量是乙池的8倍。 1×3－1×x＝（1×2－1×x）×8 3－x＝（2－x）×8 3－x＝16－8x 3－x＋8x＝16－8x＋8x 3＋7x＝16 3＋7x－3＝16－3 7x＝13 7x÷7＝13÷7 x＝ 开始排水小时后，甲池的水量是乙池的8倍。 题型11、列方程解应用题之其他问题 【解题技巧】 例1．（2025·河南商丘·小升初真题）某次中外公司谈判会议开始10分钟听到挂钟打钟（只有整点时打钟，几点钟就响几下），整个会议当中共听到14下钟声，会议结束时，时针和分针恰好成90度角，求会议开始的时间，结束的时间各是什么时刻。 【答案】开始时间为1：50，结束时间应该是5：或5： 【详解】2＋3＋4＋5＝14，说明会议期间听到2点、3点、4点、5点的钟声。 2：00−10分钟＝1：50 解：设5点过x分钟时针与分针成90°角。 假设当分针在钟面“1－5区间”任意位置时，则： 150＋0.5x－6x＝90 150－5.5x＝90 150＝90＋5.5x 90＋5.5x＝150 5.5x＝150－90 5.5x＝60 x＝60÷5.5 x＝ 对应结束时间为5： 假设当分针在钟面“5－12区间”任意位置时，则： 6x－（150＋0.5x）＝90 6x－150－0.5x＝90 5.5x－150＝90 5.5x＝90＋150 5.5x＝240 x＝240÷5.5 x＝ 对应结束时间为5： 答：会议开始时间为1：50，结束时间应该是5：或5： 例2．（2025·浙江台州·小升初模拟）某游泳馆推出两种付费方式：方式一，单次卡，每次收费30元；方式二，办理会员年卡，一次缴纳240元会员费，每次游泳另外收费14元（一年内有效）。 (1)李叔叔游泳锻炼的计划是一年，每月3次。他选择哪种方式更划算？ (2)一年内游泳达到几次时，两种付费方式所用钱数相等？ 【答案】(1)方式二 (2)15次 【详解】（1）方式一：12×3×30＝1080（元） 方式二：240＋14×3×12＝240＋504＝744（元） 744＜1080，方式二更划算。 答：李叔叔选择方式二更划算。 （2）解：设一年内游泳达到x次时，两种付费方式所用钱数相等。 30x＝240＋14x 30x－14x＝240 16x＝240 x＝15 答：一年内游泳达到15次时，两种付费方式所用钱数相等。 例3．（2025·重庆九龙坡·小升初真题）某班学生去参加义务劳动，其中一组到果园去摘梨子，第一个进园的学生摘了1个梨子，第二个学生摘了2个，第三个学生摘了3个，……以此类推，后来的学生都比前面一个多摘1个梨子，这样恰好平均每个学生摘了11个梨子，请问这组学生的人数是___________人。 【答案】21 【详解】解：设这组学生是x人。 （1＋x）×x÷2＝11x （1＋x）÷2＝11 1＋x＝11×2 1＋x＝22 x＝22－1 x＝21 因此，这组学生的人数是21人。 例4．（2025·重庆江北·小升初真题）甲种酒精纯酒精含量为72%，乙种酒精纯酒精含量为58%，混合后纯酒精含量为62%，如果每种酒精取的数量比原来都多取15升，混合后纯酒精含量为63.25%。第一次混合时，甲、乙两种酒精各取了多少升？ 【答案】甲取12升，乙取30升 【详解】解：第一次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的体积比（62%－58%）∶（72%－62%）＝2∶5 第二次混合时甲种酒精用量是乙种酒精用量的体积比（63.25%－58%）∶（72%－63.25%）＝3∶5 设第一次混合时，甲、乙两种酒精应各取2x升、5x升。 （2x＋15）∶（5x＋15）＝3∶5 5（2x＋15）＝3（5x＋15） 10x＋75＝15x＋45 75－45＝15x－10x 5x＝30 x＝30÷5 x＝6 甲种酒精：2×6＝12（升） 乙种酒精：5×6＝30（升） 答：第一次混合时，甲种酒精取了12升，乙种酒精取了30升。 例5．（2025·浙江杭州·小升初真题）中国北斗卫星导航系统是我国自主研制的全球卫星导航系统，目前在轨卫星有50颗，比全球定位系统（GPS）卫星数量的少6颗。全球定位系统（GPS）有几颗卫星？（用方程解） 【答案】98颗 【详解】解：设全球定位系统（GPS）有颗卫星。 －6＝50 ＝50＋6 ＝56 ＝56÷ ＝56× ＝98 答：全球定位系统（GPS）有98颗卫星。 变式1．（2025·重庆江北·小升初真题）两箱图书共有66本，甲箱如果借出10本，就比乙箱少4本。甲箱原有图书___________本。 【答案】36 【详解】解：设甲箱原有图书为x本，则乙箱原有图书为（66－x）本。 66－x－（x－10）＝4 66－x－x＋10＝4 76－2x＝4 2x＝76－4 2x＝72 x＝72÷2 x＝36 答：甲箱原有图书36本。 变式2．（2025·广东广州·小升初模拟）小明三天读完一本书，第一天读了全书的，第二天比第一天多读了8页，余下64页没有读，这本书有________页。 【答案】120 【详解】解：设这本书有 页，第一天读了 页，第二天读了 页，第三天读了 64 页。 所以这本书有 120 页。 变式3．（2025·四川绵阳·小升初真题）绵阳有一古寺叫圣水寺，在这座寺庙里，3个和尚合吃一碗饭，4个和尚合分一碗汤，一共用了364个碗。圣水寺里的和尚一共有( )个。 【答案】624 【详解】解：设圣水寺里的和尚一共有个。 ＋＝364 ＋＝364 ＝364 ＝364÷ ＝364× ＝624 圣水寺里的和尚一共有624个。 变式4．（2025·广东广州·小升初模拟）红旗小学六（1）班王老师、李老师带领45个学生去公园春游，大船每条船坐7人，小船每条船坐4人，共有8条船，则大船有________条，小船有________条。 【答案】 5 3 【详解】解：设大船有条，则小船有条。 8－5＝3（条） 所以，大船有5条，小船有3条。 变式5．（2025·河南郑州·小升初真题）实验小学五年级共有学生152人，选出男同学的和5名女同学参加科技小组，剩下的男、女同学人数正好相等。五年级男同学有( )人。 【答案】77 【详解】解：设五年级男同学为人，则女同学为（152－）人。 答：五年级男同学有77人。 1．（25-26六年级下·重庆江北·期中）“双11”某网店所有商品打五折出售。聪聪的妈妈在该网店购得运动鞋一双，加上邮费（邮费相当于原价的5%）共付132元，这双运动鞋的原价是（    ）。 A．264 B．240 C．260 D．132 【答案】B 【详解】解：设原价为元。 所以这双运动鞋的原价是元。 2．（25-26六年级上·四川乐山·期末）市中区某小学今年六年级毕业学生450人，比去年多了，该小学去年毕业学生多少人？设去年毕业学生人，下面方程正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据等量关系“去年毕业的学生×（1＋）＝今年毕业的学生”，列方程为： 3．（25-26六年级上·广西钦州·期中）现在弟弟的年龄恰是哥哥的，而六年前弟弟年龄只是哥哥的，哥哥现在的年龄是（    ）。 A．14岁 B．16岁 C．18岁 D．20岁 【答案】C 【详解】解：设哥哥今年的年龄是岁。 哥哥现在的年龄是18岁。故答案为：C 4．（2026·成都·小升初模拟）“神24”电力机车以超强的牵引动力刷新了世界纪录。现安排运送一批货，如果增加28节车厢，10次就可以运完；如果只增加1节车厢，需要20次才可以运完。现在增加了19节车厢，运完这批货需要（    ）次。 A．11 B．12 C．15 D．17 【答案】B 【详解】设原来有x节车厢，每节车厢每次运货量为1份。 增加28节车厢时，车厢总数为（x＋28）节，10次运完，货物总量为（x＋28）×10份； 增加1节车厢时，车厢总数为（x＋1）节，20次运完，货物总量为（x＋1）×20份。 因货物总量不变，列方程： （x＋28）×10＝（x＋1）×20 解：10x＋280＝20x＋20 10x-10x＋280＝20x-10x＋20 10x＋20＝280 10x＋20-20＝280-20 10x＝260 10x10＝26010 x＝26 计算货物总量：代入x＝26，选第一种情况：（26＋28）×10＝54×10＝540（份） 增加19节车厢后，车厢总数为26＋19＝45（节），每节每次运1份，每次运45×1＝45（份） 所需次数为540÷45＝12（次） 5．（25-26七年级下·河北保定·期中）我国古代数学著作《九章算术》中有一道“以绳测井”的题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，井深几何？这道题大致意思是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺，问井深多少尺？下列说法正确的是（   ） A．设井深为尺，所列方程为 B．设绳子的长为尺，所列方程为 C．绳子的长是32尺 D．井深8尺 【答案】D 【详解】解：设井深尺，根据题意得，故选项A错误，不符合题意； 解得：，井深8尺，故选项D正确，符合题意； ，绳子的长是尺，故选项C错误，不符合题意； 设绳子的长为尺，根据题意得，故选项B错误，不符合题意；故选：D． 6．（25-26六年级上·山东潍坊·期末）当人体的上半身和下半身的比约为0.618：1时，会给人一种优美的视觉感受，人们称它为“黄金比”。明明的妈妈上半身长61.8cm，下半身长94cm，按照“黄金比”，她应该选择( )cm高的高跟鞋。 【答案】6 【详解】解：设她应该选择xcm高的高跟鞋。 61.8∶（94＋x）＝0.618 61.8÷（94＋x）×（94＋x）＝0.618×（94＋x） 0.618×（94＋x）＝61.8 0.618×（94＋x）÷0.618＝61.8÷0.618 94＋x＝100 94＋x－94＝100－94 x＝6 7．（2025·江苏无锡·小升初模拟）延时服务时，老师带来象棋、飞行棋共12副。恰好可供全班38名同学进行活动。象棋2人下一副，飞行棋4人下一副。象棋有( )副，飞行棋有( )副。 【答案】 5 7 【详解】根据分析：设象棋有副，则飞行棋有副。 根据总人数可列方程： 解： 则飞行棋有（副），因此，象棋有5副，飞行棋有7副。 8．（2025·重庆渝北·小升初真题）现在是北京时间上午9点，再过____分时，时针和分针首次在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。 【答案】 【详解】解：设再过x分时时针和分针在6的两侧离6字的夹角相等。 180－6x＝90＋0.5x 6x＋0.5x＝180－90 6.5x＝90 x＝90÷6.5 x＝ 现在是北京时间上午9点，再过分时，时针和分针首次在“6”的两侧离“6”字的夹角相等。 9．（2026·山东德州·小升初模拟）张叔叔运送了250件瓷器，规定完整运一个到目的地可以得到运送费20元，损坏一个赔偿100元，运完这批瓷器张叔叔共得到运费4160元，张叔叔在运输过程中，完整运送了( )件瓷器，损坏了( )件瓷器。 【答案】 243 7 【详解】解：设损坏了件瓷器，则完整运送了（250－）件瓷器。 20×（250－）－100＝4160 20×250－20－100＝4160 5000－（20＋100）＝4160 5000－120＝4160 120＝5000－4160 120＝840 ＝840÷120 ＝7 250－7＝243（件） 完整运送了243件瓷器，损坏了7件瓷器。 10．（25-26六年级·重庆·培优）自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩每分钟走35级台阶，女孩每分钟走22级台阶。男孩用了3分钟到达楼上，女孩用了4分钟到达楼上。这个自动扶梯共有 级台阶露在外面。 【答案】156 【详解】解：设扶梯每分钟走x个台阶。 3x＋3×35＝4x＋4×22 3x＋105＝4x＋88 3x＋105－3x＝4x＋88－3x 105＝x＋88 105－88＝x＋88－88 17＝x x＝17 3×17＋3×35 ＝51＋105 ＝156（级） 这个自动扶梯共有156级台阶露在外面。 11．（25-26六年级下·山东聊城·期中）4月23日为世界读书日，新华书店新购进一批图书，其中故事书有640本，比科技书多25%，新购进科技书多少本？（列方程解答） 线段图： 数量关系式： 解答： 【答案】画图见详解；科技书的本数×（1＋25%）＝故事书的本数；512本 【详解】如图： 数量关系式：科技书的本数×（1＋25%）＝故事书的本数 解：设新购进科技书x本。 （1＋25%）x＝640 1.25x＝640 1.25x÷1.25＝640÷1.25 x＝512 答：新购进科技书512本。 12．（25-26六年级上·山西临汾·期末）艺术节就要到了，学校为锣鼓队表演的学生们统一购买了小号，中号，大号的演出服装共260套，中号服装比小号多70套，大号服装比小号少50套，大号、中号、小号演出服装各多少套？ 【答案】大号30套；中号150套；小号80套 【详解】解：设小号演出服有x套，则中号有（x＋70）套，大号有（x－50）套。 x＋（x＋70）＋（x－50）＝260 x＋x＋70＋x－50＝260 3x＋20＝260 3x＋20－20＝260－20 3x＝240 3x÷3＝240÷3 x＝80 中号：80＋70＝150（套） 大号：80－50＝30（套） 答：大号演出服有30套，中号演出服有150套，小号演出服装有80套。 13．（25-26六年级上·福建漳州·期末）甲、乙两辆汽车同时从相距512千米的两地相对开出，经过3.2小时相遇。已知甲车的速度是乙车速度的，乙车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 【答案】60千米 【详解】解：设乙车每小时行x千米，则甲车的速度是x千米。 （x＋x）×3.2＝512 x×3.2＝512 x×3.2÷3.2＝512÷3.2 x＝160 x÷＝160÷ x＝160× x＝60 答：乙车每小时行60千米。 14．（2025·重庆·小升初真题）某信用社将10800元分为两部分同时贷给甲、乙两人。一部分以年利率9.5%贷给甲，另一部分以年利率8.5%贷给乙，甲、乙两人一年后同时交来的利息恰好相等。甲、乙各贷款多少元？ 【答案】甲贷款5100元，乙贷款5700元 【详解】解：设甲贷款元，则乙贷款元。 乙贷款：（元） 答：甲贷款5100元，乙贷款5700元。 15．（2025·四川达州·小升初真题）青山果园的苹果树和梨树一共有120棵，其中梨树的棵数是苹果树的。青山果园的苹果树和梨树各有多少棵？（用方程解答） 【答案】苹果树有96棵；梨树有24棵 【详解】解：设青山果园的苹果树有棵，梨树的棵数是。 （棵） 答：青山果园的苹果树有96棵，梨树有24棵。 16．（2025·广东揭阳·小升初模拟）淘气攒了1元硬币和5角硬币这两种硬币，总共75元。其中5角硬币占总枚数的，淘气一共攒了多少枚硬币？（列方程解答） 【答案】120枚 【详解】5角＝0.5元 解：设淘气一共攒了x枚硬币。 0.5×x＋1×（1－）x＝75 0.5×x＋1×x＝75 0.375x＋0.25x＝75 0.625x＝75 x＝75÷0.625 x＝120 答：淘气一共攒了120枚硬币。 17．（2025·四川绵阳·小升初真题）妈妈给红红一些钱去买贺卡，有甲、乙、丙三种贺卡，甲种卡每张0.5元，丙种卡每张1.2元，用这些钱买甲种卡要比买乙种卡多买8张，买乙种卡要比买丙种卡多买6张，妈妈给红红多少钱？乙种卡每张多少钱？ 【答案】12元；0.75元 【详解】解：设用这些钱可以买张丙种卡，则可以买张乙种卡，可以买张甲种卡。 10＋6＝16（张） 1.2×10＝12（元） 12÷16＝0.75（元） 答：妈妈给红红12元，乙种卡每张0.75元。 18．（25-26六年级上·福建漳州·期末）甲、乙两辆汽车同时从相距512千米的两地相对开出，经过3.2小时相遇。已知甲车的速度是乙车速度的，乙车每小时行驶多少千米？（用方程解答） 【答案】60千米 【详解】解：设乙车每小时行x千米，则甲车的速度是x千米。 （x＋x）×3.2＝512 x×3.2＝512 x×3.2÷3.2＝512÷3.2 x＝160 x÷＝160÷ x＝160× x＝60 答：乙车每小时行60千米。 19．（25-26六年级上·广东江门·期中）有甲、乙、丙三辆小轿车同时从同一地点出发，沿同一公路追赶前面的一辆大卡车，这三辆车分别用6分、8分、10分追上大卡车，现在已知甲轿车的速度为每小时120千米，乙轿车每小时100千米，那么丙轿车和大卡车每小时多少千米？ 【答案】丙轿车每小时88千米；大卡车每小时40千米 【详解】6分＝小时，8分＝小时，10分＝小时 解：设大卡车每小时行驶千米。 （120－）×＝（100－）× 12－＝－ －＝－12 －＝ ＝ ＝÷ ＝×30 ＝40 初始距离： （120－40）× ＝80× ＝8（千米） 解：设丙轿车每小时行驶千米。 （－40）×＝8 －＝8 ＝8＋ ＝ ＝÷ ＝×6 ＝88 答：丙轿车每小时88千米，大卡车每小时40千米。 20．（25-26六年级下·江苏盐城·期中）小可和小美一共有378元，小可用去自己钱的，小美用去自己钱的，合买了一套书。这时，两人剩下的钱正好相等。 (1)小可和小美原来分别有多少钱？(2)买完书到家后，妈妈又给了小美一些钱，此时小可和小美的钱数之比是5∶6，你觉得有可能吗？用你喜欢的方法阐述理由。 【答案】(1)小可210元；小美168元(2)可能；理由见详解 【详解】（1）解：设小可原来有元，则小美原来有元。 378－210＝168（元） 答：小可原来有210元，小美原来有168元。 （2） （元） 42÷5＝8.4（元） 8.4×6＝50.4（元） 50.4－42＝8.4（元） 答：可能，妈妈给了小美8.4元。 21．（2025·湖南长沙·小升初真题）据了解，火车票按“”的方法来确定。已知A站至H站总里程数为1500千米，全程参考价为180元。下表是沿途各站至H站的里程数： 车站名 A B C D E F G H 各站至H站的里程数（单位：千米） 1500 1130 910 622 402 219 72 例如，要确定从B站至E站火车票价，其票价为：（元）。 （1）求A站至F站的火车票价（结果精确到1元）； （2）旅客王大妈乘火车去女儿家，上车过两站后拿着火车票问乘务员：我快到站了吗？乘务员看到王大妈手中票价66元，马上说下一站就到了。请问王大妈实际乘车的里程数是多少千米？在哪两个站之间？（要求写出解答过程）。 【答案】（1）154元（2）550千米；从D站上车到G站下车 【详解】（1）1500－219＝1281（千米） 火车票价为：＝＝153.72 ≈ 154（元） 答：A站至F站的火车票价约是154元。 （2）解：设实际乘车里程数为x千米。 ＝66 ＝99000 550 实际乘车里程数为550千米。 查表，各站至H站的里程数：D站622千米，G站72千米。D站至G站的距离为： 622－72＝550（千米） 王大妈上车过两站后，乘务员说下一站就到了。若从D站上车，经过E站和F站后，即将到达G站。 答：王大妈实际乘车的里程数是550千米，从D站上车到G站下车。 22．（25-26六年级上·江苏淮安·期末）为深入推进新时代小学生劳动教育实践，实验小学建设了470平方米的“快乐小农场”，其中萝卜的种植面积比白菜少40平方米，红薯的种植面积比白菜多60平方米。三种种植区的面积分别是多少平方米？（先把下面的线段图补充完整，再解答） 【答案】白菜150平方米；萝卜110平方米；红薯210平方米 【详解】根据分析： 解：设白菜的面积是平方米，则萝卜的面积是平方米，红薯的面积是平方米。 萝卜面积：（平方米） 红薯面积：（平方米） 答：白菜的面积是150平方米，萝卜的面积是110平方米，红薯的面积是210平方米。 23．（2025·江苏·小升初模拟）12月30日光明小学组织了“迎元旦知识竞赛”，共设有20道选择题，各题分值相同，每题必答。如表记录了三位参赛学生的得分情况，根据表中信息回答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 （1）这次竞赛中答对一题得（    ）分；（2）参赛学生小红得分为70分，求她答对了几道题？ （3）参赛学生小明说他的得分为60分，你认为可能吗？请说明理由。 【答案】（1）5（2）15（3）不可能 【详解】（1）根据题意得：这次竞赛中答对一题得100÷20＝5（分）。故答案为：5； （2）这次竞赛中答错一题得94－19×5＝－1（分）， 设小红答对了x道题，则答错了（20－x）道题， 根据题意得：5x－（20－x）＝70解得：x＝15 答：小红答对了15道题； （3）不可能，理由如下：假设小明的得分能是60分，设小明答对了y道题，则答错了（20－y）道题， 根据题意得得：5y－（20－y）＝60，解得：y， 又∵y需为整数，∴y不符合题意，舍去，∴假设不成立， 答：小明的得分不可能是60分。 24．（24-25六年级下·浙江杭州·期末）欢欢与乐乐同时从学校去图书馆，欢欢一开始以6千米/时的速度步行，中途改为速度48千米/时的出租车。乐乐以12千米/时的速度骑自行车，结果欢欢比乐乐提前10分钟到达。学校离图书馆有多远？ 【答案】12千米 【详解】10分钟＝小时 解：设学校离图书馆有x千米。 4÷6＋（x－4）÷48＝x÷12－ 答：学校离图书馆有12千米。 25．（2025六年级下·广东·专题练习）重庆市电价阶梯式收费标准如下表。 分档 用户年用电量（千瓦时） 电费价格（元/千瓦时） 第一档 0～2400（含） 0.52 第二档 2401～4800（含） 0.57 第三档 4801以上 0.82 （1）李阿姨家七月和八月的阶梯电量使用情况如图。李阿姨家八月应付电费多少元？ （2）2023年5月13日，重庆市发展改革委印发了《关于建立居民分时电价机制的通知》，2023年6月1日起，“一户一表”城乡居民用户和居民充电设施用户自愿选择是否执行（分时电价如图）。已经有阶梯电价为什么还要建立分时电价呢？ 【答案】（1）881.58元；（2）见解答 【详解】（1）2400×0.52＋（4800－2400）×0.57＋（5034－4800）×0.82＝1248＋1368＋191.88＝2807.88（元） 2400×0.52＋（3590－2400）×0.57＝1248＋678.3＝1926.3（元） 2807.88－1926.3＝881.58（元） 答：李阿姨家八月应付电费881.58元。 （2）答：重庆市有阶梯电价还要建立分时电价的原因如下（答案不唯一，合理即可）： 阶梯电价主要是鼓励总体节约用电； 而分时电价更强调“错峰用电”，通过调高高峰时段电价、降低低谷时段电价，引导居民将用电需求尽可能转移到低谷时段，从而减轻电网高峰负荷、提高用电效率。配合使用能够更好地促进节约、均衡用电。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $