第03讲-绝对值的概念和应用 小升初衔接讲义2025-2026学年北师大版数学七年级上册

第3讲 绝对值 【课前热身】 1．（2024秋•洪雅县期末）把下列各数填在相应的大括号内： 6，，2.4，，0，，，，，，，． 正数： 　 　； 非负整数： 　 　； 整数： 　 　； 负分数： 　　． 2．（2025•衡水模拟）如图，有一根木条在的左边）在数轴上移动，数轴上，两点之间的距离，当点移动到与点重合时，点恰好对应数轴上的数为4；当点移动到与线段的中点重合时，点所对应的数为 　　 ． 3．（2025•盐山县校级模拟）如图，半径为的圆周上有一点落在数轴上表示的点处，现将圆在数轴上向右滚动2周后点所处的位置在连续整数，之间，则的值是 　　 ． 4．（2024秋•市中区校级月考）点在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此时点所表示的数是　 　；若点所表示的数是点开始时所表示的数的相反数，作同样的移动以后，点表示的数是　 　． 【学习目标】 1、学习绝对值的意义； 2、掌握绝对值的常见题型； 3、理解绝对值的几何意义及应用。 【考点分类】 考点一：绝对值的概念 绝对值：绝对值表示一个数到原点的 ，是一个 。数a的绝对值记作 。正数的绝对值是 ；负数的绝对值是它的 ；0 的绝对值是 。一个数的绝对值永远不可能是 ，最小的绝对值是 。绝对值还有 的作用。 【例1】（2024秋•武侯区校级月考）的相反数是　　 A． B．2.5 C． D． 【例2】（2024秋•青羊区校级月考）绝对值大于1且不大于5的负整数有 　　． 【例3】（2024秋•温江区校级期中）下列结论成立的是　　 A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则． 【例4】（2024秋•武侯区校级月考）已知，则的值为 　　． 【例5】（2024秋•青羊区校级月考）当时，则是　　 A． B． C． D． 【例6】（2024秋•武侯区校级月考）已知，．若，求的值． 【例7】（2024秋•武侯区校级期中）已知，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数，则 　　． 【变式训练】 1．（2024秋•锦江区校级月考）绝对值不大于3的所有负整数的和是 　　． 2．（2024秋•武侯区校级月考）绝对值小于2023的所有整数的积等于　　． 3．（2024秋•双流区校级月考）如果，则 　　． 4．（2024秋•武侯区校级期中）如果，则一定是　　 A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 5．（2024秋•成华区校级月考）已知、是不为0的有理数，且，，，那么用数轴上的点来表示、，正确的是　　 A． B． C． D． 6．（2024秋•成华区校级期中）数轴上某一个点表示的数为，比小2的数用表示，那么的最小值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 7．（2024秋•成都月考）若和互为相反数，和互为倒数，，那么代数式的值为　　． 8．（2024秋•成华区校级月考）若，则的取值范围是 　　． 9．（2024秋•青羊区校级月考）已知，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 考点二：去绝对值 先判断绝对值里的数的正负，然后再对绝对值做等效替换。 【例1】（2024秋•成华区校级月考）若，则　　． 【例2】（2024秋•双流区校级月考）有理数，，在数轴上的位置如图所示 （1）用“”“ ”或“”填空：　　0，　　0，　　0； （2）化简：． 【例3】（2024秋•锦江区校级月考）有理数，在数轴上的位置如图所示，有以下结论：①，；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 　　（填序号）． 【例4】（2024秋•南昌县期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： （1）当时，求的值． （2）当时，求的值． （3）若有理数不等于零，求的值． （4）若有理数、均不等于零，试求的值． 【变式训练】 1．（2024秋•成都月考）有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：　　． 2．（2024秋•青羊区校级月考）有理数、、在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“”或“”填空： 　　0， 　　0， 　　0． （2）化简：． 3．（2024秋•温江区校级期中）已知，为有理数，，，则 　　． 4．（2024秋•永安市期中）（1）已知是非零有理数，试求的值； （2）已知，是非零有理数，试求的值； （3）已知，，是非零有理数，请直接写出的值． 考点三：绝对值的非负性 非负性：一个数的 和 一定是非负数。 【例1】（2024秋•双流区校级月考）如果，那么的值为　　 A． B．2023 C． D．1 【例2】（2024秋•成都月考）若与互为相反数，则　　． 【例3】（2024秋•武侯区校级期中）当时，代数式有最小值，则的值为 　　． 【变式训练】 1．（2024秋•成都月考）（1）已知，，且，求的值． （2）已知是最大负整数，，是有理数，且有，求的值． 2．（2024秋•青羊区校级月考）若与互为相反数，则　　． 3．（2024秋•郫都区期末）如果，那么的值为 　　． 4．（2024秋•临平区月考）式子能取得的最小值是　 　，这时　 　；式子能取得的最大值是　 　，这时　 　． 考点四：绝对值的几何性质 绝对值的几何性质：两数之差的绝对值表示数轴上这两个点之间的 。 【例1】（2024秋•山阳区校级月考）结合数轴与绝对值知识解答下列问题： （1）数轴上表示3和2两点间的距离是 　　；表示和2两点间的距离是 　　；一般地，数轴上表示数和数两点间的距离　　； （2）如果在数轴上表示数的点与的距离是3，那么等于多少？ （3）如果数轴上表示数的点位于和2之间，求的值． 【例2】（2024秋•武侯区校级月考）满足的自然数有 　　个． 【变式训练】 1．（2024秋•武侯区校级月考）【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）若，则　　； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数，使所表示的点到2和所对应的点的距离之和为3． （3）由以上探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 2．（2024秋•饶平县校级期中）当式子取最小值时，相应的的取值范围是 　　，最小值是 　　． 【过关精练】 1．（2024秋•南召县期末）若，则的值为　　． 2．（2024秋•沭阳县月考）若有理数是负数，化简：　　． 3．（2024秋•洪雅县期末）如果，，，那么，，，按从小到大顺序排列为 　　． 4．（2024秋•凉州区期中）已知与互为相反数，则　　． 5．（2024秋•青羊区校级月考）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于1，则 　　． 6．（2024秋•青羊区期中）已知、、在数轴上的位置如图所示，化简：　　． 7．（2024秋•利川市期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　　；表示和2两点之间的距离是　　；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么　　． （2）若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为　　； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是　　． （4）当　　时，的值最小，最小值是　　． 8．已知，试确定的值． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3讲 绝对值 【课前热身】 1．（2024秋•洪雅县期末）把下列各数填在相应的大括号内： 6，，2.4，，0，，，，，，，． 正数： 　6，2.4，，，　； 非负整数： 　　； 整数： 　　； 负分数： 　　． 【解答】解：正数：，2.4，，，， 非负整数：，0，， 整数：，，0，，， 负分数：，，， 故答案为：6，2.4，，，；6，0，；6，，0，，；，，． 2．（2025•衡水模拟）如图，有一根木条在的左边）在数轴上移动，数轴上，两点之间的距离，当点移动到与点重合时，点恰好对应数轴上的数为4；当点移动到与线段的中点重合时，点所对应的数为 　　 ． 【解答】解：设的长度为， 当点移动到与点重合时，点恰好对应4， 此时点对应的数为， ， 当点到的中点时，点为：， ， 所以点所对应的数为． 故答案为：． 3．（2025•盐山县校级模拟）如图，半径为的圆周上有一点落在数轴上表示的点处，现将圆在数轴上向右滚动2周后点所处的位置在连续整数，之间，则的值是 　14　 ． 【解答】解：圆的半径为， 圆的周长为：， ， ， ， 向右滚动2周后点所处的位置在4与5之间， 将圆在数轴上向右滚动2周后点所处的位置在连续整数，之间， ，， ． 故答案为：14． 4．（2024秋•市中区校级月考）点在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点左侧，若将点向右移动4个单位长度，再向左移动1个单位长度，此时点所表示的数是　0　；若点所表示的数是点开始时所表示的数的相反数，作同样的移动以后，点表示的数是　 　． 【解答】解：因为点在数轴上距原点3个单位长度，且位于原点左侧， 所以，点表示的数为， 移动后点所表示的数是：， 因为点所表示的数是点开始时所表示的数的相反数， 所以，点表示的数为3， 移动后点所表示的数是：， 故答案为0，6． 【学习目标】 1、学习绝对值的意义； 2、掌握绝对值的常见题型； 3、理解绝对值的几何意义及应用。 【考点分类】 考点一：绝对值的概念 绝对值：绝对值表示一个数到原点的 距离 ，是一个 非负数 。数a的绝对值记作|a| 。正数的绝对值是 它本身 ；负数的绝对值是它的 相反数 ；0 的绝对值是 0 。一个数的绝对值 永远不可能是 负数 ，最小的绝对值是 0 。绝对值还有 括号 的作用。 【例1】（2024秋•武侯区校级月考）的相反数是　　 A． B．2.5 C． D． 【解答】解：，的相反数是2.5． 故选：． 【例2】（2024秋•青羊区校级月考）绝对值大于1且不大于5的负整数有 　、、、　． 【解答】解：绝对值大于1而不大于5的所有负整数有：、、、， 故答案为：、、、． 【例3】（2024秋•温江区校级期中）下列结论成立的是　　 A．若，则 B．若，则或 C．若，则 D．若，则． 【解答】解：．若，则为正数或0，故结论不成立； ．若，则与互为相反数或相等，故结论成立； ．若，则为负数，故结论不成立； ．若，若，均为负数，则，故结论不成立； 故选：． 【例4】（2024秋•武侯区校级月考）已知，则的值为 　　． 【解答】解：， ，，． 故答案为． 【例5】（2024秋•青羊区校级月考）当时，则是　　 A． B． C． D． 【解答】解：当时，则． 故选：． 【例6】（2024秋•武侯区校级月考）已知，．若，求的值． 【解答】解：，， ，， ， ，， 当，时，， 当，时，， 综上所述，的值为或． 【例7】（2024秋•武侯区校级期中）已知，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数，则 　　． 【解答】解：，互为相反数，，互为倒数，是最大的负整数， ，，， ，故答案为：． 【变式训练】 1．（2024秋•锦江区校级月考）绝对值不大于3的所有负整数的和是 　　． 【解答】解：绝对值不大于3的负整数有，，， 则它们的和为． 故答案为． 2．（2024秋•武侯区校级月考）绝对值小于2023的所有整数的积等于　0　． 【解答】解：绝对值小于2023的所有整数是，，，0， 它们的积是0， 故答案为：0． 3．（2024秋•双流区校级月考）如果，则 　4或　． 【解答】解：因为， 所以，， 解得或． 故答案为：4或． 4．（2024秋•武侯区校级期中）如果，则一定是　　 A．非正数 B．负数 C．非负数 D．正数 【解答】解：，． 是非正数． 故选：． 5．（2024秋•成华区校级月考）已知、是不为0的有理数，且，，，那么用数轴上的点来表示、，正确的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：，， ，， ，表示数的点到原点的距离比到原点的距离大，故选：． 6．（2024秋•成华区校级期中）数轴上某一个点表示的数为，比小2的数用表示，那么的最小值为　　 A．0 B．1 C．2 D．3 【解答】解：比小2的数用表示， ， ， 那么的最小值就是在数轴上找一点到原点和到2的距离最小， 显然这个点就是在0与2之间， 当在区间0与2之间时， 为最小值， 的最小值为2， 故选：． 7．（2024秋•成都月考）若和互为相反数，和互为倒数，，那么代数式的值为　或　． 【解答】解：和互为相反数，和互为倒数，， ，，， 当时，， 当时，， 综上所述，代数式的值为或． 故答案为：或． 8．（2024秋•成华区校级月考）若，则的取值范围是 　　． 【解答】解：根据绝对值的性质得：， ， 故答案为：． 9．（2024秋•青羊区校级月考）已知，． （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【解答】解：（1），， ，或，， ， ，或，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为或； （2）， ， ，或，， 当，时，， 当，时，， 综上，的值为9或3． 考点二：去绝对值 先判断绝对值里的数的正负，然后再对绝对值做等效替换。 【例1】（2024秋•成华区校级月考）若，则　3　． 【解答】解：， ，． ，． ．故答案为：3． 【例2】（2024秋•双流区校级月考）有理数，，在数轴上的位置如图所示 （1）用“”“ ”或“”填空：　　0，　　0，　　0； （2）化简：． 【解答】解：（1）距离原点比距离原点要近， ， ， ，，， ， 故答案为：；；； （2）由图可知： ，，， 原式 ． 【例3】（2024秋•锦江区校级月考）有理数，在数轴上的位置如图所示，有以下结论：①，；②；③；④；⑤．其中正确的结论有 　①②⑤　（填序号）． 【解答】解：由数轴图可知，，， ①，，正确； ②，正确； ③，错误； ④，错误； ⑤，正确． 其中正确的结论有①②⑤． 故答案为：①②⑤． 【例4】（2024秋•南昌县期中）分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简时，可以这样分类：当时，；当时，；当时，．用这种方法解决下列问题： （1）当时，求的值． （2）当时，求的值． （3）若有理数不等于零，求的值． （4）若有理数、均不等于零，试求的值． 【解答】解：（1）当时，； （2）当时，； （3）若有理数不等于零，当时，，当时，； （4）若有理数、均不等于零，当，是同正数，， 当，是同负数，， 当，是异号，． 【变式训练】 1．（2024秋•成都月考）有理数，，在数轴上的位置如图所示，化简：　　． 【解答】解：由数轴可知：，， 原式， 故答案为：． 2．（2024秋•青羊区校级月考）有理数、、在数轴上的位置如图： （1）判断正负，用“”或“”填空： 　　0， 　　0， 　　0． （2）化简：． 【解答】解：（1）由图可知，，，且， 所以，，，； 故答案为：，，； （2） ． 3．（2024秋•温江区校级期中）已知，为有理数，，，则 　0　． 【解答】解：，， ，， ． 故答案为：0． 4．（2024秋•永安市期中）（1）已知是非零有理数，试求的值； （2）已知，是非零有理数，试求的值； （3）已知，，是非零有理数，请直接写出的值． 【解答】解：（1）当为正数时，；当为负数时，； （2）当，同为正数时，；当，同为负数时，；当，异号时，； （3），． 考点三：绝对值的非负性 非负性：一个数的 和 一定是非负数。 【例1】（2024秋•双流区校级月考）如果，那么的值为　　 A． B．2023 C． D．1 【解答】解：， ，， ，， ． 故选：． 【例2】（2024秋•成都月考）若与互为相反数，则　　． 【解答】解：和互为相反数， ， ，， ，， ． 故答案为：． 【例3】（2024秋•武侯区校级期中）当时，代数式有最小值，则的值为 　11　． 【解答】解：代数式有最小值， ，， 解得：， 故， 则． 故答案为：11． 【变式训练】 1．（2024秋•成都月考）（1）已知，，且，求的值． （2）已知是最大负整数，，是有理数，且有，求的值． 【解答】解：（1），， ，， ， ，， 或； （2）是最大负整数， ； ，，， ，， ． 2．（2024秋•青羊区校级月考）若与互为相反数，则　　． 【解答】解：与互为相反数， ， ，， 解得，， 所以，． 故答案为：． 3．（2024秋•郫都区期末）如果，那么的值为 　　． 【解答】解：， ， ，， 解得，， ． 故答案为：． 4．（2024秋•临平区月考）式子能取得的最小值是　4　，这时　 　；式子能取得的最大值是　 　，这时　 　． 【解答】解：式子能取得的最小值是 4，这时；式子能取得的最大值是 3，这时， 故答案为：4，1，3，0.5． 考点四：绝对值的几何性质 绝对值的几何性质：两数之差的绝对值表示数轴上这两个点之间的 。 【例1】（2024秋•山阳区校级月考）结合数轴与绝对值知识解答下列问题： （1）数轴上表示3和2两点间的距离是 　1　；表示和2两点间的距离是 　　；一般地，数轴上表示数和数两点间的距离　　； （2）如果在数轴上表示数的点与的距离是3，那么等于多少？ （3）如果数轴上表示数的点位于和2之间，求的值． 【解答】解：（1）数轴上表示3和2两点间的距离是； 表示和2两点间的距离是； 一般地，数轴上表示数和两点间的距离； 故答案为：1；5；； （2）依题意有，解得或1； （3）数轴上表示数的点位于和2之间， ． 【例2】（2024秋•武侯区校级月考）满足的自然数有 　7　个． 【解答】解：在数轴上表示数与所对应的两点之间的距离，表示数与6所对应的两点之间的距离， 数轴上表示的点与表示6的点之间的距离为9， 到6之间的所有点均满足等式，即； 为自然数， 满足条件的有0，1，2，3，4，5，6，共7个． 故答案为：7． 【变式训练】 1．（2024秋•武侯区校级月考）【阅读】表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；可以看作，表示5与的差的绝对值，也可理解为5与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． 【探索】 （1）若，则　7或　； （2）利用数轴，找出所有符合条件的整数，使所表示的点到2和所对应的点的距离之和为3． （3）由以上探索猜想，对于任意有理数，是否有最小值？如果有，写出最小值；如果没有，说明理由． 【解答】解：可以理解为与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离， 到2的距离为5的数字有7和， 故答案为7或； （2）， 当时，，（不符合题意舍去）； 当时，， 当时，，（不符合题意舍去）； 综上所述，当时，所表示的点到2和所对应的点的距离之和为3； 所以满足条件的整数为，0，1，2； （3）可以理解为数轴上一个点到2和的距离， 求证方法和（2）相同，故有最小值为5． 2．（2024秋•饶平县校级期中）当式子取最小值时，相应的的取值范围是 　　，最小值是 　　． 【解答】解：由数形结合得， 若取最小值，那么表示的点在和2之间的线段上， 所以，最小值是3． 故答案为：，3． 【过关精练】 1．（2024秋•南召县期末）若，则的值为　　． 【解答】解：根据绝对值意义可知：， 故答案为：． 2．（2024秋•沭阳县月考）若有理数是负数，化简：　　． 【解答】解：是负数， ，． ． 故答案为：． 3．（2024秋•洪雅县期末）如果，，，那么，，，按从小到大顺序排列为 　　． 【解答】解：由题意可知，将，，，表示在数轴上为： ， ，，，的大小顺序为：． 故答案为：． 4．（2024秋•凉州区期中）已知与互为相反数，则　　． 【解答】解：与互为相反数， ， ，， ， ， 故答案为． 5．（2024秋•青羊区校级月考）已知，互为相反数，，互为倒数，的绝对值等于1，则 　或0　． 【解答】解：根据题意得：，，或， 当时，； 当时，． 故答案为：或0． 6．（2024秋•青羊区期中）已知、、在数轴上的位置如图所示，化简：　　． 【解答】解：、在原点的左侧，， ，， ，， ， ， ， 原式 ． 故答案为：． 7．（2024秋•利川市期中）结合数轴与绝对值的知识回答下列问题： （1）数轴上表示4和1的两点之间的距离是　3　；表示和2两点之间的距离是　　；一般地，数轴上表示数和数的两点之间的距离等于．如果表示数和的两点之间的距离是3，那么　　． （2）若数轴上表示数的点位于与2之间，则的值为　　； （3）利用数轴找出所有符合条件的整数点，使得，这些点表示的数的和是　　． （4）当　　时，的值最小，最小值是　　． 【解答】解：（1）， ， ， 所以，或， 解得或； （2）表示数的点位于与2之间， ，， ； （3）使得的整数点有，，0，1，2，3，4，5， ． 故这些点表示的数的和是12； （4）有最小值，最小值． 故答案为：3，5，或2；6；12；1；7． 8．已知，试确定的值． 【解答】解： ，， 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$