衔接点02 式与方程（讲义，全国通用北师大版）数学小升初衔接

衔接点02 式与方程 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习了字母表示数（能用字母表示常见数量关系、运算定律、常见几何体的公式等）、简单的一元一次方程及解法，培养的核心数学素养是学生的符号意识和运算能力。 初中阶段主要变化：“数与式”是代数的基本语言，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性，重点关注规律探究；“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系（相等和不等关系），是初中应用广泛的数学工具，初中一元一次方程的解法与小学的方法有所区别。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、推理能力等。 衔接引导 其实小学数学与初中数学实际上是有很多关联的。只要从小六到初一的过度在老师的引导下，找出“数”与“式”之间的内在联系以及区别，在知识间架起衔接的桥梁，也为后面的更多内容打下坚实的基础，这样才能在初中众多的考试面前不乱阵脚，游刃有余。 考点阐释 1．用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 1）用字母表示数和数量关系 （1）一班有男生a人，女生b人，一共有（a＋b）人；（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉共重25x干克； （3）路程＝速度×时间，用字母表示s＝vt；（4）正比例：（一定），反比例：x×y＝k（一定）。 2）用字母表示计算公式及运算定理 长方形周长：C＝2（a＋b）； 长方形面积：S＝ab； 长方体体积：V＝abh或V＝Sh； 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； 乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：（ab）c＝a（bc）； 乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc。 注意：①数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面；②两个相同的字母相乘时，可写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2。 2．等式与方程 1）等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2）等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3）解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 解题方略 探究与表达规律的核心是‌从特殊到一般的归纳推理‌，通过观察、猜想、验证得到通用结论，按数字规律、图形规律两类题型： 一、通用探究步骤 1）从具体问题出发，观察数量或图形的变化特点，找初步的变化趋势；2）合理联想，大胆猜想隐藏的规律；3）通过类比、归纳，整理出通用规律；4）代入其他特殊情况验证规律是否正确。 二、数字规律探究技巧 1）‌联系序号找规律‌：把数字和它所在的位置序号（第1个、第2个……第n个）建立联系，尝试用简单代数式表示出对应关系，再代入验证。 2）‌分组找规律‌：如果数列整体找不到规律，可以尝试相邻几个数分为一组，看组内和组间的关系。 3）‌特殊规律记忆‌：小学常考兔子数列（从第三个数开始，每个数等于前两个数的和，比如0,1,2,3,5,8），记住模型可以直接判断。 三、图形规律探究技巧 1）‌统计数量变化‌：观察每个图形的基础元素个数，数出第1、2、3个图形的数量，转化为数字数列，再按数字规律方法推导第n个图形的数量。 2）‌拆分图形‌：把复杂图形拆成几个部分，分别找每个部分的变化规律再整合，或者分析相邻两个图形的增减量，从增量推导通用公式。 3）‌特殊到一般归纳‌：先从小序号的图形找规律，逐步推导出一般情况，再用其他序号验证规律是否正确。 题型1、字母表示数 【解题技巧】 1）字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数量关系表示出来。 2）用字母表示数的意义：有助于揭示概念的本质特征，能使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义。使思维过程简约化，易于形成概念系统。 例1．（2025·浙江台州·小升初模拟）小亮比小强大3岁，比小花小5岁，如果小强是m岁，小花是（    ）岁。 A．m－3 B．m＋3 C．m＋5 D．m＋8 【答案】D 【详解】m＋3＋5＝（m＋8）岁所以，小花是（m＋8）岁。故答案为：D 例2．（2025·福建宁德·小升初真题）为支持校园“太空蔬菜育种”实验，小宇将积蓄元存入学校合作银行，定期年，年利率为2.8%。到期后，他计划将本金和利息全部投入实验，投入金额表示为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】分析可知，利息表示为，则本息表示为＝，即投入金额表示为。故答案为：B 例3．（2025·河南郑州·小升初真题）一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米。如果高增加2米，体积比原来增加（    ）立方米。 A．2ab B．2abh C． D．8 【答案】A 【详解】ab×（h＋2）－abh＝abh＋2ab－abh＝2ab。所以，体积比原来增加2ab立方米。故答案为：A 变式1．（2025·湖北武汉·小升初真题）三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（    ） A．A B．A－2 C．A－3 D．A－4 【答案】D 【详解】A－2－2＝A－4因此，三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（A－4）。 故答案为：D 变式2．（2025·山东·小升初模拟）一个长方形操场原来的长和宽分别是80米和50米，如果长、宽各增加米，那么它的面积就增加（    ）平方米。 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】80×a＋50×a＋a×a＝80a＋50a＋a2＝（130a＋a2）平方米；所以面积增加了（130a＋a2）平方米。 变式3．（2025·山东菏泽·小升初真题）微信零钱提取现金每人累计享有1000元免费额度，超出额度后，按提取现金金额的0.1%收取手续费。一位微信新注册用户，首次从微信零钱中提取现金a（）元，需支付手续费( )元。 【答案】 【详解】＝＝＝（元） 微信零钱提取现金每人累计享有1000元免费额度，超出额度后，按提取现金金额的0.1%收取手续费。一位微信新注册用户，首次从微信零钱中提取现金a（）元，需支付手续费元。 变式4．（2025·河北保定·小升初模拟）陈叔叔在快递公司上班，每日基本工资100元，每送一件快递另加1.2元。如果陈叔叔每天送m件快递，一天拿到工资( )元。6月25日，陈叔叔送快递160件，这一天他可拿到工资( )元。 【答案】 100＋1.2m 292 【详解】如果陈叔叔每天送m件快递，一天拿到工资（100＋1.2m）或（1.2m＋100）元。 当m＝160；100＋1.2m＝100＋1.2×160＝100＋192＝292（元） 所以，6月25日，陈叔叔送快递160件，这一天他可拿到工资292元。 变式5．（2025·湖北武汉·小升初真题）在一场篮球比赛中，王老师投进x个2分球和y个3分球。2x＋3y表示( )。 【答案】在这场篮球比赛中，王老师得的总分数 【详解】根据分析可知：2x＋3y表示在这场篮球比赛中，王老师得的总分数。 因此，在一场篮球比赛中，王老师投进x个2分球和y个3分球。2x＋3y表示在这场篮球比赛中，王老师得的总分数。 题型2、探究与表达规律 【解题技巧】 观察前n项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 例1．（2026·成都锦江区·小升初模拟）乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符。把音符按照一定规律排列如图所示，①号图由5个八分音符组成，②号图由7个八分音符组成，③号图由9个八分音符组成……，那么第⑤号图由( )个八分音符组成，第n号图由( )个八分音符组成。 【答案】 13 2n＋3 【详解】由分析可知，第⑤号图八分音符有：5＋2×（5－1）＝5＋2×4＝5＋8＝13（个） 第n号图八分音符有：5＋2×（n－1）＝5＋2n－2＝（3＋2n）个 那么第⑤号图由13个八分音符组成，第n号图由（3＋2n）个八分音符组成。 例2．（2025·浙江杭州·小升初真题）中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设5G基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖。这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示： 序号 ① ② ③ …… 图形 …… 每层新增数 6 12 …… （1）根据信息中的规律，填空 第一层总基站数：1个 第二层总基站数：1＋6＝7个 第三层总基站数：7＋12＝19个 第四层新增基站数：________个，总基站数：________个 第五层新增基站数：________个，总基站数：________个 第n层新增基站数规律：________（用含n的式子表示）个 （2）如果第n层总基站数的规律符合关系式3n（n－1）＋1，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？ 【答案】（1）18，37；24，61；6（n－1） （2）169个 【详解】（1）根据分析可知： 每新增一层，新增的基站数为：6×（层数－1）； 6×（4－1）＝6×3＝18（个） 19＋18＝37（个） 所以第四层新增基站数：18个，总基站数：37个； 6×（5－1）＝6×4＝24（个） 37＋24＝61（个） 所以第五层新增基站数：24个，总基站数：61个。 当层数为n时，新增基站数为6×（n－1）＝6（n－1）。 所以第四层新增基站数：18个，总基站数：37个； 第五层新增基站数：24个，总基站数：61个； 第n层新增基站数规律：6（n－1）（用含n的式子表示）个。 （2）当n＝8时，3n（n－1）＋1＝3×8×（8－1）＋1＝3×8×7＋1＝24×7＋1＝168＋1＝169（个） 答：总基站数是169个。 例3．（24-25六年级上·湖北黄冈·期末）如图中的每个小三角形的边长为1，像这样排列下去，第8个图形有( )个小三角形，第个图形有( )个小三角形。 【答案】 64 n2 【详解】8×8＝64（个） n×n＝n2（个） 因此，第8个图形有64个小三角形，第n个图形有n2个小三角形。 例4．（2025·湖北武汉·小升初真题）奥地利数学家皮克（Pick）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系。 (1)观察图形，补全表格。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 ______ b 6 10 6 6 ______ S 2 6 4 ______ 12 (2)观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______。 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______。 根据上述发现，可得：S＝______。（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图形的面积。 【答案】(1)见详解 (2) 1 /0.5 i＋b－1 (3)21 【详解】（1） 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 6 b 6 10 6 6 14 S 2 6 4 8 12 （2）①：图形①、③、④的边界格点b都是6，每增加i，面积对应增加1； 即观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加1。 ②：图形②和③的内部格点i都是2，b增加4时面积增加2，因此b每增加1，面积增加​； 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加。 ③：2＝0＋×6－1＝3－1 6＝2＋×10－1＝2＋5－1 12＝6＋×14－1＝6＋7－1 根据上述发现，可得：S＝i＋b－1。 （3）由图可知i＝15，b＝14： S＝15＋×14－1＝15＋7－1＝21 答：图形的面积为21。 例5．（25-26六年级上·重庆梁平·期末）找规律，填一填。 ，，，( )，，…，第n个分数是( )。（填含有n的字母式）。 【答案】 【详解】观察分数，分子依次为2、5、8……，后一个比前一个多3，所以第4个分数的分子是8＋3＝11，到第n个就多了（n－1）个3， 所以第n个分数的分子是2＋3（n－1）＝3n－1。 2＋3（n－1）＝2＋3n－3×1＝2＋3n－3＝3n－1 分母依次是21、31、41……，后一个比前一个多10，所以第4个分数的分母是41＋10＝51，到第n个就多了（n－1）个10， 所以第n个分数的分母是21＋10（n－1）＝10n＋11。 21＋10（n－1）＝21＋10n－10×1＝21＋10n－10＝10n＋11 因此第4个分数是，第n个分数是。 变式1．（2025·广东湛江·小升初真题）如图所示，小明用小棒搭小房子，搭3间用了13根。照这样搭下去，搭n间小房子用了（    ）根小棒。 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】1＋4×n＝（4n＋1）根；所以搭n间小房子用了（4n＋1）根小棒。故答案为：D 变式2．（25-26六年级上·山西太原·期末）观察下图，找出小正方体个数与露在外面的面数变化的规律，将表格填写完整。 小正方体的个数 1 2 3 4 … … a 露在外面的面数 5 9 13 … 49 … 【答案】17；12；1＋4a 【详解】①4个正方体的立体包含一个顶面和4组侧面，也就是1＋4×4＝1＋16＝17（个）面。 ②先从49个面中减去顶面：49－1＝48（个），再根据一个正方体有4个侧面，用除法得出正方体的个数：48÷4＝12（个）。 ③露在外面的面数＝顶面数＋侧面数，顶面数是1，当小正方体的个数为a时，侧面数是小正方体个数的4倍即4a，此时露在外面的面数为1＋4a（或4a＋1）。 变式3．（2025·浙江宁波·小升初模拟）今年宁海马拉松期间，为了保障运动员休息，主办方搭建如图1的单顶帐篷，需要17根钢管。这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建，那61根钢管可以搭( )顶帐篷；串起来搭建顶帐篷需要( )钢管。 【答案】 5 根 【详解】根据分析： 6＋11n＝61 解：11n－6＝61－6 11n＝55 11n÷11＝55÷11 n＝5 61根钢管可以搭5顶帐篷；串起来搭建顶帐篷需要根钢管。 变式4．（2025·福建宁德·小升初真题）如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人。 (1)观察上图，根据规律将表格补充完整。 餐桌数量 1 2 3 4 5 … 可坐人数 4 6 8 … (2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐( )。 【答案】(1)见详解(2)2n＋2 【详解】（1）综上所述可得：4张餐桌可坐人数：8＋2＝10 5张餐桌可坐人数：10＋2＝12 （2）推导n张餐桌的表达式：由规律可知，n张餐桌可坐人数为2×n＋2＝2n＋2； 综上所述可得，按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐2n＋2 变式5．（25-26六年级下·江苏淮安·期中）如图想一想，可以把1＋3＋5＋7＋…＋39这个算式转化成( )的算式计算，计算结果是( )。 【答案】 202 400 【分析】通过观察前几组算式，发现“从1开始的连续奇数之和等于奇数个数的平方”。据此先计算出1＋3＋5＋7＋…＋39中有多少个奇数，再根据奇数个数的平方来求和。 【详解】观察第一幅图：只有1个奇数，和为1，可以写成12； 观察第二幅图：有2个连续奇数相加（1、3）， 和为4，可以写成22； 观察第三幅图：有3个连续奇数相加（1、3、5）， 和为9，可以写成32； 观察第四幅图：有4个连续奇数相加（1、3、5、7），和为16，可以写成42。 总结规律：从1开始的连续n个奇数相加，其和等于n的平方，即n2。 因为1~40，共有40个数，奇数和偶数的个数各一半，即40÷2＝20（个），所以1＋3＋5＋7＋…＋39中共有20个奇数。因此1＋3＋5＋7＋…＋39可以转化成202。 202＝20×20＝400； 1＋3＋5＋7＋…＋39＝400 题型3、等量代换 【解题技巧】 等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。如果能应用等量代换思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。 例1．（25-26六年级上·江苏淮安·期末）1个菠萝和2个梨一样重，1个梨和3个桃子一样重，120个桃子和（    ）个菠萝一样重。 A．60 B．40 C．20 D．21 【答案】C 【详解】由题意知：1个梨＝3个桃子 1个菠萝＝2个梨 所以，1个菠萝＝2×3个桃子＝6个桃子 因此，120个桃子÷6＝20个菠萝 120个桃子和20个菠萝一样重。 故答案为：C 例2．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）、、各代表一个数，如果，，，那么( )。 【答案】44 【详解】因为△＋○＝40所以○＝40－△ 代入△－○＝16 △－（40－△）＝16 △＋△－40＝16 2△－40＋40＝16＋40 2△＝56 2△÷2＝56÷2 △＝28 ○＝40－28＝12 □＝△＋△－○ ＝28＋28－12 ＝56－12 ＝44 例3．（2025·山东·小升初模拟）已知，且，则( )，( )。 【答案】 8 1.6 【详解】a＝5b 5b＋b＝9.6 解：6b＝9.6 6b÷6＝9.6÷6 b＝1.6 a＝5×1.6＝8 变式1．（2025·河北石家庄·小升初真题）●、■、▲分别表示三种不同的物体，如图，前两个天平保持平衡，如果要使第三个天平保持平衡，那么“？”为( )。 【答案】5 【详解】●＋●＝▲＋■ ●＋■＝▲ 所以●＋●＝●＋■＋■ 即●＝■＋■ 所以●＋▲＝●＋●＋■＝■＋■＋■＋■＋■＝5个■ 即“？”为5。 变式2．（2025·四川绵阳·小升初真题）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□，△×□＝( )。 【答案】108 【详解】△＋□＝24 □＋□＋□＋□＝24 4□＝24 4□÷4＝24÷4 □＝6 △＝3×6＝18 △×□＝18×6＝108 所以△×□＝108。 变式3．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）涵涵买了2支钢笔和7支圆珠笔，如果1支钢笔的价格相当于5支圆珠笔的价格，那么这些笔的总价钱相当于（    ）支圆珠笔的价钱。 A．9 B．15 C．17 D．19 【答案】C 【详解】设一支圆珠笔的价格为1个单位，则一支钢笔的价格为5个单位。 2支钢笔的价格为：2×5＝10个单位。7支圆珠笔的价格为：7×1＝7个单位。 总价格为：10＋7＝17个单位。因此，总价钱相当于17支圆珠笔的价钱。故答案为：C 变式4．（2025·山东·小升初模拟）若，则的值是( )。 【答案】1 【详解】4（）=3a+2b-20=24-20=4，故=4÷4＝1。 题型4、等式与方程的概念辨析 【解题技巧】 1）等式：表示相等关系的式子叫作等式。 2）方程：含有未知数的等式。 3）方程一定是等式，等式不一定是方程。 注意：如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 例1．（2026·江苏淮安·小升初真题）在①57－x＝29，②0.26m＝5.2，③15×2.4＝36，④x－3.5＜21，⑤12＞a÷0.4，⑥a＝b中，等式有( )，方程有( )。（填序号） 【答案】 ①②③⑥ ①②⑥ 【详解】①57－x＝29：有等号、有未知数，是等式也是方程； ②0.26m＝5.2：有等号、有未知数，是等式也是方程； ③15×2.4＝36：有等号、无未知数，只是等式； ④x－3.5＜21：是小于号，不是等式； ⑤12＞a÷0.4：是大于号，不是等式； ⑥a＝b：有等号、有未知数，是等式也是方程。 所以等式有①②③⑥，方程有①②⑥。 变式1．（2025·广东汕头·小升初模拟）下面式子中，是方程的是（    ）。 A．5－x B．18÷3＝6 C．1－2x＝0.5 D．4－3x＜5 【答案】C 【详解】A．5－x含有未知数但是不是等式，不是方程； B．18÷3＝6是等式但是不含有未知数，不是方程； C．1－2x＝0.5是等式并且含有未知数，是方程； D．4－3x＜5含有未知数但不是等式，不是方程。故答案为：C 变式2．（2026·江苏淮安·小升初真题）下面（    ）符合等式与方程之间的关系。 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．表示有的方程不是等式，即方程不一定是等式，不符合等式与方程的关系，表述错误； B．表示方程是等式中的一部分，即方程一定是等式，符合方程与等式的关系，表述正确； C．表示等式是方程的一部分，即方程不一定是等式，不符合方程的定义，表述错误； D．表示等式和方程没有关系，即方程不是等式，不符合方程的定义，表述错误。 变式3．（2026·江苏淮安·小升初真题）比较下面方程中的x和y，其中x小于y的方程是（    ）。 A．x＋20＝y＋5 B．x＋10＝y＋12 C．9x＝10y D．3y＝1.8x 【答案】A 【详解】A．x＋20＝y＋5，因为20＞5，所以x＜y，符合题意； B．x＋10＝y＋12，因为10＜12，所以x＞y，不符合题意； C．9x＝10y，因为9＜10，所以x＞y，不符合题意； D．3y＝1.8x，因为3＞1.8，所以x＞y，不符合题意。 题型5、等式的性质及其运用 【解题技巧】等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 例1．（25-26六年级上·山东德州·期末）锊是有记载可查的最早的质量单位，古有“3锊＝20两”的说法。如果按照现在的质量关系1斤＝10两，那么1锊＝（    ）斤。 A． B． C． 【答案】A 【详解】分析可知，1斤＝10两，则2斤＝20两，因为3锊＝20两，所以3锊＝2斤，由此得出，3锊÷3＝2斤÷3，1锊＝斤。故答案为：A 例2．（2025·成都·小升初模拟）若，则下列选项中错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．因为，根据等式的性质1，在等式两边同时加上3，等式仍然成立，所以，原题干说法正确； B．因为，根据等式的性质2，在等式两边同时乘5，所以5a＝5b，再根据等式的性质1，在等式的两边同时加上4，则5a＋4＝5b＋4，原题干说法错误； C．因为，根据等式的性质2，在等式两边同时乘，所以a＝b，原题干说法正确； D．因为，根据等式的性质2，在等式两边同时乘，所以a＝b，再根据等式的性质1，在等式的两边同时减去5，则a－5＝b－5，原题干说法正确。故答案为：B 例3．（2025·重庆江北·小升初真题）已知，则多项式( )。 【答案】2 【详解】把两个等式的左边和右边分别相加得到： 例4．（2025·四川内江·小升初真题）数学课上，同学们在解决这样一个问题：有两个非零自然数a和b，且，比较a和b的大小。下面分别是三个同学的思考方法： 我用假设的方法，假设，可以得出，。所以。 我利用等式的性质在原等式两边同时乘3。，得到。所以。 我用画图的方法：先用相等的一份分别表示的3份里的1份和的4份里的1份，再把和的全部表示出来，比较线段的总长度就可以了。所以。 三个同学的思考方法中正确的有（    ）个。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【详解】帆帆：假设a×＝b×＝1，a＝1÷＝1×3＝3；b＝1÷＝1×4＝4；因为3＜4，所以a＜b； 依依：a××3＝a；b××3＝b；根据a＝b可知：a是b的，即a＜b； 乐乐：根据分数的意义，把a的、b的看成1份，据此先画出一份的线段长度，根据分数的意义可知a表示这样的3份，b表示这样的4份，根据画出的线段图可知a＜b； 所以三个同学的思考方法都是正确的。故答案为：D 4．（25-26六年级下·江苏·小升初复习）如图，两条直线相交形成四个角，可以用推理说明图中的∠1＝∠3。 推理过程： 因为：，（平角等于 所以：，也就有：，这里运用了（    ）。 A．加法交换律 B．等式的性质 C．加法结合律 【答案】B 【分析】根据平角的意义，有，，然后利用等式的基本性质：等式的两边同时加或减去同一个数，等式的大小不变，据此解答。 【详解】 （平角等于 所以： 也就有： 这里运用了等式的性质。 故答案为：B 变式1．（2024·新疆乌鲁木齐·小升初真题）已知x－2y＝3，那么代数式10－2x＋4y的值是( )。 【答案】4 【详解】10－2x＋4y＝10－（2x－4y）＝10－2（x－2y）＝10－2×3＝10－6＝4 所以代数式10－2x＋4y的值是4。 变式2．（2025·山东聊城·小升初真题）在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是( )。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 【答案】 ① ③ ② 【详解】由，可得，依据是除法是乘法的逆运算； 由，可得，依据是等式的基本性质； 由，可得，依据是等量的等量相等。 填空如下： 在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是（①）；将等式变形得，依据是（③）；计算得，所以，依据是（②）。 变式3．（24-25六年级下·河南南阳·期末）已知：，，下面计算结果错误的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【详解】A．，可得，即，选项正确； B．，可得，即，选项错误； C．，可以先算中间的除法，，得，选项正确； D．，可得，即，选项正确； 已知：，，计算结果错误的是。故答案为：B 变式4．（2025·湖南·小升初模拟）如果，根据等式的性质填空。 ( )      ( ) ( )       ( ) 【答案】 5 m 0.5 【详解】5                m             0.5 变式5．（24-25六年级下·贵州铜仁·期末）如图所示，因为∠1＋∠2＋∠3＝∠3＋∠4，由此可以用推理说明图中∠1＋∠2＝∠4，其划线的这一变化过程运用了（    ）。 A．加法的意义 B．加法交换律 C．加法结合律 D．等式的性质 【答案】D 【详解】因为∠1＋∠2＋∠3＝180°，∠3＋∠4＝180°； ∠1＋∠2＋∠3－∠3＝∠3＋∠4－∠3 所以∠1＋∠2＝∠4，是利用了等式的性质。故答案为：D 题型6、方程的解及其运用 【解题技巧】 1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值； 2）解方程：求方程的解的过程；3）会利用方程的解，求字母的数值。 例1．（2026·江苏淮安·小升初真题）由x＋45＝85得到x＝40，这个过程叫作（    ）。 A．方程 B．方程的解 C．解方程 【答案】C 【详解】 解： 得到的这个过程叫做解方程。 例2．（24-25六年级下·河北秦皇岛·期末）x＝2.5是下列方程（    ）的解。 A．x＋0.4＝2.1 B．2－x＝0.5 C．10x＋5＝18 D．5x－x＝10 【答案】D 【详解】A．x＋0.4＝2.1；x＝2.1－0.4；x＝1.7，不是2.5，排除。 B．2－x＝0.5；x＝2－0.5；x＝1.5，不是2.5，排除。 C．10x＋5＝18 10x＝18－5 10x＝13 x＝1.3，不是2.5，排除。 D．5x－x＝10 4x＝10 x＝10÷4 x＝2.5，符合题意。 例3．（2026·甘肃陇南·小升初模拟）已知方程的解是，则k的值是（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】当时解：；故答案为：A 变式1．（2026·黑龙江七台河·小升初模拟）x＝6是方程（    ）的解。 A．3x＋2＝14 B．x÷5＝3 C．8x－4×12＝0 【答案】C 【详解】A．把x＝6代入方程：左边＝3×6＋2＝20，右边＝14；左边≠右边，所以x＝6不是这个方程的解； B．把x＝6代入方程：左边＝6÷5＝1.2，右边＝3；左边≠右边，所以x＝6不是这个方程的解； C．把x＝6代入方程：左边＝8×6－4×12＝48－48＝0，右边＝0；左边＝右边，所以x＝6是这个方程的解。 故答案为：C 变式2．（2026·浙江·小升初模拟）已知是关于的方程：的解，则( )。 【答案】4 【详解】解：将代入，得： 2×3＋a＝10 a＝10－6 a＝4 变式3．（2026·浙江·小升初模拟）已知是关于的方程：的解，则( )。 【答案】4 【详解】解：将代入，得： 2×3＋a＝10 a＝10－6 a＝4 题型7、解方程 【解题技巧】 1）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 2）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 例1．（2025·河南新乡·小升初真题）解方程或解比例。 （1）     （2） （3）         （4）        （5） （6） 【答案】（1）；（2） （3）x＝4；（4）x＝5；（5）x＝1 （6） 【详解】（1） 解： （2） 解： （3） 解：3x＝2.4×5 3x＝12 3x÷3＝12÷3 x＝4 （4） 解：4x－7.5＝12.5 4x－7.5＋7.5＝12.5＋7.5 4x＝20 4x÷4＝20÷4 x＝5 （5） 解： 1.5＋x＝2.5 1.5＋x－1.5＝2.5－1.5 x＝1 （6） 解： 例2．（2026·成都成华区·小升初模拟）解方程。 （1）      （2）  （3） （4） （5）            （6）  【答案】（1）；（2） （3）x＝1.2 （4） （5）；（6） 【详解】（1） 解： （2） 解： （3）5（x＋6）−3x＝6（2x＋3） 解：5x＋5×6−3x＝6×2x＋6×3 5x＋30−3x＝12x＋18 2x＋30＝12x＋18 12x＋18−2x＝2x＋30−2x 10x＋18＝30 10x＋18－18＝30－18 10x＝12 10x÷10＝12÷10 x＝1.2 （4） 解： （5） 解： （6）解： 变式1．（2026·陕西咸阳·小升初模拟）解方程。 2x－0.5x＝0.3           【答案】；；； 【详解】 解： 解： 解： 解： 变式1．（2025·湖南永州·小升初真题）解方程。 （1）    （2）    （3） 【答案】（1）＝36；（2）＝80；（3）＝12 【详解】（1） 解：＝42 ÷＝42÷ ＝42× ＝36 （2） 解：＝60 ÷＝60÷ ＝60× ＝80 （3） 解：2×（－3.6）＝＋4.8 2－7.2＝＋4.8 2－7.2－＋7.2＝＋4.8－＋7.2 ＝12 变式3．（2025·广东广州·小升初模拟）解方程。 （1）        （2） 【答案】（1）；（2） 【详解】（1） 解： （2） 解： 变式4．（2025·四川绵阳·小升初真题）解方程或解比例。              【答案】；； 【详解】   解：            解： 解： 1．（25-26六年级上·上海·期末）下面表述中，正确的是（    ）。 A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程。 B．含有未知数的式子，叫做方程。 C．表示两边相等关系的式子叫做等式。 D．y＝0是方程2y－30＝30的解。 【答案】C 【详解】A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解，而解方程是求方程的解的过程，因此A错误。 B．含有未知数的等式才叫做方程，仅仅是式子（比如2x＋3）不是方程，因此B错误。 C．表示两边相等关系的式子叫做等式，这是等式的定义，因此C正确。 D．将y＝0代入方程2y－30＝30，左边＝2×0－30＝﹣30，右边＝30，左右两边不相等，因此y＝0不是该方程的解，D错误。故答案为：C 2．（24-25六年级下·西藏·小升初复习）＝25是（    ）方程的解。 A．100÷＝4 B．÷12.5＝3 C．25＋3＝90 D．15＋4＝60 【答案】A 【详解】A．把x＝25代入方程100÷＝4，方程左边＝100÷25＝4＝方程右边，所以x＝25是100÷＝4的解； B．把x＝25代入方程÷12.5＝3，方程左边＝25÷12.5＝2≠方程右边，所以x＝25不是÷12.5＝3的解； C．把x＝25代入方程25＋3＝90，方程左边＝25＋3×25＝25＋75＝100≠方程右边，所以x＝25不是25＋3＝90的解； D．把x＝25代入方程15＋4＝60，方程左边＝15＋4×25＝15＋100＝115≠方程右边，所以x＝25不是15＋4＝60的解。故答案为：A 3．（2026·江苏·六年级小升初模拟）已知方程的解是，则k的值是（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【详解】当时；解：；；故答案为：A 4．（2024·山东济南·小升初真题）如图所示的程序框图，若输入x的值是16，则第一次输出的结果是8，接着将8作为输入值，第二次输出的结果是4，…则第2024次输出的结果是（    ）。 A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】C 【详解】把x＝16代入得：×16＝8，8是偶数；把x＝8代入得：×8＝4，4是偶数； 把x＝4代入得：×4＝2，2是偶数；把x＝2代入得：×2＝1，1是奇数； 把x＝1代入得：1＋3＝4，4是偶数；…通过结果发现，结果按照4、2、1、4、2、1…的规律排列 （2024－1）÷3＝2023÷3＝674……1则第2024次输出的结果是4。故答案为：C 6．（25-26六年级下·陕西渭南·期末）已知、是两个相关联的量，且都不为0，则下面式子中，、成反比例的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A．，根据比例的基本性质可得：，比值一定，则m和n成正比例； B．，和一定，m和n不成比例； C．，根据等式的性质可得：，mn＝4，积一定，则m和n成反比例； D．，商一定，m和n成正比例。故答案为：C 7．（2026·浙江·小升初模拟）已知每个人做某项工作的效率相同，个人做天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设每个人做某项工作的效率为1，则这项工作总量为，若增加人，则完成工作所需的天数为。故答案为：D 8．（25-26六年级上·陕西西安·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点。观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第10幅图中的点数为（    ）。 A．37 B．33 C．20 D．29 【答案】A 【详解】根据分析，第n幅图的点数应为：1＋4（n－1）＝1＋4n－4＝4n－3 当n＝10时，4×10－3＝37 第10幅图的点数为37。 9．（2025·河南商丘·小升初真题）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□，那么△＝（    ）。 A．4 B．6 C．18 【答案】C 【详解】24÷4=6 6+6+6=18 所以△是18， 故答案为：C 10．（24-25六年级下·江苏南京·期末）学数学要知其然，更要知其所以然。以下三个数学基本事实应用特别广泛： A．等式的性质 B．等量的等量相等 C．总量等于分量加分量 琪琪在解决上图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内。 因为2个苹果＋1个梨＝5个梨 所以2个苹果＝4个梨……（    ） 因为2个苹果＝400克  2个苹果＝4个梨 所以4个梨＝400克……（    ） 【答案】A；B 【详解】根据分析可知： 因为2个苹果＋1个梨＝5个梨 所以2个苹果＝4个梨……A 因为2个苹果＝400克  2个苹果＝4个梨 所以4个梨＝400克……B 11．（2025·重庆江北·小升初真题）若，则代数式( )。 【答案】19 【详解】由可得：； 将代入可得： 代数式。 12．（25-26六年级上·甘肃武威·期末）奇思（11岁）学习了如何计算“标准体重”，他知道，对于10~12岁的男孩，一个常用的标准体重（千克）计算公式是：标准体重，公式中“”表示身高（厘米）。奇思的身高是160厘米，通过计算可知，他的标准体重是( )千克。 【答案】54 【详解】当a＝160时（千克） 13．（24-25六年级下·四川成都·期末）人类文明之始，购买商品的主要方式是物品交换，最早用于交换的物品包括牛、羊、蔬菜和工具等。如：农夫甲用4只羊可以换得农夫乙的8把刀。那么，农夫甲用10只羊可以换得多少把刀？淘气、笑笑和奇思分别用图表示出了羊和刀的数量关系。 上面的关系图中你认为( )的关系图错了。 【答案】笑笑 【详解】淘气：表示出了羊和刀的数量关系； 笑笑：10只羊可以换20把刀，没有正确表示出羊和刀的数量关系； 奇思：表示出了羊和刀的数量关系。分析可知，笑笑的关系图错了。 14．（24-25六年级下·江苏盐城·期中）探索规律。 如下表，第4个图有( )个圆点，第6个图有( )个圆点，第n个图比它前一个多( )个圆点。 序号 1 2 3 4 … 点群 … 圆点个数 1 5 14 ？ … 【答案】 30 91 n2 【详解】第4个图有圆点个数：14＋42＝14＋16＝30（个） 第5个图有圆点个数：30＋52＝30＋25＝55（个） 第6个图有圆点个数：55＋62＝55＋36＝91（个） 第n个图比它前一个多n2个圆点。 15．（24-25六年级上·河南南阳·期末）兰兰在计算x－□＝76时，把“一”看成了“十”，得到的解是x＝6，则方程正确的解是( )。 【答案】x＝146 【分析】将x＝6代入到错误方程中，求出正确的□的值，再根据等式性质解方程。 【详解】当x＝6时 x＋□＝76 6＋□＝76 □＝76－6＝70 x－□＝76 解：x－70＝76 x－70＋70＝76＋70 x＝146 16．（25-26六年级上·江苏苏州·期末）如果，那么( )；如果，那么( )。 【答案】 /0.25 150 【详解】 将代入得： 所以，。 将代入得：所以， 17．（24-25六年级上·浙江温州·期末）用半径为1厘米的圆组合图形，第4幅图的阴影面积是( )平方厘米。根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是( )平方厘米。 【答案】 6.28 1.57n 【详解】第1幅图的阴影面积是：3.14×12×； 第2幅图的阴影面积是：3.14×12×；第3幅图的阴影面积是：3.14×12× 由此可知，第4幅图的阴影面积是：3.14×12×＝3.14×1×2＝6.28（平方厘米） 规律：第n幅图的阴影面积是3.14×12×＝1.57n（平方厘米） 填空如下：第4幅图的阴影面积是（6.28）平方厘米。根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是（1.57n）平方厘米。 18．（2025·浙江宁波·小升初模拟）爸爸在群里发了一个拼手气红包，设置总金额为元，红包个数为4个。结果妈妈抢到18元，爸爸抢到6.8元，明明比哥哥少抢0.5元，则他们4人抢到红包金额的平均数是( )元，明明抢到( )元。 【答案】 【详解】已知爸爸发的拼手气红包总金额为a元，红包个数是4个。 所以四人抢到红包金额的平均数是（元） 解：设哥哥抢到的金额为x元，因为明明比哥哥少抢0.5元，所以明明抢到（x−0.5）元。 18＋6.8＋x＋（x−0.5）＝a 24.8＋2x−0.5＝a 2x＋24.3＝a 2x＝a−24.3 x＝ 明明抢到的金额： x−0.5＝－0.5＝＝（元） 他们4人抢到红包金额的平均数是元，明明抢到元。 19．（2025·广东汕头·小升初模拟）王叔叔租了一间店，去年每月的租金是a元，去年全年的租金是( )元，今年每月的租金涨20%，今年每月的租金是( )元。 【答案】 12a 1.2a 【详解】a×12＝12a（元）； a×（1＋20%）＝a×（1＋0.2）＝a×1.2＝1.2a（元） 所以王叔叔租了一间店，去年每月的租金是a元，去年全年的租金是12a元，今年每月的租金涨20%，今年每月的租金是1.2a元。 20．（2025·江苏南京·小升初模拟）1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水，或倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满( )个大杯和( )个小杯后，没有剩余。 【答案】 10 3 【详解】倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，所以当为3瓶水时，可以倒27个大杯和12个小杯还剩30克，减去第一次倒的除以2后可得： 2瓶水可以倒20个大杯和6个小杯， 所以1瓶水可以倒10个大杯和3个小杯。 22．（25-26六年级上·湖北省直辖县级单位·期末）观察与分析 (1)完成表格中未填部分。 图形 边数/条 3 4 内角和/度 180 180×2 (2)根据表中规律，九边形的内角和是( )度。 (3)假设图形的边数为n，内角和为S，请你用一个含有字母的关系式表示图形边数与其内角和的关系是_____________。 【答案】(1)见详解(2)1260(3)S＝180×（n－2） 【详解】（1）如下表： 图形 边数/条 3 4 5 6 内角和/度 180 180×2 180×3 180×4 （2）（度） 九边形的内角和是1260度。 （3）假设图形的边数为n，内角和为S， 边数与其内角和的关系为S＝180×（n－2）。 23．（2025·山东青岛·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 【答案】(1)7；10(2)b＝3a＋1(3)61 【详解】（1）剪2次：4＋3×1＝4＋3＝7（段） 剪3次：4＋3×2＝4＋6＝10（段） 填数如下： （2）4＋3×（a－1）＝4＋3a－3＝（3a＋1）段 因此剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系为b＝3a＋1。 （3）当a＝20时，代入b＝3a＋1得：3×20＋1＝60＋1＝61（段） 24．（2025·湖南长沙·小升初真题）解方程。 （1）        （2） 【答案】（1）x＝33；（2）x＝ 【详解】（1） 解： （2） 解： 25．（2025·黑龙江佳木斯·小升初模拟）解方程。          【答案】x＝12；x＝；x＝1.75 【详解】 解：（x－3.6）×8＝（x＋4.8）×4 （x－3.6）×8÷4＝（x＋4.8）×4÷4 （x－3.6）×2＝x＋4.8 2x－7.2＝x＋4.8 2x－7.2＋7.2＝x＋4.8＋7.2 2x＝x＋12 2x－x＝x＋12－x x＝12 解：x×7＝ 4x＝ x＝÷4 x＝× x＝ 解：x÷0.25＋15.5－15.5＝22.5－15.5 x÷0.25＝7 x÷0.25×0.25＝7×0.25 x＝1.75 26．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）计算题。                                               x＝﹣44；y＝0.5；x＝0.64；x＝﹣7.25 解： x＝﹣44 解： 解： 解： x＝－7.25 27．（2025·重庆渝北·小升初真题）材料1：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”。如：101是一个三位的“对称数”。 材料2：对于一个三位自然数A，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z。我们对自然数A规定一个运算。例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：4，0，4，则。 （1）已知两个三位“对称数”，。，若（）能被11整除，请写出符合条件的m的所有值。 （2）一个三位的“对称数”B，若，请直接写出B的所有值。 【答案】（1）292，383，474（2）101，151，606，656 【详解】（1）， 因为＝101a＋10b＋101b＋10a＝111a＋111b＝110（a＋b）＋（a＋b）；（）能被11整除，所以a＋b＝11，且， 可得满足条件ab取值如下：a＝2，b＝9；a＝3，b＝8；a＝4，b＝7； 答：符合条件的m值有292，383，474。 （2），因为22＝4，4＋4＝8，那么其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：2、0、2，显然三位数个位和百位上数字为1或6，十位上的数字为0或5，符合条件的数有：101，151，606，656。 答：若，B的所有值有101，151，606，656。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点02 式与方程 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习了字母表示数（能用字母表示常见数量关系、运算定律、常见几何体的公式等）、简单的一元一次方程及解法，培养的核心数学素养是学生的符号意识和运算能力。 初中阶段主要变化：“数与式”是代数的基本语言，字母可以像数一样进行运算和推理，通过字母运算和推理得到的结论具有一般性，重点关注规律探究；“方程与不等式”揭示了数学中最基本的数量关系（相等和不等关系），是初中应用广泛的数学工具，初中一元一次方程的解法与小学的方法有所区别。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、推理能力等。 衔接引导 其实小学数学与初中数学实际上是有很多关联的。只要从小六到初一的过度在老师的引导下，找出“数”与“式”之间的内在联系以及区别，在知识间架起衔接的桥梁，也为后面的更多内容打下坚实的基础，这样才能在初中众多的考试面前不乱阵脚，游刃有余。 考点阐释 1．用字母表示数、数量关系、计算公式和运算定律 1）用字母表示数和数量关系 （1）一班有男生a人，女生b人，一共有（a＋b）人；（2）每袋面粉重25千克，x袋面粉共重25x干克； （3）路程＝速度×时间，用字母表示s＝vt；（4）正比例：（一定），反比例：x×y＝k（一定）。 2）用字母表示计算公式及运算定理 长方形周长：C＝2（a＋b）； 长方形面积：S＝ab； 长方体体积：V＝abh或V＝Sh； 加法交换律：a＋b＝b＋a； 加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）； 乘法交换律：ab＝ba； 乘法结合律：（ab）c＝a（bc）； 乘法分配律：（a＋b）c=ac＋bc。 注意：①数与字母、字母与字母相乘时，乘号可以记作简写为一个点或省略不写，但要注意，省略乘号后，数字要写在字母的前面；②两个相同的字母相乘时，可写成这个字母的平方，如a×a可以写作a2。 2．等式与方程 1）等式与方程的意义及关系 意义 关系 等式 表示相等关系的式子叫作等式 所有的方程都是等式，但是等式不一定是方程 方程 含有未知数的等式叫作方程 2）等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 3）解方程 （1）方程的解的概念：使方程左右两边相等的未知数的值，叫作方程的解。 （2）解方程的概念：求方程的解的过程叫作解方程。 （3）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 （4）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 解题方略 探究与表达规律的核心是‌从特殊到一般的归纳推理‌，通过观察、猜想、验证得到通用结论，按数字规律、图形规律两类题型： 一、通用探究步骤 1）从具体问题出发，观察数量或图形的变化特点，找初步的变化趋势；2）合理联想，大胆猜想隐藏的规律；3）通过类比、归纳，整理出通用规律；4）代入其他特殊情况验证规律是否正确。 二、数字规律探究技巧 1）‌联系序号找规律‌：把数字和它所在的位置序号（第1个、第2个……第n个）建立联系，尝试用简单代数式表示出对应关系，再代入验证。 2）‌分组找规律‌：如果数列整体找不到规律，可以尝试相邻几个数分为一组，看组内和组间的关系。 3）‌特殊规律记忆‌：小学常考兔子数列（从第三个数开始，每个数等于前两个数的和，比如0,1,2,3,5,8），记住模型可以直接判断。 三、图形规律探究技巧 1）‌统计数量变化‌：观察每个图形的基础元素个数，数出第1、2、3个图形的数量，转化为数字数列，再按数字规律方法推导第n个图形的数量。 2）‌拆分图形‌：把复杂图形拆成几个部分，分别找每个部分的变化规律再整合，或者分析相邻两个图形的增减量，从增量推导通用公式。 3）‌特殊到一般归纳‌：先从小序号的图形找规律，逐步推导出一般情况，再用其他序号验证规律是否正确。 题型1、字母表示数 【解题技巧】 1）字母可以表示任意的数，也可以表示特定意义的公式，还可以表示符合条件的某一个数，甚至可以表示具有某些规律的数，总之字母可以简明的将数量关系表示出来。 2）用字母表示数的意义：有助于揭示概念的本质特征，能使数量之间的关系更加简明，更具有普遍意义。使思维过程简约化，易于形成概念系统。 例1．（2025·浙江台州·小升初模拟）小亮比小强大3岁，比小花小5岁，如果小强是m岁，小花是（    ）岁。 A．m－3 B．m＋3 C．m＋5 D．m＋8 例2．（2025·福建宁德·小升初真题）为支持校园“太空蔬菜育种”实验，小宇将积蓄元存入学校合作银行，定期年，年利率为2.8%。到期后，他计划将本金和利息全部投入实验，投入金额表示为（    ）。 A． B． C． D． 例3．（2025·河南郑州·小升初真题）一个长方体的长、宽、高分别是a米、b米、h米。如果高增加2米，体积比原来增加（    ）立方米。 A．2ab B．2abh C． D．8 变式1．（2025·湖北武汉·小升初真题）三个连续的偶数，最大的一个是A，则最小的一个是（    ） A．A B．A－2 C．A－3 D．A－4 变式2．（2025·山东·小升初模拟）一个长方形操场原来的长和宽分别是80米和50米，如果长、宽各增加米，那么它的面积就增加（    ）平方米。 A． B． C． D． 变式3．（2025·山东菏泽·小升初真题）微信零钱提取现金每人累计享有1000元免费额度，超出额度后，按提取现金金额的0.1%收取手续费。一位微信新注册用户，首次从微信零钱中提取现金a（）元，需支付手续费( )元。 变式4．（2025·河北保定·小升初模拟）陈叔叔在快递公司上班，每日基本工资100元，每送一件快递另加1.2元。如果陈叔叔每天送m件快递，一天拿到工资( )元。6月25日，陈叔叔送快递160件，这一天他可拿到工资( )元。 变式5．（2025·湖北武汉·小升初真题）在一场篮球比赛中，王老师投进x个2分球和y个3分球。2x＋3y表示( )。 题型2、探究与表达规律 【解题技巧】 观察前n项（前3-4项）及利用题中的已知条件，归纳猜想一般性结论。 例1．（2026·成都锦江区·小升初模拟）乐谱中有各种音符，“”是一个八分音符。把音符按照一定规律排列如图所示，①号图由5个八分音符组成，②号图由7个八分音符组成，③号图由9个八分音符组成……，那么第⑤号图由( )个八分音符组成，第n号图由( )个八分音符组成。 例2．（2025·浙江杭州·小升初真题）中国工程师从蜂巢获得灵感，采用六边形布局建设5G基站，既能节省资源，又能实现信号无缝覆盖。这种布局中，基站数量随着层数增加呈现特定规律，如下所示： 序号 ① ② ③ …… 图形 …… 每层新增数 6 12 …… （1）根据信息中的规律，填空 第一层总基站数：1个 第二层总基站数：1＋6＝7个 第三层总基站数：7＋12＝19个 第四层新增基站数：________个，总基站数：________个 第五层新增基站数：________个，总基站数：________个 第n层新增基站数规律：________（用含n的式子表示）个 （2）如果第n层总基站数的规律符合关系式3n（n－1）＋1，那么该地区按照此规律建到第8层，总基站数是多少个？ 例3．（24-25六年级上·湖北黄冈·期末）如图中的每个小三角形的边长为1，像这样排列下去，第8个图形有( )个小三角形，第个图形有( )个小三角形。 例4．（2025·湖北武汉·小升初真题）奥地利数学家皮克（Pick）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系。 (1)观察图形，补全表格。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 ______ b 6 10 6 6 ______ S 2 6 4 ______ 12 (2)观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______。 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______。 根据上述发现，可得：S＝______。（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图形的面积。 例5．（25-26六年级上·重庆梁平·期末）找规律，填一填。 ，，，( )，，…，第n个分数是( )。（填含有n的字母式）。 变式1．（2025·广东湛江·小升初真题）如图所示，小明用小棒搭小房子，搭3间用了13根。照这样搭下去，搭n间小房子用了（    ）根小棒。 A． B． C． D． 变式2．（25-26六年级上·山西太原·期末）观察下图，找出小正方体个数与露在外面的面数变化的规律，将表格填写完整。 小正方体的个数 1 2 3 4 … … a 露在外面的面数 5 9 13 … 49 … 变式3．（2025·浙江宁波·小升初模拟）今年宁海马拉松期间，为了保障运动员休息，主办方搭建如图1的单顶帐篷，需要17根钢管。这样的帐篷按图2、图3的方式串起来搭建，那61根钢管可以搭( )顶帐篷；串起来搭建顶帐篷需要( )钢管。 变式4．（2025·福建宁德·小升初真题）如下图，1张餐桌可坐4人，2张餐桌拼在一起可坐6人，3张餐桌拼在一起可坐8人。 (1)观察上图，根据规律将表格补充完整。 餐桌数量 1 2 3 4 5 … 可坐人数 4 6 8 … (2)按这样继续拼下去，n张餐桌拼在一起可坐( )。 变式5．（25-26六年级下·江苏淮安·期中）如图想一想，可以把1＋3＋5＋7＋…＋39这个算式转化成( )的算式计算，计算结果是( )。 题型3、等量代换 【解题技巧】 等量代换是指一个量用与它相等的量去代替，它是数学中一种基本的思想方法，也是代数思想方法的基础。如果能应用等量代换思考问题，不仅有助于学生找到锯决问题的便捷方法，而且有助于锻炼学生的思维，提高学生解决实际问题的能力。 例1．（25-26六年级上·江苏淮安·期末）1个菠萝和2个梨一样重，1个梨和3个桃子一样重，120个桃子和（    ）个菠萝一样重。 A．60 B．40 C．20 D．21 例2．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）、、各代表一个数，如果，，，那么( )。 例3．（2025·山东·小升初模拟）已知，且，则( )，( )。 变式1．（2025·河北石家庄·小升初真题）●、■、▲分别表示三种不同的物体，如图，前两个天平保持平衡，如果要使第三个天平保持平衡，那么“？”为( )。 变式2．（2025·四川绵阳·小升初真题）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□，△×□＝( )。 变式3．（25-26六年级上·江苏盐城·期末）涵涵买了2支钢笔和7支圆珠笔，如果1支钢笔的价格相当于5支圆珠笔的价格，那么这些笔的总价钱相当于（    ）支圆珠笔的价钱。 A．9 B．15 C．17 D．19 变式4．（2025·山东·小升初模拟）若，则的值是( )。 题型4、等式与方程的概念辨析 【解题技巧】 1）等式：表示相等关系的式子叫作等式。 2）方程：含有未知数的等式。 3）方程一定是等式，等式不一定是方程。 注意：如何判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数． 例1．（2026·江苏淮安·小升初真题）在①57－x＝29，②0.26m＝5.2，③15×2.4＝36，④x－3.5＜21，⑤12＞a÷0.4，⑥a＝b中，等式有( )，方程有( )。（填序号） 变式1．（2025·广东汕头·小升初模拟）下面式子中，是方程的是（    ）。 A．5－x B．18÷3＝6 C．1－2x＝0.5 D．4－3x＜5 变式2．（2026·江苏淮安·小升初真题）下面（    ）符合等式与方程之间的关系。 A． B． C． D． 变式3．（2026·江苏淮安·小升初真题）比较下面方程中的x和y，其中x小于y的方程是（    ）。 A．x＋20＝y＋5 B．x＋10＝y＋12 C．9x＝10y D．3y＝1.8x 题型5、等式的性质及其运用 【解题技巧】等式的性质 （1）性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。 （2）性质2：等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，所得结果仍然是等式。 例1．（25-26六年级上·山东德州·期末）锊是有记载可查的最早的质量单位，古有“3锊＝20两”的说法。如果按照现在的质量关系1斤＝10两，那么1锊＝（    ）斤。 A． B． C． 例2．（2025·成都·小升初模拟）若，则下列选项中错误的是（    ）。 A． B． C． D． 例3．（2025·重庆江北·小升初真题）已知，则多项式( )。 例4．（2025·四川内江·小升初真题）数学课上，同学们在解决这样一个问题：有两个非零自然数a和b，且，比较a和b的大小。下面分别是三个同学的思考方法： 我用假设的方法，假设，可以得出，。所以。 我利用等式的性质在原等式两边同时乘3。，得到。所以。 我用画图的方法：先用相等的一份分别表示的3份里的1份和的4份里的1份，再把和的全部表示出来，比较线段的总长度就可以了。所以。 三个同学的思考方法中正确的有（    ）个。 A．0 B．1 C．2 D．3 4．（25-26六年级下·江苏·小升初复习）如图，两条直线相交形成四个角，可以用推理说明图中的∠1＝∠3。 推理过程： 因为：，（平角等于 所以：，也就有：，这里运用了（    ）。 A．加法交换律 B．等式的性质 C．加法结合律 变式1．（2024·新疆乌鲁木齐·小升初真题）已知x－2y＝3，那么代数式10－2x＋4y的值是( )。 变式2．（2025·山东聊城·小升初真题）在研究时，聪聪这样想：因为，所以，依据是( )；将等式变形得，依据是( )；计算得，所以，依据是( )。（填序号） ①除法是乘法的逆运算 ②等量的等量相等 ③等式的基本性质 变式3．（24-25六年级下·河南南阳·期末）已知：，，下面计算结果错误的是（    ）。 A． B． C． D． 变式4．（2025·湖南·小升初模拟）如果，根据等式的性质填空。 ( )      ( ) ( )       ( ) 变式5．（24-25六年级下·贵州铜仁·期末）如图所示，因为∠1＋∠2＋∠3＝∠3＋∠4，由此可以用推理说明图中∠1＋∠2＝∠4，其划线的这一变化过程运用了（    ）。 A．加法的意义 B．加法交换律 C．加法结合律 D．等式的性质 题型6、方程的解及其运用 【解题技巧】 1)方程的解：使方程两边相等的未知数的值； 2）解方程：求方程的解的过程；3）会利用方程的解，求字母的数值。 例1．（2026·江苏淮安·小升初真题）由x＋45＝85得到x＝40，这个过程叫作（    ）。 A．方程 B．方程的解 C．解方程 例2．（24-25六年级下·河北秦皇岛·期末）x＝2.5是下列方程（    ）的解。 A．x＋0.4＝2.1 B．2－x＝0.5 C．10x＋5＝18 D．5x－x＝10 例3．（2026·甘肃陇南·小升初模拟）已知方程的解是，则k的值是（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．（2026·黑龙江七台河·小升初模拟）x＝6是方程（    ）的解。 A．3x＋2＝14 B．x÷5＝3 C．8x－4×12＝0 变式2．（2026·浙江·小升初模拟）已知是关于的方程：的解，则( )。 变式3．（2026·浙江·小升初模拟）已知是关于的方程：的解，则( )。 题型7、解方程 【解题技巧】 1）解方程的依据：可以根据等式的性质和四则运算中各部分之间的关系解方程。 2）检验方程的解是否正确，步骤如下：①把求出的未知数的值代入原方程中；②计算，看等式是否成立；③等式成立，说明这个未知数的值是方程的解，等式不成立，说明解方程错误，需要重新求解。 例1．（2025·河南新乡·小升初真题）解方程或解比例。 （1）     （2） （3）         （4）        （5） （6） 例2．（2026·成都成华区·小升初模拟）解方程。 （1）      （2）  （3） （4） （5）            （6）  变式1．（2026·陕西咸阳·小升初模拟）解方程。 2x－0.5x＝0.3           变式1．（2025·湖南永州·小升初真题）解方程。 （1）    （2）    （3） 变式3．（2025·广东广州·小升初模拟）解方程。 （1）        （2） 变式4．（2025·四川绵阳·小升初真题）解方程或解比例。              1．（25-26六年级上·上海·期末）下面表述中，正确的是（    ）。 A．使方程左右两边相等的未知数的值，叫做解方程。 B．含有未知数的式子，叫做方程。 C．表示两边相等关系的式子叫做等式。 D．y＝0是方程2y－30＝30的解。 2．（24-25六年级下·西藏·小升初复习）＝25是（    ）方程的解。 A．100÷＝4 B．÷12.5＝3 C．25＋3＝90 D．15＋4＝60 3．（2026·江苏·六年级小升初模拟）已知方程的解是，则k的值是（    ）。 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（2024·山东济南·小升初真题）如图所示的程序框图，若输入x的值是16，则第一次输出的结果是8，接着将8作为输入值，第二次输出的结果是4，…则第2024次输出的结果是（    ）。 A．1 B．2 C．4 D．8 6．（25-26六年级下·陕西渭南·期末）已知、是两个相关联的量，且都不为0，则下面式子中，、成反比例的是（    ）。 A． B． C． D． 7．（2026·浙江·小升初模拟）已知每个人做某项工作的效率相同，个人做天可以完成，若增加人，则完成工作所需的天数为（    ）。 A． B． C． D． 8．（25-26六年级上·陕西西安·期末）古希腊著名的毕达哥拉斯学派对“形数”的研究最为突出，有效印证了“凡物皆数”的观点。观察下图的点阵图形，依次排列下去，根据点数的变化规律，则第10幅图中的点数为（    ）。 A．37 B．33 C．20 D．29 9．（2025·河南商丘·小升初真题）已知△＋□＝24，△＝□＋□＋□，那么△＝（    ）。 A．4 B．6 C．18 10．（24-25六年级下·江苏南京·期末）学数学要知其然，更要知其所以然。以下三个数学基本事实应用特别广泛： A．等式的性质 B．等量的等量相等 C．总量等于分量加分量 琪琪在解决上图时有如下思考，她应用了哪个数学事实，请将序号填写在下面括号内。 因为2个苹果＋1个梨＝5个梨 所以2个苹果＝4个梨……（    ） 因为2个苹果＝400克  2个苹果＝4个梨 所以4个梨＝400克……（    ） 11．（2025·重庆江北·小升初真题）若，则代数式( )。 12．（25-26六年级上·甘肃武威·期末）奇思（11岁）学习了如何计算“标准体重”，他知道，对于10~12岁的男孩，一个常用的标准体重（千克）计算公式是：标准体重，公式中“”表示身高（厘米）。奇思的身高是160厘米，通过计算可知，他的标准体重是( )千克。 13．（24-25六年级下·四川成都·期末）人类文明之始，购买商品的主要方式是物品交换，最早用于交换的物品包括牛、羊、蔬菜和工具等。如：农夫甲用4只羊可以换得农夫乙的8把刀。那么，农夫甲用10只羊可以换得多少把刀？淘气、笑笑和奇思分别用图表示出了羊和刀的数量关系。 上面的关系图中你认为( )的关系图错了。 14．（24-25六年级下·江苏盐城·期中）探索规律。 如下表，第4个图有( )个圆点，第6个图有( )个圆点，第n个图比它前一个多( )个圆点。 序号 1 2 3 4 … 点群 … 圆点个数 1 5 14 ？ … 15．（24-25六年级上·河南南阳·期末）兰兰在计算x－□＝76时，把“一”看成了“十”，得到的解是x＝6，则方程正确的解是( )。 16．（25-26六年级上·江苏苏州·期末）如果，那么( )；如果，那么( )。 17．（24-25六年级上·浙江温州·期末）用半径为1厘米的圆组合图形，第4幅图的阴影面积是( )平方厘米。根据前4幅图的规律，第n幅图的阴影面积是( )平方厘米。 18．（2025·浙江宁波·小升初模拟）爸爸在群里发了一个拼手气红包，设置总金额为元，红包个数为4个。结果妈妈抢到18元，爸爸抢到6.8元，明明比哥哥少抢0.5元，则他们4人抢到红包金额的平均数是( )元，明明抢到( )元。 19．（2025·广东汕头·小升初模拟）王叔叔租了一间店，去年每月的租金是a元，去年全年的租金是( )元，今年每月的租金涨20%，今年每月的租金是( )元。 20．（2025·江苏南京·小升初模拟）1瓶水倒满7个大杯和6个小杯后，还余30克的水，或倒满9个大杯和4个小杯后，还余10克的水，这瓶水可以倒满( )个大杯和( )个小杯后，没有剩余。 22．（25-26六年级上·湖北省直辖县级单位·期末）观察与分析 (1)完成表格中未填部分。 图形 边数/条 3 4 内角和/度 180 180×2 (2)根据表中规律，九边形的内角和是( )度。 (3)假设图形的边数为n，内角和为S，请你用一个含有字母的关系式表示图形边数与其内角和的关系是_____________。 23．（2025·山东青岛·小升初真题）如图，有一根弯曲的铁丝，准备用如图1所示的方式剪切，这样就把原来的铁丝分成了几段。 (1)探究：按如图2的方式剪切，在括号里填写适当的数。 (2)总结：如果剪切次数用a表示，分成的段数用b表示时，a和b的关系是( )。 (3)应用：像这样如果剪切20次，会分成( )段。 24．（2025·湖南长沙·小升初真题）解方程。 （1）        （2） 25．（2025·黑龙江佳木斯·小升初模拟）解方程。          26．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）计算题。                                               27．（2025·重庆渝北·小升初真题）材料1：若一个自然数，从左到右各位数上的数字与从右到左各位数上的数字对应相同，则称为“对称数”。如：101是一个三位的“对称数”。 材料2：对于一个三位自然数A，将它各个数位上的数字分别2倍后取个位数字，得到三个新的数字x，y，z。我们对自然数A规定一个运算。例如：是一个三位的“对称数”，其各个数位上的数字分别2倍后取个位数字分别是：4，0，4，则。 （1）已知两个三位“对称数”，。，若（）能被11整除，请写出符合条件的m的所有值。 （2）一个三位的“对称数”B，若，请直接写出B的所有值。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $