衔接点01 运算与技巧（讲义，全国通用北师大版）数学小升初衔接

衔接点01 运算与技巧 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力。 数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也在小学正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并增加乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 衔接引导 对于四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。 对于运算技巧（简便运算），希望大家能发自内心想要让运算简便，而不是题目要求要简便。通过本专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。 考点阐释 1．运算定律 1）加法交换律： 加法结合律： 2）乘法交换律： 乘法结合律： 3）乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 2．运算性质 1）减法的性质： 2）除法的性质： 3）商的“不变性”，即若，则，； 解题方略 1．裂项公式（补充1）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。 第一类（“裂差”型运算）：或 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 2．数列求和公式（补充2） 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 3．乘法公式（补充3） 平方差公式： 完全平方公式：， 题型1 活用运算定律和性质（凑整思想） 【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。 一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。 例1．（2026·成都·小升初模拟）计算（能简算的要简算）。 （1）               （2） （3）       （4） （5）39×＋148×＋148× （6） 例2．（2026·贵州黔东南·小升初模拟）脱式计算，能简算的要简算。 （1）（＋）×12         （2）×＋×         （3）18.15－（3.5－1.75） （4）×370%＋630%×＋440%        （5）1.25×32×0.25         （6）2026× 变式1．（2025·河南新乡·小升初真题）能简便计算的简便计算。 （1）； （2）； （3）  3.71×99＋3.71； （4）；（5）… （6）（9＋7）÷（＋） （7） 变式2．（2026·四川成都锦江区·小升初模拟）递等式计算，能简算的要简算。 （1）              （2）    （3）  （4）  （5）          （6）  变式3．（2025·四川自贡·小升初真题）递等式计算，怎样简便怎样算。          1.25×3.2×0.25                             3.1×98                      变式4．（2026·浙江杭州·小升初模拟）怎样算简便就怎样算。（在第4小题括号里填上合适的数，使计算可以简便，并计算） （1）        （2）   （3）           （4）  （5）2025÷2025＋ （6）          （7）    （8）（＋1＋）÷（＋＋） 题型2 巧分组法 【解题技巧】基本运算中的分组策略 观察算式，找出算式分布规律，然后适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。 1）‌加减法的相邻分组‌：针对连续加减混合运算，优先将相邻的数按固定规律分组，简化计算。 ‌示例‌：计算 100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1  分析：每两个相邻数为一组：(100-99) + (98-97) + … + (2-1)；每组结果为 1，共 50 组，总和为 50。 2）等差数列与等比数列分组‌：若数列由不同规律的分段组成，可拆分为多个子数列分别求和。 例1．（2026·四川成都·小升初模拟）计算。 （1）2029-2026+2023-2020+2017-2014＋2011－2008＋……＋19－16+13－10+7－4+1； （2）；（3） 例2．（2026·广东·小升初模拟）计算题，写出计算过程和结果。 （1）；（2）； （3）（9）＋（8）＋…＋（5）； （4）1 变式1．（2026·山东济南·小升初模拟）计算：（1）（1）＋（12）＋（13）＋……＋（110）； （2）；      （3）＋4＋6。 变式2．（2024·江苏·六年级校考期中）计算： （1）；（2）            变式3．（2025·江苏苏州·小升初模拟）计算： （1）2 （2） 题型3、换元法 【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。 例1．（2026·成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。 （1）； （2）20262026×20272026－20262025×20272027. 变式1．（2025·湖南·小升初模拟）计算。 变式2．（2026·重庆·小升初模拟）巧算。 （1）； （2）。 题型4、分数裂项计算 【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算。 第一类（“裂差”型运算）：①或 ②。 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例1．（25-26六年级上·江苏南通·期末）观察下列式子，然后解决问题。 ，，… (1)试猜想：____________。(2)运用（1）中猜想得到的规律计算： ①；②。 例2．（2025·福建龙岩·小升初真题）已知，，按这样的规律， （1）请计算：；（2）. 例3．（25-26六年级上·山西太原·期末）（1）先观察，再通过计算比较大小。                     （2）根据上面算式中蕴含的规律再写一道这样的算式：_____。 （3）根据上面的规律计算：－＋－＋－。 变式1．（2026·四川绵阳·小升初模拟）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）； （2）； （3）； （4） 变式2．（2025·湖南长沙·小升初真题）计算题。    ；； 变式3．（2025·湖南邵阳·小升初模拟）计算下面各题，能简算的要简算。               变式4．（2025·湖北武汉·小升初真题）计算（较难）： （1）______。 （2）＝ 。 题型5、数列求和（等差、等比数列） 【解题技巧】 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 ； 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 例1．（2026·广东·小升初模拟）计算： （1）1＋2＋3＋……＋2024＋2025+2026 （2）（1＋3＋5＋7＋9＋……＋97＋99） （3） （4）1＋＋＋…＋20 例2．（2026·四川成都青羊区·小升初模拟）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题：（1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 变式1．（2026·四川成都·小升初模拟）下列各题要写出主要计算过程。 （1）      （2） （3） 变式2．（2025·吉林长春·小升初真题）计算。 ①           ② ③                       ④ 变式3．（2026·重庆·小升初模拟）【阅读材料】计算的值． 解：设，则 ， 得： ，，即 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．请用你学到的方法计算：． 题型6、运用乘法公式运算 【解题技巧】平方差公式： 完全平方公式：， 例1．（2026·浙江杭州·小升初模拟）计算：（1） （2）；（3） （3） 变式1．（2026·山东东营·小升初模拟）利用乘法公式进行简便计算： (1)；(2)；(3)；（4） 变式2.（2026·重庆·小升初模拟）计算：（1）＝___；（2）799×801﹣8002＝_____． 变式3．（2026·广东深圳·小升初模拟）简便计算：(1)20022 (2) 题型7、利用图形进行简算 【解题技巧】利用图形进行简便运算的方法，通常被称为‌图形法‌或‌几何法‌。这种方法通过将数学问题转化为图形问题，利用图形的直观性和几何性质来简化运算过程。需要注意的是，虽然图形法可以简化运算过程并提高解题效率，但在使用时应确保图形的准确性和规范性。此外，对于一些特殊问题或复杂情况，可能需要结合其他数学方法或工具来共同求解。 例1．（2026·湖北武汉·小升初模拟）【新方法生成】将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题： （1）　 　；（2）　 　；（3）　 　； 【新方法迁移】（4）　 　；    例2．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，以形助数更直观．例如：计算时，可以用图形来解释：把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形；再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形．所以，阴影部分的面积：． (1)利用上述图形思路，你能猜想出下式的结果吗？． (2)利用上题猜想的结果，计算：． 变式1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）如图，把一个面积为 1 的正方形分成两个面积为 的长方形，再把其中一个面积为 的长方形分成两个面积为 的正方形，再把其中一个面积为 的正方形分成两个面积为 的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算： ． 变式2．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，如此下去，利用图中示的规律计算＝ ；＝ ． 1．（2025·重庆江北·小升初真题）计算题。                                                                                                                                         2．（2025·湖南邵阳·小升初模拟）下列各题，怎样算简便就怎样算。 ①（7.6－3.6÷2）×1.5            ②               ③19.1－5.7－4.3＋1.9 ④0.6666×8＋0.1111×52          ⑤21＋23＋25＋…＋37＋39         ⑥ 3．（2025·四川绵阳·小升初真题）脱式计算。（能简便计算的，要简便计算） ①1.56×6.8＋2.4×1.56＋9.2×0.44          ②0.125×408 ③9＋99＋999＋9999＋99999＋999999 ④2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋2×1 4．（2025·江苏苏州·小升初真题）仔细理解，细心计算。（能简便计算要简算）。                                                                 5．（2025·重庆渝北·小升初真题）计算题。                         9.81×0.1＋0.5×98.1＋0.049×981                                                    6．（2025·湖北襄阳·小升初真题）计算。 999×274＋6274 7．（2025·重庆·小升初真题）算一算。                                                    8．（2025·广东广州·小升初模拟）简便计算。 （1）    （2） 9．（2025·重庆北碚·小升初真题）计算。 （1）                （2） （3）                        （4） （5）        （6） （7）求精确到小数点后第三位数的近似值。 （8） （9） 10．（2025·重庆·小升初真题）计算题。 （1） （2） （3） （4） 11．（2025·重庆江北·小升初真题）计算题。 （1）                （2） （3）        （4） （5） （6） 12．（2025·重庆北碚·小升初真题）列式计算，写出推导过程。 （1）                        （2） （3）    （4） （5） 13．（2025·河北石家庄·小升初真题）简便运算。                           14．（2025·重庆渝北·小升初真题）计算题。 45678＋56784＋67845＋78456＋84567 15．（24-25七年级上·重庆·期末）如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（Geometric Sequences）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）． （1）观察一个等比数列1，，…，它的公比q＝　 　；如果an（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，那么a18＝　 　，an＝　 　； （2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：令S＝1+2+4+8+16+…+230…① 等式两边同时乘以2，得2S＝2+4+8+16++32+…+231…② 由②﹣①式，得2S﹣S＝231﹣1 即（2﹣1）S＝231﹣1 所以 请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值； （3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a1，a2，a3，…，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，请用含a1，q，n的代数式表示an；如果这个常数q≠1，请用含a1，q，n的代数式表示a1+a2+a3+…+an． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 衔接点01 运算与技巧 小学视角 初中展望 小学阶段主要学习正有理数和零的加减乘除混合运算，培养的核心数学素养是学生的运算能力。 数系扩大了，上升到有理数域，最后到实数域，这是对数的认识的一个飞跃。同时数的运算也在小学正数的加、减、乘、除四则运算上升到了有理数和实数的混合运算，并增加乘方、开方运算。主要培养的核心数学素养是学生的运算能力、抽象能力、应用意识等。 衔接引导 对于四则混合运算，我们要求学生熟练地掌握运算顺序和计算的正确率；到了初中后，只要弄懂符号法则，那有理数的运算教学也能达到事半功倍之效。 对于运算技巧（简便运算），希望大家能发自内心想要让运算简便，而不是题目要求要简便。通过本专题希望大家能同学们多观察、体会，勤总结，灵活运用简算方法，深刻理解简算的数学思想。 考点阐释 1．运算定律 1）加法交换律： 加法结合律： 2）乘法交换律： 乘法结合律： 3）乘法分配律： 乘法分配律的逆用： 2．运算性质 1）减法的性质： 2）除法的性质： 3）商的“不变性”，即若，则，； 解题方略 1．裂项公式（补充1）：把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。 第一类（“裂差”型运算）：或 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 2．数列求和公式（补充2） 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 3．乘法公式（补充3） 平方差公式： 完全平方公式：， 题型1 活用运算定律和性质（凑整思想） 【解题技巧】“凑整”就是把“一些分数（或小数）凑成整数”，把“一些整数凑成10的整倍数”，使有理数式子容易计算出结果。在凑整过程中，常用添项、拆项、分解因数、提公因数等方法技巧。 一般情况下，小学阶段的凑整主要使用运算定律或减法的性质、除法的性质及商的不变性达到凑整的目的。 例1．（2026·成都·小升初模拟）计算（能简算的要简算）。 （1）               （2） （3）       （4） （5）39×＋148×＋148× （6） 【详解】（1） ＝ ＝3×10 ＝30 （2）15.6－0.375＋4.4－ ＝15.6－0.375＋4.4－0.625 ＝（15.6＋4.4）－（0.375＋0.625） ＝20－1 ＝19 （3） （4）2.25×＋2.75÷＋60% ＝2.25×＋2.75÷＋60% ＝2.25×＋2.75×＋ ＝2.25×＋2.75×＋×1 ＝×（2.25＋2.75＋1） ＝×（5＋1） ＝×6 ＝ ＝ （5）39×＋148×＋148× ＝39×＋86×＋24× ＝（39＋86＋24）× ＝149× ＝148 （6） 例2．（2026·贵州黔东南·小升初模拟）脱式计算，能简算的要简算。 （1）（＋）×12         （2）×＋×         （3）18.15－（3.5－1.75） （4）×370%＋630%×＋440%        （5）1.25×32×0.25         （6）2026× 【详解】（1）（＋）×12 ＝×12＋×12 ＝3＋8 ＝11 （2）×＋× ＝×（＋） ＝×1 ＝ （3）18.15－（3.5－1.75） ＝18.15－3.5＋1.75 ＝18.15＋1.75－3.5 ＝19.9－3.5 ＝16.4 （4）×370%＋630%×＋440% ＝×3.7＋6.3×＋4.4 ＝×（3.7＋6.3）＋4.4 ＝×10＋4.4 ＝2＋4.4 ＝6.4 （5）1.25×32×0.25 ＝1.25×（8×4）×0.25 ＝（1.25×8）×（4×0.25） ＝10×1 ＝10 （6）2026× ＝（2025＋1）× ＝2025×＋1× ＝2024＋ ＝ 变式1．（2025·河南新乡·小升初真题）能简便计算的简便计算。 （1）； （2）； （3）  3.71×99＋3.71； （4）；（5）… （6）（9＋7）÷（＋） （7） 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6）原式=（＋）÷（＋） =[65×（＋）]÷[5×（＋）] =65÷5 =13 （7）原式= = =1 变式2．（2026·四川成都锦江区·小升初模拟）递等式计算，能简算的要简算。 （1）              （2）    （3）  （4）  （5）          （6）  【详解】（1） ＝ ＝ ＝9－2 ＝7 （2） （3） （4） （5） （6） 变式3．（2025·四川自贡·小升初真题）递等式计算，怎样简便怎样算。          1.25×3.2×0.25                             3.1×98                      【详解】 变式4．（2026·浙江杭州·小升初模拟）怎样算简便就怎样算。（在第4小题括号里填上合适的数，使计算可以简便，并计算） （1）        （2）   （3）           （4）  （5）2025÷2025＋ （6）          （7）    （8）（＋1＋）÷（＋＋） 【详解】（1） （2） （3） （4） （第4题答案不唯一） （5）2025÷2025 ＝2025÷＋ ＝2025÷＋ ＝2025÷＋ ＝2025×＋ ＝＋ ＝1 （6） （7）    = = = =1 （8）（＋1＋）÷（＋＋） =（＋＋）÷（＋＋） =2×（＋＋）÷（＋＋） =2 题型2 巧分组法 【解题技巧】基本运算中的分组策略 观察算式，找出算式分布规律，然后适当分组，利用结合律将相加和为整数的结合在一起简化计算。 1）‌加减法的相邻分组‌：针对连续加减混合运算，优先将相邻的数按固定规律分组，简化计算。 ‌示例‌：计算 100 - 99 + 98 - 97 + … + 2 - 1  分析：每两个相邻数为一组：(100-99) + (98-97) + … + (2-1)；每组结果为 1，共 50 组，总和为 50。 2）等差数列与等比数列分组‌：若数列由不同规律的分段组成，可拆分为多个子数列分别求和。 例1．（2026·四川成都·小升初模拟）计算。 （1）2029-2026+2023-2020+2017-2014＋2011－2008＋……＋19－16+13－10+7－4+1； （2）；（3） 【答案】（1）1015（2） 【详解】（1）2029-2026+2023-2020+2017-2014＋2011－2008＋……＋13－10＋7－4+1 =（2029-2026）+（2023-2020）+（2017-2014）＋（2011－2008）＋……＋（13－10）＋（7－4）＋1 每两个数为一组，结果是3；一共有338组； =3×338+1 =1015 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） 例2．（2026·广东·小升初模拟）计算题，写出计算过程和结果。 （1）；（2）； （3）（9）＋（8）＋…＋（5）； （4）1 【答案】（1）；（2）2050 【详解】（1） ＝ ＝ ＝25＋ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2050 （3）（9）＋（8）＋…＋（5） ＝（55）＋（66）＋（77）＋（88）＋（99） ＝（5＋6＋7＋8＋9）×（1） ＝35 ＝22 （4）原式 ＝1＋2＋3＋…＋2010 ＝（1＋2010）×2010÷2 ＝2011×2010÷2 ＝2021055 变式1．（2026·山东济南·小升初模拟）计算：（1）（1）＋（12）＋（13）＋……＋（110）；（2）；      （3）＋4＋6。 【详解】（1） （2） （3）＋4＋6 变式2．（2024·江苏·六年级校考期中）计算： （1）；（2）            【答案】（1）21；（2）5055； 【详解】（1）法1： ＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋（） ＝21＋（1－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝21＋（1－） ＝21＋ ＝21 法2： ＝（1＋2＋3＋4＋5＋6）＋（+－） ＝21＋（＋＋＋＋＋－） ＝21＋（＋＋＋＋－） ＝21＋（＋＋＋－） ＝21＋（＋＋－） ＝21＋（＋－） ＝21＋（1－） ＝21＋ ＝21 （2） ＝1＋＋2＋＋3＋＋4＋＋5＋…＋100＋ ＝（1＋2＋3＋4＋…＋100）＋（＋＋＋＋…＋） ＝（1＋100）×100÷2＋ ＝101×100÷2＋ ＝10100÷2＋ ＝5050＋ ＝5050＋5 ＝5055 变式3．（2025·江苏苏州·小升初模拟）计算： （1）2 （2） 【答案】（1）1012（2）0 【详解】（1） = 每两个数为一组，一共有338组，每组的结果是3；原式． （2）原式＝＝0， 题型3、换元法 【解题技巧】从式子的整体角度考察，把部分式子用字母代替后，再进行化简求值。通过引入字母转化命题结构，这样不但可以减少运算过程，还有利于寻找接题思路，其中的新变量在解题过程中起到桥梁作用。 例1．（2026·成都市小升初模拟）计算（写出必要的计算过程）。 （1）； （2）20262026×20272026－20262025×20272027. 【答案】 【详解】（1）设＝a，＝b， 原式化为：a×（b-1）－（a-1）×b ＝（ab-a）－（ab－ b） ＝ab-a－ab+ b =b-a = （2）20262026×20272026－20262025×20272027 设20262025＝a，20272026＝b， 原式＝（a＋1）b－a（b＋1） ＝ab＋b－ab－a ＝b－a ＝20272026－20262025 ＝10001 变式1．（2025·湖南·小升初模拟）计算。 【答案】 【详解】令＝A，＝B； 原式＝A×（B＋）－（A＋）×B ＝AB＋A－AB－B ＝A－B ＝×（A－B） ＝×[（）－（）] ＝×[] ＝×1 ＝ 变式2．（2026·重庆·小升初模拟）巧算。 （1）； （2）。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）假设， 原式＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2）（＋＋＋）×（＋＋＋）－（＋＋＋＋）×（＋＋） ＝（＋＋＋）×[（＋＋）＋]－[（＋＋＋）＋]×（＋＋） ＝（＋＋＋）×（＋＋）＋（＋＋＋）×－（＋＋＋）×（＋＋）－×（＋＋） ＝（＋＋＋）×－×（＋＋） ＝×（＋＋＋－－－） ＝× ＝ 题型4、分数裂项计算 【解题技巧】把一项拆成两项的和或积，使得算式可以消去某些项，使运算简捷。利用下面的拆项公式课化简一些有理数式子的计算。 第一类（“裂差”型运算）：①或 ②。 裂差型裂项的三大关键特征： （1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。 （2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。 第二类（“裂和”型运算）： 或 裂和型运算与裂差型运算的对比： 裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”，裂和型运算的题目不仅有“两两抵消”型的，同时还有转化为“分数凑整”型的，以达到简化目的。 例1．（25-26六年级上·江苏南通·期末）观察下列式子，然后解决问题。 ，，… (1)试猜想：____________。 (2)运用（1）中猜想得到的规律计算： ①；②。 【答案】(1)(2)①② 【详解】（1） （2）① ② 例2．（2025·福建龙岩·小升初真题）已知，，按这样的规律， （1）请计算：；（2）. 【答案】 【详解】 ＝ 所以。 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 例3．（25-26六年级上·山西太原·期末）（1）先观察，再通过计算比较大小。                     （2）根据上面算式中蕴含的规律再写一道这样的算式：_____。 （3）根据上面的规律计算：－＋－＋－。 【答案】（1）＝；＝；＝；＝（2）＝＋（3） 【详解】（1）和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ 和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ 和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ 和＋ ＝；＋＝＋＝ 因为＝，所以＝＋ （2）如：＝＋（答案不唯一） （3）－＋－＋－ ＝（1＋）－（＋）＋（＋）－（＋）＋（＋）－（＋） ＝1＋－－＋＋－－＋＋－－ ＝－ ＝ 变式1．（2026·四川绵阳·小升初模拟）计算下面各题，能简算的要简算。 （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】15；；； 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝15 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ （3）分母规律：，先提取公因数5，再裂项： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （4） ＝ ＝ ＝36＋ ＝36 ＝ 变式2．（2025·湖南长沙·小升初真题）计算题。    ；； 【答案】；48.5； 【详解】×÷7÷×1.5 ＝×÷7÷× ＝××× ＝×× ＝× ＝ ×（17.54－＋0.06）×（6.45－） ＝×（17.54＋0.06－）×（－） ＝×（17.6－）× ＝××（17.6－） ＝3×（17.6－） ＝3×17.6－3× ＝52.8－4.3 ＝48.5 ＋＋＋＋ ＝1＋＋2＋＋3＋＋4＋＋5＋ ＝1＋2＋3＋4＋5＋＋＋＋＋ ＝（1＋2＋3＋4＋5）＋（＋＋＋＋） ＝15＋[×（1－）＋×（－）＋×（－）＋×（－）＋×（－）] ＝15＋×[（1－）＋（－）＋（－）＋（－）＋（－）] ＝15＋×[1－＋－＋－＋－＋－] ＝15＋×[1－] ＝15＋× ＝15＋ ＝ 变式3．（2025·湖南邵阳·小升初模拟）计算下面各题，能简算的要简算。               【答案】16；；5.01； 【详解】（1） ＝ ＝ ＝1.6×10 ＝16 （2） ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝5.01 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 变式4．（2025·湖北武汉·小升初真题）计算（较难）： （1）______。 （2）＝ 。 【答案】 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据裂项消项公式：把原式通过拆分后转化为：，中间项经过抵消后保留的变为－（＋＋＋……＋），进一步变为－0.5×（），再把括号内的项根据进行拆分，得：－0.5×（），经过抵消变为－0.5×（），最后加上首项，再减去末项，通分计算即可。 （2）观察数据后发现前三个数中后一个数是前一个数的一半，后五个数中也是后一个数是前一个数的一半，因此可以利用将这些加数进行拆分，然后即可进行简便计算。 【详解】（1） ＝ ＝－（＋＋＋……＋）－ ＝－0.5×（）－ ＝－0.5×（）－ ＝－×（）－ ＝－×－ ＝－－ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） 题型5、数列求和（等差、等比数列） 【解题技巧】 等差数列求和 等差数列求和公式：（首项+末项）×项数÷2 ； 等差数列的项数计算方法：（末项－首项）÷公差+1 等比数列求和 等比数列的求和公式：（末项×公比—首项）÷（公比—1）（公比≠1） 例1．（2026·广东·小升初模拟）计算： （1）1＋2＋3＋……＋2024＋2025+2026 （2）（1＋3＋5＋7＋9＋……＋97＋99） （3） （4）1＋＋＋…＋20 【答案】（1）2053351 （2）2400 （3）235 （4）214.2 【详解】（1）1＋2＋3＋…＋2024＋2025＋2026 ＝（1＋2026）×2026÷2 ＝2027×2026÷2 ＝2053351 （2）（1＋3＋5＋7＋9＋……＋97＋99） ＝（1＋99）×50÷2 ＝100×50÷2 ＝5000÷2 ＝2500 ＝2400 （3）1＋6＋11＋16＋21＋26＋31＋36＋41＋46 ＝（1＋46）×10÷2 ＝47×5 ＝235 （4）1＋＋＋…＋20 例2．（2026·四川成都青羊区·小升初模拟）【等比数列】按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列的一般形式可以写成：．一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用表示．如：数列为等比数列，其中，公比为． 根据以上材料，解答下列问题：（1）等比数列的公比为 　　，第项是 　　． 【公式推导】如果一个数列，是等比数列，且公比为，那么根据定义可得到：．所以，，， （2）由此，请你填空完成等比数列的通项公式：　　． 【拓广探究】等比数列求和公式并不复杂，但是其推导过程——错位相减法，构思精巧、形式奇特．下面是小明为了计算的值，采用的方法： 设①，则②， 得，∴． 【解决问题】（3）请仿照小明的方法求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【详解】解：（1）等比数列的公比为， 第四项为，第五项为，故答案为：； （2）∵，，，∴，故答案为：； （3）设①，则②， 得，∴． 变式1．（2026·四川成都·小升初模拟）下列各题要写出主要计算过程。 （1）      （2） （3） 【答案】（1）1001；（2）；（3） 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ 变式2．（2025·吉林长春·小升初真题）计算。 ①           ② ③                       ④ 【答案】①1740；②11110；③1022；④ 【详解】① ＝17.4×37－17.4×19＋17.4×82 ＝17.4×（37－19＋82） ＝17.4×100 ＝1740 ② ＝ ＝ ＝ ＝10＋100＋1000＋10000 ＝11110 ③设＝ 则＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝1024－2 ＝1022 即＝1022 所以＝1022 ④ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 变式3．（2026·重庆·小升初模拟）【阅读材料】计算的值． 解：设，则 ， 得： ，，即 通过阅读，你一定学到了一种解决问题的方法．请用你学到的方法计算：． 【答案】； 【详解】解：设，则： 所以， 题型6、运用乘法公式运算 【解题技巧】平方差公式： 完全平方公式：， 例1．（2026·浙江杭州·小升初模拟）计算：（1）； （2）；（3） 【答案】（1）2026；（2）；（3）330。 【详解】（1）20262－20252 ＝（2026＋2025）×（2026-2025） ＝4051×1 ＝4051 （2） （3） 变式1．（2026·山东东营·小升初模拟）利用乘法公式进行简便计算： (1)；(2)；(3)；（4） 【答案】(1)9996(2)9801(3)（4）2006； 【解析】 (1)解：． (2)解：． (3)原式 （4）＝ ＝＝＝2006 变式2.（2026·重庆·小升初模拟）计算：（1）＝___；（2）799×801﹣8002＝_____． 【答案】；-1 【详解】（1）．故答案为： （2）解：799×801﹣8002＝（800﹣1）×（800+1）﹣8002＝8002﹣1﹣8002＝﹣1，故答案为：-1 变式3．（2026·广东深圳·小升初模拟）简便计算：(1)20022 (2) 【答案】(1) (2)1 【分析】(1)解：； (2)解：． 题型7、利用图形进行简算 【解题技巧】利用图形进行简便运算的方法，通常被称为‌图形法‌或‌几何法‌。这种方法通过将数学问题转化为图形问题，利用图形的直观性和几何性质来简化运算过程。需要注意的是，虽然图形法可以简化运算过程并提高解题效率，但在使用时应确保图形的准确性和规范性。此外，对于一些特殊问题或复杂情况，可能需要结合其他数学方法或工具来共同求解。 例1．（2026·湖北武汉·小升初模拟）【新方法生成】将一个边长为1的正方形纸片分割成若干个部分，请利用数形结合的思想解决下列问题： （1）　 　；（2）　 　；（3）　 　； 【新方法迁移】（4）　 　；    【答案】（1）（2）（3）；（4） 【详解】（1）；（2）；（3）； （4） 故答案为： 例2．（24-25七年级上·湖南益阳·期末）数形结合是一种重要的数学思想方法，以形助数更直观．例如：计算时，可以用图形来解释：把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形；再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形．所以，阴影部分的面积：． (1)利用上述图形思路，你能猜想出下式的结果吗？． (2)利用上题猜想的结果，计算：． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵图中阴影部分的面积为． ∴可得出阴影部分的面积等于总面积减去空白的面积， ∴可以看成是把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形；再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形．．．一直等分成两个面积为的长方形，∴； （2）解：可以看成是把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形；接着把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形；再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的长方形．．．一直等分成两个面积为的长方形， ∴． 变式1．（24-25七年级上·湖南常德·期中）如图，把一个面积为 1 的正方形分成两个面积为 的长方形，再把其中一个面积为 的长方形分成两个面积为 的正方形，再把其中一个面积为 的正方形分成两个面积为 的长方形，如此进行下去，用图形揭示的规律计算： ． 【答案】 【详解】解：由图可知：，，…, ∴故答案为： 变式2．（24-25七年级上·四川广安·期末）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，接着把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，再把面积为的长方形等分成两个面积为的长方形，如此下去，利用图中示的规律计算＝ ；＝ ． 【答案】 【详解】解：根据以上分析可得＝1－. . 1．（2025·重庆江北·小升初真题）计算题。                                                                                                                                           【答案】19；37.5；30；；50；；；16；6.25；1.2；59.2；；；857 【详解】17.31＋0.64－2.31＋3.36 ＝17.31－2.31＋0.64＋3.36 ＝15＋（0.64＋3.36） ＝15＋4 ＝19 7.4×3.75＋26×37.5% ＝7.4×3.75＋26×0.375 ＝74×0.375＋26×0.375 ＝0.375×（74＋26） ＝0.375×100 ＝37.5 ×27＋×41 ＝×27＋×3×41 ＝×27＋×（3×41） ＝×27＋×123 ＝×（27＋123） ＝×150 ＝30 ×39＋×25＋2× ＝×39＋×3×25＋ ＝×39＋×（3×25）＋×7 ＝×39＋×75＋×7 ＝×（39＋75＋7） ＝×（114＋7） ＝×121 ＝ ×＋50×＋×                ＝×＋10×5×＋××5 ＝×＋10×（5×）＋×5× ＝×＋10×＋× ＝×（＋10＋） ＝×（＋＋10） ＝×（80＋10） ＝×90 ＝50 ＋＋＋＋ ＝－＋（－）＋（－）＋（－）＋（－） ＝－＋－＋－＋－＋－ ＝－ ＝－ ＝ ÷〔（－0.75）×〕 ＝÷〔×－0.75×〕 ＝÷〔－0.9〕 ＝÷〔－〕 ＝÷ ＝÷ ＝×5 ＝ 〔3.85÷＋12.3×〕÷ ＝〔3.85×＋12.3×〕÷ ＝〔3.85×3.6＋12.3×1.8〕÷2.25 ＝〔3.85×2×1.8＋12.3×1.8〕÷2.25 ＝〔7.7×1.8＋12.3×1.8〕÷2.25 ＝〔1.8×（7.7＋12.3）〕÷2.25 ＝〔1.8×20〕÷2.25 ＝36÷2.25 ＝16 〔×＋（－）×〕÷ ＝〔×＋（－）×〕÷ ＝〔11＋×〕× ＝〔11＋〕× ＝11×＋× ＝5＋ ＝5＋1.25 ＝6.25 〔－1.8〕÷〔（1.15＋）×〕 ＝〔－1.8〕÷〔（1.15＋0.65）×〕 ＝〔5.4－1.8〕÷〔（1.15＋0.65）×〕 ＝3.6÷〔1.8×〕 ＝3.6÷3 ＝1.2 （×5.43＋4.57÷）－（＋）×1.44 ＝（×5.43＋4.57×）－（＋）×1.44 ＝（×5.43＋4.57×）－（＋）×1.44 ＝×（5.43＋4.57）－×1.44 ＝6.25×10－3.3 ＝62.5－3.3 ＝59.2 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＋＋＋＋ ＝1－＋（－）＋（－）＋（－）＋（－） ＝1－＋－＋－＋－＋－ ＝1－ ＝ 2377.08÷284%－＋2÷＋2.5÷ ＝2377.08÷2.84－＋2×＋2.5× ＝837－＋＋2.5× ＝837－＋2.5＋2.5× ＝837－＋2.5＋2.5× ＝837－×＋2.5＋2.5× ＝837－2.5×＋2.5＋2.5× ＝837＋2.5－2.5×＋2.5× ＝837＋2.5×（1－＋） ＝837＋2.5×（＋） ＝837＋2.5× ＝837＋2.5×8 ＝837＋20 ＝857 2．（2025·湖南邵阳·小升初模拟）下列各题，怎样算简便就怎样算。 ①（7.6－3.6÷2）×1.5            ②               ③19.1－5.7－4.3＋1.9 ④0.6666×8＋0.1111×52          ⑤21＋23＋25＋…＋37＋39         ⑥ 【答案】①8.7；②；③11；④11.11；⑤300；⑥ 【详解】①（7.6－3.6÷2）×1.5 ＝（7.6－1.8）×1.5 ＝5.8×1.5 ＝8.7 ② ③19.1－5.7－4.3＋1.9 ＝（19.1＋1.9）－（5.7＋4.3） ＝21－10 ＝11 ④0.6666×8＋0.1111×52 ＝0.1111×6×8＋0.1111×52 ＝0.1111×48＋0.1111×52 ＝0.1111×（48＋52） ＝0.1111×100 ＝11.11 ⑤21＋23＋25＋…＋37＋39 ＝（21＋39）＋（23＋37）＋（25＋35）＋（27＋33）＋（29＋31） ＝60＋60＋60＋60＋60 ＝60×5 ＝300 ⑥ 3．（2025·四川绵阳·小升初真题）脱式计算。（能简便计算的，要简便计算） ①1.56×6.8＋2.4×1.56＋9.2×0.44          ②0.125×408 ③9＋99＋999＋9999＋99999＋999999 ④2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋2×1 【答案】①18.4；②51③1111104④2000000 【详解】①1.56×6.8＋2.4×1.56＋9.2×0.44 ＝1.56×（6.8＋2.4）＋9.2×0.44 ＝1.56×9.2＋9.2×0.44 ＝9.2×（1.56＋0.44） ＝9.2×2 ＝18.4 ②0.125×408 ＝0.125×（400＋8） ＝0.125×400＋0.125×8 ＝50＋1 ＝51 ③9＋99＋999＋9999＋99999＋999999 ＝（10－1）＋（100－1）＋（1000－1）＋（10000－1）＋（100000－1）＋（1000000－1） ＝10＋100＋1000＋10000＋100000＋1000000－6 ＝1111110－6 ＝1111104 ④2000×1999－1999×1998＋1998×1997－1997×1996＋…＋2×1 ＝1999×（2000－1998）＋1997×（1998－1996）＋…1×2 ＝1999×2＋1997×2＋…1×2 ＝2×（1999＋1997＋…3＋1） ＝2×2000×1000 ＝2000000 4．（2025·江苏苏州·小升初真题）仔细理解，细心计算。（能简便计算要简算）。                                                                 【答案】；；45000；；3；0 【详解】（1） （2） （3） （4） （5） （6） 5．（2025·重庆渝北·小升初真题）计算题。                         9.81×0.1＋0.5×98.1＋0.049×981                                                    【答案】；6；98.1；；133；；； 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝9＋4－ ＝13－ ＝ ＝0.6×3.7＋0.6×1＋5.3×0.6 ＝0.6×（3.7＋1＋5.3） ＝0.6×（4.7＋5.3） ＝0.6×10 ＝6 9.81×0.1＋0.5×98.1＋0.049×981 ＝9.81×0.1＋5×9.81＋4.9×9.81 ＝9.81×（0.1＋5＋4.9） ＝9.81×（5.1＋4.9） ＝9.81×10 ＝98.1 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝2×23＋3×29 ＝46＋87 ＝133 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 6．（2025·湖北襄阳·小升初真题）计算。 999×274＋6274 【答案】23； ；93；4007；280000 【详解】（9－×4）＋（8－×5）＋……＋（4－×9） ＝9－×4＋8－×5＋……＋4－×9 ＝（9＋8……＋4）－（×4＋×5＋……＋×9） ＝13×3－×（4＋5＋……＋9） ＝39－×（13×3） ＝39－×39 ＝39－16 ＝23 ＝×（10＋0.375）＋ ＝×（10＋）＋ ＝×10＋×＋ ＝×10＋×＋ ＝×10＋×（＋） ＝＋×96 ＝＋36 ＝ ＝ ＝21＋31＋41 ＝52＋41 ＝93 ＝2004×2004－2003×2003 ＝（2003＋1）×（2003＋1）－2003×2003 ＝（2003＋1）×2003＋（2003＋1）－2003×2003 ＝2004×2003＋2004－2003×2003 ＝2004×2003－2003×2003＋2004 ＝2003×（2004－2003）＋2004 ＝2003×1＋2004 ＝2003＋2004 ＝4007 999×274＋6274 ＝（1000－1）×274＋6274 ＝1000×274－274＋6274 ＝274000＋6274－274 ＝274000＋（6274－274） ＝274000＋6000 ＝280000 7．（2025·重庆·小升初真题）算一算。                                                    【答案】4；243.75；；；363456342；5.4；2007006；； 【详解】 ＝2012×（2013－2011）－2010×（2011－2009） ＝2012×2－2010×2 ＝（2012－2010）×2 ＝2×2 ＝4 ＝ ＝975×0.25 ＝243.75 ＝2004÷ ＝2004÷ ＝2004÷ ＝2004× ＝ ＝（1＋2＋3＋……＋20）＋（） ＝ ＝210＋ ＝ ＝2019×2020×10001－2002×2019×10001 ＝（2019×2020－2002×2019）×10001 ＝2019×（2020－2002）×10001 ＝2019×18×10001 ＝36342×10001 ＝363456342 ＝ ＝ ＝3.6＋1.8 ＝5.4 ＝（）＋（）＋……＋（）＋ ＝（2003＋2002）×（2003－2002）＋（2001＋2000）×（2001－2000）＋……＋（3＋2）×（3－2）＋1 ＝4005＋4001＋……＋5＋1 ＝（4005－1）÷4×（4005＋5）÷2＋1 ＝4004÷4×4010÷2＋1 ＝1001×4010÷2＋1 ＝4014010÷2＋1 ＝2007005＋1 ＝2007006 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ 8．（2025·广东广州·小升初模拟）简便计算。 （1）    （2） 【答案】（1）5；（2） 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝5 （2） ＝ ＝1×10＋ ＝10＋ ＝10＋ ＝10＋ ＝10＋ ＝10＋ ＝ 9．（2025·重庆北碚·小升初真题）计算。 （1）                （2） （3）                        （4） （5）        （6） （7）求精确到小数点后第三位数的近似值。 （8） （9） 【答案】（1）；（2）；（3）6400；（4）791；（5）；（6）100； （7）0.131；（8）；（9） 【详解】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝6400 （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝791 （5） ＝ ＝ ＝ ＝ （6） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝100 （7） ≈ ≈0.1310 ≈ ≈0.1311 由上可知，商的小数点后第四位是0或1，不满5直接舍去，所以精确到小数点后第三位数的近似值是0.131。 （8） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （9） ＝ ＝ ＝ ＝ 10．（2025·重庆·小升初真题）计算题。 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）314（2）（3）210（4）2 【详解】（1） （2） （3） （4） 11．（2025·重庆江北·小升初真题）计算题。 （1）                （2） （3）        （4） （5） （6） 【答案】；；；；；； 【详解】         12．（2025·重庆北碚·小升初真题）列式计算，写出推导过程。 （1）                        （2） （3）    （4） （5） 【答案】（1）；（2）（3）；（4）11.7（5） 【详解】（1） （2） （3） ； （4） （5） 13．（2025·河北石家庄·小升初真题）简便运算。                           【答案】144；；10000；1023 【详解】（1） （2） （3） （4） 14．（2025·重庆渝北·小升初真题）计算题。 45678＋56784＋67845＋78456＋84567 【答案】1.23；；1；80；333330； 【详解】 45678＋56784＋67845＋ 78456＋84567 15．（24-25七年级上·重庆·期末）如果有一列数，从这列数的第2个数开始，每一个数与它的前一个数的比等于同一个非零的常数，这样的一列数就叫做等比数列（Geometric Sequences）．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）． （1）观察一个等比数列1，，…，它的公比q＝　 　；如果an（n为正整数）表示这个等比数列的第n项，那么a18＝　 　，an＝　 　； （2）如果欲求1+2+4+8+16+…+230的值，可以按照如下步骤进行：令S＝1+2+4+8+16+…+230…① 等式两边同时乘以2，得2S＝2+4+8+16++32+…+231…② 由②﹣①式，得2S﹣S＝231﹣1 即（2﹣1）S＝231﹣1 所以 请根据以上的解答过程，求3+32+33+…+323的值； （3）用由特殊到一般的方法探索：若数列a1，a2，a3，…，an，从第二项开始每一项与前一项之比的常数为q，请用含a1，q，n的代数式表示an；如果这个常数q≠1，请用含a1，q，n的代数式表示a1+a2+a3+…+an． 【答案】（1） ， ， ；（2）；（3） 【详解】解：（1）÷1＝，a18＝1×（）17＝，an＝1×（）n﹣1＝， 故答案为：，，；     （2）设S＝3+32+33+…+323，则3S＝32+33+…+323+324，∴2S＝324﹣3，∴S＝ （3）根据定义可得到：=q，=q，=q，…，=q．所以a2=a1•q，a3=a2•q=a1q•q=a1•q2，a4=a3•q=a1•q2=a1•q3，…an=a1.qn-1． 设S=a1+a2+a3+…+an①，则qS=a1q+a2q+a3q+…+anq=a2+a3+a4+…+an+an+1②， ②-①得qS-S=(a-1)S=an+1-a1，∴S==．答案：an=a1qn-1； 2 / 2 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