重难点01 数轴上的动点问题-2025年小升初数学无忧衔接（北师大版2024）

重难点01 数轴上的动点问题 预习目标 1 新知速通 1 题型探究 2 题型1、单动点的动态规律（左右跳跃）问题 2 题型2、单动点与多动点的匀速运动问题 4 题型3、单动点与多动点的变速运动问题 7 题型4、多动点的动态中点与n等分点问题 9 题型5、动点的往返运动问题 11 题型6、无参型动态定值问题 13 题型7、含参型动态定值问题 16 题型8、数轴翻折问题 19 题型9、数轴上的线段移动问题 21 题型10、数轴上动点的新定义问题 23 基础通关 26 拓展提优 35 1.学会用动态思维、方程的思想去分析问题和解决问题； 2.学会抓住动中含静的思路（动时两个变量之间的关系，静时两个变量之间的关系）； 3.掌握数轴上动点的移动规律，结合分类讨论、数形结合等数学思想解决问题． 数轴中的动态问题是七年级上学期的必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 1.数轴上两点间的距离公式 若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离。 2.数轴上两点的中点公式 若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB中点对应的数字是：。 3.数轴上点的移动变化规律 左减右加。 4.数轴上的动点问题主要步骤 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 5.分类讨论的思想 （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论； （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 题型1、单动点的动态规律（左右跳跃）问题 【解题技巧】运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 例2．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）已知多项式，，且整式是一个关于的五次四项式． (1)求出、的值； (2)若，数对应点，数对应点．一个动点从、的中点处出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置做第二次运动，向右运动3个单位长度；在新的位置做第三次运动，向左运动5个单位长度；在新的位置做第四次运动，向右运动7个单位长度，……，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2018次时，求点所对应的有理数； (3)在（2）的条件下，当动点完成第7次运动后，突然改变了运动状态，以每秒4个单位长度的速度运动．1秒钟后，、同时启动，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向数轴正方向运动，那么当点到点、的距离相等的时候，点的位置在何处？ 例3．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是 ． 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点A向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，则在数轴上表示的数为 ，如果点与原点的距离大于20，那么n的最小值是 ． 变式2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图5，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且． (1)___________，___________，A，B两点之间的距离为___________； (2)有一动点M从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点M所对应的有理数； (3)点P为数轴上一点，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，请求出此时点P对应的有理数． 变式3．（2024·江苏·泰州七年级阶段练习）在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度… （1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置； （2）求出7秒钟后动点Q所处的位置； （3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由． 题型2、单动点与多动点的匀速运动问题 【解题技巧】模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)图中点向右移动个单位长度，表示的数为______；图中点向左移动个单位长度，表示的数为_____． (2)图中点移动个单位长度，表示的数为______；图中点移动个单位长度，表示的数为______． (3)点从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点、同时运动，设运动时间为秒，则点表示的数为______，点表示的数为______．(用含的式子表示) (4)当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 例2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：在数轴上，若已知点和点，则符号“”表示、两点间的距离． 如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，点，为数轴上的两个动点，动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度运动到终点后停止运动，同时动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度运动到终点后停止运动．设点的运动时间为秒． 回答下列问题： (1) ； (2)当点与点重合时，求的值； (3)在，两点运动的过程中，当时，求的值； (4)当，两点间的距离为时，直接写出的值． 例3．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）在数轴上有三个点A，B，C，它们表示的有理数分别为a，b，c．已知b，c互为相反数，且． (1) ， ， ． (2)若数轴上点D到点B的距离为2，则点D表示的数为 ． (3)点M 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点M的运动时间为t秒． ①当线段时，求点M的运动时间； ②在点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，在运动过程中，是否存在线段的情况？如果存在，请求出此时t的值；如果不存在，请说明理由． 变式1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 变式2．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 【问题情境】如图，在数轴上点A表示的数是，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18．点C在点A与点B之间，且点C与点A之间的距离是9． (1)【初步应用】点B表示的数是 ，点C表示的数是 ． (2)【迁移应用】若点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，当点P运动到C点时，求点Q与点C之间的距离． (3)【实践应用】在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为，点Q与点B之间的距离表示为，在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由． 变式3．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 题型3、单动点与多动点的变速运动问题 【解题技巧】单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单动点与多动点的变速运动问题用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数为a、点B表示的数为b，a、b满足，点O是数轴原点． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_______，线段的长为_____． (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，求点C在数轴上表示的数． (3)现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动，当点P移动到O点时， 速度变为每秒2个单位，此时点Q从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q运动到点A 时立即以原速返回向左运动，且当点P到达A点时，点P、Q都停止移动．设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距2个单位长度？ 例2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值； (2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 变式1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）已知多项式（实数为常数）的次数是，且二次项系数为．数轴上，，三点所对应的数分别是，和，点，沿数轴同时出发相向匀速运动，速度分别为每秒个单位长度，每秒个单位长度． (1)______，______； (2)若点与点之间的距离记为，原点与点之间的距离记为，，两点运动秒时有，求此时的值； (3)当点运动到点时，立即以初始速度的倍返回，到达点的起始位置后，再以初始速度的倍折返向点运动，再次到达点后停止运动．点始终保持原来的运动方向和速度不变．求点开始运动后与点相遇时的的值． 变式2．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“二分点”．特别地，当两个点重合时，我们规定：它们之间的距离为0． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数如果分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距离是2，所以点B是点A，点C的“二分点”． (1)若点A表示的数为，点B表示的数为4． ①下列各数，0，2所对应的点分别为，，，则在点为，，中，是点A，点B的“二分点”的是 ； ②若点M为数轴上一动点，且点B是点A，点M的“二分点”，请直接写出点M所表示的数； (2)数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为20．一只电子蚂蚁P从点A出发，以4个单位每秒的速度沿数轴向右运动，到达点B后立刻返回，速度变为原来的倍．另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以6个单位每秒的速度沿数轴向左运动，与电子蚂蚁P第一次相遇后，速度变为原来的一半．若两只电子蚂蚁同时出发，设运动时间为秒，求当t为何值时， A、P、Q三个点中恰有一个点为其余两点的“二分点”？（写出解题过程） 题型4、多动点的动态中点与n等分点问题 【解题技巧】 例1．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：；点A在B的右侧，即，则A，B两点之间的距离为：；②线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9，点A，点B和点C分别以每秒2个单位长度，1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒． 请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题： (1)运动之前，A、B两点之间的距离为________；运动之前，线段的中点表示的数为________； (2)运动t秒后，求点A表示的数；（用含t的代数式表示） (3)若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t的值． 例2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】（2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 变式1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒． (1)问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ (2)问多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为50个单位？若此时甲调头往回走，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． (3)若甲、乙两只电子蚂蚁（用P表示甲蚂蚁、Q表示乙蚂蚁）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、甲蚂蚁P与乙蚂蚁Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 变式2．（24-25七年级上·四川南充·期中）在数轴上有分别表示数，其中，且与互为相反数．点是数轴上一动点，规定点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“亲密点”． (1)当运动到表示最大的负整数时，若将数轴折叠，使点与点重合，求出与点重合的点表示的数是多少？ (2)①若点运动到原点时，此时点 关于的“亲密点”（填是或不是）； ②若点从点以每秒个单位长度向右运动，当点是关于的“亲密点”，求点的运动时间． (3)若在原点左边（即对应的数是负数）且中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“亲密点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 变式3．（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与实践 已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解 (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为________、________、________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当t为何值时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，P、Q、R三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R的运动速度． 题型5、动点的往返运动问题 【解题技巧】数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 注意事项：1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。 例1．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 例2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”，例如，如图1，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”．若点表示数，点表示数，且，满足，点为数轴上的一个动点，点对应的数为．    (1) ， ，点，点之间的距离是 ，的最小值是 ； (2)若点在点的右侧，且点是点，点的“联盟点”，求出此时点在数轴上对应的数； (3)若动点从点处以2个单位秒的速度向右运动，同时动点从点处以1个单位秒的速度向左运动，在相遇后，点立刻原速返回，且到达点后停止运动．设点运动的时间为秒，在整个运动过程中，当点是点，点的“联盟点”时，则 ． 变式1．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）已知，数轴上点、对应的数分别为、，且满足，点对应点的数为． (1)①___________，___________； ②若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间、两点的距离为； (2)在②的条件下，若点运动到点立刻原速返回，到达点后停止运动，点运动至点处又以原速返回，到达点后又折返向运动，当点停止运动点随之停止运动．求在整个运动过程中，两点相遇的点在数轴上表示的数． 变式2．（24-25七年级上·重庆南川·期中）如图，数轴上有三点、、，点表示的数是1，点在点的左侧且，点表示的数是13． (1)点表示的数是_____，线段的长度是_____，线段的长度是_____； (2)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒3个单位长度匀速运动，同时动点从点出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即以每秒7个单位长度的速度继续沿数轴向左匀速运动，在、的运动过程中，当、两点间的距离为8个单位长度时，求此时动点在数轴上所对应的数； (3)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒2个单位长度匀速运动，同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒5个单位长度匀速运动，点运动2秒钟后，动点从点A出发，沿数轴向左以每秒1个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向右匀速运动；当动点到达点时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向左匀速运动；当动点到达点时，、、三点同时停止运动，在整个运动过程中，点的运动时间设为（秒），当时，请直接写出所有满足条件的的值． 题型6、无参型动态定值问题 【解题技巧】数轴上的动态定值（无参型）问题描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们可 以发现许多重要的规律，比如：如图 1，若数轴上点 M、点 N 表示的数分别为m，n（）， 则线段 的长（点 M 到点 N 的距离）可表示为．请用上面材料中的知识解答下面的问题： 【问题情境】 如图 2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C． (1)请在图2中表示出A 、B 、C 三点的位置； (2)若点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点 E、F分别从点B、点C 出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设移动时间为t秒（）． ①A，B两点间的距离 ， ②用含t的代数式表示：t秒时，点D表示的数为 ，点E表示的数为 ，点F表示的数为 ； ③试探究在移动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由，若不变请求其值． 例2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）粒子加速器是一种使带电粒子速度增加的装置（如图1所示），它仅作用于带电粒子，对于不带电的粒子没有加速作用．图2为粒子加速器示意图，当带电粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的5倍（速度变化的时间忽略不计）． 如图3所示，在数轴的原点处放置了一台粒子加速器，点24处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即以原速反弹． 带电粒子位于数轴上点，不带电粒子位于数轴上点．，分别为，对应点的值，满足． (1)求线段的长度； (2)两粒子在数轴上同时开始运动，从点以每秒1个单位长度的速度向右运动，从点以每秒3个单位长度的速度向右运动．设为粒子的运动时间，为两粒子第一次相遇的时刻，，分别为时刻时，在数轴上所对应的点． ①求的值并求出此时对应点所表示的数． ②当时，判断的值是否会发生变化．如果不会变化，求出该值：如果会变化，请说明理由． (3)当与的距离为3时，求的值． 变式1．（24-25七年级上·山西长治·阶段练习）【问题提出】 数轴是一个非常重要的数学工具，利用数轴解决问题是“数形结合思想”的重要体现．在数轴上点，点对应的数分别是两点之间的距离用表示，为此可以求出数轴上任意两点间距离． 【感受新知】 如图，数轴上两点对应的数分别是，点为数轴上的一动点，其对应的数为．若其中任意两点之间的距离是另外两点间的距离的2倍时，则称点是的“巧点”．例如：点表示的数为，点表示的数为4，则的距离为6，若在、之间，当时，则，当时，则，当时，，此时为0，1，2时，是的“巧点”． 【类比分析】 （1）当点表示的数为，点表示的数为2，若在、两点之间，点是的“巧点”，则此时的值为 ； （2）当点表示的数为，点表示的数为1，若在点左边，点是AB的“巧点”，则此时的值为 ． 【学以致用】 （3）当点A表示的数为，B点表示的数为3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为． ①点是的“巧点”，若时，求的值； ②若点以每秒2个单位长度的速度从原点0向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 变式2．（24-25七年级上·广东广州·期中）【阅读理解】若数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，则有：①两点A，B两点的中点表示的数为；②两点A，B两点之间的距离；若，则可简化为． 【解决问题】数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，且． （1）直接写出： ． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于x，y的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】 （3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为、的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 变式3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________． (2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 题型7、含参型动态定值问题 【解题技巧】数轴上动态定值（含参型）问题需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 例2．（24-25七年级上·广东广州·期中）同学们都知道：数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为．例如表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)若，则______． (2)表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是______． (3)请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是______． (4)继续探索：是否有最小值？如果有，最小值是多少？此时的取值是多少？如果没有，说明理由． (5)若动点A，，分别从数轴上表示，，的位置沿数轴正方向运动，速度分别为个单位每秒，个单位长度每秒，个单位长度每秒．若点A，点（为数轴原点）中间的点为，点和点中间的点为，点和点中间的点为，若为常数，则的值是多少？ 例3．（23-24七年级上·北京大兴·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点”. 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 变式1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）A，B，C三点在数轴上所表示的数为，，2，一根长为3个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点P与点B重合），当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点M、N分别从A、C出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，M、N运动后对应的位置为、，若为常数，则 ． 变式2．（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 变式3．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数分别为，其中是最小的正整数，满足，请回答问题： (1)请直接写出的值； (2)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 题型8、数轴翻折问题 【解题技巧】数轴翻折问题通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1．（24-25七年级上·河南安阳·期末）数学活动课上，3组学生在一张透明白纸上制作了一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示2的点与表示______的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示0的点与表示的点重合，解答以下问题： ①表示3的点与数轴上的点重合，求点表示的数． ②若数轴上两点之间的距离为12（点在点的左侧），且两点折叠后重合，求两点表示的数． 例2．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，12，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是 ． 例3．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）在数轴上剪下9个单位长度（从到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 例4．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a、c满足． (1) ， ， (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数 表示的点重合； (3)若将数轴折叠，使得点A与点C之间的距离为2，则点B与数 表示的点重合； (4)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t，若将数轴折叠，点A、B、C三点中有一点在折痕上，并使得另外两点之间的距离为1；当点A与点B重合时停止，直接写出t的值． 变式1．（24-25七年级上·全国·期末）如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数的点与表示数5的点重合．请你回答以下问题： (1)表示数的点与表示数 的点重合；表示数7的点与表示数 的点重合． (2)若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间距离为12，A，C两点之间距离为4，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是 ；点B表示的数是 ；点C表示的数是 ． (3)已知数轴上的点M分别到（2）中A，B两点的距离之和为2020，求点M表示的数． 变式2．（24-25七年级上·重庆丰都·期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，从左往右依次有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b、c，已知，如果以原点O为折点，将这条数轴向右对折，此时点A与点B重合，且． (1)填空： ， ． (2)若点C以每秒4个单位长度的速度向右运动，与此同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒，的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由． (3)在（2）的条件下，以点B为折点，将这条数轴向右对折，点A落在数轴上的对应点为M，当t为何值时，线段的长度为5？ 变式3．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）如图，将印有数轴的纸条从到11这一段剪下（总长为18个单位长度，不考虑宽度），并把这段纸条沿某点折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三段纸条，发现这三段纸条的长度之比为（此比值与剪下三段纸条的顺序无关），若折痕处的点对应一个正数，则这个正数可能是    变式4．（2024·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合． (2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合． 题型9、数轴上的线段移动问题 【解题技巧】数轴上的线段移动问题研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是______，点C表示的数是______．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后，______秒时，线段与线段开始有重叠部分：______秒后，线段与线段不再有重叠部分． (3)当点C在线段AB上，且时，求t的值． (4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值． 例2．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为15，边长为3． (1)数轴上点A表示的数为____． (2)将长方形沿数轴水平方向移动，移动后的长方形记为（O、A、B、C对应点分别为），移动后的长方形与原长方形重叠部分的周长记为L． ①当时，移动的距离为_____； ②当L恰好等于原长方形周长的一半时，数轴上点表示的数为_____． ③设点A的移动距离，若D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D、E所表示的数互为相反数时，求x的值． 变式1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，长方形的长是6个单位长度，宽是4个单位长度，长方形的长是10个单位长度，宽是3个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为14． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________，点A在数轴上表示的数是________． (2)若点P在线段上，且点P到点D与到点E的距离和为20，求点P在数轴上表示的数． (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向左匀速运动，设两个长方形重叠部分的面积为S． ①整个运动过程中，S首次达到最大值时，D点所表示的数是_______． ②当时，求此时D点所表示的数． 变式2．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）在数学综合实践活动课上，小张同学借助两根木棒研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别对应有理数和6．小张把两根木棒放在数轴上，使点 P与点A重合，点M与点B重合，点Q 在点 P的左边，点N在点M 的左边，且，木棒从点B开始一直向右以每秒1个单位长度的速度匀速运动；木棒同时从点A 开始向右以每秒3个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒．    (1)当时，点Q对应的有理数为 ，点M 对应的有理数为 ; (2)在点 P 运动到点C之前，当线段和线段的长度之和为8时，求t的值； (3)当点P运动到C时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点Q在点P的左边），当点P再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，点D为木棒的中点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值? 若存在，求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 题型10、数轴上动点的新定义问题 例1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）【定义新知】：在数轴上，点和点分别表示数和，可以用绝对值表示点两点间的距离，即．在数轴上互不重合的三个点中，如果，那么点叫做两个点的“伴点”． 例如：如图1，数轴上点分别表示， 因为，， 所以，, 所以，点是点的“3伴点”； 因为，， 所以，， 所以，点是点的“4伴点”． 【初步应用】：如图2，数轴上点分别表示． （1）点是点的“ ____ 伴点”；点 ____ 是点的“6伴点”（只能填写图2中表示的字母）； （2）若点是点的“3伴点”，求点在数轴上表示的数． 【综合应用】： （3）在【初步应用】中的条件下（如图2所示），若点以每秒1个单位的速度向右运动，同时点以每秒2个单位的速度向左运动，当运动秒时，是的“7伴点”，请直接写出的值． 例2．（24-25七年级上·湖南永州·期末）我们约定：在数轴上，对于不重合的三点，，，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们就把点叫做的“智慧点”．例如：如图，点表示的数为，点表示的数是3，表示数2的点到的距离是3，到点的距离是1，那么是的“智慧点”；表示数0的点O到点的距离是1，到点的距离是3，那么点是的“智慧点”． 如图，已知数轴上点表示的数是，点表示的数是4． (1)判断下列各点是否是的“智慧点”（填“是”或“不是”）； ①点表示的数是（    ）   ②点表示的数是2（    ） (2)若点是的“智慧点”，求点表示的数； (3)现有一点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动．问点运动多少秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”？ 变式1．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）对数轴上的点进行如下操作：先把点向左移动个单位，将得到的点表示的数乘以，此时所得数对应的点为，则称点为点的“倍联动点”（、均为正整数）． 例如，点表示的数为2，当时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为．请根据以上信息回答下列问题： (1)已知点表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是______． (2)若点的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点表示的数． (3)已知数轴上两点表示的数分别为，且点为点的“倍联动点”（为正整数）．点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若在任何一个时刻，点的其中一个“6倍联动点”与点之间的距离始终为3，求的值． 变式2．（24-25七年级上·广西来宾·期末）阅读理解，完成下列各题 素材一：我们把连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离．如果数轴上点表示的数是，点表示的数是，那么点和点之间的距离可以这样表示：． 素材二：已知点，，为数轴上任意三点，若点到远点的距离是它到近点的距离的倍，则称点是点和点的倍点．例如，如图，，点是点和点的倍点；，点是点和点的倍点． 理解定义 （1）如图，点既是点_____和点_____的倍点，点又是点_____和点_____的倍点． 尝试运用 （2）如图，点，为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，请求出点表示的数是多少？ 理解迁移 （3）如图，若，为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，求运动多久时，点恰好是和两点的倍点？ 变式3．（24-25七年级上·北京西城·期末）数轴上点A，B，M分别表示数a，b，m，如果a，b，m满足，则称点A，B互为关于点M的“平衡点”．例如，当，，时，点A，B互为关于点M的“平衡点”． 已知数轴上点P表示数． (1)点A，B分别表示数a，b，且点A，B互为关于点P的“平衡点”，则________（用含a的式子表示）； (2)点O，C，D分别表示数0，1，6． 对点C做如下操作：点C关于点P的“平衡点”为点，点关于点O的“平衡点”为点，点关于点P的“平衡点”为点，点关于点O的“平衡点”为点，按此方式继续操作，得到点，，…，（n为正整数）． 对点D做如下操作：将点D沿数轴负方向移动k（）个单位长度得到点，点关于点P的“平衡点”为点，将点沿数轴负方向移动k个单位长度得到点，点关于点P的“平衡点”为点，按此方式继续操作，得到点，，…，． ①求线段的长； ②是否存在正整数n，对于任意的正数k，都有线段的长为667？如果存在，直接写出n的值；如果不存在，说明理由． 1．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习），分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）一个机器人从数轴的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，若表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，则 ； ； ． 4．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，数轴上点表示的为是数轴上一点，点在点左边且点与点的距离，动点、分别从点、两点同时向左移动，点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度． (1)求出数轴上点表示的数___________； (2)求经过几秒点追上点？ (3)经过几秒，、两点的距离为6个单位长度，并求出此时点表示的数是多少？ 5．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，数轴上点A，B，C，D所表示的数分别为，，3，10，O为原点．老师启发同学们先独立思考，再合作交流，探索并发现数学结论，进而提出问题，解决问题． 某学习小组经过验证得到一个正确的结论：若数轴上一条线段两个端点表示的数分别为a和b，则这条线段的中点表示的数为．在此基础上，该小组给出“平均距离”的定义：在同一条直线上，两条线段的中点之间的距离称为这两条线段的“平均距离”．例如：线段的中点所表示的数是：，线段的中点所表示的数是：，线段和线段的“平均距离”为：． 接下来同学们提出下列问题，请你解答： (1)线段和线段的“平均距离”为 ； (2)若线段以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒V个单位长度的速度向左运动，点O和点D静止不动，设运动时间为秒．若线段和线段的“平均距离”保持不变，求V的值； (3)若线段以每秒1个单位长度的速度向右运动，点O，点C，点D静止不动，设运动时间为秒．当和的“平均距离”是线段的一半时，求t的值． 6．（23-24七年级·江苏·假期作业）数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．如图1，在数轴上，点A表示数，点C表示的数为2，点B表示的数为6．    (1)点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时，点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动，经过多久两点相遇？ (2)如图2，我们将图1的数轴沿点O和点C各折一次后会得到一个新的图形，与原来相比，线段AO和CB仍然水平，线段OC处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“坡数轴”，其中O为“坡数轴”原点，在“坡数轴”上，每个点对应的数就是把“坡数轴”拉直后对应的数．记“坡数轴”上A到B的距离为A和B拉直后距离：即＝，其中、、代表线段长度．在“坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍． ①点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向左运动，经过多久，？ ②点P从A处沿“坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在P出发的同时，点Q从B处沿“坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动，当P重新回到A点所有运动结束，设P点运动时间为t秒，在移动过程中，何时？直接写出t的值． 7．（24-25七年级下·四川眉山·期中）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止． (1)点表示的数为，点表示的数为____，______； (2)若点从点出发向点运动，同时，点从点出发向点运动；经过秒相遇；若点从点出发向左运动，同时，点从点出发与点同向运动，经过秒相遇，请分别求出点，点的运动速度． (3)若点，点的运动速度同（2），点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值． 8．（23-24七年级上·四川乐山·期末）如图，数轴上有、、、四点，点是原点，， (1)写出数轴上点表示的数为　　　　　　． (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=CQ．设运动时间为t(t>0)秒． ①直接写出数轴上点表示的数为　　　　　　，点表示的数为　　　　　　用含的式子表示． ②求当是多少秒时，原点恰为线段的中点． ③若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若、、三动点同时出发，当点遇到点后，立即返回以原速度向点运动，当点遇到点后，又立即返回以原速度向点运动，并不停地以原速度往返于点与点之间，当点与点重合时，点停止运动．问点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ 9．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【结合数轴，解决问题】 (1)填空：若，则______．若，______； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点、点的距离. 10．（24-25七年级下·广东汕头·期中）综合与实践： 如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值； (2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围； (3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 11．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，且，满足．解答下列问题： (1)___________，___________； (2)若数轴上点满足，求点对应的数； (3)点，点，点是数轴上的动点，点从点出发，沿数轴以5个单位/秒的速度向右运动，点从点出发，以3个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度向左移动，设运动时间为，在三个点移动的过程中，或是否会是定值．若会，请求的取值范围；若不会，请说明理由． 12．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)分别求m，n的值； (2)有一个玩具火车按如图所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，记火车移动后对应的位置为．当点移动到点A时，点所对应的数为n，当点移动到点B时，点所对应的数为m．当玩具火车匀速向右移动时，火车从车头到车尾完全经过点M需要2秒． ①玩具火车的长为______个单位长度；玩具火车的速度为每秒______个单位长度；点A所对应的数为______； ②在数轴上放置与大小相同的火车，使点C与点M重合，火车和在数轴上分别从点M和点A同时出发向右移动，记火车移动后对应的位置为．火车的速度为5个单位长度/秒，求几秒后两火车的处与处相距7个单位长度； ③当火车匀速向右移动，同时点P和点Q分别从N，M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴向左和向右移动，点P，Q间的距离用a表示，点，A间的距离用b表示，是否存在有理数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请直接写出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 13．（24-25七年级上·重庆·期中）如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ． (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是 ． (3)如图，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 14．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 15．（2024·江苏·七年级专题练习）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ； （2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ； （3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 16．（24-25九年级下·河南新乡·开学考试）如图1，数轴上O点与C点对应的数分别是0、90（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点A移动到点B的位置时，B与C重合；当点B移动到点A的位置时，A与O重合． (1)直尺的长为_____个单位长度． (2)若直尺在数轴上移动，且满足，请借助图2求此时点A对应的数； (3)如图3，在数轴前面放一个以为边不透明的长方形挡板，将直尺放在挡板后数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到直尺完全被看到． ①若向左移动所经历时间是向右移动所经历时间的2倍，求直尺起初放置时点A对应的数为多少？ ②若不透明的挡板与直尺同时出发，挡板沿数轴以1个单位/秒的速度向右移动，当点A对应的数为多少时，向左、向右移动所经历的时间相差2秒？ 17．（24-25七年级上·北京·期中）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点沿数轴向右平移个单位长度，得到点，称这样的操作为点的“变换”，对数轴上的点，，，进行“变换”后得到的点分别为，，，． (1)当，时． ①若点表示的数为，则它的对应点表示的数为 ； ②数轴上的点表示的数为，若点到点的距离是点到点的距离的倍，则点表示的数为 ； (2)当时，若点表示的数为，点表示的数为，则的值为 ； (3)若点到点的距离是点到点的距离的倍，则的值为 ． 18．（24-25七年级上·广东深圳·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． （1）【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是______，点与点之间的距离______，点与点的中点表示的数是______，且在图1的数轴上标出点． （2）【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点M的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点M关于点P的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是______，点关于点的二次跳跃点表示的数是______，线段的长度为______． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点分别表示有理数（其中），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 1．（23-24七年级上·北京朝阳·阶段练习）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3．对于数轴上的图形，给出如下定义；为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段），例如：点表示的数为4，则（点，线段），（点，线段）．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段）___________，（点，线段）___________； (2)若点在点左边2个单位处，且已知（线段，线段）.求点所表示的数． (3)点从原点出发，以每秒2个单位长度沿数轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿数轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿数轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿数轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿数轴负方向匀速运动，，按此规律运动，两点同时出发，多长时间后（线段，线段），请直接写出结果_____________． 2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图：数轴上三点分别表示的数为，点表示的数为 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】：（1）填空：若，则____________；若，则____________； 【延伸探究】：（2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； 【拓展探究】：（3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒1个单位长度的速度返回点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 3．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． (1)直接写出，的值：______；______； (2)若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； (3)我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 4．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）如图，在数轴上记原点为点O，已知点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足，我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离记作． (1)______，______； (2)若动点P，Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，当点P和点Q重合时，P，Q两点停止运动．当点P到达原点O时，动点R从原点O出发，以每秒6个单位长度的速度也向右运动，当点R追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止运动时，点R也停止运动，求在此过程中点R行驶的总路程，以及点R停留的最后位置在数轴上所对应的有理数； (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图1，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点B在点A的右侧．已知a、b满足． (1)a＝ ，b＝ ； (2)如图2，动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒． ①当 s，点P、Q重合； ②在运动过程中，点P、B、Q三点中恰有一点是另外两点连线所得线段的中点，求运动时间t； (3)如图3，点M是中点，动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，若点P的速度为m个单位长度/秒，点Q的速度为n个单位长度/秒，设运动时间为t秒．在运动过程中，试判断的值能否是定值？如果是定值，求此时m、n的关系． 6．（22-23七年级上·湖南长沙·期末）如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动． (1)当运动时间为3秒时，点P、点N之间的距离是___________单位． (2)当个单位时，求三个点的运动时间． (3)尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题： 码头C位于A，B两码头之间，且知海里，海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，直接写时间以及此时甲船离B码头的距离；若不存在，请说明理由． (4)是否存在常数k，使得在某段时间内为定值？若存在，直接写出k的值以及该定值，若不存在，请说明理由． 7．（24-25七年级上·重庆·期中）已知点、、在数轴上对应的数为、、． (1)如图①，动点从点以每秒个单位的速度向数轴的正方向运动，到达点时方向不变，速度变为每秒个单位；动点从点开始以每秒个单位的速度向数轴的负方向运动，到达点时方向不变，速度变为每秒个单位，点、点两点同时开始运动． ①当运动秒时，点与点相遇； ②当点与点的距离是时，请求出运动的时间． (2)如图②，线段的长度为（点在点左侧），线段的长度为（点在点右侧）．若从点出发（运动后为），以每秒个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时从点出发（运动后为），以每秒个单位的速度沿着数轴的负方向运动；当点运动到点时，线段立即以原来速度的倍继续沿数轴正方向运动，当点运动到点时，线段变为原速继续向正方向运动，当点与点重合时运动停止；当点运动到点时，线段的速度变为原来的，当点运动到点时，线段变为原速返回至初始位置停止运动．设出发的时间为秒，在整个运动过程中，是否存在时间使两条线段重叠部分的长度为，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 8．（24-25七年级上·北京·期末）对于数轴上的一点和线段（点不与点、点重合），给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“偏移对称点”．已知数轴上、两点表示的数分别是、，且． (1)当时， ①若点表示的数分别为，则点是线段B的“偏移对称点”； ②已知点为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点，若线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”，则线段长度的最小值为______； (2)对于数轴上的任意两点、（点在点的左侧），且，总存在线段，使得线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，求的取值范围． 9．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）对于数轴上的点M，N，给出如下定义：若点M到原点的距离与点N到原点的距离和为d（），则称d为点M到点N的绝对距离，记作．例如，在数轴上点M表示的数是3，点N表示的数是5，则点M到点N的绝对距离为． 问题解决： (1)点P，Q都在数轴上，点P表示的数是1． ①若点P在点Q的左边，且点P到点Q的绝对距离，则点Q表示的数是 ； ②若点P到点Q的绝对距离（），则点Q表示的数是 （用含a的代数式表示）； (2)如图，点C表示的数是2，点D表示的数为n，在数轴上有两个动点M，N，其中点M从点C出发以每秒一个单位长度的速度向右移动，同时点N从点D出发以每秒3个单位长度的速度向右移动，设运动时间为t（）． ①当时，问 时，点M到点N的绝对距离； ②若当时，点M到点N的绝对距离都不超过10，则n的取值范围是 ． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点01 数轴上的动点问题 预习目标 1 新知速通 1 题型探究 2 题型1、单动点的动态规律（左右跳跃）问题 2 题型2、单动点与多动点的匀速运动问题 9 题型3、单动点与多动点的变速运动问题 20 题型4、多动点的动态中点与n等分点问题 28 题型5、动点的往返运动问题 37 题型6、无参型动态定值问题 47 题型7、含参型动态定值问题 57 题型8、数轴翻折问题 68 题型9、数轴上的线段移动问题 79 题型10、数轴上动点的新定义问题 89 基础通关 99 拓展提优 132 1.学会用动态思维、方程的思想去分析问题和解决问题； 2.学会抓住动中含静的思路（动时两个变量之间的关系，静时两个变量之间的关系）； 3.掌握数轴上动点的移动规律，结合分类讨论、数形结合等数学思想解决问题． 数轴中的动态问题是七年级上学期的必考压轴题型，主要以数轴为载体，体现分类讨论和数形结合等思想，考查学生的分析与综合能力。解题时，一般遵循“点、线、式”三步策略。即：先根据题意中动点的出发位置，移动方向和速度，用含t的式子表示动点，然后根据题中要求提炼出线段，用动点的含t表达式表示线段，最后根据线段间的等量关系，列出式子，然后求解（要检验解是否符合动点的运动时间范围）。 1.数轴上两点间的距离公式 若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB两点间的距离。 2.数轴上两点的中点公式 若A、B两点在数轴上对应的数字是 a、b，则AB中点对应的数字是：。 3.数轴上点的移动变化规律 左减右加。 4.数轴上的动点问题主要步骤 1）画图——在数轴上表示出点的运动情况：运动方向和速度； 2）写点——写出所有点表示的数：常用含t的代数式表示，向右运动用“+”表示，向左运动用“-”表示； 3）表示距离——右—左，若无法判定两点的左右需加绝对值； 4）列式求解——根据条件列方程或代数式，求值。 注意：要注意动点是否会来回往返运动，速度是否改变等。 5.分类讨论的思想 （1）数轴是数形结合的产物，分析数轴上点的运动要结合图形进行分析，注意多种情况的分类讨论； （2）对于两个动点P、Q，若点P、Q的左右位置关系不明确或有多种情况，可用p、q两数差的绝对值表示PQ 两点距离，从而避免复杂分类讨论。 题型1、单动点的动态规律（左右跳跃）问题 【解题技巧】运动规律性‌：动点按“左右交替”方向移动，步长呈现递增或周期性变化。 代数表达‌：动点位置需用含时间变量t的代数式表示。 例如，第n次移动后的位置可表示为：xn=xn−1±kn，其中k为步长基数，符号由移动方向决定。 分类讨论‌：根据移动次数、方向变化和步长规律进行分段分析，尤其注意动点是否跨越原点或特定临界点。 常见模型（1）：“1左1右”的等差数列式跳跃，两个一组根据规律计算即可； 常见模型（2）：“2左2右”的等差数列式跳跃，四个一组根据规律计算即可。 例1．（2025·山东淄博·二模）在数轴上，点表示原点，现将点从点开始沿数轴按如下规律移动：第一次点向左移动1个单位长度到达点，第二次将点向右移动2个单位长度到达点，第三次将点向左移动3个单位长度到达点，第四次将点向右移动4个单位长度到达点，…，按照这种移动规律移动下去，第次移动到点，当时，点与原点的距离是 个单位． 【答案】1013 【分析】本题考查了数轴上点运动规律探索，正确理解题意、得到规律是关键； 根据前4个点的运动规律可得：第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是，进而求解． 【详解】解：因为第一次点向左移动1个单位长度到达点，点表示的数是， 第二次将点向右移动2个单位长度到达点，点表示的数是1， 第三次将点向左移动3个单位长度到达点，点表示的数是， 第四次将点向右移动4个单位长度到达点，点表示的数是2， …， 所以第次移动到点，当n为奇数时，点表示的数是，当n为偶数时，点表示的数是， 所以当时，点表示的数是，与原点的距离是1013； 故答案为：1013. 例2．（24-25七年级上·云南曲靖·期中）已知多项式，，且整式是一个关于的五次四项式． (1)求出、的值； (2)若，数对应点，数对应点．一个动点从、的中点处出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置做第二次运动，向右运动3个单位长度；在新的位置做第三次运动，向左运动5个单位长度；在新的位置做第四次运动，向右运动7个单位长度，……，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第2018次时，求点所对应的有理数； (3)在（2）的条件下，当动点完成第7次运动后，突然改变了运动状态，以每秒4个单位长度的速度运动．1秒钟后，、同时启动，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度向数轴正方向运动，那么当点到点、的距离相等的时候，点的位置在何处？ 【答案】(1)或 (2)第2018次运动后点对应的数：2016 (3)，3或 【分析】（1）将两式作差，再合并，根据多项式是五次四项式讨论得出答案； （2）先确定a，b的值，再根据前四次数字变化特点可知每两次向右运动两个单位长度，进而得出答案； （3）先求出点P对应的数，再分两种情况，分别表示出，根据列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴是五次四项式， ∴就是一项. ，   当时，，即符合题意； 当时，， 时，不符合题意． 时，符合题意， 所以． ∴或； （2）解：∵， ∴， ∴中点对应数为， ∴第一次运动后点对应数为：， 第二次运动后点对应数为：， 第三次运动后点对应数为：， 第四次运动后点对应数为：， ∴每两次向右运动两个单位长度， ∴2018次运动后点对应的数为：． ∴第2018次运动后点对应的数：2016； （3）解：第七次运动后点对应数：， ①若向左运动，点运动时间为t秒， 秒后对应的数为：， 秒后对应的数为：， 秒后对应的数为：， ∵， ∴ ， ∴， ∴对应数为：； ②若向右运动，对应数为：， 对应数为：， 对应数为：， ∵， ∴或， ∴或， ∴对应数为：或． 综上所述点对应的数为，3或． 【点睛】本题主要考查了多项式的次数和项，数轴上点表示有理数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用，注意多种情况讨论，不能丢解． 例3．（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）如图，一个动点从原点开始向左运动，每秒运动个单位长度，并且规定：每向左运动秒就向右运动秒，则该动点运动到第秒时所对应的数是 ． 【答案】 【详解】解：第个秒，即第一次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为， 第个秒，即第次先向左移动秒，再向右移动秒后，这个点所对应的数为，， ∵，而， 即第次秒后先向左移动秒，再向右移动秒，此时这个点所对应的数为， ∴运动到第秒时所对应的数为，故答案为：． 变式1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，数轴上，点A的初始位置表示的数为1，现点A做如下移动：第1次点A向左移动3个单位长度至点，第2次从点A向右移动6个单位长度至点，第3次从点向左移动9个单位长度至点，…，按照这种移动方式进行下去，则在数轴上表示的数为 ，如果点与原点的距离大于20，那么n的最小值是 ． 【答案】 7 13 【分析】此题考查规律型：数字变化类，认真观察、仔细思考，找出点表示的数的变化规律是解题关键． 序号为奇数的点在点A的左边，各点所表示的数依次减少3，序号为偶数的点在点A的右侧，各点所表示的数依次增加3，于是可得到表示的数为，表示的数为，则可判断点与原点的距离不小于20时，n的最小值是． 【详解】解：第一次点A向左移动3个单位长度至点，则表示的数，； 第2次从点向右移动6个单位长度至点，则表示的数为； 第3次从点向左移动9个单位长度至点，则表示的数为； 第4次从点向右移动12个单位长度至点，则表示的数为； 第5次从点向左移动15个单位长度至点，则表示的数为； …； 则表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为， 所以点An与原点的距离不小于20，那么n的最小值是． 故答案为：7；13． 变式2．（24-25七年级上·河北邢台·阶段练习）如图5，数轴上A，B两点所对应的数分别是a和b，且． (1)___________，___________，A，B两点之间的距离为___________； (2)有一动点M从点A出发，第一次向左运动1个单位长度，然后在新的位置第二次运动，向右运动2个单位长度，在此位置第三次运动，向左运动3个单位长度，在此位置第四次运动，向右运动4个单位长度…，按照如此规律不断地左右运动，当运动到2025次时，求点M所对应的有理数； (3)点P为数轴上一点，若点P到点B的距离是点P到点A的距离的2倍，请求出此时点P对应的有理数． 【答案】(1)，7，12 (2) (3)点P对应的有理数分别是和 【分析】本题考查数轴上的两点间的距离，数轴上的动点问题，有理数的加法运算，一元一次方程的应用． （1）根据非负性，求出a，b的值，两点间的距离公式求出A，B两点之间的距离即可； （2）设向左运动记为负数，向右运动记为正数，根据题意，列出算式进行计算即可； （3）设点P对应的数为x，分点P在点A的左侧，点P在点A和点B之间，点P在点B的右侧，三种情况，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：，， 解得：，， ∴A，B两点之间的距离为， 故答案为：，7，12； （2）解：设向左运动记为负数，向右运动记为正数， ∴ ， 所以当运动到2025次时，求点M所对应的数为； （3）解：设点P对应的数为x， ①当点P在点A的左侧时：， 解得：， ②当点P在点A和点B之间时：， 解得：， ③当点P在点B的右侧时：， 解得：，这与点P在点B的右侧矛盾，故舍去， 综上所述，点P所对应的有理数分别是和． 变式3．（2024·江苏·泰州七年级阶段练习）在如图的数轴上，一动点Q从原点O出发，沿数轴以每秒钟4个单位长度的速度来回移动，其移动方式是先向右移动1个单位长度，再向左移动2个单位长度，又向右移动3个单位长度，再向左移动4个单位长度，又向右移动5个单位长度… （1）求出2.5秒钟后动点Q所处的位置； （2）求出7秒钟后动点Q所处的位置； （3）如果在数轴上有一个定点A，且A与原点O相距48个单位长度，问：动点Q从原点出发，可能与点A重合吗？若能，则第一次与点A重合需多长时间？若不能，请说明理由． 【答案】（1）-2 ；（2）4 ；（3）1140秒或1164秒． 【详解】解：（1）∵4×2.5=10，∴点Q走过的路程是1+2+3+4=10，Q处于：1-2+3-4=4-6=-2； （2）∵4×7=28，∴点Q走过的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，Q处于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4； （3）①当点A在原点右边时，设需要第n次到达点A，则，解得n=95， ∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95=1+2+3+…+95==4560， ∴时间=4560÷4=1140(秒)； ②当点A原点左边时，设需要第n次到达点A，则=48，解得n=96， ∴动点Q走过的路程是1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|=1+2+3+…+96==4656， ∴时间=4656÷4=1164(秒) ． 题型2、单动点与多动点的匀速运动问题 【解题技巧】模型（1）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向右移动，t秒后，到达B点，B点对应的数是：a+vt。 模型（2）:动点P从点A（点A在数轴上对应的数是a）出发，以每秒v个单位的速度向左移动，t秒后，到达C点，C点对应的数是：a-vt。 例1．（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）如图，数轴上点表示的数是，点表示的数是． (1)图中点向右移动个单位长度，表示的数为______；图中点向左移动个单位长度，表示的数为_____． (2)图中点移动个单位长度，表示的数为______；图中点移动个单位长度，表示的数为______． (3)点从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动．点、同时运动，设运动时间为秒，则点表示的数为______，点表示的数为______．(用含的式子表示) (4)当为何值时，、两点相遇，并写出相遇点所表示的数． 【答案】(1)； (2)或；或 (3)； (4)当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为 【分析】（1）根据数轴上点移动的规律“左减右加”，即可得出结论； （2）分别分两种情况：向左移动、向右移动，并根据数轴上点移动的规律“左减右加”，即可得出结论； （3）根据数轴上点移动的规律“左减右加”，即可得出结论； （4）结合（3）的结论，根据、两点相遇即点表示的数与点表示的数相同，据此列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点表示的数是，点表示的数是， 又∵，， ∴点向右移动个单位长度，表示的数为；图中点向左移动个单位长度，表示的数为， 故答案为：；； （2）∵，；，， ∴点移动个单位长度，表示的数为或；图中点移动个单位长度，表示的数为或， 故答案为：或；或； （3）设运动时间为秒， ∵点从点 出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动；点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，且点、同时运动， ∴点表示的数为，点表示的数为， 故答案为：；； （4）由（3）知：运动时间为秒，点、同时运动，则点表示的数为，点表示的数为， 当、两点相遇时，即点与点重合， ∴， 解得：， ∴， ∴当为秒时，、两点相遇，相遇点所表示的数为． 【点睛】本题考查用数轴上的点表示有理数，点的移动，列代数式，一元一次方程的应用，熟知数轴上点移动的规律“左减右加”是解题的关键． 例2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）定义：在数轴上，若已知点和点，则符号“”表示、两点间的距离． 如图，在数轴上，点表示的数是，点表示的数是，点，为数轴上的两个动点，动点从点出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度运动到终点后停止运动，同时动点从点出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度运动到终点后停止运动．设点的运动时间为秒． 回答下列问题： (1) ； (2)当点与点重合时，求的值； (3)在，两点运动的过程中，当时，求的值； (4)当，两点间的距离为时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）利用数轴上两点之间的距离公式即可直接得出答案； （2）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，由“点与点重合”可得，解方程即可求出的值； （3）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，进而可得，由“点表示的数是，点表示的数是”可得，由可得，解方程即可求出的值； （4）当运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，进而可得，由“，两点间的距离为”可得，解得或；由“点表示的数是，点表示的数是”可得，由于，而当时，点已抵达终点并停止运动，由此可知不符合题意，故舍去，当时，，由“，两点间的距离为”可得，解得；综上，即可得出当，两点间的距离为时的值． 【详解】（1）解：点表示的数是，点表示的数是， ， 故答案为：； （2）解：当运动时间为秒时， 点表示的数为：， 点表示的数为：， 点与点重合， ， 解得：； （3）解：当运动时间为秒时， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ， 点表示的数是，点表示的数是， ， ， ， ， 解得：或； （4）解：当运动时间为秒时， 点表示的数为：， 点表示的数为：， ， ，两点间的距离为， ， ， 解得：或， 点表示的数是，点表示的数是， ， ， 而当时，点已抵达终点并停止运动， 不符合题意，故舍去， 当时，， ，两点间的距离为， ， 解得：， 综上，当，两点间的距离为时，或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用（几何问题），用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，列代数式等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出代数式或方程是解题的关键． 例3．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）在数轴上有三个点A，B，C，它们表示的有理数分别为a，b，c．已知b，c互为相反数，且． (1) ， ， ． (2)若数轴上点D到点B的距离为2，则点D表示的数为 ． (3)点M 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，设点M的运动时间为t秒． ①当线段时，求点M的运动时间； ②在点M从点A出发的同时，点N从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动，在运动过程中，是否存在线段的情况？如果存在，请求出此时t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2)或 (3)秒或秒   或 【分析】（1）由绝对值的非负性和完全平方数的非负性可得，，解方程即可求出，的值，然后由相反数的定义即可求出的值； （2）设点表示的数为，由题意得，解方程即可求出答案； （3）由题意得，点表示的数为，由可得，整理得，解方程即可求出的值；由题意得，点表示的数为，点表示的数为，由可得，整理得，解方程即可求出的值． 【详解】（1）解：， ，， 解得：，， ，互为相反数， ， 故答案为：，，； （2）解：设点表示的数为， 由题意得：， 解得：或， 点表示的数为或， 故答案为：或； （3）解：由（1）得：点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， 点M 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动， 点表示的数为， ， ， 整理，得：， 解得：或， 点的运动时间为秒或秒； 存在，理由如下： 由（1）得：点表示的数为，点表示的数为， ， 点M 从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时，点N从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向左运动， 点表示的数为，点表示的数为， ， 整理，得：， 解得：或， 答：存在线段的情况，此时的值为或． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用（几何问题），用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值非负性，相反数的定义等知识点，读懂题意，根据题中的数量关系正确列出代数式或方程是解题的关键． 变式1．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，已知数轴上两点对应的数分别为、，点P为数轴上一动点，其对应的数为x． (1)（填空）若点P从B开始向左移动6个单位长度，则______．若点P向左移动到与点A距离3个单位长度时，则点P对应的数是______． (2)（填空）当点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动，则t秒后P点表示的数是______，此时若将数轴折叠，使与3表示的点重合，则点P与数______表示的点重合（用含t的式子表示）； (3)若点P从A点出发沿数轴的负方向移动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q从B出发同向移动，速度为每秒3个单位长度，设运动时间为t，在移动过程中，是否存在某一时刻t，使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；2或-4 (2) (3)存在，或 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，以及数轴，关键是理解题意，表示出两点之间的距离， 利用数形结合法列出方程． （1）根据点的移动过程可以得到答案； （2）先根据移动得到P点表示的数，然后根据中点坐标公式解题即可； （3）先写出点P和点Q对应的数，然后根据题意列方程，求解即可． 【详解】（1）已知数轴上两点对应的数分别为、， 点P从B开始向左移动6个单位长度， 则， 当点P向左移动到与点A距离3个单位长度时， 点P对应的数是或． （2）点P从点B以每秒3个单位长度的速度向右移动， 则t秒后P点表示的数是， 数轴折叠，使与3表示的点重合， 折叠中心为， 折叠后，点P与数表示的点重合． （3）存在， t秒后，点P所在的位置表示的数为， 点Q所在的位置表示的数为， 点Q与点P之间的距离， 当等于2个单位长度时， ，即或， 解得或． 存在t使得点Q与点P之间的距离等于2个单位长度，此时或 变式2．（24-25七年级上·陕西咸阳·期中）在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，我们规定：的大小可以用位于右边的点表示的数减去左边的点表示的数表示，即． 【问题情境】如图，在数轴上点A表示的数是，点B在点A的右侧，且到点A的距离是18．点C在点A与点B之间，且点C与点A之间的距离是9． (1)【初步应用】点B表示的数是 ，点C表示的数是 ． (2)【迁移应用】若点P从点A出发，沿数轴以每秒3个单位长度的速度向右匀速运动；同时，点Q从点B出发，沿数轴以每秒2个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，当点P运动到C点时，求点Q与点C之间的距离． (3)【实践应用】在（2）的条件下，若点P与点C之间的距离表示为，点Q与点B之间的距离表示为，在运动过程中，是否存在某一时刻使得？若存在，请求出此时点P表示的数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)15，6 (2)3 (3)存在，0或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键； （1）根据点三点位置间的关系，可得出点表示的数； （2）利用点与点的距离点的运动速度运动时间，即可求出结论； （3）当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是，分为当点在点左边时和当点在点右边时，得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值，再将其代入中即可求出结论． 【详解】（1）解：点表示的数是，点表示的数是． （2）根据题意可知，当点运动到点时，经过了， 所以此时点表示的数是， 所以点与点的距离，． （3）存在； 当运动时间为秒时，点表示的数是，点表示的数是． 当点在点左边时，， 因为， 所以， 解得， 此时点表示的数为； 当点在点右边时，， 因为， 所以， 解得， 此时点表示的数为． 综上所述，存在某一时刻使得，此时点表示的数为0或． 变式3．（24-25七年级上·湖南湘潭·期末）如图1，点C在线段上，图中共有3条线段：，和，若其中有一条线段的长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)一条线段的中点______这条线段的“巧点”；（填“是“或“不是”） (2)如图2，数轴上A、B两点分别对应数a、b，且a、b满足关系式． ①若C是线段的“巧点”，则C点表示的数是多少？ ②动点P从点A出发，以每秒的速度沿向终点B匀速移动．点Q从点B出发，以每秒的速度沿向终点A匀速移动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时两动点同时运动停止，若设移动的时间为t秒，求当t为何值时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【答案】(1)是 (2)①或或 ②或或 【分析】（1）若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义，由此即可得出答案； （2）①由及绝对值非负性可得，，解方程即可求出、的值，若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别求解，即可求出点表示的数；②当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为，当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论：）当时；）当时；）当时；分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，若点是中点，则有成立，满足“巧点”定义， 一条线段的中点是这条线段的“巧点”， 故答案为：是； （2）解：①， ，， 解得：，， 若C是线段的“巧点”，则分三种情况讨论： ）当时， 此时， 点表示的数是：； ）当时， 此时， 点表示的数是：； ）当时， 此时， 点表示的数是：； 综上，点表示的数是或或， 答：点表示的数是或或； ②如图， 当移动的时间为t秒时，点表示的数为，点表示的数为， 当点Q恰好是线段的“巧点”时，分三种情况讨论： ）当时， ， 解得：； ）当时， ， 解得：； ）当时， ， 解得：； 综上，当或或时，点Q恰好是线段的“巧点”． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用（几何问题），用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值非负性，有理数四则混合运算的实际应用，线段中点的定义等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键． 题型3、单动点与多动点的变速运动问题 【解题技巧】单个动点在数轴上运动时，速度随时间或位置发生改变，需分段描述其运动轨迹。 例如：动点先以速度v1运动t1秒，再以速度v2反向运动t2秒。 其‌位置表达式‌：分段表示为x(t)=x0+v1t（0≤t≤t1）和x(t)=x(t1)−v2(t−t1)（t1<t≤t1+t2）。 上式中为x0初始位置，x(t)为t时刻的位置。 多个动点以不同速度或方向变化协同运动，需分别建模后寻找关联条件（如相遇、距离等）。 动态关系式‌：分别表示各动点位置，再通过相遇条件xP(t)=xQ(t)或距离公式∣xP(t)−xQ(t)∣=L列方程。 上式中xP(t)为动点P在t时刻的位置；xQ(t)为动点Q在t时刻的位置。 数轴上的单动点与多动点的变速运动问题用于描述动点在运动中速度发生变化的场景，需结合分段分析（按时间或位置划分运动阶段，确保每个阶段内速度恒定）和动态方程构建解决问题，最后注意检查解是否在对应时间段内，排除超时或重复解。 例1．（24-25七年级下·重庆万州·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数为a、点B表示的数为b，a、b满足，点O是数轴原点． (1)点A表示的数为_____，点B表示的数为_______，线段的长为_____． (2)若点A与点C之间的距离表示为，点B与点C之间的距离表示为，请在数轴上找一点C，使，求点C在数轴上表示的数． (3)现有动点P、Q都从B点出发，点P以每秒1个单位长度的速度向终点A移动，当点P移动到O点时， 速度变为每秒2个单位，此时点Q从B点出发，并以每秒3个单位长度的速度向右移动，点Q运动到点A 时立即以原速返回向左运动，且当点P到达A点时，点P、Q都停止移动．设点P移动的时间为t秒，问：当t为多少时，P、Q两点相距2个单位长度？ 【答案】(1)40，， (2)或 (3)2秒或14秒或秒 【分析】（1）根据得，确定点A表示的数为40，点B表示的数为，，解答即可． （2）设点C表示的数为，根据题意，得，，根据，得，解绝对值方程解答即可． （3）根据题意，得从点B到点O需用时间为8秒；点Q运动到点A需用16秒，点P从点O运动到点A需要秒，此时运动时间为28秒，当时，分类解答即可． 【详解】（1）解：根据得， 故点A表示的数为40，点B表示的数为， 故， 故答案为：40，，． （2）解：设点C表示的数为， 根据题意，得，， 又， 故， ∴或， 解得或， 故点C在数轴上表示的数或． （3）解：根据题意，得从点B到点O需用时间为8秒；点Q运动到点A需用16秒，点P从点O运动到点A需要秒，此时运动时间为28秒， 当时，，点Q在点B处为运动，根据题意，得， ∴； 当时，，此时，，此时,根据题意，得， 解得（秒）； 当时，，此时，，此时,根据题意，得， 解得（秒）； 综上所述，需运动2秒或14秒或秒，满足题意． 【点睛】本题考查了绝对值的非负性，数轴上的两点间距离计算，数轴上点的表示数计算，一元一次方程的应用，熟练掌握非负性，解方程是解题的关键． 例2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）已知点在数轴上对应的数分别是，其中对应的数是，满足，（如图1）． (1)直接写出的值； (2)如图1，点P为数轴上一动点，其对应的数为x，若，求x的值； (3)如图2，将数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”（图中两点在“折线数轴”上的距离为个单位长度），动点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿“折线数轴”的正方向运动，在段运动速度变为原来的一半，之后立刻恢复：P从点A运动同时，动点Q从点C出发，以1单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动，在段运动速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速，设运动时间为t秒，请直接写出当t为何值时，P，O两点在“折线数轴”上的距离与Q，B两点在“折线数轴”的距离相等． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)运动的时间为秒或秒或秒或秒． 【分析】（1）根据非负数的性质即可求解； （2）利用绝对值表示出，，根据列出方程，解之即可． （3）由路程、速度、时间三者关系，根据分类谈论求出四种情况下的时间即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，， （2）解：∵，，点P对应的数为， 根据题意可得， ∵， ∴， 解得：或 ∴的值为或． （3）解：由上可知，， 当点在，点在上运动时，，， ∴当时，即， 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 当点、两点都在上运动时，，， ∴当时，即 解得：； 当在上，在上运动时，， ∴当时，即， 解得：； 综上，当时，运动的时间为秒或秒或秒或秒． 【点睛】本题综合考查了数轴与有理数的关系，数轴上的动点问题，非负数的性质，绝对值的意义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，数形结合思想，分类讨论的方法． 变式1．（24-25七年级上·云南昆明·期末）已知多项式（实数为常数）的次数是，且二次项系数为．数轴上，，三点所对应的数分别是，和，点，沿数轴同时出发相向匀速运动，速度分别为每秒个单位长度，每秒个单位长度． (1)______，______； (2)若点与点之间的距离记为，原点与点之间的距离记为，，两点运动秒时有，求此时的值； (3)当点运动到点时，立即以初始速度的倍返回，到达点的起始位置后，再以初始速度的倍折返向点运动，再次到达点后停止运动．点始终保持原来的运动方向和速度不变．求点开始运动后与点相遇时的的值． 【答案】(1)， (2)当运动时间为秒或秒时， (3)运动过程中，两点相遇时的值为秒或秒或秒 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、多项式以及实数与数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解答本题的关键． （1）由多项式的次数是二次，二次项系数为，可得出，，解之即可得出、的值； （2）当运动时间为秒时，，对应的数分别为，，根据，可列出关于的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）利用时间路程速度，结合点的速度变化，可求出各节点的时间，分，及三种情况考虑，根据点、相遇时两点对应的数相等，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出的值． 【详解】（1）解：多项式的次数是二次，二次项系数为， ，， ，， 故答案为：，； （2）解：运动秒后，，对应的数分别为，， ，而， ， ， 或， 解得：或， 当运动时间为秒或秒时，； （3）解：由（1）知：点的初始运动速度是每秒个单位长度，则从点返回点的速度为每秒个单位长度，再从点折返的速度为每秒个单位长度， ， 点第一次运动到点时：， 从点返回点时：， 再从点折返到点时：， 运动秒后，点对应的数分别为， 当时，点对应的数为：， 第次相遇时，，解得， 当时，点对应的数为：， 第次相遇时，，解得， 当时，点对应的数为：， 第次相遇时，，解得； 运动过程中，两点相遇时的值为秒或秒或秒． 变式2．（24-25七年级上·北京·期中）对于数轴上的A，B，C三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好相等，则称该点是其它两个点的“二分点”．特别地，当两个点重合时，我们规定：它们之间的距离为0． 例如：数轴上点A，B，C所表示的数如果分别为1，3，5，此时数轴上点B与点A之间的距离是2，点B与点C之间的距离是2，所以点B是点A，点C的“二分点”． (1)若点A表示的数为，点B表示的数为4． ①下列各数，0，2所对应的点分别为，，，则在点为，，中，是点A，点B的“二分点”的是 ； ②若点M为数轴上一动点，且点B是点A，点M的“二分点”，请直接写出点M所表示的数； (2)数轴上点A所表示的数为，点B所表示的数为20．一只电子蚂蚁P从点A出发，以4个单位每秒的速度沿数轴向右运动，到达点B后立刻返回，速度变为原来的倍．另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以6个单位每秒的速度沿数轴向左运动，与电子蚂蚁P第一次相遇后，速度变为原来的一半．若两只电子蚂蚁同时出发，设运动时间为秒，求当t为何值时， A、P、Q三个点中恰有一个点为其余两点的“二分点”？（写出解题过程） 【答案】(1)①，②或； (2)或或或或或或或， 【分析】本题考查的是新定义的含义，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用； （1）①先分别计算，，与之间的距离，再结合新定义判断即可；②设点表示的数为，当点B是点A，点M的“二分点”，时，，可得点时的中点，或重合；再建立方程求解即可； （2）分情况画出图形，结合速度分别表示运动过程中对应的数，再结合图形与新定义的含义再建立方程求解即可． 【详解】（1）解：①解：，， ∴， 不是点A，B的“二分点”； ， 是点A，B的“二分点”； 不是点A，B的“二分点”； ∴是点A，B的“二分点”的是， ②设点表示的数为， 当点B是点A，点M的“二分点”，时，， ∴点时的中点，或重合； 当点时的中点， ， 解得：， 当重合；则， ∴对应的数为：或； （2）解：由题意可得：对应的数为：，对应的数为：， 如图， 当为的“二分点”时， ∴， 解得：， 当重合时，则为的“二分点”， ∴， 解得：， 如图，两点相遇之后，此时的速度变为原来的一半， 相遇时，对应的数为：， ∴此时对应的数为：， 当为的“二分点”时， ∴， 解得：， 当重合时，是的“二分点”， ∴， 解得：，经检验符合题意； 当与重合时， ∴，解得：， 此时以每秒个单位返回，如图， 此时对应的数为：，对应的数为：， 当为的“二分点”时， ∴， 解得：， 当重合时，则是的“二分点”， ∴， 解得：， 当为的“二分点”时， ∴， 解得：， 当重合时，则是的“二分点”， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去） 当时，点与点重合， 此时，则点是的“二分点”， 综上：或或或或或或或， 题型4、多动点的动态中点与n等分点问题 【解题技巧】 例1．（24-25七年级上·陕西榆林·期末）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，这种解决问题的思想叫做数形结合思想．研究数轴我们发现了许多重要的规律： ①若数轴上点A，点B表示的数分别为a，b，若A，B位置不确定时，则A，B两点之间的距离为：；点A在B的右侧，即，则A，B两点之间的距离为：；②线段的中点表示的数为． 【问题情境】 如图，在数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9，点A，点B和点C分别以每秒2个单位长度，1个单位长度和4个单位长度的速度在数轴上同时向左运动，设运动时间为t秒． 请利用上述结论，结合数轴，完成下列问题： (1)运动之前，A、B两点之间的距离为________；运动之前，线段的中点表示的数为________； (2)运动t秒后，求点A表示的数；（用含t的代数式表示） (3)若t秒钟过后，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点，求t的值． 【答案】(1)4；3 (2) (3)或4或16 【分析】（1）根据题意，得运动之前，A、B两点之间的距离为；运动之前，线段的中点表示的数为，解答即可； （2）根据题意，运动t秒后，运动的距离为，运动后点A表示的数为解答即可． （3）根据题意，运动t秒后，点A运动的距离为，点B运动的距离为，点C的运动距离为，运动后表示的新数A为，运动后表示的新数B为，运动后表示的新数C为，分类计算解答即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示数，点B表示数1，点C表示数9， ∴运动之前，A、B两点之间的距离为； 运动之前，线段的中点表示的数为， 故答案为：4，3． （2）解：根据题意，运动t秒后，运动的距离为， ∵数轴上点A表示数， ∴运动后点A表示的数为． 故点A表示的数为． （3）解：由题知，t秒时，A点所在的数为，B点所在的数为，C点所在的数为．     ①若B为中点，则，     解得；     ②若C为中点，则，     解得；     ③若A为中点，则，     解得． 综上，当或4或16时，A，B，C三点中恰有一点为另外两点的中点． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，线段中点表示的数的表示法，数轴上的平移，解方程，熟练掌握定义，解方程是解题的关键． 例2．（24-25七年级上·福建福州·阶段练习）【知识准备】若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为的中点，则我们有中点公式：点对应的数为． （1）在一条数轴上，为原点，点对应的数为，点对应的数为，且有，则的中点所对应的数为______； 【问题探究】（2）在（）的条件下，若点从点出发，以每秒个单位长度的速度向左运动，同时点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动．设运动时间为秒，为何值时，的中点所对应的数为？ 【拓展延伸】（3）若数轴上点对应的数为，点对应的数为，为靠近点的三等分点，则我们有三等分点公式：点对应的数为；若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的四等分点，则我们有四等分点公式：点对应的数为：．填空：若数轴上点的对应数为，点的对应数为，为最靠近点的五等分点．则点对应的数为______． 【答案】（）；（）当时，的中点所对应的数为；（）； 【详解】解：（），∴，，∴，， ∴点对应的数为，点对应的数为∴的中点所对应的数为，故答案为：； （）由题意可得，点表示的数为，点表示的数为， ∴，解得，当时，的中点所对应的数为； （）根据题意：五等分点公式点对应的数为，故答案为：； 变式1．（23-24七年级上·江苏泰州·阶段练习）已知数轴上有A，B，C三点，分别表示数．两只电子蚂蚁甲、乙分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度为4个单位/秒，乙的速度为6个单位/秒． (1)问甲、乙在数轴上的哪个点相遇？ (2)问多少秒后甲到A，B，C三点的距离之和为50个单位？若此时甲调头往回走，问甲、乙还能在数轴上相遇吗？若能，求出相遇点；若不能，请说明理由． (3)若甲、乙两只电子蚂蚁（用P表示甲蚂蚁、Q表示乙蚂蚁）分别从A，C两点同时相向而行，甲的速度变为原来的3倍，乙的速度不变，直接写出多少时间后，原点O、甲蚂蚁P与乙蚂蚁Q三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 【答案】(1)甲、乙在数轴上表示的点相遇 (2)3秒或4秒后甲到，，三点的距离之和为50个单位，两人相遇点为：或 (3)4或或2秒后，原点、甲蚂蚁与乙蚂蚁三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． （1）设秒后甲与乙相遇，列出方程，再计算即可． （2）设秒后甲到，，三点的距离之和为50个单位，分两种情况讨论：之间，之间，再列式计算即可．然后根据算出的时间，再利用追击问题，求相遇点． （3）①设秒后原点是甲蚂蚁与乙蚂蚁两点的中点，则，解得；②设秒后甲蚂蚁是乙蚂蚁与原点两点的中点，则，解得；③设秒后乙蚂蚁是甲蚂蚁与原点两点的中点，则，解得； 【详解】（1）设秒后甲与乙相遇，则， 解得， ， ， 故甲、乙在数轴上表示的点相遇； （2）设秒后甲到，，三点的距离之和为50个单位， 此时甲位于：． ①当甲位于之间时， 如图：   ， ； 此时甲位于：， 乙位于：， 追击时间为：（秒， 相遇点为：． ②当甲位于之间时， 如图：   ， ． 此时甲位于：， 乙位于：， 追击时间为：（秒， 相遇点为：． 综上所述，3秒或4秒后甲到，，三点的距离之和为50个单位，两人相遇点为：或． （3）①设秒后原点是甲蚂蚁与乙蚂蚁两点的中点， 如图：    则， 解得； ②设秒后甲蚂蚁是乙蚂蚁与原点两点的中点， 如图：    则， 解得； ③设秒后乙蚂蚁是甲蚂蚁与原点两点的中点， 如图：    则， 解得； 综上所述，4或或2秒后，原点、甲蚂蚁与乙蚂蚁三点中，有一点恰好是另两点所连线段的中点． 变式2．（24-25七年级上·四川南充·期中）在数轴上有分别表示数，其中，且与互为相反数．点是数轴上一动点，规定点到的距离是点到的距离的倍时，我们就称点是关于的“亲密点”． (1)当运动到表示最大的负整数时，若将数轴折叠，使点与点重合，求出与点重合的点表示的数是多少？ (2)①若点运动到原点时，此时点 关于的“亲密点”（填是或不是）； ②若点从点以每秒个单位长度向右运动，当点是关于的“亲密点”，求点的运动时间． (3)若在原点左边（即对应的数是负数）且中，其中有一个点是关于其它任意两个点的“亲密点”，请直接写出所有符合条件的点表示的数． 【答案】(1) (2)①不是；②或 (3)或或或或或 【分析】（）根据非负数的性质和相反数的定义求出的值，即得线段的中点表示的数，由根据点表示最大的负整数，可得点表示的数为，最后利用中点公式即可求解； （）①分别求出的距离，再根据“亲密点”的定义判断即可；②设点的运动时间为秒，可得点表示的数为，再分点在点的左侧和右侧，分别列出方程解答即可； （）设点表示的数为，则或，，，再分分六种情况进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴分别表示数， ∴线段的中点表示的数为， ∵点表示最大的负整数， ∴点表示的数为， 设与点重合的点表示的数为，则， ∴， ∴与点重合的点表示的数是； （2）解：①当点运动到原点时，，， ∵， ∴此时点不是关于的“亲密点”， 故答案为：不是； ②设点的运动时间为秒， 由题意得，点表示的数为， 当点在点的左侧时，，， ∵点是关于的“亲密点”， ∴， 解得； 当点在点的右侧时，，， ∵点是关于的“亲密点”， ∴， 解得； 综上，点的运动时间为或； （3）解：设点表示的数为，则或，，， 分六种情况进行讨论： ①当点是关于的“亲密点”时， ， 即， 解得； ②当点是关于的“亲密点”时， ， 即 或， 解得或； ③当点是关于的“亲密点”时， ， 即， 解得； ④当点是关于的“亲密点”时，， 即或， 解得或； ⑤当点是关于的“亲密点”时，， 即， 解得； ⑤当点是关于的“亲密点”时，， 即， 解得； 综上所述，所有符合条件的点表示的数是或或或或或． 【点睛】本题考查了数轴与有理数，非负数的性质，相反数的定义，两点间距离公式，中点公式，一元一次方程的应用，理解题意并运用分类讨论思想解答是解题的关键． 变式3．（24-25七年级上·山西晋中·期末）综合与实践 已知数轴上有A、B、C三点，点A在数轴上对应的数为a，点B对应的数为b，且a、b满足，点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的解 (1)数轴上点A、B、C表示的数分别为________、________、________； (2)如图1，若动点P从A点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发，当t为何值时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度？ (3)如图2，若动点P、Q两点同时从A、B出发，向右匀速运动，同时动点R从点C出发，向左匀速运动，已知点P的速度是点R的速度的6倍，点Q的速度是点R的速度2倍少5个单位长度/秒．经过5秒时，P、Q、R三点恰好有其中一点为其余两点的中点．请直接写出动点R的运动速度． 【答案】(1)，30，10 (2)22秒或18秒 (3)动点R的运动速度为个单位/秒或10个单位/秒或个单位/秒 【分析】（1）由，得，解得，即可得到答案； （2）由题意易得P表示的数为，Q表示的数为，可得，即可解得答案； （3）设动点R的运动速度为v个单位/秒，则P的速度是个单位/秒，Q的速度是个单位/秒，运动5秒后，P表示的数为；Q表示的数为，R表示的数为，分三种情况列方程可解得答案． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∴， ∴A表示的数是，B表示的数是30； 解方程得， ∴C表示的数为10； 故答案为：，30，10； （2）解：由题意得：P表示的数为，Q表示的数为， ∵P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度， ∴， 即或， 解得或； ∴经过22秒或18秒时，P、Q之间的距离恰好等于8个单位长度； （3）解：设动点R的运动速度为v个单位/秒，则P的速度是个单位/秒，Q的速度是个单位/秒，则有： 运动5秒后，P表示的数为；Q表示的数为，R表示的数为， 若P为中点，则， 解得； 若Q为的中点，则， 解得； 若R为中点，则， 解得； ∴动点R的运动速度为个单位/秒或10个单位/秒或个单位/秒． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用及数轴上的动点问题，解题的关键是读懂题意，列出方程及分类讨论思想的应用． 题型5、动点的往返运动问题 【解题技巧】数轴上动点往返运动的位置计算需结合‌方向变化、分段累加‌和‌代数建模。 注意事项：1）‌时间范围验证‌：解方程后需检查时间是否在对应运动阶段内。 2）‌多解可能性‌：往返可能导致动点多次经过同一位置，需列绝对值方程并分情况讨论。 3）通过以上方法，可系统计算数轴动点往返后的位置，需重点关注‌方向符号处理‌和‌分段累加规则。 例1．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如图，在数轴上点A表示的数是8，若动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，到达原点后立即以原来的速度返回，向右运动，设运动的时间为t秒． (1)当时，求点Q到原点O的距离； (2)当时，求点Q到原点O的距离； (3)当点Q到点A的距离为4时，求点P到点Q的距离． 【答案】(1)6 (2)2 (3)6或10或22 【分析】本题考查了数轴上的动点问题，两点间的距离，在数轴上表示有理数，熟练掌握数轴上两点之间距离的表示方法是解题的关键． （1）计算出点Q运动的路程，即可解答； （2）计算出点Q的运动路程，即可解答； （3）分三种情况，点在还没达到原点，点Q到点A的距离为4；到达原点后返回未经过点A，与点A的距离为，返回经过点A后，与点A的距离为，再计算时间，即可得到点运动的路程，即可解答． 【详解】（1）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动， ∴当时，， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为6； （2）解：∵动点P从原点O出发，以2个单位/秒的速度向左运动，同时另一动点Q从点A出发，以4个单位/秒的速度也向左运动 ∴当时，点运动的距离为， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∴， ∴当时，点到原点的距离为2； （3）解：当点到点A的距离为4时， 分两种情况讨论： ①点向左运动还没达到原点时， ∵在数轴上点A表示的数是8， ∴， ∵， ∴ 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ②点向右运动时且还没经过点时， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； ③点向右运动时且经过点后， ∵， ∴， 运动时间为（秒）， ∴； ∴； 综上，点P到点Q的距离为6或10或22． 例2．（24-25七年级上·广东深圳·期中）对于数轴上的，，三点，给出如下定义：若其中一个点与其它两个点的距离恰好满足2倍的数量关系，则称该点是其它两个点的“联盟点”，例如，如图1，数轴上点，，所表示的数分别为1，3，4，此时点是点，的“联盟点”．若点表示数，点表示数，且，满足，点为数轴上的一个动点，点对应的数为．    (1) ， ，点，点之间的距离是 ，的最小值是 ； (2)若点在点的右侧，且点是点，点的“联盟点”，求出此时点在数轴上对应的数； (3)若动点从点处以2个单位秒的速度向右运动，同时动点从点处以1个单位秒的速度向左运动，在相遇后，点立刻原速返回，且到达点后停止运动．设点运动的时间为秒，在整个运动过程中，当点是点，点的“联盟点”时，则 ． 【答案】(1)，，，6 (2)2或0或10 (3)，，， 【分析】本题考查了新定义，数轴上两点间的距离，以及一元一次方程的应用， （1）根据非负数的性质可求出m、n的值，点，点之间的距离即为，表示点到点和点的距离之和，当点在点和点之间时，可得最小值； （2）根据点P所处的位置分情况讨论，由不同的线段的倍数关系求出答案即可； （3）当点是点，点的“联盟点”时，则，，再分情况讨论，先分别表示点和点表示的数，再求出，，最后列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，满足， ∴，， 解得：，， 点，点之间的距离为， 表示点到点和点的距离之和，当点在点和点之间时，有最小值为线段的长，即6， 故答案为：，4，6，6； （2）解：∵点在点的右侧，且点是点，点的“联盟点”， ∴分以下三种情况： 当点在点和点之间时， 若时，则，解得：； 若时，则，解得：； 当点在点的右侧时，则，即，解得：， ∴点在数轴上对应的数为2或0或10； （3）解：当相遇时，秒，此时运动路程， 当到达点时，秒， 点立刻原速返回，且到达点后停止运动时，秒， 当点是点，点的“联盟点”时，则，， 当时，即与相遇之前，点表示的数为，点表示的数为，则，， 各点位置如图：    若时，则，解得：，不合题意； 若时，则，解得：，符合题意； 当时，两点相遇之后，到达点之前， 此时，点立刻原速返回，点表示的数为，点表示的数为，则，， 各点位置如图：    若时，则，解得：，符合题意； 若时，则，解得：，符合题意； 当时，两点相遇之后，到达点之后，点停止之前， 此时，点表示的数为，点表示的数为，则，，， 各点位置如图：    ∴时，则，解得：，符合题意； 当时，到达点之后，点停止，此时点与点是同一个点，，不存在两倍关系， 综上所述，或或或． 故答案为：，，，． 变式1．（24-25七年级下·吉林·阶段练习）已知，数轴上点、对应的数分别为、，且满足，点对应点的数为． (1)①___________，___________； ②若动点、分别从、同时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为1个单位长度/秒，求经过多长时间、两点的距离为； (2)在②的条件下，若点运动到点立刻原速返回，到达点后停止运动，点运动至点处又以原速返回，到达点后又折返向运动，当点停止运动点随之停止运动．求在整个运动过程中，两点相遇的点在数轴上表示的数． 【答案】(1)①，；②或； (2)在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数分别是，0，． 【分析】（1）①由绝对值和偶次方的非负性列方程组求出a、c即可；②设经过t秒两点的距离为，根据题意列绝对值方程求解即可； （2）分类讨论：点P未运动到点C时；点P运动到点C返回时；当点P返回到点A时．分别求出不同阶段的运动时间，进而求出相关点所表示的数即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴，， ∴，； ②动点、分别从、间时出发向右运动，点的速度为3个单位长度/秒；点的速度为1个单位长度/秒， ∴对应的数为，对应的数为， ∴， ∴， 解得：或； （2）解：点P未运动到点C时，设经过x秒P，Q相遇， 由题意得：， ∴， 相遇点表示的数为：， 点P运动到点C返回时，设经过y秒P，Q相遇， 由题意得：， ∴， 相遇点表示的数是：， 当点P返回到点A时，用时秒，此时点Q所在位置表示的数是， 设再经过z秒相遇， 由题意得：， ∴， ∵， ∴此时点P、Q均未停止运动， 故z还是符合题意． 此时表示的数是：， 答：在整个运动过程中，两点P，Q同时到达的点在数轴上表示的数分别是，0，． 【点睛】本题综合考查了绝对值和偶次方的非负性、数轴上两点之间的距离，利用方程来解决动点问题与行程问题，本题难度较大分类讨论是解题关键． 变式2．（24-25七年级上·重庆南川·期中）如图，数轴上有三点、、，点表示的数是1，点在点的左侧且，点表示的数是13． (1)点表示的数是_____，线段的长度是_____，线段的长度是_____； (2)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒3个单位长度匀速运动，同时动点从点出发，沿数轴向左以每秒2个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即以每秒7个单位长度的速度继续沿数轴向左匀速运动，在、的运动过程中，当、两点间的距离为8个单位长度时，求此时动点在数轴上所对应的数； (3)若动点从点出发，沿数轴向右以每秒2个单位长度匀速运动，同时，动点从点出发，沿数轴向左以每秒5个单位长度匀速运动，点运动2秒钟后，动点从点A出发，沿数轴向左以每秒1个单位长度匀速运动，当动点与动点相遇时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向右匀速运动；当动点到达点时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向左匀速运动；当动点到达点时，、、三点同时停止运动，在整个运动过程中，点的运动时间设为（秒），当时，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)，12，28 (2)或4.2 (3)所有满足条件的值为或3或，过程见解析 【分析】（1）根据数轴上两点之间的距离求解，即可得到点表示的数，再根据数轴特点即可得到线段、的长度； （2）根据两点间的距离为8个单位长度，记运动时间为，分以下两种情况：①两点相遇之前，两点间的距离为8个单位长度，②两点相遇之后，两点间的距离为8个单位长度，根据路程，速度，时间的关系建立等式求出时间，进而根据数轴特点得到动点在数轴上所对应的数，即可求解； （3）根据，以及动点的运动过程，分以下情况：①当时，②当时，③当时，④当时，⑤当时，结合相遇问题和追击问题，分别表示出，再建立等式求解，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，点表示的数是1，点在点的左侧且，点表示的数是13，∴点表示的数是， 线段的长度是， 线段的长度． 故答案为：，12，28； （2）根据题意，两点间的距离为8个单位长度，可分以下两种情况： 记运动时间为时，两点间的距离为8个单位长度， ①如下图，两点相遇之前，两点间的距离为8个单位长度， 由题知，，， 则有， 解得秒， 此时动点在数轴上所对应的数为； ②两点相遇之后，两点间的距离为8个单位长度， 当两点相遇时，可有（秒）， 当动点与动点相遇时， 动点立即以每秒7个单位长度的速度继续沿数轴向左匀速运动， ∴，解得秒， 此时动点在数轴上所对应的数为； 综上所述，动点在数轴上所对应的数为或4.2； （3）解：由题知，动点与动点相遇时，有， 即，解得秒， 动点追上动点时，有， 即，解得秒， ∵， ①当时，如下图， 有，， ∴ 解得秒； ②当时，如下图， 有，， ∴， 解得秒， 当动点与动点相遇时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向右匀速运动， ∵秒时，， 即点表示的数为，点表示的数为， 当调头与动点相遇时， 秒，即秒， ∵当动点到达点时，动点立即调头继续以原来的速度沿数轴向左匀速运动， 此时秒； 当动点到达点时，三点同时停止运动，此时秒， ③当时，如下图， 有，， ∴， 解得秒（不符合题意，舍去）； ④当时， 有，， ∴， 解得秒（不符合题意，舍去）， 当动点立即调头并追上动点时，追及时间为（秒）； ⑤当时， 有，，， ∴， 解得秒． 综上所述，所有满足条件的值为或3或． 【点睛】本题主要考查了两点之间的距离、数轴上的动点问题、数轴上表示有理数，一元一次方程的应用等知识，根据题意进行分类讨论是解题的关键． 题型6、无参型动态定值问题 【解题技巧】数轴上的动态定值（无参型）问题描述动点运动过程中某些量（如线段长度、距离差等）保持不变的场景，需通过代数表达和几何关系分析定值的存在性及数值。题目中不引入额外参数（如速度、时间变量），直接通过动点初始位置、运动规则或几何关系推导定值。 1）解题策略与步骤：‌ ‌步骤1‌：用代数式表示动点位置，例如动点A从x0​出发，以速度v移动，则t秒后位置为x0+vt。 ‌步骤2‌：根据题目条件（如中点、等分点）建立相关量的表达式（如线段长度、差值的绝对值）。 ‌步骤3‌：化简表达式，观察是否消去变量项，验证是否为定值。 2）常见定值类型： 线段长度定值‌：两动点或动点与定点间的距离保持恒定。 ‌代数式定值‌：如∣xA−xB∣±kxC的值为固定常数。 ‌位置关系定值‌：如动点始终为中点或特定分点，导致相关表达式不变。 例1．（24-25七年级上·湖南益阳·期中）【背景知识】 数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形完美地结合，研究数轴我们可 以发现许多重要的规律，比如：如图 1，若数轴上点 M、点 N 表示的数分别为m，n（）， 则线段 的长（点 M 到点 N 的距离）可表示为．请用上面材料中的知识解答下面的问题： 【问题情境】 如图 2，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动2个单位长度到达点A，再向右移动3个单位长度到达点B，然后再向右移动5个单位长度到达点C． (1)请在图2中表示出A 、B 、C 三点的位置； (2)若点D从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，同时点 E、F分别从点B、点C 出发，分别以每秒1个单位长度、每秒3个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设移动时间为t秒（）． ①A，B两点间的距离 ， ②用含t的代数式表示：t秒时，点D表示的数为 ，点E表示的数为 ，点F表示的数为 ； ③试探究在移动的过程中，的值是否随着时间t的变化而变化？若变化说明理由，若不变请求其值． 【答案】(1)图见解析 (2)；，，；不变， 【分析】（1）先求出点A、B、C表示的数，然后在数轴上表示出A 、B 、C 三点的位置即可； （2）①利用数轴上两点之间的距离公式即可直接得出答案；②由题意可得，，，进而可得秒时点D、E、F所表示的数；③先求出和，再求出，即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知： 点A表示的数为：， 点B表示的数为：， 点C表示的数为：， 如图2，在数轴上表示出A 、B 、C 三点的位置如下： （2）解：①A，B两点间的距离， 故答案为：； ②如图， ，，， 秒时，点D表示的数为，点E表示的数为，点F表示的数为， 故答案为：，，； ③不变，理由如下： ， ， ， 答：在移动的过程中，的值不随时间的变化而变化，始终等于． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，数轴上点的平移，用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，列代数式，整式加减的应用等知识点，运用数形结合思想是解题的关键． 例2．（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）粒子加速器是一种使带电粒子速度增加的装置（如图1所示），它仅作用于带电粒子，对于不带电的粒子没有加速作用．图2为粒子加速器示意图，当带电粒子穿过加速器（加速器宽度可忽略不计）时，其运动速度将迅速变成原来的5倍（速度变化的时间忽略不计）． 如图3所示，在数轴的原点处放置了一台粒子加速器，点24处放置了一块挡板，当粒子碰撞到挡板后，立即以原速反弹． 带电粒子位于数轴上点，不带电粒子位于数轴上点．，分别为，对应点的值，满足． (1)求线段的长度； (2)两粒子在数轴上同时开始运动，从点以每秒1个单位长度的速度向右运动，从点以每秒3个单位长度的速度向右运动．设为粒子的运动时间，为两粒子第一次相遇的时刻，，分别为时刻时，在数轴上所对应的点． ①求的值并求出此时对应点所表示的数． ②当时，判断的值是否会发生变化．如果不会变化，求出该值：如果会变化，请说明理由． (3)当与的距离为3时，求的值． 【答案】(1)18 (2)①，21；②不变，1 (3)或或或 【分析】本题主要考查了动点问题、一元一次方程的应用、列代数式等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）非负性求出的值，然后根据数轴上两点间的距离公式即可解答； （2）①根据数轴上的动点问题列一元一次方程求解即可； ②先根据分别表示出表示，表示，进而表示出，即可解答． （3）根据题意分情况表示出，然后令其为3解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，解得：， ∴A，表示的数为12，， ∴线段的长度为． （2）解：①为两粒子第一次相遇的时刻，则粒子还没有到达点24， 由题意可得：，解得：． 此时，、表示的数为， ②的值不发生变化． ∵，即 ∴粒子还没有到达点P，粒子未被反弹， ∴表示，表示， ∴，， 由①知，时，在的右侧， ∴， ∴． （3）解：∵A，表示的数为12，， ∴从A点以每秒1个单位长度的速度向右运动，表示的数为，经过到挡板，．被弹回后经过24秒到达O点，当时，表示的数为，到达O点时速度变为每秒5个单位长度的速度，当时，表示的数为； ∵从点以每秒3个单位长度的速度向右运动． ∴经过秒到达挡板， ∴当时，表示的数为，被弹回，即时，表示的数为， ①当时，； 解得：或（舍去）； ②当时，， 解得：（舍去）或；． ③当时，，解得：（舍去）或（舍去）； ④当时，，解得：或； 综上，或或或时，与的距离为3． 变式1．（24-25七年级上·山西长治·阶段练习）【问题提出】 数轴是一个非常重要的数学工具，利用数轴解决问题是“数形结合思想”的重要体现．在数轴上点，点对应的数分别是两点之间的距离用表示，为此可以求出数轴上任意两点间距离． 【感受新知】 如图，数轴上两点对应的数分别是，点为数轴上的一动点，其对应的数为．若其中任意两点之间的距离是另外两点间的距离的2倍时，则称点是的“巧点”．例如：点表示的数为，点表示的数为4，则的距离为6，若在、之间，当时，则，当时，则，当时，，此时为0，1，2时，是的“巧点”． 【类比分析】 （1）当点表示的数为，点表示的数为2，若在、两点之间，点是的“巧点”，则此时的值为 ； （2）当点表示的数为，点表示的数为1，若在点左边，点是AB的“巧点”，则此时的值为 ． 【学以致用】 （3）当点A表示的数为，B点表示的数为3，点P为数轴上的一动点，其对应的数为． ①点是的“巧点”，若时，求的值； ②若点以每秒2个单位长度的速度从原点0向右运动，同时点以每秒1个单位长度的速度向左运动，点以每秒3个单位长度的速度向右运动，设运动时间为秒．请问在运动过程中，的值是否随着时间的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值． 【答案】（1），，0 （2）， （3）①或 ②该值始终不随时间变化，且恒等于8 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，整式加减及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴是解题关键． （1）根据“巧点”的定义分别列、、或 的方程，然后根据范围化简绝对值并解一元一次方程，即可求解； （2）根据， 且在左边时，分别列、、或 的方程，然后根据范围化简绝对值并解一元一次方程，即可求解； （3）①根据点是的“巧点”且满足，分、和3种情况进行讨论求解； ②当三点同时作匀速运动时，求得、和，然后再求出和，然后做差即可求解定值； 【详解】解：（1）当 ， 且 在 和  之间时，“巧点”条件即在、、这三段中有一段是另一段的2倍，分别列方程即可： ① ， ，因时，，，化为 ， 解得（满足在区间内）， ②  ， ，同理可得， ， 解得 ：（亦在区间内）， ③或 ， 因 ， 或 ； 但只有满足 ，  或 ； 同样只有符合区间要求， 综上可得三解：，，0， （2）当， 且在左边时，同理列方程： ① ， ，由于时两侧均为负，解得 却不符合区间，即无解； ②，  ，解得，符合区间； ③（或 ），  或 ，符合区间；； 检验同理无满足 的新解。 故此时 或 ， （3） 令初始时  ，， 在数轴上对应的数为 ， ①若点是的“巧点”且满足， 先不考虑运动，直接解方程： ， 分情形可得： 时，，，解得；  时，，，解得； 时无符合解， 故满足的解为或， ②若三点同时作匀速运动： 自原点 0 起以每秒2个单位向右运动，故； 以每秒1个单位向左运动，初始位置 −1 ，则； 以每秒3个单位向右运动，初始位置3，则， 则 (时恒正)， (时也恒正)； ∴， 可见该值始终不随时间变化，且恒等于8； 变式2．（24-25七年级上·广东广州·期中）【阅读理解】若数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，则有：①两点A，B两点的中点表示的数为；②两点A，B两点之间的距离；若，则可简化为． 【解决问题】数轴上两点A，B所表示的数分别为a和b，且． （1）直接写出： ． （2）点C在数轴上对应的数是c，且关于x，y的多项式是三次四项式，在数轴上是否存在点P，使？若存在，求出点P对应的数；若不存在，说明理由． 【数学思考】 （3）点E以每秒1个单位的速度从原点O出发向右运动，同时点M从点A出发以每秒7个单位的速度向左运动，点N从点B出发，以每秒10个单位的速度向右运动，P、Q分别为、的中点．思考：在运动过程中，的值是否发生变化？并说明理由． 【答案】（1）10；（2）存在，16或0；（3）在运动过程中，的值不变，见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，数轴，非负数的性质，中点坐标公式和两点的距离． （1）根据非负数的性质和两点的距离公式即可得到结论； （2）设点P对应的数为y，①点P在点B的右侧，②当点P在A、B之间，根据题意列方程即可得到结论； （3）设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是，点N对应的数是，根据题意求得P点和Q点对应的数，根据两点的距离可得，，的值，代入可得结论． 【详解】解：（1）∵， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：10； （2）∵关于x，y的多项式是三次四项式， ∴， 解得， ∴点C表示的数为， ∴， ∴点P不可能位于点A的左侧， 设点P对应的数为y， ①当点P在点B右侧， 由题意得， 解得， ②当点P在A、B之间， 由题意得， 解得 综上所述，点P对应的数为16或0； （3）在运动过程中，的值不变，理由如下： 设运动时间为t，则点E对应的数是t，点M对应的数是，点N对应的数是， ∵P是的中点， ∴P点对应的数是， 又∵Q是的中点， ∴Q点对应的数是， ∴，， ， ∴， ∴在运动过程中，的值不变． 变式3．（24-25七年级上·浙江金华·期末）如图，数轴上有A，B，C三点，点表示的数为60，点在点的左侧且，点A，B表示的数互为相反数．数轴上有一动点从点出发，以5个单位/秒的速度向左沿数轴运动，设运动时间为秒． (1)点表示的数是__________：点表示的数是__________． (2)当为何值时，？ (3)若点，点，点与点同时在数轴上运动，点和点分别以2个单位/秒和1个单位/秒的速度向右运动，点以4个单位/秒的速度向左运动．请问：是否存在某一时段，使的值为一个定值？若存在，请求出这个定值及对应的的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；10 (2)或时， (3)存在，当时，其值为定值，此定值为360 【分析】（1）根据数轴上两点间的距离可求出点B表示的数，然后根据相反数的定义即可求出点A表示的数； （2）根据数轴上两点间的距离求出，，然后根据得出关于t的方程，然后解方程即可； （3）根据数轴上两点间的距离求出，，，代入化简得，然后分，，三种情况讨论即可． 【详解】（1）解：点表示的数为60，点在点的左侧且， 点B表示的数是， 又点A，B表示的数互为相反数， 点A表示的数是， 故答案为：，10； （2）解：点表示的数为，点表示数为，点表示数为10， ，， ， ， 或． 答：或时，． （3）解：，，，， ，，， ． 当时，其值为， 当时，其值为360， 当时，其值为， 当时，其值为定值，此定值为360． 【点睛】本题主要考查了数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，相反数，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用等，弄清并表示线段的长是解题的关键． 题型7、含参型动态定值问题 【解题技巧】数轴上动态定值（含参型）问题需分析含参数（如速度、距离比例等）的动点运动过程中某些量的恒定性，通过代数建模和参数消去法验证定值存在性及数值。 ‌线段和差定值‌：如PA+PB或∣PA−PB∣恒为常数，需结合参数化简表达式。 ‌代数式定值‌：如kxA+mxB的值与时间无关，需分离含时项并令其系数为零。 速度参数‌：多个动点以不同速度运动，需联立方程消去时间变量，验证定值。 ‌比例参数‌：如线段比例或代数式含系数m（如mAB−2BC），需通过参数约束条件确定定值。 通过参数化建模、代数式分离与含时项消去，可系统解决含参型动态定值问题，需特别注意参数解的适用范围及多解可能性。 例1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）如图，点为原点，、为数轴上两点，，且，点从点开始以每秒4个单位的速度向右运动，当点开始运动时，点、分别以每秒6个单位和每秒3个单位的速度同时向右运动，设运动时间为秒，若的值在某段时间内不随着的变化而变化，则的值为（    ） A．4 B．16 C．4或16 D．8或16 【答案】D 【分析】本题以数轴的形式考查了行程问题，分类讨论思想，根据题意得到的值，分类进行讨论即可，正确根据不同情况得到不同的式子是解题的关键． 【详解】解：，且， 点、表示的数分别为，10， 根据题意得，，， 长分两种情况： ①当时，， ， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即， ②当时，， ， 要使的值在某段时间内不随着的变化而变化，则，即， 故答案为：D． 例2．（24-25七年级上·广东广州·期中）同学们都知道：数轴上表示与的两点之间的距离可以表示为．例如表示与之差的绝对值，实际上也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离．请你借助数轴进行以下探索： (1)若，则______． (2)表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和，请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是______． (3)请你找出所有符合条件的整数，使得，这样的整数是______． (4)继续探索：是否有最小值？如果有，最小值是多少？此时的取值是多少？如果没有，说明理由． (5)若动点A，，分别从数轴上表示，，的位置沿数轴正方向运动，速度分别为个单位每秒，个单位长度每秒，个单位长度每秒．若点A，点（为数轴原点）中间的点为，点和点中间的点为，点和点中间的点为，若为常数，则的值是多少？ 【答案】(1)或 (2)、、、、 (3) (4)，最小值为 (5)2 【分析】（1）根据绝对值的意义可分当时，当时，然后分类求解即可； （2）由题意分当对应的数在与之间（包含与），即时，当对应的数在的左边或右边时，显然或，进而分类讨论进行求解即可； （3）由题意可得当对应的数在与之间（包含与），即时，当对应的数在的左边或右边时，显然或，进而问题可求解； （4）同理可得：的最小值是，当且仅当时取最小值，的最小值是，当且仅当时取最小值，进而问题可求解； （5）设时间为，则点A可表示，点可表示，点可表示，的中点为，的中点为，的中点为，然后可得，，进而问题可求解． 【详解】（1）解：由可分： 当时，则有；当时，则有； 故答案为1或5； （2）解：表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和为， 如图， 当对应的数在与之间（包含与），即时， ， 这样的整数有、、、、， 当对应的数在的左边或右边时，显然或， 此时不合题意． 故答案为：、、、、； （3）解：表示数轴上有理数所对应的点到和所对应的点的距离之和， 如图， 当对应的数在与之间（包含与），即时， ， 当对应的数在的左边或右边时，显然或， 此时， 综上所述：的最小值是，当且仅当时，取最小值， 又，当且仅当时，取最小值0， 当且仅当时，取最小值； （4）解：同理可得：的最小值是，当且仅当时取最小值， 的最小值是，当且仅当时取最小值， ，当且仅当时，取最小值， 当且仅当时， ； （5）解：设时间为，则点A可表示，点可表示，点可表示， 的中点为，的中点为，的中点为， 在的左边，在的左边， 在的左边，在的左边， ，， ， 为常数， ， ． 【点睛】本题主要考查数轴上的动点问题、两点距离及一元一次方程的应用，熟练掌握数轴上的动点问题、两点距离及一元一次方程的应用是解题的关键． 例3．（23-24七年级上·北京大兴·期中）我们规定：对于数轴上不同的三个点M，N，P，当点M在点N右侧时，若点P到点M的距离恰好为点P到点N的距离的n倍，且n为正整数，（即），则称点P是“关联点”. 如图，已知在数轴上，原点为O，点A，点B表示的数分别为4，． (1)原点O （填“是”或“不是”）“关联点”； (2)若点C是“整2关联点”，则点C所表示的数 ； (3)若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，则运动时间为 秒时，原点O恰好是“关联点”，此时n的值为 ． (4)点Q在A，B之间运动，且不与A，B两点重合，作“关联点”，记为，作“关联点”，记为，且满足，分别在线段和上．当点Q运动时，若存在整数m，n，使得式子为定值，求出m，n满足的数量关系． 【答案】(1)是 (2)0或 (3)2；1 (4) 【分析】本题是数轴上新定义应用题，主要运用“数轴上表示数、的两点之间的距离为”来解题． （1）根据已知条件及新定义即可判定； （2）根据已知条件及新定义得出等式，再分类讨论点的位置，得出满足条件的值； （3）设运动秒，根据数轴是两点距离的计算方法用含的代数式表示、，再根据新定义得出关于等量关系，由“是正整数”求出、即可； （4）设点表示的数为，根据新定义、已知条件，得出用、、表示的代数式，再由“点运动时，式子为定值”知：关于的代数式中的系数为0，从而得出整数、满足的数量关系． 【详解】（1）解：点A，点B表示的数分别为4，， ，， ， 原点是“，2关联点”， 故答案为：是； （2）点A，点B表示的数分别为4，， ， 若点是“，整2关联点”，则， 当点在线段上时，， 此时，点所表示的数为； 当点在线段的延长线上时，， 此时，点所表示的数为， 综上所述，点所表示的数0或， 故答案为：0或； （3）若点A沿数轴向右运动，每秒运动1个单位长度，同时点B沿数轴向左运动，每秒运动2个单位长度，设运动秒， 则，， 原点O恰好是“[A，B]n关联点”， 是正整数），即有， ， 是正整数， 而，为3的约数， ，即， 即运动时间为2秒时，原点恰好是“，整关联点”，此时的值为1， 故答案为：2；1； （4）点在、之间运动，且不与、两点重合，作“，整2关联点”，记为，作“，整3关联点”，记为，且满足、分别在线段和上， 设点表示的数为，则 ，， ，， ，， ， 当点运动时，若存在整数、，使得式子为定值，则， ． 即整数、满足的数量关系是． 变式1．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）A，B，C三点在数轴上所表示的数为，，2，一根长为3个单位长度的木棒如图放置在数轴上（点P与点B重合），当木棒以每秒2个单位长度的速度向右运动，同时点M、N分别从A、C出发，分别以每秒1个单位长度和4个单位长度的速度向右运动，记木棒运动后对应的位置为，M、N运动后对应的位置为、，若为常数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了数轴上的动点问题，利用代数式表示数轴上的点，数轴上两点之间的距离，一元一次方程的应用，正确理解动点问题是解题的关键．设经过t秒后，利用点P，Q的运动方向和速度，可得到点，，表示的数，再根据数轴上两点的距离公式用代数式表示出，，进而可得，根据其值为常数，可得关于t的系数为0，然后解方程求出看k的值． 【详解】解：设运动时间为t，依题意得： 所表示的数为，所表示的数为，所表示的数为， ∴， 所表示的数为，所表示的数为， ∴， ∴， 若为常数，则， 解得：． 故答案为． 变式2．（24-25七年级下·广东揭阳·开学考试）如图，在数轴上点表示的数，点表示数，和满足，点是数轴原点． (1)点表示的数为________，点表示的数为________，线段的长为________． (2)若点从点出发，以3个单位长度每秒的速度向点运动，与此同时，点从点出发，以2个单位长度每秒的速度向点运动，当一个点到达终点时，另一个点立即停止运动．在两点运动过程中是否存在某个时刻，使得？若存在，请求出此时点表示的数；若不存在，请说明理由． (3)点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，是否存在常数，使得为定值，若存在，请求出值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，4， (2)存在，或 (3)存在，时，定值为28 【分析】本题考查了一元一次方程在数轴上的动点问题，两点间的距离等知识点，分类讨论并根据题意正确列式是解题的关键． （1）由非负数的性质求出，得出点A表示的数为，点B表示的数为，进而即可得解； （2）设运动时间为t，则点P表示的数为，点Q表示的数为，分相遇前和相遇后两种情况讨论即可得解； （3）设运动时间为t，则点A表示的数为，点B表示的数为，点表示的数为，得，进而即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点A表示的数为，点B表示的数为， ∴， 故答案为：，4，； （2）解：设运动时间为t， ∴点P表示的数为，点Q表示的数为， 当P、Q两点相遇前，时， ∴， 解得， ∴此时点Q表示的数为； 当P、Q两点相遇后，时， ∴，解得， ∴此时点Q表示的数为； ∵， ∴当运动时间为2秒时，，此时点Q表示的数为；当运动时间为秒时，，此时点Q表示的数为； （3）解：存在， 当点、分别以3个单位/秒和2个单位/秒的速度同时向右运动，点从原点以5个单位/秒的速度向右运动，设运动时间为t秒， 则t秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点表示的数为， ∴ ， 当，即时，为定值28 变式3．（23-24七年级上·广东广州·期中）若点在数轴上对应的数分别为，其中是最小的正整数，满足，请回答问题： (1)请直接写出的值； (2)在数轴上是否存在点，使得？若存在，求出点对应的数；若不存在，请说明理由； (3)若点同时开始在数轴上分别以每秒1个单位长度，每秒3个单位长度，每秒4个单位长度沿着数轴负方向运动．经过秒后，是否存在常数，使得为定值？若存在，请求出的值以及这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)或； (3)存在；当时，为定值；当时，为定值． 【分析】（1）由绝对值和偶次方的非负性可求出的值； （2）设点表示的数为，分在之间、在点左边、在之间、在点右边四种情况考虑，由利用两点间的距离公式，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （3）表示出点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，分①当，即时，②当时，进行讨论，分别表示出，再根据是定值，确定出的值即可． 【详解】（1）解：， ，， ，, 是最小的正整数, ． （2）解：设点表示的数为， ， ①在之间， ， ， ； ②在左边， ， ， ； ③在之间， ， ， （舍去）； ④在的右边， ， ， （舍去）； 综上所述，或 点对应的数为：或； （3）解：存在， 运动时间为， 由题意，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ①当，即时， ， ， ， 为定值， ， ， ； ②当时， ， ， ， 为定值， ， ， ； 综上所述，存在常数，使得为定值；当时，为定值；当时，为定值． 【点睛】本题考查了绝对值与偶次方的非负性，数轴上两点间的距离的表示，熟练掌握两点间的距离的表示方法是解答本题的关键．注意分类讨论思想的运用． 题型8、数轴翻折问题 【解题技巧】数轴翻折问题通过几何对称性分析折叠前后点的对应关系，解决折痕位置、对称点等问题。 1）若折叠后点a与点b重合，则折痕对应的点m为两点的中点，满足：或b=2m−a 2）折叠后，对称点到折痕的距离相等，折痕位置可通过线段比例或代数方程求解。 3）若折叠后动点继续运动，需分段分析折叠前后的位置变化及运动轨迹。 例1．（24-25七年级上·河南安阳·期末）数学活动课上，3组学生在一张透明白纸上制作了一条数轴，如图． 操作一： （1）折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合，则表示2的点与表示______的点重合． 操作二： （2）折叠纸面，使表示0的点与表示的点重合，解答以下问题： ①表示3的点与数轴上的点重合，求点表示的数． ②若数轴上两点之间的距离为12（点在点的左侧），且两点折叠后重合，求两点表示的数． 【答案】（1）；（2）①；②点表示的数为，点表示的数为4 【分析】本题考查了数轴、有理数的四则混合运算的应用、一元一次方程的应用等知识，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先求出折痕点表示的数，再根据数轴的性质列式计算即可得； （2）①先求出折痕点表示的数，再设点表示的数为，根据数轴的性质建立方程，解方程即可得； ②设点表示的数为，则点表示的数为，根据数轴的性质建立方程，解方程即可得． 【详解】解：（1）∵折叠纸面，使表示1的点与表示的点重合， ∴折痕点表示的数为， ∴与表示2的点重合的点表示的数为， 故答案为：． （2）①∵折叠纸面，使表示0的点与表示的点重合， ∴折痕点表示的数为， 设点表示的数为， ∵表示3的点与数轴上的点重合， ∴， 解得， 所以点表示的数为． ②设点表示的数为， ∵数轴上两点之间的距离为12（点在点的左侧）， ∴点表示的数为， 又∵两点折叠后重合， ∴， 解得， ∴， 所以点表示的数为，点表示的数为4． 例2．（24-25七年级下·重庆·开学考试）如图，一条数轴上有点A、B、C，其中点A、B表示的数分别是，12，现以点C为折点，将数轴向右对折，若点A落在射线上且到点B的距离为8，则C点表示的数是 ． 【答案】2或 【分析】设点C表示的数为，根据题意折叠前后点A到C距离相等，结合点A、B表示的数分别是，12，分类解答即可． 【详解】解：设点C表示的数为， 当折叠后点A在点B的左侧时，根据题意，得， 解得，即折叠后点A对应数为4， 由折叠前点A表示的数分别是， ． 解得， 故点C表示的数是； 当点A在点B的右侧时， 由折叠前点A、B表示的数分别是，12， ． 解得， 故点C表示的数是2． 故答案为：2或． 【点睛】本题考查了数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离计算，有理数的加减混合运算，折叠的计算，解方程，熟练掌握运算法则是解题的关键． 例3．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期末）在数轴上剪下9个单位长度（从到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图），若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了数轴、有理数加法的应用、线段的和差、折叠的性质，熟练掌握数轴的性质是解题关键．如图（见解析），分三种情况：①，②和③，先求出的长，再根据折叠的性质可得的长，然后根据数轴的性质列式计算即可得． 【详解】解：①如图1，得到的三条线段， ∵， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴此时折痕处对应的点所表示的数为； ②如图2，得到的三条线段， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴此时折痕处对应的点所表示的数为； ③如图3，得到的三条线段， ∵， ∴，， 由折叠的性质得：， ∴， ∴此时折痕处对应的点所表示的数为； 综上，折痕处对应的点所表示的数可能是或或， 故答案为：或或． 例4．（24-25七年级上·江苏淮安·阶段练习）如图：在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，b是最大的负整数，且a、c满足． (1) ， ， (2)若将数轴折叠，使得点A与点C重合，则点B与数 表示的点重合； (3)若将数轴折叠，使得点A与点C之间的距离为2，则点B与数 表示的点重合； (4)点A、B、C开始在数轴上运动，若点A以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B和点C分别以每秒2个单位长度和8个单位长度的速度向左运动，设运动时间为t，若将数轴折叠，点A、B、C三点中有一点在折痕上，并使得另外两点之间的距离为1；当点A与点B重合时停止，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)5 (3)6或7 (4)或1或或或或 【分析】对于（1），根据绝对值和完全平方公式的非负性，求出a，c，再根据有理数的分类判断b； 对于（2），先求出折痕处的数，再根据两点之间的距离得出答案； 对于（3），点A与点C的距离是2，有两种情况，当点C所对应的数与或重合，再求出折痕，然后根据两点之间的距离得出答案； 对于（4），分三种情况讨论：当以B为折痕，点A，C之间的距离为1，分两种情况计算；当以点C为折痕，点A，B之间的距离为1，分两种情况计算；当以点A为折痕，点B，C之间的距离为1，分两种情况计算，可得答案． 【详解】（1）∵，b是最大的负整数， ∴， 解得． 故答案为：； （2）∵将数轴折叠，点A，C重合， ∴折痕上的数是， ∴点B与折痕的距离是， ∴与点B重合的数是． 故答案为：5； （3）∵点A所对应的数是， ∴与点A距离是2的点所对应的数是或． 当数与12重合时，折痕处的数是， ∴点B与折痕的距离是， ∴与点B重合的数是． 当数与12重合时，折痕处的数是， ∴点B与折痕的距离是， ∴与点B重合的数是. 故答案为：6或7； （4）或1或或或或． 点A，B，C表示的数依次为． 当以点B在折痕上时， 根据题意可知或， 解得或1； 当点C在折痕上时，或， 解得或； 当点A在折痕上时，或， 解得或． 故答案为：或1或或或或． 【点睛】本题主要考查了数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，绝对值和完全平方数的非负性，理解折痕上的数与重合两数之间的关系是解题的关键． 变式1．（24-25七年级上·全国·期末）如图，小明在一张纸面上画了一条数轴，折叠纸面，使表示数的点与表示数5的点重合．请你回答以下问题： (1)表示数的点与表示数 的点重合；表示数7的点与表示数 的点重合． (2)若数轴上点A在点B的左侧，A，B两点之间距离为12，A，C两点之间距离为4，且A，B两点按小明的方法折叠后重合，则点A表示的数是 ；点B表示的数是 ；点C表示的数是 ． (3)已知数轴上的点M分别到（2）中A，B两点的距离之和为2020，求点M表示的数． 【答案】(1)6； (2)；8；或0 (3)或1012 【分析】本题考查了数轴的折叠问题，一元一次方程的应用，掌握折叠的性质，学会用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． （1）判断出表示数的点与表示数5的点关于数2的点对称，再根据对称的性质即可解答； （2）结合（1）中对称的结论得出点A和点B到表示数2的点的距离为6，先得到点A、B分别表示的数，再结合A，C两点之间距离为4得出点C表示的数，即可得出结论； （3）分点M在点A的左侧和在点B的右侧2种情况，再用点M分别到A，B两点的距离之和为2020建立一元一次方程，再求解方程即可解答． 【详解】（1）解：由折叠知，表示数的点与表示数5的点关于表示数2的点对称， 表示数的点与表示数6的点关于表示数2的点对称，表示数7的点与表示数的点关于表示数2的点对称． 故答案为：6；． （2）解：折叠后点A与点B重合， 点A和点B关于表示数2的点对称， 点A，B两点之间距离为12， 点A和点B到表示数2的点的距离都为， 点A表示的数为，点B表示的数为， 点A，C两点之间距离为4， 点C表示的数为或． 故答案为：；8；或0． （3）解：由（2）知，点A表示的数为，点B表示的数为8， 设点M表示的数为m， ①当点M在点A的左侧时，，，， 由题意得，， 解得：； ②当点M在点B的右侧时，，，， 由题意得，， 解得：； 点M表示的数为或1012． 变式2．（24-25七年级上·重庆丰都·期末）如图，在一条可以折叠的数轴上，从左往右依次有A、B、C三个点，它们表示的数分别是a、b、c，已知，如果以原点O为折点，将这条数轴向右对折，此时点A与点B重合，且． (1)填空： ， ． (2)若点C以每秒4个单位长度的速度向右运动，与此同时，点A和点B分别以每秒3个单位长度和1个单位长度的速度向左运动．设运动时间为t秒，的值是否随着时间t的变化而改变？请说明理由． (3)在（2）的条件下，以点B为折点，将这条数轴向右对折，点A落在数轴上的对应点为M，当t为何值时，线段的长度为5？ 【答案】(1)，11 (2)的值不会随着时间的变化而改变，理由见解析 (3)4或 【分析】本题考查了数轴、整式的加减的应用、一元一次方程的应用，熟练掌握数轴的性质是解题关键． （1）先求出，再根据数轴的性质求解即可得； （2）运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，根据数轴的性质可得，的长，由此即可得； （3）设点表示的数为，利用数轴的性质可求出的值，再根据建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：∵以原点为折点，将这条数轴向右对折，此时点与点重合， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：，11． （2）解：由题意得：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∴此时，， ∴ ， 所以的值不会随着时间的变化而改变． （3）解：设点表示的数为， 由题意得：运动秒后，点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为， ∵以点为折点，将这条数轴向右对折，点落在数轴上的对应点为， ∴， 解得， ∴， 解得或， 答：当为4或时，线段的长度为5． 变式3．（24-25七年级上·辽宁阜新·期末）如图，将印有数轴的纸条从到11这一段剪下（总长为18个单位长度，不考虑宽度），并把这段纸条沿某点折叠，然后在重叠部分的某处剪一刀得到三段纸条，发现这三段纸条的长度之比为（此比值与剪下三段纸条的顺序无关），若折痕处的点对应一个正数，则这个正数可能是    【答案】2，5， 【分析】本题考查数轴，熟练掌握数轴上点的特征，两点间距离的求法，利用中点公式解决折叠问题是解题的关键． 设三条线段的长分别是x，， ，列方程，求出三段长度，再分三种情况讨论：当时；当时；当时；分别求解即可． 【详解】∵纸条从到11，总长为18个单位长度，三段纸条的长度之比为， 设段纸条的长度为x，， ，列方程得 解得：， ∴三段纸条的长度分别为2，8，8， ∵纸条的长度之比为，此比值与剪下三段纸条的顺序无关， ∴当时， 如图 ，，， 折痕点表示的数是（不符合题意，舍去）； 当时， 如图 ，，， 折痕点表示的数是； 当时， 如图 ， ，，， 折痕点表示的数是； 综上所述： 这个正数可能是2，5． 故答案为：2，5． 变式4．（2024·河南漯河·七年级统考期中）操作探究：已知在纸上有一数轴（如图所示）． (1)操作一：折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与________表示的点重合． (2)操作二：折叠纸面，若使表示的点与3表示的点重合，回答以下问题： ①5表示的点与数________表示的点重合；②若数轴上A，B两点之间距离为10（A在B左侧），且A，B两点经折叠后重合，则点A表示的数为________，点B表示的数为________； (3)操作三：点E以每秒3个单位长度的速度从数5对应的点沿着数轴的负方向运动，点F以每秒1个单位长度的速度从数对应的点沿着数轴的负方向运动，且两个点同时出发，请直接写出多少秒后，折叠纸面，使1表示的点与表示的点重合时，点E与点F也恰好重合． 【答案】(1)3(2)①；②，6(3)秒 【详解】（1）设表示的点与x表示的点重合 ∵1表示的点与表示的点重合，∴折痕经过数表示的点，即原点， ∴，∴∴表示的点与3表示的点重合；故答案为：3 （2）①∵表示的点与3表示的点重合，∴折痕经过数表示的点， 设5表示的点与数x表示的点重合，则，∴；故答案为：； ②设点A表示的数为x，则点B表示的数为， ，∴，，故答案为：，6； （3）设t秒，则点E表示的数为，点F表示的数为， ∵1表示的点与表示的点重合时，折痕经过原点， ∴点E与点F也恰好重合时，，∴． 题型9、数轴上的线段移动问题 【解题技巧】数轴上的线段移动问题研究线段整体平移的动态变化规律，需结合代数表达与几何关系分析线段长度、覆盖范围等核心问题。 线段沿数轴以固定速度单向或往返移动，需用代数式表示端点位置变化（如左移减速度，右移加速度）；动态过程中需关注线段覆盖区域，及与其他线段的交互（如重叠）。部分模型中，线段长度或端点间的代数差保持恒定（如平移速度对称时，两动线段差为定值）。 例1．（24-25七年级上·吉林长春·期末）如图，数轴上有两条线段和（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14．线段同时从图中位置出发，线段以每秒2个单位长度的速度向右匀速运动，线段以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动，运动时间为t秒．（整个运动过程中，线段和保持长度不变） (1)在运动过程中，点B表示的数是______，点C表示的数是______．（用含t的代数式表示） (2)当运动开始后，______秒时，线段与线段开始有重叠部分：______秒后，线段与线段不再有重叠部分． (3)当点C在线段AB上，且时，求t的值． (4)当点B与C相遇时，线段立即以初始速度的2倍向左匀速运动；当点B与点D相遇时，线段的速度变为初始速度的继续向左匀速运动．在整个运动过程中，线段的运动速度和方向保持不变，直接写出当时t的值． 【答案】(1)， (2)5，． (3) (4)或． 【分析】本题主要考查了列代数式、数轴上的动点问题、一元一次方程的应用等知识点，正确表示点在数轴上表示的数是解题的关键． （1）直接根据题意列代数式即可； （2）先表示出运动后，点A、B、C、D所表示的数，当点C和点B表示的数相同时，开始重叠；当点D和点A表示的数相同时，开始不再有重叠部分； （3）根据点点A、B、C所表示的数，分别表示出线段，再根据列方程求解即可； （4）先求出点B与C相遇时，再根据新速度表示出点C表示的数且点C在点A的右侧，然后根据列方程求解即可；再求出点B与点D相遇时刻，然后再次表示出点C且点C在点A的右侧，最后根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得：在运动过程中，点B表示的数是， ∵点D在数轴上表示的数是14，线段的长度为4个单位长度， ∴点C表示， ∴在运动过程中，点C表示的数是． 故答案为：，． （2）解：∵线段的长度为6个单位长度，线段的长度为4个单位长度，点B、D在数轴上表示的数分别是和14， ∴点A表示，点C表示， ∴在运动过程中，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是， ∵当点C和点B表示的数相同时，开始重叠， ∴，解得：， ∴当时，线段与线段开始有重叠部分； ∵点D和点A表示的数相同时，开始不再有重叠部分； ∴，解得：， ∴当时，线段与线段开始不再有重叠部分． 故答案为：5，． （3）解：∵在运动过程中，点A表示的数是，点B表示的数是，点C表示的数是，点D表示的数是，点C在线段上， ∴，， ∵， ∴，解得：， ∴当点C在线段上，且时，t的值为． （4）解：∵当点C和点B相遇时，即点C和点B表示的数相同时， ∴，解得：， ∵当点B与点D相遇时，即点D和点B表示的数相同时， ∴，解得：，此后点C的运动每秒个单位长度向左运动， ∴当点C和点B相遇后，时点C表示的数为5，以后点C表示的数为； 当点C在点A的右侧时，， ∵， ∴，解得：或不合题意舍弃； 当点B与点D相遇后，点C表示的数为 当点C在点A的右侧时，， ∵， ∴，解得：符合题意或不合题意舍弃； 综上，当时，或． 例2．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为15，边长为3． (1)数轴上点A表示的数为____． (2)将长方形沿数轴水平方向移动，移动后的长方形记为（O、A、B、C对应点分别为），移动后的长方形与原长方形重叠部分的周长记为L． ①当时，移动的距离为_____； ②当L恰好等于原长方形周长的一半时，数轴上点表示的数为_____． ③设点A的移动距离，若D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D、E所表示的数互为相反数时，求x的值． 【答案】(1)5； (2)①3；②1或9；③． 【分析】本题考查数轴上点与数字的对应关系，根据图形移动方式用字母表示点的对应数字是解题关键． （1）根据面积和的长度计算的长度，可确定点A对应数字； （2）①重合部分是长方形，且一组对边和是6，根据周长10可确定平移距离；②分左右移动两种可能确定移动距离，再确定表示的数；③用x表示点D、点E对应数字，根据D，E所表示的数互为相反数列方程求解． 【详解】（1）解：∵长方形的面积为15，边长为3， ． ∴点A表示的数为5． 故答案为5． （2）解：①当长方形沿数轴水平方向向右移动时， ， ． ． ． 当长方形沿数轴水平方向向左移动时， ， ， ， ． 故答案为3． ②等于原长方形周长的一半， ． 当长方形沿数轴水平方向向右移动时， 此时， ， ． ． 表示的数为9． 当长方形沿数轴水平方向向左移动时， 此时， ． 表示的数为1． 故答案为1或9， ③∵点 D、E表示的数互为相反数， ∴长方形 沿数轴水平方向向左移动， 则， ，点 E所表示的数为． 为的中点， ∴， ， 点 D 表示的数为 ， ， 解得． 变式1．（24-25七年级上·浙江金华·期中）如图，在数轴上有两个长方形和，长方形的长是6个单位长度，宽是4个单位长度，长方形的长是10个单位长度，宽是3个单位长度，点E在数轴上表示的数是，且E，D两点之间的距离为14． (1)填空：点H在数轴上表示的数是________，点A在数轴上表示的数是________． (2)若点P在线段上，且点P到点D与到点E的距离和为20，求点P在数轴上表示的数． (3)若长方形以每秒4个单位的速度向右匀速运动，长方形以每秒2个单位的速度向左匀速运动，设两个长方形重叠部分的面积为S． ①整个运动过程中，S首次达到最大值时，D点所表示的数是_______． ②当时，求此时D点所表示的数． 【答案】(1)6， (2) (3)①；②或 【分析】本题考查用数轴上的点表示数，数轴上两点间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用．利用数形结合和分类讨论的思想是解题关键． （1）由题意得出点H在右面10个单位长度处，点Aa在左面20个单位长度处，即可解答； （2）设点P表示的数是，根据点P在线段上，分别用表示出，，再根据，列出方程求解即可； （3）①根据S首次达到最大值时，点A与点E重合，列出关于t的方程求解即可； ②由题意可求出两个长方形重叠部分的长为个单位长度，分类讨论：①当长方形与长方形重合之前，时和②当长方形与长方形重合之后，时，分别画出图形，列出关于t的方程求解即可． 【详解】（1）解：因为点E在数轴上表示的数是，是10个单位长度， 所以点H在数轴上表示的数是； 因为是6个单位长度，E，D两点之间的距离为14， 所以点A在数轴上表示的数是； （2）解：因为是6个单位长度，点A在数轴上表示的数是， 所以点D在数轴上表示的数是． 设点P表示的数是， 因为点P在线段上， 所以，． 因为点P到点D与到点E的距离和为20， 所以， 解得：， 所以点P表示的数是； （3）解：①S首次达到最大值时，即点A与点E重合时，如图， 由题意可知未移动之前． 移动的距离为，E移动的距离为， 所以， 解得：， 所以移动的距离为， 所以此时，即点A与点E重合时所表示的数为：， 所以此时D点所表示的数是； ②由题意可知两个长方形重叠部分的宽为3个单位长度，且， 所以两个长方形重叠部分的长为个单位长度． 分类讨论：①当长方形与长方形重合之前，时，如图， 所以此时D点所表示的数是，E点所表示的数是， 所以， 解得：， 所以此时D点所表示的数是； ②当长方形与长方形重合之后，时，如图， 所以此时A点所表示的数是，H点所表示的数是， 所以， 解得：， 所以此时A点所表示的数是， 所以此时D点所表示的数是． 综上可知此时D点所表示的数为或． 变式2．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）在数学综合实践活动课上，小张同学借助两根木棒研究数轴上的动点问题： 如图，数轴上有A，B，C三个点，分别对应有理数和6．小张把两根木棒放在数轴上，使点 P与点A重合，点M与点B重合，点Q 在点 P的左边，点N在点M 的左边，且，木棒从点B开始一直向右以每秒1个单位长度的速度匀速运动；木棒同时从点A 开始向右以每秒3个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒．    (1)当时，点Q对应的有理数为 ，点M 对应的有理数为 ; (2)在点 P 运动到点C之前，当线段和线段的长度之和为8时，求t的值； (3)当点P运动到C时，木棒立即以每秒2个单位的速度返回（返回过程中，仍然保持点Q在点P的左边），当点P再次运动到点A时，两根木棒立即同时停止运动，点D为木棒的中点，在整个运动过程中，是否存在某些时间段，使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值? 若存在，求出这个定值和持续的总时长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，定值为4，持续的总时长为秒 【分析】（1）先找出点Q和点M对应的有理数，再结合以及运动方向和运动速度，即可作答． （2）先求出点P运动到点C所需要的时间是6秒，再分别表示出点P，点Q，点M，点N所对应的有理数，结合线段和线段的长度之和为8，进行列式计算，即可作答． （3）分向右运动时，点所对应的有理数在上，以及向左运动时，点所对应的有理数在上，这两种情况进行讨论即可得出答案． 【详解】（1）解：∵数轴上有A，B，C三个点，分别对应有理数和6．小张把两根木棒放在数轴上，使点 P与点A重合，点M与点B重合，点Q 在点 P的左边，点N在点M 的左边，且， ∴时，点Q对应的有理数是，点M，点N分别对应的有理数为，， ∵木棒从点B开始一直向右以每秒1个单位长度的速度匀速运动；木棒同时从点A 开始向右以每秒3个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为t秒． ∴当时，则点Q对应的有理数是，点M对应的有理数为， 故答案为：； （2）解：依题意，点P运动到点C所需要的时间是（秒）， 在点P运动到点C之前，点P，点Q所对应的有理数是，，点M，点N所对应的有理数是，， 当未追上时，则， ， ∵线段和线段的长度之和为8， ∴ 解得； 当追上后，则， ， ∵线段和线段的长度之和为8， ∴ 解得（舍去）； （3）解：存在，过程如下： ∵点D为木棒的中点，且在点P运动到点C之前，点P，点Q所对应的有理数是，， ∴点D所对应的有理数是，点D到点P、Q的距离之和为一个定值，即为的长度，即为2， ∵使得点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值， ∴点D所对应的有理数在木棒内部（包括木棒的端点上）会满足条件， ∵点M，点N所对应的有理数是，， ∴当点D与点N所对应的有理数是相等时，则， 解得， ∴当点D与点M所对应的有理数是相等时，则， 解得， 在时，， ∴（秒）， 此时点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值，且为， 当点P运动到点C后返回时， 则，，， ∴点D所对应的有理数是， ∴当点D与点N所对应的有理数是相等时，则， 解得， ∴当点D与点M所对应的有理数是相等时，则， 解得， 在时，， ∴（秒）， 此时点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值，且为， 综上所述，点D到点P、Q、M、N的距离之和为一个定值，且为，持续的总时长为（秒）． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用及数轴动点问题，在数轴上表示有理数，数轴两点间的距离，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 题型10、数轴上动点的新定义问题 例1．（24-25七年级上·甘肃兰州·期中）【定义新知】：在数轴上，点和点分别表示数和，可以用绝对值表示点两点间的距离，即．在数轴上互不重合的三个点中，如果，那么点叫做两个点的“伴点”． 例如：如图1，数轴上点分别表示， 因为，， 所以，, 所以，点是点的“3伴点”； 因为，， 所以，， 所以，点是点的“4伴点”． 【初步应用】：如图2，数轴上点分别表示． （1）点是点的“ ____ 伴点”；点 ____ 是点的“6伴点”（只能填写图2中表示的字母）； （2）若点是点的“3伴点”，求点在数轴上表示的数． 【综合应用】： （3）在【初步应用】中的条件下（如图2所示），若点以每秒1个单位的速度向右运动，同时点以每秒2个单位的速度向左运动，当运动秒时，是的“7伴点”，请直接写出的值． 【答案】（1）2，D；（2）点在数轴上表示的数为；（3）的值为 【分析】本题考查新定义，涉及数轴上点表示有理数、两点之间距离及一元一次方程等知识，读懂题意，理解“伴点”是解决问题的关键． （1）由阅读材料，理解“伴点”定义求解即可得到答案； （2）由阅读材料，理解“伴点”定义，分类讨论，列绝对值方程，化为一元一次方程求解即可得到答案； （3）由阅读材料，理解“伴点”定义，分类讨论，列绝对值方程，化为一元一次方程求解即可得到答案． 【详解】解：（1）由阅读材料中的“伴点”可知， 分别表示， ， ，则点是点的“伴点”； 分别表示， ， ，则点是点的“伴点”； 故答案为：2，D； （2）设点表示的数是， 分别表示， ， 点是点的“3伴点”， 则分两种情况： 当时， ，则或， 解得或； 当时， ，则或， 解得或； 综上所述，点在数轴上表示的数为； （3）点分别表示， 当点以每秒1个单位的速度向右运动，同时点以每秒2个单位的速度向左运动，当运动秒时，点表示的数为；点表示的数为； ， 是的“7伴点”， 则分两种情况： 当时， ，则或， 解得或； 当时， ，则或， 解得或； 综上所述，的值为． 例2．（24-25七年级上·湖南永州·期末）我们约定：在数轴上，对于不重合的三点，，，若点到点的距离是点到点的距离的3倍，我们就把点叫做的“智慧点”．例如：如图，点表示的数为，点表示的数是3，表示数2的点到的距离是3，到点的距离是1，那么是的“智慧点”；表示数0的点O到点的距离是1，到点的距离是3，那么点是的“智慧点”． 如图，已知数轴上点表示的数是，点表示的数是4． (1)判断下列各点是否是的“智慧点”（填“是”或“不是”）； ①点表示的数是（    ）   ②点表示的数是2（    ） (2)若点是的“智慧点”，求点表示的数； (3)现有一点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向数轴负半轴方向运动．问点运动多少秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”？ 【答案】(1)①不是   ②是 (2)或 (3)或或或或秒 【分析】（1）①根据“智慧点”的定义进行判断即可；②根据“智慧点”的定义进行判断即可； （2）由数轴可得，点表示的数为，点表示的数为，则，然后分两种情况讨论：①当点在点、之间时；②当点在点的左侧时；分别根据“智慧点”的定义进行求解即可； （3）由数轴可得，点表示的数为，点表示的数为，则，设点运动秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”，然后分四种情况讨论：①当点为的“智慧点”时；②当点为的“智慧点”时；③当点为的“智慧点”时；④当点为的“智慧点”时；分别求解即可；综合以上，即可得出的值． 【详解】（1）解：①由题意得： ，， ， 点不是的“智慧点”， 故答案为：不是； ②由题意得： ，， ， 点是的“智慧点”， 故答案为：是； （2）解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， ， 点是的“智慧点”， 当点在点、之间时，点到点的距离是到点的距离的倍，故此时点表示的数为：； 当点在点的左侧时，点到点的距离是到点的距离的倍， 设此时点表示的数为，则， 解得：， 故此时点表示的数为； 综上，点表示的数为或； （3）解：由数轴可得：点表示的数为，点表示的数为， ， 设点运动秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”， 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， 在的左侧， 点与点的距离为：， （秒）； 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， 在的左侧， 点与点的距离为：或， 或（秒）； 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， （秒）； 当点为的“智慧点”时，点到点的距离是点到点的距离的倍， 故此时点到点的距离为， （秒）； 综上所述，点运动或或或或秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”， 答：点运动或或或或秒时，点，中恰有一个点为点，，三个点中其余两点的“智慧点”． 【点睛】本题主要考查了数轴上的动点问题，一元一次方程的应用（几何问题），用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离等知识点，运用数形结合思想及分类讨论思想是解题的关键． 变式1．（24-25七年级上·浙江宁波·期末）对数轴上的点进行如下操作：先把点向左移动个单位，将得到的点表示的数乘以，此时所得数对应的点为，则称点为点的“倍联动点”（、均为正整数）． 例如，点表示的数为2，当时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为．请根据以上信息回答下列问题： (1)已知点表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是______． (2)若点的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点表示的数． (3)已知数轴上两点表示的数分别为，且点为点的“倍联动点”（为正整数）．点从点出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点从点出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若在任何一个时刻，点的其中一个“6倍联动点”与点之间的距离始终为3，求的值． 【答案】(1)1或4 (2)或4 (3)或9 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解新定义的意义并能根据新定义得到解决问题的相等关系是解决本题的关键． （1）选取合适的和的值，根据新定义的意义计算即可； （2）求得相应的的值，进而选取合适的和的值代入即可求得点表示的数； （3）易得点和点表示的数，进而得到点表示的数，根据点与点之间的距离始终为3判断出和无关的和的值，根据点为点的“倍联动点”进行整理即可得到的值． 【详解】（1）解：①当，时，点的“倍联动点”表示的数为； ②当，时，点的“倍联动点”表示的数为； 所以点的“倍联动点”表示的数是或， 故答案为：或； （2）解：设表示的数为，则 ①，解得； ②，解得； ③，无解， 所以所表示的数为或4． （3）解：设运动时间为，则点表示的数为，点表示的数为， 若表示的数为， 则，此时，等号左边的代数式仍与t有关，不符题意； 四种情况中，只有表示的数为时，符合题意， 则，， 得， 或， 由概念可知：表示点先向左移动3个单位，再乘以3得到，所以， 表示点先向左移动1个单位，再乘以3得到，所以， 所以或9． 变式2．（24-25七年级上·广西来宾·期末）阅读理解，完成下列各题 素材一：我们把连接两点的线段的长度，叫作这两点的距离．如果数轴上点表示的数是，点表示的数是，那么点和点之间的距离可以这样表示：． 素材二：已知点，，为数轴上任意三点，若点到远点的距离是它到近点的距离的倍，则称点是点和点的倍点．例如，如图，，点是点和点的倍点；，点是点和点的倍点． 理解定义 （1）如图，点既是点_____和点_____的倍点，点又是点_____和点_____的倍点． 尝试运用 （2）如图，点，为数轴上两点，点表示的数是，点表示的数是，若点是的倍点，请求出点表示的数是多少？ 理解迁移 （3）如图，若，为数轴上两点，点在点的左侧，且，一动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左运动，求运动多久时，点恰好是和两点的倍点？ 【答案】（1），，， （2）点表示的数是，，，（3）秒，秒或秒 【分析】本题考查了数轴-新定义型，一元一次方程的应用，解答本题的关键是掌握分情况讨论的思想． （1）根据图形可直接解答； （2）分四种情况：当点在点的右边时；当点在点和点之间，且距近时；当点在点和点之间，且距近时；当点在点的左边时；利用倍点的定义列式解即可； （3）点恰好是和两点的倍点，可分为三种情况：当在点，之间，且离点近时；当在点，之间，且离点近时；当在的左边时；解得有个值． 【详解】解：（1）如图，∵， ∴， 点既是点和点的倍点，点又是点和点的倍点， 故答案为：，，，； （2）解：设点表示的数是， 当点在点的右边时，此时是正数，点是点和的倍点，则，即， 整理得， 所以； 当点在点和点之间，且距近时，此时是负数，点是点和的倍点，则有，即， 整理得， 所以； 当点在点和点之间，且距近时，此时是负数，点是点和的倍点，则有，即， 整理得， 所以； 当点在点的左边时，此时是负数，点是点和的倍点，则有，即， 整理得， 所以； 综上，点表示的数是，，，； （3）设运动秒，点恰好是和两点的倍点， 当在点，之间，且离点近时，因为点恰好是和两点的倍点， 则有，即，解得； 当在点，之间，且离点近时，因为点恰好是和两点的倍点， 则有，即，解得； 当在的左边时，则有，即，解得； 所以，点运动秒，秒或秒时，点恰好是和两点的倍点． 变式3．（24-25七年级上·北京西城·期末）数轴上点A，B，M分别表示数a，b，m，如果a，b，m满足，则称点A，B互为关于点M的“平衡点”．例如，当，，时，点A，B互为关于点M的“平衡点”． 已知数轴上点P表示数． (1)点A，B分别表示数a，b，且点A，B互为关于点P的“平衡点”，则________（用含a的式子表示）； (2)点O，C，D分别表示数0，1，6． 对点C做如下操作：点C关于点P的“平衡点”为点，点关于点O的“平衡点”为点，点关于点P的“平衡点”为点，点关于点O的“平衡点”为点，按此方式继续操作，得到点，，…，（n为正整数）． 对点D做如下操作：将点D沿数轴负方向移动k（）个单位长度得到点，点关于点P的“平衡点”为点，将点沿数轴负方向移动k个单位长度得到点，点关于点P的“平衡点”为点，按此方式继续操作，得到点，，…，． ①求线段的长； ②是否存在正整数n，对于任意的正数k，都有线段的长为667？如果存在，直接写出n的值；如果不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)①；②存在， 【分析】本题考查数字规律，数轴两点之间的距离，一元一次方程的应用； （1）根据“平衡点”的定义得到，整理化简即可； （2）①根据操作步骤得到表示的数为，表示的数为，再求线段的长即可； ②根据操作步骤得到当为偶数时，表示的数为：，当为奇数时，表示的数为：，是，，，四个数循环，根据规律分情况讨论，分别计算即可． 【详解】（1）解：由“平衡点”的定义可得：， ∴， 故答案为：； （2）解：①∵点A，B分别表示数a，b，且点A，B互为关于点P的“平衡点”，则，设点C表示的数为，点表示的数为，则，， ∴点C关于点P的“平衡点”为点，则表示的数为：， 点关于点O的“平衡点”为点，表示的数为：， 点关于点P的“平衡点”为点，表示的数为：， 点关于点O的“平衡点”为点，表示的数为：， 按此方式继续操作，当为偶数时，表示的数为：，当为奇数时，表示的数为：， 设点D表示的数为，则， 将点D沿数轴负方向移动k（）个单位长度得到点，表示的数为：， 点关于点P的“平衡点”为点，表示的数为：， 将点沿数轴负方向移动k个单位长度得到点，表示的数为：， 点关于点P的“平衡点”为点，表示的数为：， ∴是，，，四个数循环出现，即，，，四个数循环； 由规律可得表示的数为，表示的数为， ∴； ②∵存在正整数n，对于任意的正数k，都有线段的长为667， ∴线段的长与无关， ∴当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与有关，不符合题意； 当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与有关，不符合题意； 当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与无关，即，解得（的解不是整数，舍去）或（不是整数舍去）； 当时，表示的数为：，表示的数为，线段的长为，此时线段的长与无关，即，解得或（不是整数舍去）； 综上所述，存在正整数，对于任意的正数k，都有线段的长为667． 1．（24-25七年级上·广东广州·阶段练习），分别是数轴上两个不同点，所表示的有理数，且，，，两点在数轴上的位置如图所示： (1)试确定数，； (2)若点在数轴上，点到点的距离是点到点距离的，求点表示的数； (3)点从点出发，先向左移动一个单位长度，再向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，再向右移动个单位长度，依次操作次后，求点表示的数． 【答案】(1)，； (2)点表示的数为或 (3) 【分析】本题主要考查数轴上两点间的距离公式及点的平移性质，根据题意运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）根据绝对值的定义结合由数轴得出a，b的符号即可得； （2）分以下两种情况：点C在A，B之间、点C在点B右侧，利用两点间距离公式列方程求解； （3）根据平移的性质可知，P点表示的数为，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵由数轴可知，， ∴；. （2）解：①若C点在B点的右侧，则， ∴， ∴点C表示的数为：， ②若C点在A，B点之间，则， ∴， ∴点C表示的数为：． 综上，C点表示的数为或； （3）解： ． 表示的数为． 2．（24-25七年级上·安徽滁州·期中）小茹利用计算机软件绘制了一条数轴，数轴上有A，B，C，D四点，其中点A在点B的左侧，点B在原点处，点C，D分别与5和8对应，A，B之间的距离与C，D之间的距离相等．    (1)点A表示的数为________． (2)小茹利用软件制作了一只电子蟋蟀，蟋蟀从点A处开始第一次沿数轴向右跳动1个单位长度，第二次沿数轴向左跳动3个单位长度，第三次沿数轴向右跳动5个单位长度，第四次沿数轴向左跳动7个单位长度，……，且按此规律进行跳动． ①求电子蟋蟀跳动5次后落点所对应的数轴上的数，并直接写出第几次跳动后落在原点处． ②求出电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离． 【答案】(1) (2)①5次后落点所对应的数轴上的数为2，第3次跳动后落在原点处；②108 【分析】本题考查数轴上两点间距离、数轴上的动点问题，清楚电子蟋蟀的运动规律是解题的关键． （1）先计算出C，D之间的距离，再根据点B表示的数及点A与点B的相对位置，即可求解； （2）①电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，由此列式进行加减运算即可；②根据电子蟋蟀的运动规律求出跳动100次后的落点对应的数，再利用数轴上两点间距离公式计算即可． 【详解】（1）解：点C，D分别与5和8对应， ， 由题意得， 点A在点B的左侧，点B在原点处， 点A表示的数为: ， 故答案为：． （2）解：①由题意知，电子蟋蟀从点A处开始，奇数次时向右跳，偶数次时向左跳，第n次时跳个单位长度，点A表示的数为， 第5次后落点所对应的数轴上的数为：， ， 第3次跳动后落在原点处． ②第100次后落点所对应的数轴上的数为： ， 又点C与5对应， ． 电子蟋蟀跳动100次后的落点与点C之间的距离为108． 3．（24-25七年级上·浙江绍兴·阶段练习）一个机器人从数轴的原点出发，沿数轴的正方向，以每前进3步后退2步的程序运动，该机器人每秒前进或后退1步，并且每步的距离为1个单位长，若表示第秒时机器人在数轴上的位置所对应的数，则 ； ； ． 【答案】 1 6 406 【详解】解：根据题意，，，，，， 由“每前进3步后退2步”可知这5秒组成一个循环结构，前进1个单位长度，所以，， 因为，所以，．故答案为：1，6，406． 4．（24-25六年级下·山东烟台·期中）如图，数轴上点表示的为是数轴上一点，点在点左边且点与点的距离，动点、分别从点、两点同时向左移动，点的速度为每秒3个单位长度，点的速度为每秒1个单位长度． (1)求出数轴上点表示的数___________； (2)求经过几秒点追上点？ (3)经过几秒，、两点的距离为6个单位长度，并求出此时点表示的数是多少？ 【答案】(1) (2)经过秒以后，点追上点 (3)经过4秒，两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是；经过10秒，两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是 【分析】此题考查了数轴上两点间的距离、数轴上的动点问题、一元一次方程的应用等知识，解题的关键是熟练掌握相关知识点并灵活运用． （1）根据数轴上表示数的方法和求解即可； （2）设经过秒以后，点追上点，根据题意列出方程求解即可； （3）设经过秒以后，两点的距离为6个单位长度，根据题意分两种情况，分别列出方程求解即可． 【详解】（1）解：数轴上点表示的为，点在点左边且点与点的距离， 数轴上点表示的数是， 故答案为：； （2）解：设经过秒以后，点追上点， 则， 解得， ∴经过秒以后，点追上点； （3）解：经过秒以后，两点的距离为6个单位长度，依题意有： ①相遇前两点的距离为6个单位长度，则， 解得， 点表示的数是； ②相遇后两点的距离为6个单位长度，， 解得， 点表示的数是； 经过4秒，两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是；经过10秒，两点的距离为6个单位长度，此时点表示的数是． 5．（24-25七年级上·辽宁沈阳·期末）如图，数轴上点A，B，C，D所表示的数分别为，，3，10，O为原点．老师启发同学们先独立思考，再合作交流，探索并发现数学结论，进而提出问题，解决问题． 某学习小组经过验证得到一个正确的结论：若数轴上一条线段两个端点表示的数分别为a和b，则这条线段的中点表示的数为．在此基础上，该小组给出“平均距离”的定义：在同一条直线上，两条线段的中点之间的距离称为这两条线段的“平均距离”．例如：线段的中点所表示的数是：，线段的中点所表示的数是：，线段和线段的“平均距离”为：． 接下来同学们提出下列问题，请你解答： (1)线段和线段的“平均距离”为 ； (2)若线段以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时点C以每秒V个单位长度的速度向左运动，点O和点D静止不动，设运动时间为秒．若线段和线段的“平均距离”保持不变，求V的值； (3)若线段以每秒1个单位长度的速度向右运动，点O，点C，点D静止不动，设运动时间为秒．当和的“平均距离”是线段的一半时，求t的值． 【答案】(1)8 (2) (3)8或14 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）仿照例题，可求出线段和线段的“平均距离”； （2）当运动时间为秒时，线段AB和线段的“平均距离”为，根据线段和线段的“平均距离”保持不变，可得出，解之即可得出V的值； （3）当运动时间为秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，根据和的“平均距离”是线段的一半，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵线段的中点所表示的数是，线段的中点所表示的数是， ∴线段和线段的“平均距离”为． 故答案为：8； （2）解：当运动时间为秒时，点A表示的数为，点B表示的数为，点C表示的数为， ∴线段的中点所表示的数是，线段的中点所表示的数是， ∴线段和线段的“平均距离”为． 又∵线段和线段的“平均距离”保持不变， ∴， ∴， ∴； （3）解：当运动时间为秒时，点A表示的数为，点B表示的数为， ∴线段的中点所表示的数是， ∵线段的中点所表示的数是， ∴， 即， 即或， 解得：或． 答：t的值为8或14． 6．（23-24七年级·江苏·假期作业）数轴是一种特定的几何图形，利用数轴能形象地表示数，在数轴的问题中，我们常常用到数形结合的思想，并借助方程解决问题．如图1，在数轴上，点A表示数，点C表示的数为2，点B表示的数为6．    (1)点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，同时，点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动，经过多久两点相遇？ (2)如图2，我们将图1的数轴沿点O和点C各折一次后会得到一个新的图形，与原来相比，线段AO和CB仍然水平，线段OC处产生了一个坡度，我们称这样的数轴为“坡数轴”，其中O为“坡数轴”原点，在“坡数轴”上，每个点对应的数就是把“坡数轴”拉直后对应的数．记“坡数轴”上A到B的距离为A和B拉直后距离：即＝，其中、、代表线段长度．在“坡数轴”上，上坡时点的移动速度变为水平路线上移动速度的一半，下坡时移动速度变为水平路线上移动速度的2倍． ①点P从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向右运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度沿着“坡数轴”向左运动，经过多久，？ ②点P从A处沿“坡数轴”以每秒2个单位长度的速度向右移动，当移到点C时，立即掉头返回（掉头时间不计），在P出发的同时，点Q从B处沿“坡数轴”以每秒1个单位长度的速度向左移动，当P重新回到A点所有运动结束，设P点运动时间为t秒，在移动过程中，何时？直接写出t的值． 【答案】(1)点P与点Q经过秒相遇 (2)①经过秒或6秒，＝3；②当t＝或或或秒时，＝3 【分析】（1）设运动时间为t秒，点P与点Q相遇，再根据相遇问题列方程解答即可； （2）①分两种情况讨论：（Ⅰ）当点P在上，点Q在上时，（Ⅱ）点P在上运动速度为1个单位/秒，点Q在上运动速度为2个单位/秒，结合（1），当点P运动到中点时，点Q运动到点O，此时，，再建立方程求解即可；②②分别求出点Q的运动时间，结合点P，点Q的不同位置，根据列出方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动时间为t秒，点P与点Q相遇， ∵点P从点A出发，以2个单位/秒的速度向右运动，点Q从点B出发，以1个单位/秒的速度向左运动， ∴， 解得：， ∴点P与点Q经过秒相遇； （2）①（Ⅰ）当点P在上，点Q在上时， 设点P与点Q运动的时间为t秒时，， ∵， ， 解得：； （Ⅱ）∵点P在上运动速度为1个单位/秒，点Q在上运动速度为2个单位/秒， 结合（1），当点P运动到中点时，点Q运动到点O， 此时，， ∵，，点P在上运动速度为2个单位/秒，在上运动速度为1个单位/秒， ∴点P运动到中点所需时间为：秒， 设点P运动到中点后，继续运动使得的时间为秒， ∵点Q在上运动速度为1个单位/秒， ∵， ∴， ∴经过秒后，， 综上，经过秒或6秒，； ②（Ⅰ）当点P在上，点Q在上时， ，， ∵， ∴， ∴； （Ⅱ）当点P在上，设点P过，点Q过的4秒后，时间为秒， 1）当， 即， 即时，P，Q相遇， ，， ∵， ∴， 解得：， ∴； 2）当点Q到达点O时，点P恰好到达中点，并继续向上运动（秒）， ，， ∵， ∴， 解得：（舍去）； 3）当Q在上，P在向下运动时， ，， ∵， ∴， 解得：， ∴； （Ⅲ）当点P重新运动至上， 设点P运动至O点后的运动时间为秒， 在秒之间，点P，点Q已经运动（秒）， 此时，点Q在上运动（秒）， 即， 1），， ∵， ∴， 解得：， ∴； 2）当点P在点Q右侧，超过点Q后， ，， ∵， ∴， 解得：（舍）， 综上，当或或或秒时，． 【点睛】本题考查数轴与有理数的关系，一元一次方程在数轴上的运用，路程，时间，速度三者的关系等知识点，解题的关键是掌握一元一次方程的应用，分类计算时不重不漏． 7．（24-25七年级下·四川眉山·期中）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，是最大的负整数，且，满足．点从点出发以每秒个单位长度的速度向左运动，到达点后立刻返回到点，到达点后再返回到点并停止． (1)点表示的数为，点表示的数为____，______； (2)若点从点出发向点运动，同时，点从点出发向点运动；经过秒相遇；若点从点出发向左运动，同时，点从点出发与点同向运动，经过秒相遇，请分别求出点，点的运动速度． (3)若点，点的运动速度同（2），点从点出发的同时，数轴上的动点，分别从点和点同时出发，相向而行，假设秒钟时，、、三点中恰好有一个点是另外两个点的中点，请直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1) (2)、速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度 (3)1，，，8． 【分析】本题考查了非负数的性质，数轴上两点间距离，数轴的动点问题，一元一次方程的应用、二元一次方程组的应用．正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据b为最大的负整数可得出b的值，再根据绝对值以及偶次方的非负性即可得出a、c的值，进而求得的长； （2）设的速度分别为，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解． （3）以为，点的中点；为，点的中点；为，点的中点；进行讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵是最大的负整数，且，满足， ∴， ∴． ∴ 故答案为：； （2）解：设的速度分别为，由题意得 解得：． ∴、速度分别为每秒4个单位长度和每秒5个单位长度． （3）解：依题意，当为，点的中点， 当时，有， 解得（舍去）， 当时，有， 解得； 当为，点的中点，， 有， 解得； 或， 解得； 为，点的中点，， 有， 解得． 综上所述，的值为1，，，8． 8．（23-24七年级上·四川乐山·期末）如图，数轴上有、、、四点，点是原点，， (1)写出数轴上点表示的数为　　　　　　． (2)动点P、Q分别从A、C同时出发，点P以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，M为线段AP的中点，点N在线段CQ上，且CN=CQ．设运动时间为t(t>0)秒． ①直接写出数轴上点表示的数为　　　　　　，点表示的数为　　　　　　用含的式子表示． ②求当是多少秒时，原点恰为线段的中点． ③若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，若、、三动点同时出发，当点遇到点后，立即返回以原速度向点运动，当点遇到点后，又立即返回以原速度向点运动，并不停地以原速度往返于点与点之间，当点与点重合时，点停止运动．问点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是多少个单位长度？ 【答案】(1) (2)①，；②当秒时，恰为线段的中点；③点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是个单位长度 【分析】此题主要考查了数轴，以及线段的计算，一元一次方程的应用，解决问题的关键是根据题意正确画出图形，要考虑全面各种情况，不要漏解． （1）根据已知条件求得的长度，即可写出点表示的数； （2）①根据题意画出图形，表示出，，再根据线段的中点定义可得，根据线段之间的和差关系进而可得到点M表示的数；根据可得，根据线段的和差关系可得到点表示的数； ②当在原点的左侧，根据题意得方程即可得到结论；当在原点的右侧，根据题意得方程即可得到结论； ③根据，，求得，于是得到点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵在左侧， ∴∴点A表示的数为：． 故答案为：． （2）①由题意得：，， 如图所示： 为中点， ， 在数轴上点表示的数是， 点在上，，， 在数轴上点表示的数是． ②原点恰为线段的中点时，点表示的数与点表示的数互为相反数， 即，解得： 当秒时，恰为线段的中点． ③，， ， 点从开始运动到停止运动，行驶的总路程个单位长度． 答：点从开始运动到停止运动，行驶的总路程是个单位长度． 9．（23-24七年级上·福建莆田·期末）如图：数轴上，，三点分别表示的数为、、，点表示的数为． 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记为（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【结合数轴，解决问题】 (1)填空：若，则______．若，______； (2)若动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为； (3)动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即返回点，动点从点出发，以每秒个单位长度的速度向点运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点、点的距离 【答案】(1)或；； (2)经过或秒时动点到点和点的距离之和为； (3)或或． 【分析】本题主要考查了绝对值与数轴的综合应用，两点之间的距离公式，一元一次方程，能够熟练掌握绝对值的性质是解决此题的关键． （1）根据绝对值的意义计算即可； （2）设经过秒，点到点、点的距离之和为，再根据绝对值的意义分三种情况讨论，三种情况分别是当时，当时，当时，分别求解即可； （3）设经过的时间为，当到达点时，，当返回到点时， ； 当到达点时，，再分两种情况讨论，当时， 当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：， 或， 解得：或， ， 或， 解得：（前一方程无解）， 故答案为：或；； （2）设经过秒，点到点、点的距离之和为，点对应的数可以表示为， ①当时，点在点B左侧， ，， 由题意得：， 解得：； ②当时，点在点和点中间，此时，矛盾，故舍去 ③当时，点在的右侧．，， 由题意得：， 解得：； 综上所述，经过或时动点到点和点的距离之和为； （3）设经过的时间为， 当到达点时，，当返回到点时， ； 当到达点时，， 当时，点，表示的数分别为，， 点，之间的距离为 又点到点的距离为， ， 解得：或， 当时，点，表示的数分别为，， 点，之间的距离为， 又点到点的距离为， ， 解得：或（舍去）， 综上所述，或或． 10．（24-25七年级下·广东汕头·期中）综合与实践： 如图，实数、、在数轴上表示的点分别是点A、B、C，且、、满足． (1)直接写出、、的值； (2)若点沿数轴向左以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向右运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．试探究：的值是否随着时间的变化而变化？若不变化，求这个不变的值；若变化，求这个值的变化范围； (3)若点沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒．设运动时间为（秒）．是否存在某一时刻，满足点和点之间的距离是点和点之间的距离的？若存在，直接写出时间的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，， (2)值不随着时间的变化而变化，始终 (3)存在，或 【分析】本题考查了实数与数轴，非负数的性质，两点间的距离公式，一元一次方程的应用，分类构造方程是解题关键． （1）根据平方与绝对值的和为0，可得平方与绝对值同时为0，可得的值，根据两点间的距离，可得答案； （2）t秒时，点表示，点B表示，点表示，根据根据两点间的距离公式计算计算即可； （3）先把A、B、C用表示，点表示，点B表示，点表示， 当A、相遇时，，解得，当、相遇时，，解得， 分类讨论4种情况，当时，当时，当时，当时，构造方程计算即可． 【详解】（1）解：依题意，． 所以； （2）解：秒后，点始终在点的左侧，∴， 点始终在点的右侧，∴， ∵是定值， ∴的值不随着时间的变化而变化，始终， （3）解：∵点A沿数轴向右以每秒1个单位的速度运动，点和点沿数轴向左运动，速度分别是2个单位/秒、3个单位/秒， ∴秒后A表示的数为，表示的数为，表示的数为， 当A、相遇时，，解得， 当、相遇时，，解得， ∴当时，，， ∵，，解得； 当时，，， ∵，∴，解得； 当时，，， ∵， ∴，解得，舍去； 当时，，解得（舍弃）． 故答案为：或． 11．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）、为数轴上的两个点，点对应的数记为，点对应的数记为，且，满足．解答下列问题： (1)___________，___________； (2)若数轴上点满足，求点对应的数； (3)点，点，点是数轴上的动点，点从点出发，沿数轴以5个单位/秒的速度向右运动，点从点出发，以3个单位/秒的速度沿数轴向右移动，同时点从点出发，沿数轴以1个单位/秒的速度向左移动，设运动时间为，在三个点移动的过程中，或是否会是定值．若会，请求的取值范围；若不会，请说明理由． 【答案】(1)，12 (2)7或22 (3)当时，为定值；当时，为定值．理由见解析． 【分析】本题主要考查了非负数的性质，一元一次方程的应用，数轴等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据非负数的性质即可得解； （2）分两种情况，点在上或在的延长线上，表示出和，再建立方程求解即可； （3）先用表示出点Q，M，N，进而表示出和，再代入得出关系式，分类讨论求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，， 解得：， 故答案为：，12； （2）解：法一：设点表示的数为，分两种情况： ①当点在线段上时， ， 解得； ②当点在线段的延长线上时， ， 解得． 综上所述，点表示的数为7或22． 法二：设点表示的数为，由题意得： 或 综上所述，点表示的数为7或22． （3）解：由题意得： 点表示的数为点表示的数为点表示的数为， ， ①当时，， 此时为定值， 不为定值， ②当时，， 此时，为定值， 不为定值， 答：当时，为定值；当时，为定值． 12．（24-25七年级上·河北石家庄·阶段练习）已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m，n，且m，n满足：． (1)分别求m，n的值； (2)有一个玩具火车按如图所示放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，记火车移动后对应的位置为．当点移动到点A时，点所对应的数为n，当点移动到点B时，点所对应的数为m．当玩具火车匀速向右移动时，火车从车头到车尾完全经过点M需要2秒． ①玩具火车的长为______个单位长度；玩具火车的速度为每秒______个单位长度；点A所对应的数为______； ②在数轴上放置与大小相同的火车，使点C与点M重合，火车和在数轴上分别从点M和点A同时出发向右移动，记火车移动后对应的位置为．火车的速度为5个单位长度/秒，求几秒后两火车的处与处相距7个单位长度； ③当火车匀速向右移动，同时点P和点Q分别从N，M出发，分别以每秒1个单位长度和2个单位长度的速度沿数轴向左和向右移动，点P，Q间的距离用a表示，点，A间的距离用b表示，是否存在有理数k使得的值与它们的运动时间无关？若存在，请直接写出k和这个定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，，；②；③存在，， 【分析】（1）根据得到，求m，n的值即可； （2）①设初始位置A处表示的数为，B处所表示的数为，火车的长度为， 根据题意，得，，，确定小火车的长度，根据时间计算速度，计算出即可． ②设处表示的数为，处所表示的数为，根据小火车的速度为个单位长度/秒，的速度为5个单位长度/秒，设后两火车的处与处相距7个单位长度， 则，，根据题意，得解答即可． ③设火车匀速向右移动，则，，火车匀速向右移动个单位，根据确定，于是得到，根据已知表示，令t的系数为0，解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得． （2）①解：设初始位置A处表示的数为，B处所表示的数为，火车的长度为， 根据题意，得，，， 故， 解得， 故小火车的速度为（单位长度/秒）， 由得， 解得， 故答案为：，，． ②解：设处表示的数为，处所表示的数为，由小火车的速度为个单位长度/秒，的速度为5个单位长度/秒，设后两火车的处与处相距7个单位长度，则，，根据题意，得， 故， 解得． ③解：设火车匀速向右移动，则，，火车匀速向右移动个单位，根据，解得， ∴， ∵， ∴， ∵的值与它们的运动时间无关， ∴， ∴， ∴， 故存在有理数k使得的值与它们的运动时间无关，且，定值为． 【点睛】本题考查了数轴表示有理数，数轴上的平移，数轴上的两点间距离，解方程，整式计算中的无关问题，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 13．（24-25七年级上·重庆·期中）如图1，在数轴上点M表示的数为m，点N表示的数为n，点M到点N的距离记为，即．如图2，在数轴上点A表示数a，点B表示数b，点C表示数c，a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数． (1) ， ， ． (2)x是数轴上任意一个有理数，则有最小值是 ，有最大值是 ，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是 ． (3)如图，点E，F，G是数轴上的三点，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，点E，F，G同时开始在数轴上运动，若点E以每秒个单位长度的速度向左运动，点F和点G分别以每秒个单位长度和个单位长度的速度向右运动，假设t秒后，若点E与点F之间的距离表示为，点E与点G之间的距离表示为，点F与点G之间的距离表示为．若的值是一个定值，请求出m的值． 【答案】(1) (2)7；7； (3)或 【分析】（1）根据相反数的定义、有理数相关知识以及多项式的次数的定义，即可获得答案； （2）代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的和，进而得到当时，最小，求解即可；代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的差，然后分情况讨论，即可得到答案； （3）根据题意，t秒后，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是，首先求得当F点与G点重合时，，然后分和两种情况讨论，即可获得答案． 【详解】（1）解：a是3的相反数，b是最大的负整数，c是多项式的次数， ∴； 故答案为：； （2）代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的和， 当时，， 此时， 当时，， 当时，， 此时， 故当时，的值最小，最小值为7； 代数式表示点x与的距离与点x与点4距离的差， 当时，， 当时，， 此时， 当时，， ∴有最大值是7，当取得最大值时相应的有理数x的取值范围是； 故答案为：7；7；； （3）根据题意，t秒后，E点表示数是，F点表示数是，G点表示数是， 当F点与G点重合时，可有 ，解得， 分两种情况讨论： ①当时，，， ∴， ∵若的值是一个定值， ∴，解得； ②当时，，， ∴， ∵若的值是一个定值， ∴，解得． 综上所述，m的值为或． 【点睛】本题主要考查了相反数、有理数分类、多项式的次数、数轴上两点间的距离、用数轴上的点表示有理数、数轴上动点问题等知识，读懂题意，灵活运用所学知识是解答本题的关键． 14．（24-25七年级上·浙江金华·期中）【定义】已知点是线段上的一个分点，若点到线段两个端点的距离之比为时，则称点为线段的“理想点”．如图，、分别为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为100． (1)求点之间的距离； (2)求线段的“理想点”所对应的数； (3)现将一纸条如图放置，再沿纸条上的某处折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条纸条，若这三条纸条的长度之比为，然后把纸条复原，请计算说明折痕处对应的点在数轴上所表示的数是多少？ 【答案】(1)120 (2)20，60 (3)16，40，64 【分析】本题考查数轴两点之间的距离和翻折问题，理解题意，分类讨论是解题的关键． （1）根据数轴上两点之间的距离定义求解即可． （2）根据“理想点”定义及到、距离的比例关系，分情况讨论对应数轴上的数即可． （3）由线段总长度及三条纸条的长度之比，可得三条线段的长度，再分情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点对应的数为，点对应的数为100， ∴， ∴点之间的距离是120． （2）解：∵，点到线段两个端点的距离之比为， 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为20； 当时，， ∵点对应的数为， ∴所对应的数为60； ∴线段的“理想点”所对应的数是20，60． （3）∵三条纸条的长度之比为，， ∴， ∴三条纸条的长度为24，24，72， ①当从到三条纸条的长度为24，24，72，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ②当从到三条纸条的长度为24， 72，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； ③当从到三条纸条的长度为72，24，24，如图： 则折痕到的长度是， ∵点对应的数为， ∴痕处对应的点在数轴上所表示的数是； 综上所述，折痕处对应的点在数轴上所表示的数是16，40，64． 15．（2024·江苏·七年级专题练习）平移和翻折是初中数学中两种重要的图形变化，阅读并回答下列问题： （一）平移：在平面内，讲一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移． （1）把笔尖放在数轴的原点处，先向左移动3个单位长度，再向右移动2个单位长度，这时笔尖的位置表示的数是 ； （2）一个机器人从数轴上原点出发，并在数轴上移动2次，每次移动2个单位后到达B点，则B点表示的数是 ； （3）如图，数轴上点A表示的数为−1，点B表示的数为1，点P从5出发，若P，A两点的距离是A，B两点距离的2倍，则需将点P向左移动 个单位． （二）翻折：将一个图形沿着某一条直线折叠的运动． （4）若折叠纸条，表示−3的点与表示1的点重合，则表示−4的点与表示 的点重合； （5）若数轴上A，B两点之间的距离为10，点A在点B的左侧，A，B两点经折叠后重合，折痕与数轴相交于表示−1的点，则A点表示的数为 ； （6）在数轴上，点M表示是的数为4，点N表示的数为x，将点M，N两点重合后折叠，得折痕①，折痕①与数轴交于P点；将点M与点P重合后折叠，得折痕②，折痕②与数轴交于Q点．若此时点M与点Q的距离为2，则x＝ ． 【答案】（1）；（2）或或；（3）2或10；（4）2；（5）-6；（6）或 【详解】解：（1）笔尖的位置表示的数为故答案为； （2）机器人向右移动两次，则B点表示的数为 机器人向左移动两次，则B点表示的数为 机器人向右移动一次，再向左移动一次，则B点表示的数为故答案为或或 （3）设点P向左移动个单位，则点P表示的数为， ， 由题意可得：，解得或即向左平移2或10个单位长度 故答案为2或10 （4）由题意可得：对称中心为，则表示−4的点与表示2的点重合 故答案为2 （5）由题意可得，A点在表示−1的点的左侧5个单位长度，则A点表示的数为 故答案为-6 （6）由题意可得：，则， 即之间的距离为8 当在左侧时，，点N表示的数为-4 当在右侧时，，点N表示的数为12 故答案为或 16．（24-25九年级下·河南新乡·开学考试）如图1，数轴上O点与C点对应的数分别是0、90（单位：单位长度），将一根质地均匀的直尺放在数轴上（A在B的左边），若将直尺在数轴上水平移动，当点A移动到点B的位置时，B与C重合；当点B移动到点A的位置时，A与O重合． (1)直尺的长为_____个单位长度． (2)若直尺在数轴上移动，且满足，请借助图2求此时点A对应的数； (3)如图3，在数轴前面放一个以为边不透明的长方形挡板，将直尺放在挡板后数轴上的某处（看不到直尺的任何部分，A在B的左边），将直尺沿数轴以5个单位/秒的速度分别向左、向右移动，直到直尺完全被看到． ①若向左移动所经历时间是向右移动所经历时间的2倍，求直尺起初放置时点A对应的数为多少？ ②若不透明的挡板与直尺同时出发，挡板沿数轴以1个单位/秒的速度向右移动，当点A对应的数为多少时，向左、向右移动所经历的时间相差2秒？ 【答案】(1)30 (2)或10 (3)①50；②或 【分析】此题考查了数轴上的动点问题，线段的和差倍分、一元一次方程的应用等知识，分类讨论是关键． （1）线段长度相等以及线段的长度，求出线段的长度； （2）需对直尺与点O、点C的位置进行分类讨论，表示出线段与的长度，利用方程求点A表示的数； （3）①由“速度×时间=路程”，结合线段长度求A对应的数； ②利用追击问题和相遇问题，求点A表示的数． 【详解】（1）解：∵将直尺在数轴上水平移动，当点A移动到点B的位置时，B与C重合；当点B移动到点A的位置时，A与O重合， ∴， ∵O点与C点对应的数分别是0、90， ∴， ∴（单位长度）， 故答案为：30． （2）设点A表示的数为x,则：点B表示的数为， ①如图（1），当点A在点O左侧时，, ∵， ∴, 解得：， ∴点A表示的数为． ②如图（2），当点A在点O右侧，点B在点C左侧时，, ∵， ∴, 解得：， ∴点A表示的数为10． ③如图（3），当点B在点C右侧时， 很显然，， ∴不成立． 综上所述：当点A对应的数为或10时，． （3）①∵向左、向右移动的速度相同，向左的时间是向右时间的2倍， ∴向左的路程是向右路程的2倍，即：， 设,则：， 解得：， ∴， ∴， ∴点A表示的数为50． ②设点A对应的数为m,点B对应的数为，则：, （i）当左移时间大于右移时间时， ，解得：， （ii）当左移时间小于右移时间时， ，解得：， 综上所述：点A对应的数为46.8或37.2时，右移和左移时间相差2秒． 17．（24-25七年级上·北京·期中）对数轴上的点进行如下操作：先把点表示的数乘以，再把所得数对应的点沿数轴向右平移个单位长度，得到点，称这样的操作为点的“变换”，对数轴上的点，，，进行“变换”后得到的点分别为，，，． (1)当，时． ①若点表示的数为，则它的对应点表示的数为 ； ②数轴上的点表示的数为，若点到点的距离是点到点的距离的倍，则点表示的数为 ； (2)当时，若点表示的数为，点表示的数为，则的值为 ； (3)若点到点的距离是点到点的距离的倍，则的值为 ． 【答案】(1)①；②或 (2) (3) 【分析】本题考查了新概念“变换”、数轴上两点间的距离、绝对值，熟练掌握数轴上两点间的距离是解题的关键． （1）①由，即可得出对应点表示的数；②设点表示的数为，则点表示的数为，由，解方程即可得； （2）由题意得，解方程即可得； （3）设点、表示的数分别为、，则点、表示的数分别为、，则，解方程即可得． 【详解】（1）解：①，，点表示的数为， 点表示的数为， 故答案为：； ②设点表示的数为，则点表 示 的 数 为 ， 点表示的数为， ，， ， ， 解得：或， 即点表示的数为或， 故答案为：或； （2）根据题意可得：， 解得：， 故答案为：； （3）设点、表示的数分别为、，则点、表示的数分别为、， ，， ， ， 解得：， 故答案为：． 18．（24-25七年级上·广东深圳·期末）数轴是初中数学的一个重要工具，它使数和数轴上的点建立起一一对应的关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． （1）【知识呈现】 数轴上的点，点所表示的数如图1所示：若点与点表示的数互为相反数，则点表示的数是______，点与点之间的距离______，点与点的中点表示的数是______，且在图1的数轴上标出点． （2）【定义】 一个点（不是原点）在数轴上运动，第一次跳到的位置（点与点表示的数互为相反数），点称为点M的一次跳跃点，紧接着从跳到的位置（点与点位于点的两侧，且），则点称为点M关于点P的二次跳跃点．例，如图2所示： 【初步理解】 ①若点表示的数是，点表示的数是5，则点的一次跳跃点表示的数是______，点关于点的二次跳跃点表示的数是______，线段的长度为______． 【深入探究】 ②若点为数轴正半轴的一个点，点是数轴负半轴上一个点，点为点关于点的二次跳跃点．若点，点表示的数分别是，当变化时，探究的值是否发生变化？若不变，请求出其值；若变化，请说明理由． 【归纳总结】 ③若在数轴上点分别表示有理数（其中），点为点关于点的二次跳跃点，直接写出线段的长度． 【答案】（1）1，6，3；（2）①2，8，10；②的值不变，；③ 【分析】本题主要考查了相反数、有理数、数轴两点的距离、新定义等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意即可得解； （2）①根据跳跃点的定义可知M和关于原点对称，所以可得到表示的数，再根据二次跳跃点的定义可得表示的数，进而可求的长度； ②由题易知P是和中点，再分类讨论利用数轴上两点距离求解即可； ③同②思路即可得解． 【详解】解：（1）由题易知，点B表示的数是1，，D表示的数是3；如图所示，点D为所求作． 故答案为：1，6，3； （2）①由题可知M和关于原点对称， ∴表示的数是2， ∵点P表示的数为5， ∴， ∵， ∴表示的数是8， ∴线段的长度为， 故答案为：2，8，10； ②解：的值不变，，理由如下： 分类讨论， 依题意知点表示的数是， 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴； 若，如图所示， ∵点与点位于点P的两侧，且， ∴， ∴， ∴点表示的数是， ∴， 综上所述：； ③∵点M表示的数是m，则一次跳跃点表示的数是， ∵点与点位于点P的两侧，且， 即点P是的中点， ∵点P表示的数是p， ∴点表示的数是， ∴． 1．（23-24七年级上·北京朝阳·阶段练习）在数轴上，点表示的数为1，点表示的数为3．对于数轴上的图形，给出如下定义；为图形上任意一点，为线段上任意一点，如果线段的长度有最小值，那么称这个最小值为图形关于线段的极小距离，记作（，线段）；如果线段的长度有最大值，那么称这个最大值为图形关于线段的极大距离，记作（，线段），例如：点表示的数为4，则（点，线段），（点，线段）．    已知点为数轴原点，点为数轴上的动点． (1)（点，线段）___________，（点，线段）___________； (2)若点在点左边2个单位处，且已知（线段，线段）.求点所表示的数． (3)点从原点出发，以每秒2个单位长度沿数轴正方向匀速运动；点从表示数的点出发，第1秒以每秒2个单位长度沿数轴正方向匀速运动，第2秒以每秒4个单位长度沿数轴负方向匀速运动，第3秒以每秒6个单位长度沿数轴正方向匀速运动，第4秒以每秒8个单位长度沿数轴负方向匀速运动，，按此规律运动，两点同时出发，多长时间后（线段，线段），请直接写出结果_____________． 【答案】(1)1，3 (2)点所表示的数为或5 (3)或或 【分析】（1）根据题目中所给定义进行计算即可； （2）设点表示的数为，则点表示的数为，分线段在线段左侧或线段在线段右侧两种情况讨论即可得到答案； （3）设时，（线段，线段），分段讨论，根据题意列出相应的一元一次方程，进行求值即可得到答案． 【详解】（1）解：点到线段的最小距离为：， （点，线段）， 点到线段的最大距离为：， （点，线段）， 故答案为：1，3； （2）解：设点表示的数为， 点在点左边2个单位处， 点表示的数为， 当线段在线段左侧时， （线段，线段）， 解得：， 当线段在线段右侧时， （线段，线段）， 解得：， 综上所述：点所表示的数为或5； （3）解：设时，（线段，线段）， 根据题意得： 当时，点表示的数为0，点表示的数为，此时（线段，线段）， 当时，点表示的数为2，点表示的数为0，此时（线段，线段）， 当时，点表示的数为4，点表示的数为，此时（线段，线段）， 当时，点表示的数为6，点表示的数为2，此时（线段，线段）， 当时，点表示的数为8，点表示的数为，此时（线段，线段）， 当时，点表示的数为10，点表示的数为4，此时（线段，线段）， 此后，点表示的数大于10，（线段，线段）总大于6， 当或或时，存在（线段，线段）， 当时，点表示的数为，点表示的数为，此时（线段，线段）， 解得：， 当时，点表示的数为，点表示的数为，此时（线段，线段）， 解得：， 当时，点表示的数为，点表示的数为，此时（线段，线段）或， 解得：或（舍去）， 综上所述：两点同时出发或或或时，（线段，线段）， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了用数轴上的点表示有理数、数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、实际问题与一元一次方程，理解题意，采用数形结合与分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 2．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图：数轴上三点分别表示的数为，点表示的数为 【阅读材料】：在数轴上表示数的点到原点的距离叫做的绝对值，记为，数轴上表示数的点与表示数的点的距离记（或），数轴上数表示的点到表示数的点与表示数的点的距离之和记为． 【初步运用】：（1）填空：若，则____________；若，则____________； 【延伸探究】：（2）若动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向右运动，当经过多少秒时，动点到点、点的距离之和为10； 【拓展探究】：（3）若点表示的数为，当取最小值时，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒1个单位长度的速度返回点，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向点运动，当到达点后立即以每秒2个单位长度的速度返回点，同时开始运动，当经过多少秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 【答案】（1）或3，（2）秒或秒（3）秒或秒 【分析】（1）根据绝对值的意义即可； （2）设点表示的数为，依题意，得，再根据绝对值的意义分三种情况讨论，三种情况分别是当时，当时，当时； （3）若点表示的数为，当取最小值时，，设经过的时间为，再分四种情况讨论，四种情况分别是：当时， 当时，当时，当时． 【详解】解：（1）， 或3， ， ， 故答案为：或3，； （2）设点表示的数为，依题意，得 ， 当时，， 解得：； 当时，， 故此情况不成立，舍去； 当时，， 解得：； 故当经过或秒时，动点到点、点的距离之和为10； （3）若点表示的数为，当取最小值时，， 设经过的时间为，故点表示的数为， 当时，点表示的数分别为，， 点之间的距离为， 点到点、点的距离之和为， ， 解得：，在取值范围内，成立； 当时，点表示的数分别为，， 点之间的距离为， 点到点、点的距离之和为， ， 解得：（舍去），（舍去）； 当时，点表示的数分别为，， 点之间的距离为， 点到点、点的距离之和为， ， 解得：（舍去）； 当时，点表示的数分别为，， 点之间的距离为， 点到点、点的距离之和为， ， 解得：（舍去），， 当时，点表示的数分别为，， 点之间的距离为， 点到点、点的距离之和为， ， 解得：（舍去）， 综上所述：当经过秒或秒时，点、点之间的距离正好等于点到点、点的距离之和． 【点睛】本题主要考查整式的加减运算，绝对值与数轴的综合应用，解决此题时，能够熟练掌握绝对值的性质：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0,负数的绝对值是它的相反数是解决此题的关键． 3．（23-24七年级上·四川成都·阶段练习）如图，有理数，分别对应数轴上的点，，且，满足． (1)直接写出，的值：______；______； (2)若动点，分别从，同时出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右运动，以每秒2个单位的长度的速度沿数轴向右运动，当，相遇时停止运动，当为何值时，； (3)我们规定，若在线段上存在满足，则我们称点是线段的一个分点．点从线段上的2分点出发，以每秒1个单位长度在数轴上按以下规律往返运动：第一回合，从点到点，再从点到点回到点；第二回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点；第三回合，从点到的中点，再从点到的中点回到点，如此循环下去，若第秒时满足，求的最大值． 【答案】(1)； (2)当或时， (3)的最大值为秒 【分析】（1）根据平方的非负性，和绝对值的非负性，得到，，即可求解， （2）用含的代数式表示出，，代入，分，两种情况，即可求解， （3）先求出点对应的有理数，化简，求出等式成立时，对应的点的位置，找到点的运动规律，求出点最后一次经过该位置的时间，即可求解， 本题考查了数轴上的动点，解题的关键是：通过讨论化简等量关系式求解，找到运动规律． 【详解】（1）解：∵， ∴，，解得：，， 故答案为：；， （2）解：设有理数，分别对应数轴上的点，， 则：，， ∴，， ∵两球相遇时停止运动， ∴，解得：， ∴， 当时，由，可得：，解得：， 当时，由，可得：，解得：， 故答案为：当或时，， （3）解：∵点是线段上的2分点， ∴， ∵， ∴点对应的有理数， ∵，即：， ∵点一直在的左侧， ，， ∴，即：， 当时，，解得：， 当时，，解得：， 根据题意得： 、、、、…所对应的数为：、、、…， 、、、、…所对应的数为：、、、、…， 第三回合，点从回到点的过程中，最后一次经过点， 第一回合用时：（秒）， 第二回合用时：（秒）， 第三回合，点从点到用时：（秒）， 点从点到用时：（秒）， 点从点到点用时：（秒）， 故总用时（秒）， 故答案为：的最大值为秒． 4．（22-23七年级上·江苏扬州·期中）如图，在数轴上记原点为点O，已知点A表示数a，点B表示数b，且a，b满足，我们把数轴上两点之间的距离，用表示两点的大写字母表示，如：点A与点B之间的距离记作． (1)______，______； (2)若动点P，Q分别从A，B同时出发向右运动，点P的速度为每秒4个单位长度，点Q的速度为每秒2个单位长度，当点P和点Q重合时，P，Q两点停止运动．当点P到达原点O时，动点R从原点O出发，以每秒6个单位长度的速度也向右运动，当点R追上点Q后立即返回，以同样的速度向点P运动，遇到点P后再立即返回，以同样的速度向点Q运动，如此往返，直到点P、Q停止运动时，点R也停止运动，求在此过程中点R行驶的总路程，以及点R停留的最后位置在数轴上所对应的有理数； (3)动点M从A出发，以每秒2个单位的速度沿数轴在A，B之间运动，同时动点N从B出发，以每秒4个单位的速度沿数轴在A，B之间往返运动，当点M运动到B时，M和N两点停止运动．设运动时间为t秒，是否存在t值，使得？若存在，请直接写出t值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)总路程，停在 (3)存在，，，， 【分析】（1）根据非负数的意义分析即可； （2）根据题意，、、三点重合，则只需计算点的位置以及运动时间即可； （3）根据题意分情况讨论，根据情况建立一元一次方程解决问题． 【详解】（1）∵， ∴，， 故答案为；． （2）当点到达点时，动点从原点出发， 到达点需要：（秒）， 此时点的位置为：， 设秒后停止运动， 则，解得， 此时点的位置在：， 即也停在点位置，对应的有理数为， 运动的时间为秒，速度为每秒个单位， ∴运动路程为：， 综上所述，行驶的总路程为，停留在． （3）存在，的值为：，，，， 理由如下：∵（秒）， ∴秒后、后停止运动， ①当、分别位于的两侧时，如图， 此时，表示的数为，表示的数为， ∴，解得； ②当和重合时，即第一次相遇时，如图， 则，解得； ③当点从点返回时，则点表示的数为：， 若此时未到点，则，如图， 则，解得（不合题意，舍去）， ∴此时已经过点，，如图， 则，解得； ④当点、在点右侧重合时，即第二次相遇时，如图， ，解得，此时点、到达点，停止运动，符合题意； 综上所述，的值为：，，，． 【点睛】本题考查了数轴和数轴上点的运动，数轴上两点之间的距离，解题的关键是理解题意，分类讨论，分类讨论要做到不重不漏． 5．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）数轴是重要的数学学习工具，利用数轴可以将数与形完美结合．如图1，数轴上的点A表示数a，点B表示数b，点B在点A的右侧．已知a、b满足． (1)a＝ ，b＝ ； (2)如图2，动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，点P的速度为4个单位长度/秒，点Q的速度为2个单位长度/秒，设运动时间为t秒． ①当 s，点P、Q重合； ②在运动过程中，点P、B、Q三点中恰有一点是另外两点连线所得线段的中点，求运动时间t； (3)如图3，点M是中点，动点P、Q分别从点A、B处同时向右移动，若点P的速度为m个单位长度/秒，点Q的速度为n个单位长度/秒，设运动时间为t秒．在运动过程中，试判断的值能否是定值？如果是定值，求此时m、n的关系． 【答案】(1)；16 (2)①12②或8 (3) 【分析】（1）根据非负数的性质即可解答； （2）①由题意得：点表示的数为，点表示的数为，列方程求解即可； ②由题意得：点表示的数为，点表示的数为，分情况讨论，（Ⅰ）当为中点时，，（Ⅱ）当为中点时，，（Ⅲ）当为中点时，，列方程求解即可； （3）分情况讨论，①当点在的左侧时，②当点与重合时，③当点在的右侧时，表示出即可解答． 【详解】（1）解：、满足． ，， ，， 故答案为：；16． （2）解：①由题意得：点表示的数为，点表示的数为， 当点、重合时，即， 解得， 当，点、重合， 故答案为：12； ②由题意得：点表示的数为，点表示的数为， （Ⅰ）当为中点时，，如图， 即， 解得； （Ⅱ）当为中点时，，如图， 即， 解得； （Ⅲ）当为中点时，，如图， 即，该方程无解； 综上，或8 （3）解：，为中点， ， 点表示的数为：， ①当点在的左侧时，如图， ， ，， 代数式的值会随的增大而增大，不可能为定值； ②当点与重合时，，、的关系无法确定该代数式的值； ③当点在的右侧时，如图， ， 当时，代数式的值与无关， 综上，当点运动到点右侧且时，的值是定值48． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，数轴，非负数的性质，绝对值和偶次方的非负性，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 6．（22-23七年级上·湖南长沙·期末）如图，在数轴上点A表示的数为，点B表示的数为40，动点P从点A出发以每秒5个单位的速度沿正方向运动，动点从原点出发以每秒4个单位的速度沿正方向运动，动点N从点B出发以每秒8个单位的速度先沿负方向运动，到达原点后立即按原速返回，三点同时出发，当点N回到点B时，三点停止运动． (1)当运动时间为3秒时，点P、点N之间的距离是___________单位． (2)当个单位时，求三个点的运动时间． (3)尝试借助上面数学问题的解题经验，建立数轴完成下面的实际问题： 码头C位于A，B两码头之间，且知海里，海里，甲船从A码头顺流驶向B码头，乙船从C码头顺流驶向B码头，丙船从B码头开往C码头后立即调头返回B码头．已知甲船在静水中的航速为5海里/时，乙船在静水中的航速为4海里/时，丙船在静水中的航速为8海里/时，水流速度为2海里/时，三船同时出发，每艘船都行驶到B码头停止．在整个运动过程中，是否存在某一时刻，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等？若存在，直接写时间以及此时甲船离B码头的距离；若不存在，请说明理由． (4)是否存在常数k，使得在某段时间内为定值？若存在，直接写出k的值以及该定值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)三个点的运动时间为秒或秒或秒 (3)存在，在整个运动过程中，分别在小时，小时，小时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离码头的距离分别为海里，海里，海里； (4)存在，当，时，的值是定值；当，时，的值是定值；当，时，的值是定值 【分析】（1）求出运动秒时，表示的数，进行计算即可； （2）分和，两种情况，列方程求解即可； （3）建立如图所示的数轴，A所表示的数为；C所表示的数为0；B所表示的数为40，设运动时间为小时，分丙到达点之前，再分乙在甲，丙之间，丙在甲、乙之间，甲在丙，乙之间，以及丙从点返回，甲在丙，乙之间共4种情况分类讨论，列方程求解； （4）分，，，三种情况讨论求解． 【详解】（1）解：当运动时间为3秒时，点表示的数为：；点表示的数为：， ∴点P、点N之间的距离是：； 故答案为； （2）解：点从点到达原点的时间为：，则运动总时间为：秒；设运动时间为秒时，个单位， ①当时：点表示的数为：，点表示的数为：， 由题意，得：， 解得：或； ②时，点表示的数为：，点表示的数为：， 由题意，得：， 解得：或（舍去）； 综上，个单位时，三个点的运动时间为秒或秒或秒； （3）存在：建立如图所示的数轴，A所表示的数为；C所表示的数为0；B所表示的数为40． 由题意，得：甲的移动速度为每小时：个单位长度，乙的移动速度为每小时：个单位长度，丙从点到点的移动速度为每小时：个单位长度，返回时的速度为每小时：个单位长度； ∴甲到C的时间为小时，甲到B的时间为小时，乙到B的时间为小时， 丙从到B的时间小时，丙从C返回的时间为小时，丙用的总时间为：小时； 设运动时间为小时，则：甲表示的数为：，乙表示的数为：，丙从到，表示的数为：，从到，表示的数为：； ①丙到达点之前，当乙在甲，丙之间时：由题意，得： ，解得：， 此时甲船离码头的距离为：（海里）； 当丙在甲、乙之间时：，解得； ∴此时甲船离码头的距离为：（海里）； 当甲在丙，乙之间时：，解得； ∴此时甲船离码头的距离为：（海里）； ②丙从返回时，此时，乙船到达码头，表示的数为：，甲在丙，乙之间， ∴，解得； ，不符合题意； 综上，在整个运动过程中，分别在小时，小时，小时时，这三艘船中的一艘恰好在另外两船之间，且与两船的距离相等，此时甲船离码头的距离分别为海里，海里，海里； （4）解：存在；由（2）知：点从点到达原点的时间为：秒，运动总时间为10秒，相遇需要的时间为：秒，相遇需要：秒，追上需要：秒， ∵， ∴点始终在点左侧， 设运动时间为秒，点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， ①当到达点之前， 点表示的数为， 当时，在点左侧，由题意，得：， ∴当，即时，的值是定值：； 当时，在点右侧，由题意，得：， ∴当，即时，的值是定值：； ②当点返回时，点表示的数为，点追上点需要：秒，即同时到达点，点始终在点的左侧， ∴， 当时，， ∴当，即时，的值是定值：； 综上：当，时，的值是定值；当，时，的值是定值；当，时，的值是定值． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，整式加减中的无关型问题．本题的综合性强，难度大，熟练掌握数轴上两点间的距离公式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 7．（24-25七年级上·重庆·期中）已知点、、在数轴上对应的数为、、． (1)如图①，动点从点以每秒个单位的速度向数轴的正方向运动，到达点时方向不变，速度变为每秒个单位；动点从点开始以每秒个单位的速度向数轴的负方向运动，到达点时方向不变，速度变为每秒个单位，点、点两点同时开始运动． ①当运动秒时，点与点相遇； ②当点与点的距离是时，请求出运动的时间． (2)如图②，线段的长度为（点在点左侧），线段的长度为（点在点右侧）．若从点出发（运动后为），以每秒个单位长度的速度沿着数轴的正方向运动，同时从点出发（运动后为），以每秒个单位的速度沿着数轴的负方向运动；当点运动到点时，线段立即以原来速度的倍继续沿数轴正方向运动，当点运动到点时，线段变为原速继续向正方向运动，当点与点重合时运动停止；当点运动到点时，线段的速度变为原来的，当点运动到点时，线段变为原速返回至初始位置停止运动．设出发的时间为秒，在整个运动过程中，是否存在时间使两条线段重叠部分的长度为，若存在，请求出的值：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①；②或 (2)或或或或 【分析】（1）①先求得秒后，点表示的数是，点表示的数是，进而设秒后相遇，则点表示的数为，点表示的数为，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； ②根据点与点的距离是时，分相遇前与相遇后列出方程，即可求解； （2）根据题意分析得出线段在运动过程中，、点表示的数，线段在运动过程中，、点表示的数，列出代数式，进而分三种情况讨论，当线段，在相向运动时，当返回时，追及过程中，当停止时，结合数轴，根据两条线段重叠部分的长度为，列出一元一次方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：①根据图①可得，点表示的是，点、、在数轴上对应的数为、、 ∴， 当到达点时，所用时间为秒， 当到达点时，所用时间为秒，当继续运动秒，此时点表示的数为， ∴秒后，点表示的数是，点表示的数是， ∵ ∴相遇在之间， 设秒后相遇，则点表示的数为，点表示的数为 ∴ 解得：； ②设点与点的距离是时，运动的时间为， ∴或 解得：或； （2）解：∵线段的长度为（点在点左侧），线段的长度为（点在点右侧）．点、、在数轴上对应的数为、、． ∴表示的数是，点表示的数是 当到达点时，所用时间为秒， 当点运动到点时，所用时间为秒 当点与点重合时，所用时间为秒， 线段在运动过程中，依题意， ①当时，点表示的数为，点表示的数为 ②当时，点表示的数为，点表示的数为 ③当时，点表示的数为，点表示的数为 当点运动到点时，所用时间为秒， 当点运动到点时，所用时间为秒， 当变为原速返回至初始位置，所用时间为：秒， 线段在运动过程中，依题意， ①当时，点表示的数为，点表示的数为 ②当时，点表示的数为，点表示的数为 ③当时，点表示的数为，点表示的数为 当线段，在相向运动时，当时两条线段重叠部分的长度为，即或 则或 解得：或； 当返回时，追及过程中，则或 即时，则或 解得：或 当停止时，即时，线段继续运动， 则， 解得：， 综上所述，或或或或． 【点睛】本题考查了数轴上动点问题，一元一次方程的应用，分类讨论求得动点表示的数是解题的关键． 8．（24-25七年级上·北京·期末）对于数轴上的一点和线段（点不与点、点重合），给出如下定义：若点满足，则称点为线段的“偏移对称点”．已知数轴上、两点表示的数分别是、，且． (1)当时， ①若点表示的数分别为，则点是线段B的“偏移对称点”； ②已知点为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点，若线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”，则线段长度的最小值为______； (2)对于数轴上的任意两点、（点在点的左侧），且，总存在线段，使得线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，求的取值范围． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】本题考查了数轴上动点问题，线段的和差计算； （1）先分析定义，得出当在之间时，不满足；当在点的左侧时，满足；当在点的右侧时，满足； ①将点表示的数分别为，分别求得到的距离，进而结合定义进行判断，即可求解； ②根据在点的左侧，则得出的最小值为，进而得出点表示的数，即可得出长度的最小值； （2）分情况讨论，设是上的任意一点，当在点的左侧时，得出的最小值为，的最大值为，当在点的右侧时，得出的最小值为，的最大值为，进而根据线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”，进而求得的范围． 【详解】（1）解：∵数轴上、两点表示的数分别是、，且，则点在点的左侧， 当在之间时，不满足； 当在点的左侧时，， 设，则， ∵ ∴ ∴即 当在点的右侧时， 设，则 ∵ ∴ ∴即 ∵ ∴点表示的数为，点表示的数为， ①点表示的数分别为， ∵，则在之间，不合题意， ∵在左侧，，，满足 ∴是线段的“偏移对称点”； ∵在点的右侧，，，满足 ∴是线段的“偏移对称点”； 故答案为：，．     ②∵为数轴原点，点是数轴负半轴上的一个动点， 线段上存在一点，使得点是线段的“偏移对称点”， ∴在点的左侧，则 ∴当时取得最小值，此时点表示的数为 ∴长度的最小值为 故答案为：． （2）解：当在点的左侧时，如图所示，设是上的任意一点，则 ∴ 即，即的最小值为，的最大值为， ∵线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”， ∴ ∵， ∴ ∴； 当在点的右侧时，如图所示，设是上的任意一点，则 ∴ 即，即的最小值为，的最大值为， ∵线段上的任意一点都是线段的“偏移对称点”， ∴ ∵， ∴ ∴； 综上所述： 9．（24-25七年级上·江苏淮安·期中）对于数轴上的点M，N，给出如下定义：若点M到原点的距离与点N到原点的距离和为d（），则称d为点M到点N的绝对距离，记作．例如，在数轴上点M表示的数是3，点N表示的数是5，则点M到点N的绝对距离为． 问题解决： (1)点P，Q都在数轴上，点P表示的数是1． ①若点P在点Q的左边，且点P到点Q的绝对距离，则点Q表示的数是 ； ②若点P到点Q的绝对距离（），则点Q表示的数是 （用含a的代数式表示）； (2)如图，点C表示的数是2，点D表示的数为n，在数轴上有两个动点M，N，其中点M从点C出发以每秒一个单位长度的速度向右移动，同时点N从点D出发以每秒3个单位长度的速度向右移动，设运动时间为t（）． ①当时，问 时，点M到点N的绝对距离； ②若当时，点M到点N的绝对距离都不超过10，则n的取值范围是 ． 【答案】(1)；或 (2)或； 【分析】（1）根据绝对距离的定义先求出点到原点的距离，然后再根据，两点之间的位置关系即可求出点Q表示的数；根据绝对距离的定义先求出点到原点的距离，然后即可求出点Q表示的数； （2）由题意可知，动点表示的数为，动点表示的数为，当时，动点表示的数为，由可知动点表示的数在原点的右侧，然后分两种情况讨论：）当动点在原点的左侧时，）当动点在原点的右侧时，由分别得出关于的一元一次方程，解方程即可求出的值；由题意可知，分两种情况讨论：）当动点在原点的左侧时，）当动点在原点的右侧时，由分别得出与之间的关系式，根据的取值范围即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：到的绝对距离，点表示的数是， 点到原点的距离为， 点到原点的距离为：， 又点在点的左边， 点表示的数是， 故答案为：； 点表示的数是， 点到原点的距离为， ， 点到原点的距离为， 当点在原点左侧时，点表示的数为， 当点在原点右侧时，点表示的数为， 综上，点表示的数为或， 故答案为：或； （2）解：由题意可知，动点表示的数为，动点表示的数为， 当时，动点表示的数为， ， 动点表示的数在原点的右侧， 分两种情况讨论： ）当动点在原点的左侧时， 由可得： ， 解得：； ）当动点在原点的右侧时， 由可得： ， 解得：； 综上，或时，点到点的绝对距离， 故答案为：或； 由题意可知： ， 分两种情况讨论： ）当动点在原点的左侧时， 由可得： ， 整理，得：， ， ， ； ）当动点在原点的右侧时， 由可得： ， 整理，得：， ， ， ； 综上，的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了用数轴上的点表示有理数，数轴上两点之间的距离，列代数式，数轴上的动点问题，解一元一次方程，化简绝对值等知识点，弄清题意，深刻理解绝对距离的定义，同时运用数形结合思想并正确列式计算是解题的关键． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$