【嘉加数学】第13讲 一一元一次方程应用题 小升初衔接讲义2025-2026学年北师大版数学七年级上册.docx

第13讲 一元一次方程应用题 【课前热身】 1．（2024秋•城关区校级期末）已知关于的方程是一元一次方程，则 　　． 【解答】解：关于的方程是一元一次方程， 则， 解得， 故答案为：． 2．（2024秋•广水市期末）若是关于的方程的解，则代数式的值为　　 A．7 B．11 C．12 D．13 【解答】解：由条件可知，即， ， 故选：． 3．（2024秋•巨野县期末）解下列方程： （1）， 解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得； （2）， 解：由分数的基本性质变形为：， 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为1，得． 4．（2024秋•滑县期末）如果关于的两个方程与的解相同，求的值． 【解答】解：解方程得：， 把代入方程， 得：， 解得：． 【学习目标】 会用一元一次方程解决实际问题， 熟练找出等量关系并列出方程， 进一步提高分析问题和解决问题的能力。 【知识梳理】 1、一元一次方程解应用题的常考类型有：①盈亏问题；②方案问题；③分段计费；④配套问题；⑤工程问题；⑥经济问题等； 2、利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答。 3、列一元一次方程解应用题的五个步骤： （1）仔细审题，确定已知量和未知量； （2）设未知数（x）； （3）根据等量关系列出方程； （4）解方程，求得未知数的值； （5）检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句。 【典例精析】 【例1】盈亏： 1．（2024秋•新都区期末）《算法统宗》中给出：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏，有多少个牧童，多少个杏？若设共有个牧童，则依据题意可列方程为 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得，， 故选：． 2．（2025春•高青县期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折后去量竿，则绳索比竿短5尺．若设竿长为尺，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意得，， 故选：． 【变式训练】 1．（2024秋•驿城区期末）《九章算术》“盈不足”中有如下记载：今有共买琎jìn，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数和琎石的价格各是多少？设人数为，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据“每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱”可得：， 故选：． 2．（2024秋•恩平市期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有一道问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，若每4人共乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有个人，则可列方程　　 A． B． C． D． 【解答】解：设共有人乘车， 依题意得，， 故选：． 3．（2025春•烟台期末）随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利，外卖行业已深深融入人们的日常生活．一外卖骑手在送餐的过程中，需要在规定时间内将餐送到目的地，若骑手每分钟骑行，则早到3分钟；若骑手每分钟骑行，则要迟到2分钟，试求出骑手将餐送到目的地的规定时间以及骑手所行驶的总路程． 【解答】解：设骑手将餐送到目的地的规定时间为分钟， 根据题意得：， 解得：， ． 答：骑手将餐送到目的地的规定时间为23分钟，骑手所行驶的总路程为． 【例2】方案： 1．（2024秋•成都期末）购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用（购买空调费用使用空调的电费费用）较低．（根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起）． 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价元 平均每年耗电量 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 （1）设空调的使用年限数为（单位：年），求1级和3级能效空调的综合费用（单位：元）； （2）求使用年限是多少年时，两款空调的综合费用相同； （3）通过列式并计算说明哪一款空调的综合费用较低． 【解答】解：（1）（元， （元． 答：1级能效空调的综合费用为元，3级能效空调的综合费用元． （2）根据题意，得， 解得． 答：使用年限是5年时，两款空调的综合费用相同． （3）当时，解得； 当时，解得， ， ． 答：当时，2级能效的空调综合费用较低；当时，1级能效和2级能效的空调综合费用相等；当时，1级能效的空调综合费用较低． 【变式训练】 1．（2024秋•青羊区校级期末）西双版纳是一个充满热带风情的地方，气候温暖湿润，四季花开不断．丰富的植物种类为蜜蜂提供了丰富多样的蜜源，使得西双版纳的蜂蜜具有独特的风味．为了将新鲜蜂蜜运送到市场销售，需要使用专门的冷藏货车进行运输．现有两种型号的冷藏车，型和型，用于运输蜂蜜到甲市．请根据以下材料完成学习任务： 材料一：型车的平均速度为80千米小时，型车的平均速度为100千米小时．从西双版纳到甲市，型车比型车少用1.5小时． 材料二：已知型车每辆可装载6吨蜂蜜，型车每辆可装载5吨蜂蜜．如果单独租用型车，则恰好装完所有蜂蜜；若单独租用相同数量的型车，则差8吨蜂蜜才能装载满． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷藏车运完蜂蜜从西双版纳到甲市的相关数据如表所示： 路费单价 冷柜使用单价 5元（千米辆） 型冷柜车 型冷柜车 16元（小时辆） 18元（小时辆） （1）求型车从西双版纳到甲市用了多少小时？ （2）求这批蜂蜜共有多少吨？ （3）本次蜂蜜从西双版纳到甲市的运输，应如何选择、型车，使得总费用最少？最少的总费用是多少元？ 【解答】解：（1）设型车从西双版纳到甲市用了小时，则型车从西双版纳到甲市用了小时， 根据题意得：， 解得：． 答：型车从西双版纳到甲市用了7.5小时； （2）设这批蜂蜜共有吨， 根据题意得：， 解得：． 答：这批蜂蜜共有40吨； （3）根据题意得：西双版纳到甲市的路程为（千米）， 单独租用型车需租用（辆， 单独租用型车需租用（辆（吨，（辆． 选择型车所需总费用为（元； 选择型车所需总费用为（元． ， 应选择型车，使得总费用最少，最少的总费用是3840元． 【例3】分段： 1．（2024秋•成都期末）某市为倡导广大市民以实际行动节约用电，中国电网供电公司采用居民生活用电阶梯式计费方式．如两表分别是该市“一户一表”生活用电阶梯式计费价格表以及该市小明家7，8月的用电情况． 生活用电阶梯式计费价格表 每户每月用电量 电价（元千瓦时） 不超过180千瓦时 180千瓦时至280千瓦部分 超过280千瓦部分的部分 0.82 小明家7，8月用电情况 用电量（千瓦时） 电费（元 7月 180 93.6 8月 260 143.2 （1）求，的值； （2）如果小明家9月应交电费是172元，则小明家这个月用电量是多少千瓦时？ （3）小明家10月份忘记了去交电费，当他11月份去交电费时发现两个月一共用电400千瓦时，其中10月份用电超过180千瓦时，一共交电费213元，那么小明家11月份用电多少千瓦时？ 【解答】解：（1）根据题意得：，， 解得：，． 答：的值为0.52，的值为0.62； （2）设小明家这个月用电量是千瓦时， （元，， ． 根据题意得：， 解得：． 答：小明家这个月用电量是300千瓦时； （3）设小明家11月份用电千瓦时，则10月份用电千瓦时， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）； 当时，， 解得：； 当时，，不符合题意，舍去． 答：小明家11月份用电170千瓦时． 2．（2024秋•成都期末）2024年，成都全市新增注册登记新能源汽车10万辆以上，新增充电桩不低于4万个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费3元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费2元． （1）若小石在该充电桩充电2.5小时，需支付费用多少元？ （2）若小石在该充电桩充电小时，需支付费用 　　元（用含有的代数式表示）． （3）小石每周在该充电桩充电一次，某月，小石第一周和第二周在该充电桩连续充电共10小时（第一周充电时长超过第二周），共支付充电费用27元，则小石第一周和第二周各充电多少小时？ 【解答】解：（1）（元． 答：需支付费用7.5元． （2）当时，需支付费用（元． 故答案为：． （3）设第一周充电小时，则第二周充电小时． 根据题意，得， 解得． 当时，即当时，，无解； 当时，即当时，，解得； （小时）． 答：小石第一周充电7小时，第二周充电3小时． 【变式训练】 1．（2024秋•成华区期末）某市三类打车方式的收费标准见下表（路程按整千米计算） 类 类 类 3千米及以内：8元 以路程计：1.5元千米 以路程计：1.8元千米 超过3千米的部分：2.6元千米 以时间计：0.6元分钟 以时间计：0.5元分钟 例如：假设打车的平均车速为40千米时，乘坐8千米，耗时（分，则类打车方式的收费为（元；类打车方式的收费为（元；类打车方式的收费为（元． （1）小李打车从家去某公园，全程10千米，打车的平均车速为40千米时．如果小李使用类打车方式，那么需要支付的打车费用为多少元？ （2）小刚乘车从甲地去乙地，打车的平均车速为40千米时，使用类打车方式比使用类打车方式节省了10元，求甲乙两地之间的距离． （3）小王需乘车到市参加课外拓展活动，若打车的平均车速为40千米时，路程为60千米，小王选择哪类打车方式更划算？ 【解答】解：（1）小李打车的平均车速为40千米时，全程10千米，耗时（分， 类打车方式的收费为（元， 答：小李使用类打车方式，需要支付的打车费用为24元； （2）设甲乙两地之间的距离为千米，则耗时：， 由题意得：，解得：， 答：甲乙两地之间的距离为49千米； （3）打车的平均车速为40千米时，乘坐60千米，耗时（分， 则类打车方式的收费为（元； 类打车方式的收费为（元； 类打车方式的收费为（元． ， 选择类打车分式更合算． 2．（2024秋•温江区校级期末）在“五育并举”的重要理念下，体育至关重要．为此，我校将开展“体育专项选修”课程，并需要购进一批体育用品．已知某体育用品商店中足球和篮球的进价分别为每个60元和每个50元． （1）若该商店一共进购足球和篮球共50个，花费2800元，求进购足球、篮球各多少个？ （2）临近春节，该商店进行如下的优惠促销活动： 优惠前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元，但不超过500元的部分 九折优惠 超过500元的部分 八折优惠 我校在该商店购买体育用品实际付款560元，若没有优惠促销，在该商店购买同样的体育用品要付多少元？ 【解答】解：（1）设购进个足球，则购进个篮球， 根据题意得：， 解得：， （个． 答：购进30个足球，20个篮球； （2）设若没有优惠促销，在该商店购买同样的体育用品要付元， 根据题意得：， 解得：．答：若没有优惠促销，在该商店购买同样的体育用品要付600元． 【例4】配套： 1．（2025春•隆昌市校级期末）某车间有30名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片240片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意，得． 故选：． 2．（2024秋•崆峒区期末）在手工制作课上，老师组织七年级（1）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年（1）班共有55名学生，每名学生每小时可以剪筒身50个或剪筒底120个，要求1个筒身配2个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【解答】解：设分配名学生剪筒身，则分配名学生剪筒底， 根据题意得：， 解得：， （名． 答：应该分配30名学生剪筒身，25名学生剪筒底． 【变式训练】 1．（2024秋•海珠区校级期末）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件正好配套，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件全部配套，那么应该安排多少天生产甲种零件，安排多少天生产乙种零件？ 【解答】解：设应该安排天生产甲种零件，则安排天生产乙种零件， 根据题意可得： ， 解得：， 则（天， 答：应该安排6天生产甲种零件，则安排15天生产乙种零件． 2．（2024秋•湛江校级期末）某手工编织厂40名工人在编织一批手工花束．平均每人每天可编织18束铃兰或12束康乃馨．每束手捧花需要5束铃兰和2束康乃馨．该车间每天安排多少工人编织铃兰，才能使每天编织的铃兰和康乃馨刚好配套？ 【解答】解：设安排名工人编织铃兰，则安排名工人编织康乃馨， 根据题意，得， 解方程，得． 答：该车间每天安排25名工人编织铃兰，才能使每天编织的铃兰和康乃馨刚好配套． 【例5】工程： 1．（2025春•天山区校级期末）公司开发了两款模型，分别为模型和模型．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理一批数据，模型工作了3小时，模型工作了5小时，一共处理了数据．已知模型每小时处理的数据量比模型少，问模型和模型每小时分别处理多少的数据？ 【解答】解：设模型每小时处理 的数据，则模型每小时处理的数据， 根据题意得：， 解得：， ． 答：模型每小时处理的数据，模型每小时处理的数据． 2．（2024秋•夷陵区期末）某自来水公司为保障居民供水及道路安全，经排查，决定改造丹阳路一段面临老化的地下管线．此改造工程若由甲工程队单独完成需要16天，由乙工程队单独完成需要24天．计划由甲，乙两队一起合作完成此工程，但在实际工作中，甲队全程参与，乙队因工作调动中途离开了6天，问此工程一共用了多少天？ 【解答】解：设这项工程一共用了天，由题意得， ， 解得， 这项工程一共用了12天． 【变式训练】 1．（2024秋•锡林郭勒盟期末）整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 【解答】解：设应先安排人工作， 根据题意得： 化简可得：， 即： 解可得： 答：应先安排2人工作． 2．（2025春•万州区校级期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． （1）求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． （2）若甲工程队先单独挖据若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 【解答】解：（1）设乙工程队每天可挖掘隧道米，根据题意得： ． 解得． ． 答：甲工程队每天可挖掘隧道30米，乙工程队每天可挖掘隧道20米． （2）设甲工程队单独挖掘天，则乙工程队挖掘天，即天． 由题意得，． 解得． 答：甲工程队单独挖掘8天． 【例6】经济： 1．（2024秋•青羊区期末）某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为400元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利，则该服装的进价是　　 A．160元 B．180元 C．200元 D．220元 【解答】解：设这件服装每件的进价为元，依题意有， ， 解得． 答：该服装每件的进价为200元． 故选：． 2．（2024秋•青白江区期末）一件上衣先按成本提高标价，再以8折出售，结果获利24元，若设这件上衣的成本价是元，根据题意，可得到的方程是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可得， 故选：． 3．（2024秋•汾阳市期末）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为多少元？ 【解答】解：设该商品的原售价为元， 根据题意得， 解得， 则该商品的原售价为300元． 4．（2024秋•成都期末）某水果超市销售沃柑和纽荷尔两种柑橘类水果，该超市第一次用6300元购进沃柑和纽荷尔两种水果，其中纽荷尔的件数比沃柑件数的一半还多25件．沃柑和纽荷尔两种水果的进价和售价如表： 类别 沃柑 纽荷尔 进价（元件） 22 30 售价（元件） 29 40 （1）该超市购进沃柑和纽荷尔两种水果各多少件？ （2）该超市第二次购进沃柑和纽荷尔两种水果的进价与第一次相同，其中沃柑的件数不变，纽荷尔的件数是第一次的3倍，沃柑按原价销售，纽荷尔打折销售，第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次纽荷尔是按原价打几折销售的？ 【解答】解：（1）设该超市购进沃柑件，则购进纽荷尔件， 根据题意得：， 解得：， （件． 答：该超市购进沃柑150件，纽荷尔100件； （2）设第二次纽荷尔是按原价打折销售的， 根据题意得：， 解得：． 答：第二次纽荷尔是按原价打九折销售的． 【变式训练】 1．（2024秋•无为市期末）一件夹克衫先按成本提高标价，再以8折（标价的出售，结果获利20元，若设这件夹克衫的成本是元，根据题意，可得到的方程是　　 A． B． C． D． 【解答】解：设这件夹克衫的成本是元，由题意得 也就是． 故选：． 2．（2025春•淄博期末）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为元，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意得：． 故选：． 3．（2025春•博山区期末）某商场采购甲、乙两种篮球，采购40个甲种篮球和30个乙种篮球共需要5550元，其中甲、乙两种篮球的进价和售价如表： 甲种篮球 乙种篮球 进价（元个） 售价（元个） 100 75 （1）求表中的值； （2）第二次商场采购了35个甲种篮球和45个乙种篮球，由于两种篮球进价都比上次优惠了，商场准备对甲种篮球进行打折出售，让利于顾客，乙种篮球价格不变，全部售完后总利润为1665元，求甲种篮球打了几折？ 【解答】解：（1）根据题意列一元一次方程得，， 解得； （2）由（1）得． 第二次采购甲、乙两种篮球共花费（元． 设甲种篮球打了折， 则两种篮球共卖出元． 根据题意，得， 整理得，， 解得． 答：甲种篮球打了九折． 4．（2024秋•武侯区期末）某商店销售、两种商品，其中种商品每件的进价为50元，售价为70元；种商品每件的售价为90元，利润率为． （1）填空：种商品每件的利润为 　20　元，种商品每件的进价为 　　元； （2）若该商店同时购进、两种商品共100件，总进价为5400元． 商店购进、两种商品各多少件？ 商店计划开展“迎新春，购年货”促销活动，其中种商品打9折，种商品打折，若销售完、两种商品，种商品的总利润比种商品的总利润多300元，求的值． 【解答】解：（1）根据题意得：种商品每件的利润为（元； 种商品每件的进价为（元． 故答案为：20，60； （2）设商店购进件种商品，则购进件种商品， 根据题意得：， 解得：， （件． 答：商店购进60件种商品，40件种商品； 根据题意得：， 解得：． 答：的值为8． 【过关精练】 1．（2025春•宝山区校级期末）一件商品，先以盈利的价格作为定价，后因季节原因又打对折出售，此时这件商品亏损了48元，求这件商品的进价． 【解答】解：设这件商品的进价是元，则定价为元，实际售价为， 由题意得：， 解得：， 答：这件商品的进价是240元． 2．（2025春•二道区期末）整理一批图书，由1人整理需要完成，现计划由一部分人先整理，然后增加2人与他们一起整理，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 【解答】解：总工作量设为1，设先安排人整理， 依题意得：， 解得：． 答：应先安排2人进行整理． 3．（2024秋•肥乡区期末）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个种零件和5个种零件正好配套．已知车间每天能生产种零件450个或种零件300个，现在要使在21天中所生产的零件全部配套，那么应安排多少天生产种零件，多少天生产种零件？ 【解答】解：设应该安排天生产种零件，则安排天生产种零件， 根据题意可得： ， 解得：， 则（天， 答：应该安排6天生产种零件，安排15天生产种零件． 4．（2024秋•苏州期末）某市对居民生活用水实行阶梯水价，每年收费标准如表： 阶梯 家庭每年用水量 水价（元立方米） 第一阶梯 不超过立方米的部分 第二阶梯 超过立方米但不超过300立方米的部分 4.4 第三阶梯 超过300立方米的部分 7.1 已知小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元；小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费844.4元． （1）填空： 　3.4　， 　　； （2）2024年小慧家共交水费1246元，求小慧家2024年的用水量． 【解答】解：（1）小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元， ， 解得， 第一阶梯的水价为3.4元立方米， 小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费844.4元， ， 解得， 故答案为：3.4，216． （2）设小慧家2024年的用水量为立方米， （元， 用水300立方米时，水费为1104元， 年小慧家共交水费1246元，且1246元元， 小慧家2024年的用水量超过300立方米， 根据题意得， 解得， 答：小慧家2024年的用水量为320立方米． 5．（2024秋•白云区期末）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： （1）求小明原计划购买文具袋多少个？ （2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ 【解答】解：（1）设小明原计划购买文具袋个，则实际购买了个， 由题意得：． 解得：； 答：小明原计划购买文具袋17个； （2）设小明可购买钢笔支，则购买签字笔支， 由题意得：， 解得：， 则：． 答：小明购买了钢笔20支，签字笔30支． 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 各位老师，小升初衔接讲义到本讲就结束了，主要覆盖了“丰富的图形世界”、“有理数及其运算”、“整式及其加减”、“基本平面图形”和“一元一次方程”等内容，选题有一定的难度，每一讲的内容偏多，主要是为了照顾优生使用，老师们在使用的时候要提前一定要先熟悉内容，再根据自己的实际情况做适当的删减，后期的教材我们会不断完善，争取做到拿来就可以用。 第13讲 一元一次方程应用题 【课前热身】 1．（2024秋•城关区校级期末）已知关于的方程是一元一次方程，则 　　． 2．（2024秋•广水市期末）若是关于的方程的解，则代数式的值为　　 A．7 B．11 C．12 D．13 3．（2024秋•巨野县期末）解下列方程： （1）． （2）． 4．（2024秋•滑县期末）如果关于的两个方程与的解相同，求的值． 【学习目标】 会用一元一次方程解决实际问题， 熟练找出等量关系并列出方程， 进一步提高分析问题和解决问题的能力。 【知识梳理】 1、一元一次方程解应用题的常考类型有：①盈亏问题；②方案问题；③分段计费；④配套问题；⑤工程问题；⑥经济问题等； 2、利用方程解决实际问题的基本思路如下：首先审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x，然后用含x的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程、求解、作答，即设、列、解、答。 3、列一元一次方程解应用题的五个步骤： （1）仔细审题，确定已知量和未知量； （2）设未知数（x）； （3）根据等量关系列出方程； （4）解方程，求得未知数的值； （5）检验未知数的值是否正确，是否符合题意，完整地写出答句。 【典例精析】 【例1】盈亏： 1．（2024秋•新都区期末）《算法统宗》中给出：牧童分杏各争竞，不知人数不知杏．三人五个多十枚，四人八枚两个剩．问：有几个牧童几个杏？题目大意：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若3人一组，每组5个杏，则多10个杏；若4人一组，每组8个杏，则多2个杏，有多少个牧童，多少个杏？若设共有个牧童，则依据题意可列方程为　　 A． B． C． D． 2．（2025春•高青县期末）我国古代数学名著《算法统宗》中有一个数学问题，其大意是：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；若将绳索对折后去量竿，则绳索比竿短5尺．若设竿长为尺，则可列方程为　　 A． B． C． D． 【变式训练】 1．（2024秋•驿城区期末）《九章算术》“盈不足”中有如下记载：今有共买琎jìn，人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何？译文：今有人合伙买琎石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数和琎石的价格各是多少？设人数为，则可列方程为 A． B． C． D． 2．（2024秋•恩平市期末）中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有一道问题：今有四人共车，一车空；二人共车，八人步，问人与车各几何？这道题的意思是：今有若干人乘车，若每4人共乘一车，最终剩余1辆车，若每2人共乘一车，最终剩余8个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？设有个人，则可列方程　　 A． B． C． D． 3．（2025春•烟台期末）随着互联网的发展，外卖经济影响着大家的生活方式，穿梭在大街小巷的骑手给我们的生活带来了便利，外卖行业已深深融入人们的日常生活．一外卖骑手在送餐的过程中，需要在规定时间内将餐送到目的地，若骑手每分钟骑行，则早到3分钟；若骑手每分钟骑行，则要迟到2分钟，试求出骑手将餐送到目的地的规定时间以及骑手所行驶的总路程． 【例2】方案： 1．（2024秋•成都期末）购买空调时，需要综合考虑空调的价格和耗电情况．某人打算从当年生产的两款空调中选购一台，下表是这两款空调的部分基本信息．如果电价是0.5元，请你分析他购买、使用哪款空调综合费用（购买空调费用使用空调的电费费用）较低．（根据相关行业标准，空调的安全使用年限是10年（从生产日期计起）． 两款空调的部分基本信息 匹数 能效等级 售价元 平均每年耗电量 1.5 1级 3000 640 1.5 3级 2600 800 （1）设空调的使用年限数为（单位：年），求1级和3级能效空调的综合费用（单位：元）； （2）求使用年限是多少年时，两款空调的综合费用相同； （3）通过列式并计算说明哪一款空调的综合费用较低． 【变式训练】 1．（2024秋•青羊区校级期末）西双版纳是一个充满热带风情的地方，气候温暖湿润，四季花开不断．丰富的植物种类为蜜蜂提供了丰富多样的蜜源，使得西双版纳的蜂蜜具有独特的风味．为了将新鲜蜂蜜运送到市场销售，需要使用专门的冷藏货车进行运输．现有两种型号的冷藏车，型和型，用于运输蜂蜜到甲市．请根据以下材料完成学习任务： 材料一：型车的平均速度为80千米小时，型车的平均速度为100千米小时．从西双版纳到甲市，型车比型车少用1.5小时． 材料二：已知型车每辆可装载6吨蜂蜜，型车每辆可装载5吨蜂蜜．如果单独租用型车，则恰好装完所有蜂蜜；若单独租用相同数量的型车，则差8吨蜂蜜才能装载满． 材料三：在材料一与材料二的条件下，冷藏车运完蜂蜜从西双版纳到甲市的相关数据如表所示： 路费单价 冷柜使用单价 5元（千米辆） 型冷柜车 型冷柜车 16元（小时辆） 18元（小时辆） （1）求型车从西双版纳到甲市用了多少小时？ （2）求这批蜂蜜共有多少吨？ （3）本次蜂蜜从西双版纳到甲市的运输，应如何选择、型车，使得总费用最少？最少的总费用是多少元？ 【例3】分段： 1．（2024秋•成都期末）某市为倡导广大市民以实际行动节约用电，中国电网供电公司采用居民生活用电阶梯式计费方式．如两表分别是该市“一户一表”生活用电阶梯式计费价格表以及该市小明家7，8月的用电情况． 生活用电阶梯式计费价格表 每户每月用电量 电价（元千瓦时） 不超过180千瓦时 180千瓦时至280千瓦部分 超过280千瓦部分的部分 0.82 小明家7，8月用电情况 用电量（千瓦时） 电费（元 7月 180 93.6 8月 260 143.2 （1）求，的值； （2）如果小明家9月应交电费是172元，则小明家这个月用电量是多少千瓦时？ （3）小明家10月份忘记了去交电费，当他11月份去交电费时发现两个月一共用电400千瓦时，其中10月份用电超过180千瓦时，一共交电费213元，那么小明家11月份用电多少千瓦时？ 2．（2024秋•成都期末）2024年，成都全市新增注册登记新能源汽车10万辆以上，新增充电桩不低于4万个，某充电桩收费标准如下：充电时长小时（含4小时）每小时收费3元，充电时长超过4小时，超过部分每小时收费2元． （1）若小石在该充电桩充电2.5小时，需支付费用多少元？ （2）若小石在该充电桩充电小时，需支付费用 　　元（用含有的代数式表示）． （3）小石每周在该充电桩充电一次，某月，小石第一周和第二周在该充电桩连续充电共10小时（第一周充电时长超过第二周），共支付充电费用27元，则小石第一周和第二周各充电多少小时？ 【变式训练】 1．（2024秋•成华区期末）某市三类打车方式的收费标准见下表（路程按整千米计算） 类 类 类 3千米及以内：8元 以路程计：1.5元千米 以路程计：1.8元千米 超过3千米的部分：2.6元千米 以时间计：0.6元分钟 以时间计：0.5元分钟 例如：假设打车的平均车速为40千米时，乘坐8千米，耗时（分，则类打车方式的收费为（元；类打车方式的收费为（元；类打车方式的收费为（元． （1）小李打车从家去某公园，全程10千米，打车的平均车速为40千米时．如果小李使用类打车方式，那么需要支付的打车费用为多少元？ （2）小刚乘车从甲地去乙地，打车的平均车速为40千米时，使用类打车方式比使用类打车方式节省了10元，求甲乙两地之间的距离． （3）小王需乘车到市参加课外拓展活动，若打车的平均车速为40千米时，路程为60千米，小王选择哪类打车方式更划算？ 2．（2024秋•温江区校级期末）在“五育并举”的重要理念下，体育至关重要．为此，我校将开展“体育专项选修”课程，并需要购进一批体育用品．已知某体育用品商店中足球和篮球的进价分别为每个60元和每个50元． （1）若该商店一共进购足球和篮球共50个，花费2800元，求进购足球、篮球各多少个？ （2）临近春节，该商店进行如下的优惠促销活动： 优惠前一次性购物总金额 优惠措施 不超过300元 不优惠 超过300元，但不超过500元的部分 九折优惠 超过500元的部分 八折优惠 我校在该商店购买体育用品实际付款560元，若没有优惠促销，在该商店购买同样的体育用品要付多少元？ 【例4】配套： 1．（2025春•隆昌市校级期末）某车间有30名工人生产太阳镜，1名工人每天可生产镜片240片或镜架60个．两个镜片和一个镜架配套，应如何分配工人生产镜片和镜架，才能使产品配套？设安排名工人生产镜片，则可列方程为　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•崆峒区期末）在手工制作课上，老师组织七年级（1）班的学生用硬纸制作圆柱形茶叶筒．七年（1）班共有55名学生，每名学生每小时可以剪筒身50个或剪筒底120个，要求1个筒身配2个筒底，为了使每小时剪出的筒身与筒底恰好配套，应该分配多少名学生剪筒身，多少名学生剪筒底？ 【变式训练】 1．（2024秋•海珠区校级期末）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个甲种零件和5个乙种零件正好配套，已知车间每天能生产甲种零件450个或乙种零件300个，现要在21天中使所生产的零件全部配套，那么应该安排多少天生产甲种零件，安排多少天生产乙种零件？ 2．（2024秋•湛江校级期末）某手工编织厂40名工人在编织一批手工花束．平均每人每天可编织18束铃兰或12束康乃馨．每束手捧花需要5束铃兰和2束康乃馨．该车间每天安排多少工人编织铃兰，才能使每天编织的铃兰和康乃馨刚好配套？ 【例5】工程： 1．（2025春•天山区校级期末）公司开发了两款模型，分别为模型和模型．由于工作需要，公司同时使用这两款模型处理一批数据，模型工作了3小时，模型工作了5小时，一共处理了数据．已知模型每小时处理的数据量比模型少，问模型和模型每小时分别处理多少的数据？ 2．（2024秋•夷陵区期末）某自来水公司为保障居民供水及道路安全，经排查，决定改造丹阳路一段面临老化的地下管线．此改造工程若由甲工程队单独完成需要16天，由乙工程队单独完成需要24天．计划由甲，乙两队一起合作完成此工程，但在实际工作中，甲队全程参与，乙队因工作调动中途离开了6天，问此工程一共用了多少天？ 【变式训练】 1．（2024秋•锡林郭勒盟期末）整理一批图书，由一个人做要40小时完成．现计划由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？ 2．（2025春•万州区校级期末）甲、乙两工程队承接某段隧道挖掘工程，已知该段隧道长度为600米，甲工程队每天挖掘的长度是乙工程队每天挖掘长度的1.5倍，甲、乙两工程队合作4天完成该工程的． （1）求甲、乙两个工程队每天分别可挖掘隧道多少米． （2）若甲工程队先单独挖据若干天后，剩下的工程再由乙工程队单独完成，总费用刚好94万元．已知甲工程队每天的挖掘费用为5万元，乙工程队每天的挖掘费用为3万元，求甲工程队单独挖掘的天数． 【例6】经济： 1．（2024秋•青羊区期末）某商场购进一批服装，每件服装销售的标价为400元，由于换季滞销，商场决定将这种服装按标价的六折销售，若打折后每件服装仍能获利，则该服装的进价是　　 A．160元 B．180元 C．200元 D．220元 2．（2024秋•青白江区期末）一件上衣先按成本提高标价，再以8折出售，结果获利24元，若设这件上衣的成本价是元，根据题意，可得到的方程是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•汾阳市期末）由于换季，商场准备对某商品打折出售，如果按原售价的七五折出售，将亏损25元，而按原售价的九折出售，将盈利20元，则该商品的原售价为多少元？ 4．（2024秋•成都期末）某水果超市销售沃柑和纽荷尔两种柑橘类水果，该超市第一次用6300元购进沃柑和纽荷尔两种水果，其中纽荷尔的件数比沃柑件数的一半还多25件．沃柑和纽荷尔两种水果的进价和售价如表： 类别 沃柑 纽荷尔 进价（元件） 22 30 售价（元件） 29 40 （1）该超市购进沃柑和纽荷尔两种水果各多少件？ （2）该超市第二次购进沃柑和纽荷尔两种水果的进价与第一次相同，其中沃柑的件数不变，纽荷尔的件数是第一次的3倍，沃柑按原价销售，纽荷尔打折销售，第二次购进的两种水果都销售完所获得的总利润比第一次获得的总利润多800元，求第二次纽荷尔是按原价打几折销售的？ 【变式训练】 1．（2024秋•无为市期末）一件夹克衫先按成本提高标价，再以8折（标价的出售，结果获利20元，若设这件夹克衫的成本是元，根据题意，可得到的方程是　　 A． B． C． D． 2．（2025春•淄博期末）学校准备添置一批课桌椅，原订购60套，每套100元．店方表示：如果多购，可以优惠．结果校方购了72套，每套减价3元，但商店获得同样多的利润．求每套课桌椅的成本．设每套课桌椅的成本为元，则可列方程为　　 A． B． C． D． 3．（2025春•博山区期末）某商场采购甲、乙两种篮球，采购40个甲种篮球和30个乙种篮球共需要5550元，其中甲、乙两种篮球的进价和售价如表： 甲种篮球 乙种篮球 进价（元个） 售价（元个） 100 75 （1）求表中的值； （2）第二次商场采购了35个甲种篮球和45个乙种篮球，由于两种篮球进价都比上次优惠了，商场准备对甲种篮球进行打折出售，让利于顾客，乙种篮球价格不变，全部售完后总利润为1665元，求甲种篮球打了几折？ 4．（2024秋•武侯区期末）某商店销售、两种商品，其中种商品每件的进价为50元，售价为70元；种商品每件的售价为90元，利润率为． （1）填空：种商品每件的利润为 　　元，种商品每件的进价为 　　元； （2）若该商店同时购进、两种商品共100件，总进价为5400元． 商店购进、两种商品各多少件？ 商店计划开展“迎新春，购年货”促销活动，其中种商品打9折，种商品打折，若销售完、两种商品，种商品的总利润比种商品的总利润多300元，求的值． 【过关精练】 1．（2025春•宝山区校级期末）一件商品，先以盈利的价格作为定价，后因季节原因又打对折出售，此时这件商品亏损了48元，求这件商品的进价． 2．（2025春•二道区期末）整理一批图书，由1人整理需要完成，现计划由一部分人先整理，然后增加2人与他们一起整理，完成这项工作．假设这些人的工作效率相同，应先安排多少人进行整理？ 3．（2024秋•肥乡区期末）某工厂计划生产一种新型豆浆机，每台豆浆机需3个种零件和5个种零件正好配套．已知车间每天能生产种零件450个或种零件300个，现在要使在21天中所生产的零件全部配套，那么应安排多少天生产种零件，多少天生产种零件？ 4．（2024秋•苏州期末）某市对居民生活用水实行阶梯水价，每年收费标准如表： 阶梯 家庭每年用水量 水价（元立方米） 第一阶梯 不超过立方米的部分 第二阶梯 超过立方米但不超过300立方米的部分 4.4 第三阶梯 超过300立方米的部分 7.1 已知小明家2024年共用水190立方米，处于第一阶梯，共交水费646元；小丽家2024年共用水241立方米，处于第二阶梯，共交水费844.4元． （1）填空： 　　， 　　； （2）2024年小慧家共交水费1246元，求小慧家2024年的用水量． 5．（2024秋•白云区期末）某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题： （1）求小明原计划购买文具袋多少个？ （2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？ 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $$