第八章 实数 期末知识清单 期末复习高频考点核心知识清单-七年级数学新教材人教版

第八章 实数 期末知识清单 一、核心知识总结（必背・期末重点） 1. 平方根与算术平方根 （1）基本定义 ①平方根：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根（二次方根），记作（）。 ②算术平方根：正数的正的平方根叫做的算术平方根，记作（）；规定的算术平方根是。 （2）核心性质 ①正数：有两个平方根，它们互为相反数；算术平方根仅有一个，且为正数。 ②：平方根和算术平方根均为。 ③负数：没有平方根和算术平方根。 ④双重非负性：算术平方根满足且，是解题核心隐含条件。 2. 立方根 （1）基本定义 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根（三次方根），记作，符号为根指数，不可省略。 （2）核心性质 ①任意实数都有且只有一个立方根。 ②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是。 ③重要公式：，可实现负被开方数的转化。 3. 平方根、算术平方根、立方根对比表 知识点 表示符号 被开方数取值范围 根的个数 记忆口诀 平方根 正数2 个，0为1个，负数无 正数两根互为反，负数开方没答案 算术平方根 非负数仅有1 个（非负） 算术根只取正，双重非负要记清 立方根 为全体实数 任意实数都有 1 个 立方开方无限制，符号跟着被开方数 4. 估算（无理数估值） ①核心思路：找到被开方数相邻的两个完全平方数 / 完全立方数，确定无理数所在的整数区间。 ②进阶方法：利用整数部分、小数部分拆分求值（若，为整数，则整数部分为，小数部分为）。 ③应用：比较实数大小、数轴定位无理数。 5. 实数的概念与分类 （1）实数定义：有理数和无理数统称为实数。 有理数：整数和分数的统称，包含有限小数、无限循环小数。 无理数：无限不循环小数。 （2）无理数常见类型 开方开不尽的数：如、、； 含的数：如、； 特定结构无限不循环小数：如（相邻两个之间的个数逐次加 1）。 （3）实数两种分类方式 按定义分： 按正负性分： 6. 实数的性质与运算 （1）实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应，数轴上任意一点都对应一个实数，任意一个实数都能在数轴上找到对应点。 （2）实数的基本关联概念 相反数：实数的相反数是，； 绝对值：，几何意义为数轴上点到原点的距离； 倒数：非零实数的倒数为，（）。 （3）实数运算规则 运算范围：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内全部适用； 基础运算：可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算； 大小比较：正数负数；两个正数，被开方数越大，算术平方根越大；两个负数，绝对值大的数反而小。 7. 期末复习总结归纳（考前速记卡） ①根式速记：平方根正负两个，算术根只取正数，立方根正负都行。 ②无理数判断：无限不循环，三类特征记牢固（开不尽、含、特殊结构）。 ③对应关系：实数数轴一一对应，数轴问题可转化为实数问题。 ④估算技巧：夹逼法定整数区间，整数部分直接取，小数部分作减法。 ⑤避坑红线： 区分 “平方根” 与 “算术平方根”，看清题干要求，勿漏正负号； 负数没有平方根，但一定有立方根； 化简含根号数后再判断是否为无理数（如是有理数）； 算术平方根的双重非负性是隐含条件，求值题型高频考查。 二、高频考点 + 典例 考点 1：算术平方根、平方根、立方根概念辨析（基础选择必考） 典例 1下列说法正确的是（     ） A．4的算术平方根是2 B．-9的算术平方根是3 C．0.8的立方根是0.2 D．是的一个平方根 典例 2已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或-4 C．-2或4 D．-4 考点 2：利用根式性质求值（计算、解答高频题） 典例 1若a，b满足，则的值是（   ） A．-1 B．1 C．3 D．-3 典例 2已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4． (1)直接写出a，b，m的值； (2)求的平方根． 考点 3：立方根速算技巧（阅读理解新题型） 典例 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： 第一步   确定立方根的数位 ∵1000＜59319＜1000000， ∴， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步  确定立方根的个位上的数字 0~9十个整数的立方如下表． 数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察发现：0~9十个整数的立方的个位数字是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个，且无重无漏． ∵59319的个位数字是9，而 ∴能确定的个位数字是9； 第三步   确定立方根的十位上的数字 我们知道被开方数的小数点向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位．数字59319太大，为了便于确定十位数字，可以先将求的问题转化为求的问题，再移动小数点得的值． ∵ ∴ ∴ 经验证 根据以上材料，解答下列问题． (1)3375的立方根是一个___________位数，其立方根的个位数字是___________； (2)已知238328是整数x的立方，按照上述方法求x． 考点 4：无理数估算（选择、填空必考） 典例 1估计的值在哪两个整数之间（     ） A．75和77 B．6和7 C．7和8 D．8和9 典例 2阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用-2来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x=2，， 其中x就是的整数部分，y就是的小数部分． 材料二：已知m，n是有理数，且满足等式，则可求出m，n的值． 求解过程如下： ∵， ∴ ∵m，n是有理数， ∴2=3n-m，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)已知，其中a是整数，且0＜b＜1，求a，b的值； (2)已知x，y是有理数，且满足等式，求x+y的值． 考点 5：实数的概念辨析（无理数判断） 典例 在实数，0，，，，π中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 考点 6：实数与数轴综合应用 典例 如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B．-1+π C．-π D．-1-π 考点 7：实数的运算与大小比较（计算大题） 典例 1 比较7______（填＞、＜或＝） 典例 2 计算： 考点 8：作差法比较实数 / 代数式大小（拓展探究题） 典例 【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个代数式的大小．解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，其依据是不等式（或等式）的性质；若，则；若，则；若，则． 例：已知,，其中．求证：． 证明：． ∵m≠0，∴，∴． 【尝试应用】 （1）两个长方形的长和宽如图所示，请比较图中两个长方形周长的大小． 【拓展提升】 （2）已知x、y、z满足，，试比较代数式3y与6x的大小． 三、期末高频易错点 易错点 1：混淆平方根与算术平方根（高频基础错误） • 典例：求的平方根 • 错解： • 正解：的平方根为 • 原因：审题不清，题干要求 “平方根” 需写正负两个值；若为 “算术平方根” 才只取正数。 易错点 2：认为负数有算术平方根 • 典例：判断 “的算术平方根是” 正误 • 错解：正确 • 正解：错误 • 原因：算术平方根的被开方数必须非负，负数没有平方根和算术平方根。 易错点 3：判断无理数时不化简根式 • 典例：判断是否为无理数 • 错解：是无理数（带有根号即为无理数） • 正解：，是有理数 • 原因：无理数判定规则：先化简，再判断；开方开得尽的含根号数属于有理数。 易错点 4：估算区间判断失误 • 典例：估算的整数区间 • 错解：在 7 和 8 之间（计算颠倒） • 正解：，，故在7 和 8 之间 • 原因：对完全平方数记忆不熟练，夹逼法使用不规范。 易错点 5：忽略算术平方根的双重非负性 • 典例：已知，求 • 错解：随意取值，无法计算 • 正解：，和为 0 则两项均为 0，解得 • 原因：未掌握 “若干个非负数相加等于 0，则每一个非负数都为 0” 的核心结论。 易错点 6：立方根与平方根性质混淆 • 典例：判断 “的平方根和立方根都存在” 正误 • 错解：正确 • 正解：错误，没有平方根，立方根为 • 原因：记混性质：负数无平方根，但任意实数都有唯一立方根。 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第八章实数期末知识清单 一、 核心知识总结（必背·期末重点) 1.平方根与算术平方根 (1)基本定义 ①平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a,即x2=a,那么这个数x叫做a的平方根（二次方根)， 记作±√a(a≥0)。 ②算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作√a(a≥0)；规定0的算术平方根是0。 (2)核心性质 ①正数：有两个平方根，它们互为相反数；算术平方根仅有一个，且为正数。 ②0：平方根和算术平方根均为0。 ③负数：没有平方根和算术平方根。 ④双重非负性：算术平方根√a满足a≥0且Va≥0，是解题核心隐含条件。 2.立方根 (1)基本定义 一般地，如果一个数x的立方等于a,即x3=a,那么这个数x叫做a的立方根（三次方根)，记作a 符号3为根指数，不可省略。 （2)核心性质 ①任意实数都有且只有一个立方根。 ②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。 ③重要公式：二a=-a,可实现负被开方数的转化。 3.平方根、算术平方根、立方根对比表 知识点 表示符号 被开方数取值范围 根的个数 记忆口诀 平方根 tva a≥0 正数2个，0为1 正数两根互为反，负 个，负数无 数开方没答案 算术平方根 va a≥0 非负数仅有1个 算术根只取正，双重 (非负) 非负要记清 立方根 a a为全体实数 任意实数都有1个 立方开方无限制，符 号跟着被开方数 4.估算（无理数估值） ①核心思路：找到被开方数相邻的两个完全平方数/完全立方数，确定无理数所在的整数区间。 ②进阶方法：利用整数部分、小数部分拆分求值（若n<√a<n+1,n为整数，则整数部分为n,小数 部分为√a-n)。 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③应用：比较实数大小、数轴定位无理数。 5.实数的概念与分类 (1)实数定义：有理数和无理数统称为实数。 有理数：整数和分数的统称，包含有限小数、无限循环小数。 无理数：无限不循环小数。 (2)无理数常见类型 开方开不尽的数：如v2、√5、4： 含π的数：如π、π+1； 特定结构无限不循环小数：如0.5757757775…（相邻两个5之间7的个数逐次加1）。 (3)实数两种分类方式 按定义分：实数{ 有理数（整数、分数：有限无限循环小数） 无理数（无限不循环小数） 正实数（正有理数、正无理数） 按正负性分：实数{ 0 负实数（负有理数、负无理数） 6.实数的性质与运算 (1)实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应，数轴上任意一点都对应一个实数，任意一个实数都能在数轴上找到对应点。 (2)实数的基本关联概念 相反数：实数a的相反数是-a,a+(-a)=0; 色对值：1回-(n8二 ,几何意义为数轴上点到原点的距离： 倒数：非零实数a的倒数为后a·日=1(a≠0)。 (3)实数运算规则 运算范围：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内全部适用； 基础运算：可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算： 大小比较：正数>0>负数：两个正数，被开方数越大，算术平方根越大：两个负数，绝对值大的数反 而小。 7.期末复习总结归纳（考前速记卡） ①根式速记：平方根正负两个，算术根只取正数，立方根正负都行。 ②无理数判断：无限不循环，三类特征记牢固（开不尽、含π、特殊结构）。 ③对应关系：实数数轴一一对应，数轴问题可转化为实数问题。 ④估算技巧：夹逼法定整数区间，整数部分直接取，小数部分作减法。 ⑤避坑红线： 区分平方根”与“算术平方根”，看清题干要求，勿漏正负号： 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 负数没有平方根，但一定有立方根： 化简含根号数后再判断是否为无理数（如√4=2是有理数）； 算术平方根的双重非负性是隐含条件，求值题型高频考查。 二、高频考点+典例 考点1：算术平方根、平方根、立方根概念辨析（基础选择必考） 典例1下列说法正确的是() A.4的算术平方根是2 B.9的算术平方根是3 11 C.0.8的立方根是0.2 D.3花6 ·是二的一个平方根 典例2已知(x-1)2=9,则x的值为() A.4 B.2或4 C.-2或4 D.4 考点2：利用根式性质求值（计算、解答高频题） 典例1若a,b满足(a-1+√b+2=0,则a-b的值是() A.-1 B.1 C.3 D.-3 10 典例2已知：a的平方根是它本身，5b+17的立方根是3,3b+ m的算术平方根是4. (1)直接写出a,b,m的值： (2)求a+3b+m的平方根. 考点3：立方根速算技巧（阅读理解新题型） 典例我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319， 求它的立方根，华罗庚脱口而出：39.你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： 第一步确定立方根的数位 .1000<59319<1000000, .31000/593191000000, ∴.1059319100，即59319的立方根是一个两位数； 第二步确定立方根的个位上的数字 09十个整数的立方如下表. 数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方01 82764125 216343 512729 观察发现：0-9十个整数的立方的个位数字是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中的某一个，且无重无漏. ,59319的个位数字是9，而93=729 ∴.能确定√59319的个位数字是9： 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第三步确定立方根的十位上的数字 我们知道被开方数的小数点向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动 1位.数字59319太大，为了便于确定十位数字，可以先将求59319的问题转化为求59319的问题， 再移动小数点得V59319的值， .V27<3/59.3193/64 .3/59.319=3.9 .3V59319=39 经验证393=59319 根据以上材料，解答下列问题， (1)3375的立方根是一个 位数，其立方根的个位数字是 (2)已知238328是整数x的立方，按照上述方法求x. 考点4：无理数估算（选择、填空必考) 典例1估计√76的值在哪两个整数之间() A.75和77 B.6和7 C.7和8 D.8和9 典例2阅读材料： 材料一：大家知道√是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此√5的小数部分我们不可能全部地写出 来，于是明明用√5-2来表示√的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有 道理的，因为√5的整数部分是2，用√5减去其整数部分，差就是小数部分 由此可得：如果5=x+y,其中x是整数，且0<y<1,那么x=2,y=V5-2, 其中x就是√5的整数部分，y就是√5的小数部分. 材料二：己知m,n是有理数，且满足等式2-7m=2万+31-m,则可求出m,n的值 求解过程如下： 2-√7m= 2J7+3n-m ·2-V7.m=3n-m+V7× 5 :m,n是有理数， 2 ∴.2=3n-m,-m= 解得：m=- 2 8 5n 15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 根据以上材料，解答下列问题： (I)已知√17=a+b,其中a是整数，且0<b<1,求a,b的值； (2)已知x,y是有理数，且满足等式4y+4(x-32-√2y=21-3√2，求x+y的值. 考点5：实数的概念辨析（无理数判断） 典例在实数，0,4,8，V3,π中，无理数的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 考点6：实数与数轴综合应用 典例如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示-1的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动 一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是() A -3-2 -10 A.元 B.-1+π D.-1-π 考点7：实数的运算与大小比较（计算大题） 典例1比较7一√36（填>、<或=） 典例2计算：（←1)225+1-3-V(3}+-8 考点8：作差法比较实数/代数式大小（拓展探究题） 典例【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个代数式的大小，解决此类问题时一般要进行转 化，其中“作差法”就是常用的方法之一，其依据是不等式（或等式）的性质；若a-b>0,则a>b；若 a-b=0,则a=b;若a-b<0,则a<b. 例：已知a=m2+mn,b=mn-m2,其中m≠0.求证：a>b. 证明：a-b=m2+n-(n-m2)=m2+mn-mn+m2=2m2. ,m≠0，.2m2>0,.a>b. 【尝试应用】 (1)两个长方形的长和宽如图所示，请比较图中两个长方形周长的大小 A a+b D a+3 2 B G 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【拓展提升】 (2)已知x、y、z满足x+2y-5z=-4,x-y+z=2,试比较代数式3y与6x的大小. 三、期末高频易错点 易错点1：混淆平方根与算术平方根（高频基础错误） ·典例：求16的平方根 错解：√16=4 ·正解：16的平方根为士4 ·原因：审题不清，题干要求“平方根”需写正负两个值；若为“算术平方根”才只取正数。 易错点2：认为负数有算术平方根 ·典例：判断“-9的算术平方根是3”正误 ·错解：正确 ·正解：错误 ·原因：算术平方根的被开方数必须非负，负数没有平方根和算术平方根。 易错点3：判断无理数时不化简根式 ·典例：判断⑧是否为无理数 ·错解：是无理数（带有根号即为无理数） ·正解：⑧=2，是有理数 ·原因：无理数判定规则：先化简，再判断：开方开得尽的含根号数属于有理数。 易错点4：估算区间判断失误 ·典例：估算V3的整数区间 ·错解：在7和8之间（计算颠倒） ·正解：72=49,82=64,49<63<64，故在7和8之间 ·原因：对完全平方数记忆不熟练，夹逼法使用不规范。 易错点5：忽略算术平方根的双重非负性 ·典例：已知va-1+b+2)2=0,求a、b ·错解：随意取值，无法计算 ·正解：Va-1≥0，(b+2)2≥0，和为0则两项均为0，解得a=1,b=-2 ·原因：未掌握“若干个非负数相加等于0，则每一个非负数都为0”的核心结论。 易错点6：立方根与平方根性质混淆 ·典例：判断“一8的平方根和立方根都存在”正误 ·错解：正确 ·正解：错误，一8没有平方根，立方根为-2 ·原因：记混性质：负数无平方根，但任意实数都有唯一立方根。 第八章 实数 期末知识清单 一、核心知识总结（必背・期末重点） 1. 平方根与算术平方根 （1）基本定义 ①平方根：一般地，如果一个数的平方等于，即，那么这个数叫做的平方根（二次方根），记作（）。 ②算术平方根：正数的正的平方根叫做的算术平方根，记作（）；规定的算术平方根是。 （2）核心性质 ①正数：有两个平方根，它们互为相反数；算术平方根仅有一个，且为正数。 ②：平方根和算术平方根均为。 ③负数：没有平方根和算术平方根。 ④双重非负性：算术平方根满足且，是解题核心隐含条件。 2. 立方根 （1）基本定义 一般地，如果一个数的立方等于，即，那么这个数叫做的立方根（三次方根），记作，符号为根指数，不可省略。 （2）核心性质 ①任意实数都有且只有一个立方根。 ②正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，的立方根是。 ③重要公式：，可实现负被开方数的转化。 3. 平方根、算术平方根、立方根对比表 知识点 表示符号 被开方数取值范围 根的个数 记忆口诀 平方根 正数2 个，0为1个，负数无 正数两根互为反，负数开方没答案 算术平方根 非负数仅有1 个（非负） 算术根只取正，双重非负要记清 立方根 为全体实数 任意实数都有 1 个 立方开方无限制，符号跟着被开方数 4. 估算（无理数估值） ①核心思路：找到被开方数相邻的两个完全平方数 / 完全立方数，确定无理数所在的整数区间。 ②进阶方法：利用整数部分、小数部分拆分求值（若，为整数，则整数部分为，小数部分为）。 ③应用：比较实数大小、数轴定位无理数。 5. 实数的概念与分类 （1）实数定义：有理数和无理数统称为实数。 有理数：整数和分数的统称，包含有限小数、无限循环小数。 无理数：无限不循环小数。 （2）无理数常见类型 开方开不尽的数：如、、； 含的数：如、； 特定结构无限不循环小数：如（相邻两个之间的个数逐次加 1）。 （3）实数两种分类方式 按定义分： 按正负性分： 6. 实数的性质与运算 （1）实数与数轴 实数与数轴上的点一一对应，数轴上任意一点都对应一个实数，任意一个实数都能在数轴上找到对应点。 （2）实数的基本关联概念 相反数：实数的相反数是，； 绝对值：，几何意义为数轴上点到原点的距离； 倒数：非零实数的倒数为，（）。 （3）实数运算规则 运算范围：有理数的运算法则、运算律（交换律、结合律、分配律）在实数范围内全部适用； 基础运算：可进行加、减、乘、除、乘方、开方运算； 大小比较：正数负数；两个正数，被开方数越大，算术平方根越大；两个负数，绝对值大的数反而小。 7. 期末复习总结归纳（考前速记卡） ①根式速记：平方根正负两个，算术根只取正数，立方根正负都行。 ②无理数判断：无限不循环，三类特征记牢固（开不尽、含、特殊结构）。 ③对应关系：实数数轴一一对应，数轴问题可转化为实数问题。 ④估算技巧：夹逼法定整数区间，整数部分直接取，小数部分作减法。 ⑤避坑红线： 区分 “平方根” 与 “算术平方根”，看清题干要求，勿漏正负号； 负数没有平方根，但一定有立方根； 化简含根号数后再判断是否为无理数（如是有理数）； 算术平方根的双重非负性是隐含条件，求值题型高频考查。 二、高频考点 + 典例 考点 1：算术平方根、平方根、立方根概念辨析（基础选择必考） 典例 1下列说法正确的是（     ） A．4的算术平方根是2 B．-9的算术平方根是3 C．0.8的立方根是0.2 D．是的一个平方根 【答案】A 【详解】解：A. 4的算术平方根是2，故A正确；B.负数没有平方根，故B错误； C.0.2是0.008的立方根，故C错误；D. 是的一个平方根，故D错误.故选A. 【易错点拨】忽略 “负数无平方根、算术平方根” 这一基本性质。 典例 2已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或-4 C．-2或4 D．-4 【答案】C 【详解】解：∵，∴，∴或，∴或．故选：C． 【易错点拨】混淆平方根与算术平方根，只求出正根，遗漏负根。 考点 2：利用根式性质求值（计算、解答高频题） 典例 1若a，b满足，则的值是（   ） A．-1 B．1 C．3 D．-3 【答案】C 【详解】解：∵， ∴，，∴，， ∴，故选：C． 【易错点拨】不会运用 “非负数之和为 0，则每一项均为 0” 的结论。 典例 2已知：a的平方根是它本身，的立方根是3，的算术平方根是4． (1)直接写出a，b，m的值； (2)求的平方根． 【详解】（1）解：∵a的平方根是它本身，∴a=0， ∵的立方根是3，∴=27，∴b=2， ∵的算术平方根是4， ∴， ∴m=3； （2）解：∵a=0，b=2，m=3， ∴=0+3×2+3=9 ∴的平方根． 考点 3：立方根速算技巧（阅读理解新题型） 典例 我国著名数学家华罗庚有一次在飞机上看到他的助手阅读的杂志上有一道智力题：一个数是59319，求它的立方根．华罗庚脱口而出：39．你知道华罗庚是怎样准确迅速地计算出来的吗？有一种方法如下： 第一步   确定立方根的数位 ∵1000＜59319＜1000000， ∴， ∴，即59319的立方根是一个两位数； 第二步  确定立方根的个位上的数字 0~9十个整数的立方如下表． 数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 立方 0 1 8 27 64 125 216 343 512 729 观察发现：0~9十个整数的立方的个位数字是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中的某一个，且无重无漏． ∵59319的个位数字是9，而 ∴能确定的个位数字是9； 第三步   确定立方根的十位上的数字 我们知道被开方数的小数点向左（或向右）移动3位，它的立方根的小数点就相应地向左（或向右）移动1位．数字59319太大，为了便于确定十位数字，可以先将求的问题转化为求的问题，再移动小数点得的值． ∵ ∴ ∴ 经验证 根据以上材料，解答下列问题． (1)3375的立方根是一个___________位数，其立方根的个位数字是___________； (2)已知238328是整数x的立方，按照上述方法求x． 【详解】（1）解：∵1000＜59319＜1000000， ∴ ∴，即3375的立方根是一个两位数； ∵3375的个位数字是5，而， ∴能确定的个位数字是5； 故答案为：两；5； （2）∵，，且100＜238328＜1000000， ∴10＜＜100 ∴238328的立方根是两位数； ∵238328的个位数字是8，而． ∴能确定的个位数字是2． 而． ∴， ∴． 考点 4：无理数估算（选择、填空必考） 典例 1估计的值在哪两个整数之间（     ） A．75和77 B．6和7 C．7和8 D．8和9 【答案】D 【详解】解：∵64＜76＜81，∴，∴8＜＜9，故选D 【解题技巧】夹逼法：找出被开方数左右相邻的完全平方数。 典例 2阅读材料： 材料一：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是明明用-2来表示的小数部分，你同意明明的表示方法吗？事实上，明明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是2，用减去其整数部分，差就是小数部分． 由此可得：如果，其中x是整数，且0＜y＜1，那么x=2，， 其中x就是的整数部分，y就是的小数部分． 材料二：已知m，n是有理数，且满足等式，则可求出m，n的值． 求解过程如下： ∵， ∴ ∵m，n是有理数， ∴2=3n-m，， 解得：，． 根据以上材料，解答下列问题： (1)已知，其中a是整数，且0＜b＜1，求a，b的值； (2)已知x，y是有理数，且满足等式，求x+y的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）解：x、y是有理数，且满足等式， ∴，，∴y=3， ∴ ∴ ∴或 当，时，； 当，时，， 综上所述，的值为或． 考点 5：实数的概念辨析（无理数判断） 典例 在实数，0，，，，π中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】解：在实数，0，，=2，，π中，无理数是：，π，共2个；故选：B． 【易错点拨】未先化简根式，误将开方开得尽的数判定为无理数。 考点 6：实数与数轴综合应用 典例 如图，圆的直径为1个单位长度，圆上的点A与数轴上表示的点重合，将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置，则点B表示的数是（　　） A．π B．-1+π C．-π D．-1-π 【答案】B 【详解】解：由题意可得圆的周长为π×1=π，∵将这个圆沿数轴向右滚动一周，点A到达点B的位置， ∴点B表示的数是-1+π，故选：B． 考点 7：实数的运算与大小比较（计算大题） 典例 1 比较7______（填＞、＜或＝） 【答案】＞ 【详解】解：∵，49＞36，∴，∴7＞，故答案为＞ 【解题技巧】统一形式：将有理数转化为带根号形式，比较被开方数大小。 典例 2 计算： 【答案】 【详解】解： = = =． 考点 8：作差法比较实数 / 代数式大小（拓展探究题） 典例 【问题提出】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或两个代数式的大小．解决此类问题时一般要进行转化，其中“作差法”就是常用的方法之一，其依据是不等式（或等式）的性质；若，则；若，则；若，则． 例：已知,，其中．求证：． 证明：． ∵m≠0，∴，∴． 【尝试应用】 （1）两个长方形的长和宽如图所示，请比较图中两个长方形周长的大小． 【拓展提升】 （2）已知x、y、z满足，，试比较代数式3y与6x的大小． 【详解】解：（1）设长方形ABCD的周长为，长方形EFGH的周长为， ∴，， ∵， ∵，， ∴4＞，则， ∴，即长方形ABCD的周长大于长方形EFGH的周长； （2）∵，， ∴①+②×2得x=z，①－②解得：y=2z-2, ∴， ∴3y＜6x． 三、期末高频易错点 易错点 1：混淆平方根与算术平方根（高频基础错误） • 典例：求的平方根 • 错解： • 正解：的平方根为 • 原因：审题不清，题干要求 “平方根” 需写正负两个值；若为 “算术平方根” 才只取正数。 易错点 2：认为负数有算术平方根 • 典例：判断 “的算术平方根是” 正误 • 错解：正确 • 正解：错误 • 原因：算术平方根的被开方数必须非负，负数没有平方根和算术平方根。 易错点 3：判断无理数时不化简根式 • 典例：判断是否为无理数 • 错解：是无理数（带有根号即为无理数） • 正解：，是有理数 • 原因：无理数判定规则：先化简，再判断；开方开得尽的含根号数属于有理数。 易错点 4：估算区间判断失误 • 典例：估算的整数区间 • 错解：在 7 和 8 之间（计算颠倒） • 正解：，，故在7 和 8 之间 • 原因：对完全平方数记忆不熟练，夹逼法使用不规范。 易错点 5：忽略算术平方根的双重非负性 • 典例：已知，求 • 错解：随意取值，无法计算 • 正解：，和为 0 则两项均为 0，解得 • 原因：未掌握 “若干个非负数相加等于 0，则每一个非负数都为 0” 的核心结论。 易错点 6：立方根与平方根性质混淆 • 典例：判断 “的平方根和立方根都存在” 正误 • 错解：正确 • 正解：错误，没有平方根，立方根为 • 原因：记混性质：负数无平方根，但任意实数都有唯一立方根。 学科网（北京）股份有限公司 $