第七章 相交线与平行线 期末复习高频考点核心知识清单-七年级数学新教材人教版

第七章 相交线与平行线 知识清单 一、核心知识总结（必背・期末重点） 1. 相交线基础概念与性质 （1）相交线、邻补角、对顶角 a.相交线定义：在同一平面内，两条直线有且只有一个公共点，称这两条直线为相交线，公共点叫做交点。 b.邻补角 定义：两条直线相交形成的角，有一条公共边，另一边互为反向延长线，这样的两个角互为邻补角。 性质：邻补角之和为。 c.对顶角 定义：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，两个角有公共顶点，互为对顶角。 性质：对顶角相等。 补充：两条直线相交，只会产生2 对对顶角、4 对邻补角。 如图，对顶角：∠1 与 ∠3；∠2 与 ∠4；邻补角：∠1 与 ∠2；∠1 与 ∠4；∠2 与 ∠3；∠3 与 ∠4； （2）垂线 a.垂直定义：两条直线相交，若夹角为，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点为垂足。 b.垂线基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(点可在直线上，也可在直线外)。 c.垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 d.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离（距离是长度，不是线段本身）。 （3）三线八角（同位角、内错角、同旁内角） 两条直线被第三条直线所截，形成八个角，简称 “三线八角”，是平行线判定与性质的核心基础： 角的类型 位置特征 简单识别口诀 同位角 在截线同侧，被截两直线同一方 位置相同，形似 “F” 内错角 在截线两侧，被截两直线之间 内部交错，形似 “Z” 同旁内角 在截线同侧，被截两直线之间 内部同侧，形似 “U” 如图，同位角：∠1 与 ∠5；∠2 与 ∠6；∠3 与 ∠7；∠4 与 ∠8； 内错角：∠3 与 ∠5；∠4 与 ∠6； 同旁内角：∠3 与 ∠6；∠4 与 ∠5； 2. 平行线相关知识（期末核心重难点） （1）平行线定义与基本事实 a.定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（必须强调 “同一平面”，空间中存在不相交也不平行的直线）。 b.平行基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 c.平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行（传递性）。 （2）平行线的判定（由角的关系推直线平行） 判定是几何推理高频考点，共 3 个核心判定方法，附加推论： a.同位角相等，两直线平行；b.内错角相等，两直线平行；c.同旁内角互补，两直线平行； d.推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 （3）平行线的性质（由直线平行推角的关系） 性质与判定互为逆命题，做题极易混淆，需严格区分： a.两直线平行，同位角相等；b.两直线平行，内错角相等；c.两直线平行，同旁内角互补。 （4）平行线间的距离 两条平行线之间的距离处处相等，距离定义为：一条直线上任意一点向另一条平行线作垂线段，垂线段的长度。 3. 命题、定理、证明 （1）命题定义：判断一件事情的语句，叫做命题。命题由题设和结论两部分组成，常可改写为 “如果……，那么……” 的形式。 （2）命题分类 a.真命题：题设成立，结论一定成立的命题； b.假命题：题设成立，结论不一定成立的命题（举反例即可证明为假命题）。 （3）定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可作为后续推理的依据。 （4）证明：一个命题的正确性需要经过推理，这个推理过程叫做证明。 4. 平移 （1）平移定义：把一个图形沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。 （2）平移两大要素：平移方向、平移距离。 （3）平移性质 a.平移只改变图形位置，不改变图形的形状、大小； b.对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等； c.连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等，线段长度等于平移距离。 （4）应用：利用平移可求不规则图形周长、面积，是几何计算常用技巧。 5. 期末复习总结归纳（考前速记卡） （1）相交线速记：对顶角相等，邻补角互补；垂线唯一，垂线段最短。 （2）平行线核心区分：判定（角→平行）、性质（平行→角），二者不可混用。 （3）三线八角识别：F 型同位角、Z 型内错角、U 型同旁内角。 （4）平移速记：形状大小永不变，对应线段平行且相等。 （5）避坑红线 a.点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段； b.平行线判定和性质不要颠倒推理逻辑； c.描述平行线必须强调 “同一平面内”； d.平移距离是对应点连线的长度，非图形内部线段长度。 二、高频考点 + 典例 考点 1：垂线与垂线段最短（基础考点） 典例 1我们要学会用数学的眼光观察现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．弯曲河道改直 B．木板上弹墨线 C．测量跳远成绩 D．两钉子固定木条 典例 2如图，在三角形ABC中，∠C=，AC=4，点P是BC边上一动点，AP的长不可能是（   ） A．4 B．5.5 C．3 D．5 考点 2：对顶角、邻补角、角度计算（基础必考题） 典例 1如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠EOC=35°，则∠AOD的度数为（ ） A. 125° B. 115° C. 105° D. 95° 典例 2若∠ABC=41°20′，则∠ABC的补角的度数为____。 考点 3：三线八角识别（易错题） 典例 如图，下列说法正确的是（   ） A．∠1与∠8是同位角 B．∠4与∠7是内错角 C．∠3与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是互为邻补角 考点 4：平行线的判定（高频填空、选择、证明题） 典例 1在铺设钢轨时，两条钢轨必须是平行的．如图，若测得∠1是直角，则只需测得∠2也是直角，就可以确定两条钢轨平行．这其中的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 典例 2如图，由下列条件：①∠B +∠BAD＝180°； ②∠B＝∠5； ③∠D＝∠5； ④∠3＝∠4；⑤∠1 ＝∠2，能判定AD∥BC的条件为（     ） A．①②③④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①②③ 考点 5：平行线的性质（计算大题核心考点） 典例 1如图，直线a∥b，AC⊥BC，若∠1=55°，则∠2=（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 典例 2如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于点M、N，GM⊥AB，垂足为M，MH平分∠BME。 (1)若∠AMF=78°，求∠GMH的度数； (2)若∠DNE -∠GME=58°，求∠AMH的度数。 考点 6：平行线判定与性质综合（压轴证明、探究题） 典例 如图，AE∥BD，∠A=∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F。 (1)求证：AB∥CD； (2)探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由； (3)若∠BDC=140°，∠F=20°，求∠C的度数。 考点 7：命题、定理（选择必考） 典例 1下列命题中，是真命题的是（   ） A．同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 典例 2将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____________，那么_____________． 考点 8：平移（计算、图形识别题） 典例 1下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 典例 2如图，△ABC的周长为12cm，若将△ABC沿射线BC方向平移3cm后得到△DEF，AC与DE相交点G，连结AD，则△ADG与△ECG的周长和为（　　） A．15cm B．13cm C．12cm D．9cm 三、期末高频易错点 易错点 1：混淆 “垂线段” 与 “点到直线的距离” • 典例：判断 “直线外一点到这条直线的线段叫做点到直线的距离” 正误。 • 错解：正确。 • 正解：错误。 • 原因：点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数值，不是线段本身，必须包含 “长度” 二字。 易错点2：忽略 “同一平面内” 前提 • 典例：判断 “不相交的两条直线互相平行” 正误。 • 错解：正确。 • 正解：错误。 • 原因：空间中存在异面直线，不相交也不平行，平行线定义必须限定同一平面内。 易错点 3：平移距离理解错误 • 典例：如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF，若BC=8，CE=3，则平移的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 • 错解：平移距离为 3。 • 正解：由平移的性质可知：EF=BC，∵BC=8，∴EF=BC=8，∵CE=3，∴BE=EF-CE=8-3=5，故选C． • 原因：平移距离是对应点之间的线段长度（如 B 到 E、A 到 D），不是图形内部线段长度。 易错点 4：三线八角识别错误 • 典例：混淆内错角、同旁内角、同位角。 • 错解：凭视觉主观判断角的类型。 • 正解：先找准截线和两条被截直线，再结合 F、Z、U 型特征判断。 • 原因：未掌握 “三线八角” 核心识别方法，忽略截线的定位作用。 易错点 5：命题真假判断遗漏前提条件 • 典例：判断 “同位角相等” 是否为真命题。 • 错解：真命题。 • 正解：假命题。 • 原因：同位角相等的前提是两直线平行，缺少前提则命题不成立。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 相交线与平行线 知识清单 一、核心知识总结（必背・期末重点） 1. 相交线基础概念与性质 （1）相交线、邻补角、对顶角 a.相交线定义：在同一平面内，两条直线有且只有一个公共点，称这两条直线为相交线，公共点叫做交点。 b.邻补角 定义：两条直线相交形成的角，有一条公共边，另一边互为反向延长线，这样的两个角互为邻补角。 性质：邻补角之和为。 c.对顶角 定义：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，两个角有公共顶点，互为对顶角。 性质：对顶角相等。 补充：两条直线相交，只会产生2 对对顶角、4 对邻补角。 如图，对顶角：∠1 与 ∠3；∠2 与 ∠4；邻补角：∠1 与 ∠2；∠1 与 ∠4；∠2 与 ∠3；∠3 与 ∠4； （2）垂线 a.垂直定义：两条直线相交，若夹角为，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，交点为垂足。 b.垂线基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直(点可在直线上，也可在直线外)。 c.垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 d.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离（距离是长度，不是线段本身）。 （3）三线八角（同位角、内错角、同旁内角） 两条直线被第三条直线所截，形成八个角，简称 “三线八角”，是平行线判定与性质的核心基础： 角的类型 位置特征 简单识别口诀 同位角 在截线同侧，被截两直线同一方 位置相同，形似 “F” 内错角 在截线两侧，被截两直线之间 内部交错，形似 “Z” 同旁内角 在截线同侧，被截两直线之间 内部同侧，形似 “U” 如图，同位角：∠1 与 ∠5；∠2 与 ∠6；∠3 与 ∠7；∠4 与 ∠8； 内错角：∠3 与 ∠5；∠4 与 ∠6； 同旁内角：∠3 与 ∠6；∠4 与 ∠5； 2. 平行线相关知识（期末核心重难点） （1）平行线定义与基本事实 a.定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（必须强调 “同一平面”，空间中存在不相交也不平行的直线）。 b.平行基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 c.平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行（传递性）。 （2）平行线的判定（由角的关系推直线平行） 判定是几何推理高频考点，共 3 个核心判定方法，附加推论： a.同位角相等，两直线平行；b.内错角相等，两直线平行；c.同旁内角互补，两直线平行； d.推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 （3）平行线的性质（由直线平行推角的关系） 性质与判定互为逆命题，做题极易混淆，需严格区分： a.两直线平行，同位角相等；b.两直线平行，内错角相等；c.两直线平行，同旁内角互补。 （4）平行线间的距离 两条平行线之间的距离处处相等，距离定义为：一条直线上任意一点向另一条平行线作垂线段，垂线段的长度。 3. 命题、定理、证明 （1）命题定义：判断一件事情的语句，叫做命题。命题由题设和结论两部分组成，常可改写为 “如果……，那么……” 的形式。 （2）命题分类 a.真命题：题设成立，结论一定成立的命题； b.假命题：题设成立，结论不一定成立的命题（举反例即可证明为假命题）。 （3）定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可作为后续推理的依据。 （4）证明：一个命题的正确性需要经过推理，这个推理过程叫做证明。 4. 平移 （1）平移定义：把一个图形沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。 （2）平移两大要素：平移方向、平移距离。 （3）平移性质 a.平移只改变图形位置，不改变图形的形状、大小； b.对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等； c.连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等，线段长度等于平移距离。 （4）应用：利用平移可求不规则图形周长、面积，是几何计算常用技巧。 5. 期末复习总结归纳（考前速记卡） （1）相交线速记：对顶角相等，邻补角互补；垂线唯一，垂线段最短。 （2）平行线核心区分：判定（角→平行）、性质（平行→角），二者不可混用。 （3）三线八角识别：F 型同位角、Z 型内错角、U 型同旁内角。 （4）平移速记：形状大小永不变，对应线段平行且相等。 （5）避坑红线 a.点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段； b.平行线判定和性质不要颠倒推理逻辑； c.描述平行线必须强调 “同一平面内”； d.平移距离是对应点连线的长度，非图形内部线段长度。 二、高频考点 + 典例 考点 1：垂线与垂线段最短（基础考点） 典例 1我们要学会用数学的眼光观察现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是（   ） A．弯曲河道改直 B．木板上弹墨线 C．测量跳远成绩 D．两钉子固定木条 【答案】C 【详解】解：A、弯曲河道改直为两点之间，线段最短，故不符合题意； B、木板上弹墨线为两点确定一条直线，故不符合题意； C、测量跳远成绩为垂线段最短，故符合题意； D、两钉子固定木条两点确定一条直线，故不符合题意；故选：C ． 典例 2如图，在三角形ABC中，∠C=，AC=4，点P是BC边上一动点，AP的长不可能是（   ） A．4 B．5.5 C．3 D．5 【答案】C 【详解】解：∵在三角形ABC中，∠C=，AC=4，，点\P是BC边上一动点， ∴由垂线段最短可知，AP≥AC，即AP≥4（当点P与点C重合时，等号成立），故选：C． 考点 2：对顶角、邻补角、角度计算（基础必考题） 典例 1如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB于O，∠EOC=35°，则∠AOD的度数为（ ） A. 125° B. 115° C. 105° D. 95° 【答案】A 【详解】解：∵OE⊥AB，∴∠EOB=90°， 又∵∠EOC=35°，∴∠BOC=∠EOB+∠EOC=125°， ∵∠AOD与∠BOC是对顶角，∴∠AOD=∠BOC=125°。 典例 2若∠ABC=41°20′，则∠ABC的补角的度数为____。 【答案】138°40′ 【详解】解：∵∠ABC=41°20′， ∴∠ABC的补角为180°-41°20′=179°60′-41°20′=138°40′。故答案为：138°40′。 考点 3：三线八角识别（易错题） 典例 如图，下列说法正确的是（   ） A．∠1与∠8是同位角 B．∠4与∠7是内错角 C．∠3与∠6是同旁内角 D．∠2与∠5是互为邻补角 【答案】C 【详解】A、∠1与∠5是同位角，∠4与∠8是同位角，∠1与∠8不是同位角，则此项错误，不符合题意； B、∠4与∠6是内错角，∠4与∠7不是内错角，则此项错误，不符合题意； C、∠3与∠6是同旁内角，则此项正确，符合题意； D、∠2与∠1是互为邻补角，∠2与∠3是互为邻补角；∠5与∠6是互为邻补角，∠5与∠8是互为邻补角；∠2与∠5不是互为邻补角，则此项错误，不符合题意； 故选：C。 考点 4：平行线的判定（高频填空、选择、证明题） 典例 1在铺设钢轨时，两条钢轨必须是平行的．如图，若测得∠1是直角，则只需测得∠2也是直角，就可以确定两条钢轨平行．这其中的原理是（   ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．两直线平行，同旁内角互补 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意，解决这个问题所应用的数学原理是同旁内角互补，两直线平行；故选D． 典例 2如图，由下列条件：①∠B +∠BAD＝180°； ②∠B＝∠5； ③∠D＝∠5； ④∠3＝∠4；⑤∠1 ＝∠2，能判定AD∥BC的条件为（     ） A．①②③④⑤ B．①②④ C．①③⑤ D．①②③ 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理逐个分析排除即可求解． 【详解】解：①∵∠B +∠BAD＝180°；∴AD∥BC ②∵∠B＝∠5； ∴AB∥CD ③∵∠D＝∠5； ∴AD∥BC ④∵∠3＝∠4；∴AB∥CD ⑤∵∠1 ＝∠2，∴AD∥BC 故符合题意的为①③⑤，故选C 考点 5：平行线的性质（计算大题核心考点） 典例 1如图，直线a∥b，AC⊥BC，若∠1=55°，则∠2=（ ） A. 35° B. 40° C. 45° D. 50° 【答案】A 【详解】解：如图，∵AC⊥BC，∴∠1+∠3=90°， ∵∠1=55°，∴∠3=90°-∠1=35°， ∵直线a∥b，∴∠2=∠3=35°，故选A。 典例 2如图，直线AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于点M、N，GM⊥AB，垂足为M，MH平分∠BME。 (1)若∠AMF=78°，求∠GMH的度数； (2)若∠DNE -∠GME=58°，求∠AMH的度数。 【详解】(1)解：∵∠BME=∠AMF=78°，MH平分∠BME， ∴∠BMH=1/2∠BME=39°， ∵GM⊥AB，∴∠BMG=90°， ∴∠GMH=∠BMG-∠BMN=90°-39°=51°。 (2)解：∵AB∥CD，∴∠BME=∠DNE， 又∵∠DNE-∠GME=58°，GM⊥AB， ∴∠BMG=90°， ∴∠GMH=∠BMG-∠BMH=90°-39°=51°； (2)解：∵AB∥CD， ∴∠BME=∠DNE， 又∵∠BME-∠GME=58°①， ∵GM⊥AB， ∴∠BMG=90°， 即有∠BME+∠GME=90°②， 由①+②得：2∠BME=148°， ∴∠BME=74°， ∵MH平分∠BME， ∴∠BMH=∠BME=37°， ∴∠AMH=180°-∠BMH=143°。 考点 6：平行线判定与性质综合（压轴证明、探究题） 典例 如图，AE∥BD，∠A=∠BDC，∠AEC的平分线交CD的延长线于点F。 (1)求证：AB∥CD； (2)探究∠A，∠AEC，∠C之间的数量关系，并说明理由； (3)若∠BDC=140°，∠F=20°，求∠C的度数。 【详解】(1)解：∵AE∥BD ∠A+∠ABD=180°， 又∵∠A=∠BDC， ∴∠BDC+∠ABD=180°， ∴AB∥CD； (2)解：∠A+∠AEC+∠C=360°， 理由：如图，过点E作EH∥AB， 由(1)知AB∥CD， ∴EH∥CD∥AB， ∴∠A+∠AEH=180°，∠C+∠CEH=180°， ∴∠A+∠AEH+∠C+∠CEH=360°，即∠A+∠AEC+∠C=360°； (3)解：∵∠BDC=140°，∠A=∠BDC， ∴∠A=∠BDC=140°， ∵EH∥CD∥AB， ∴∠HEF=∠F=20°，∠AEH=180°-∠A=40°。 ∴∠AEF=∠AEH+∠HEF=40°+20°=60°， ∵∠AEC的平分线交CD的延长线于点F， ∴∠AEC=2∠AEF=120°， ∵∠A+∠AEC+∠C=360°， ∴∠C=360°-∠A-∠AEC=360°-140°-120°=100°。 考点 7：命题、定理（选择必考） 典例 1下列命题中，是真命题的是（   ） A．同位角相等 B．相等的角是对顶角 C．互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，原说法错误，是假命题，不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，原说法错误，是假命题，不符合题意； C、互补的两个角可以都是直角，原说法错误，是假命题，不符合题意； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，原说法正确，是真命题，符合题意， 故选：D． 典例 2将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果_____________，那么_____________． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【详解】解：将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 考点 8：平移（计算、图形识别题） 典例 1下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：选项B中的“比”字形状一样，因此可以看作是由一个“基本图形”平移得到；故选：B． 典例 2如图，△ABC的周长为12cm，若将△ABC沿射线BC方向平移3cm后得到△DEF，AC与DE相交点G，连结AD，则△ADG与△ECG的周长和为（　　） A．15cm B．13cm C．12cm D．9cm 【答案】C 【详解】解：∵△ABC沿BC方向平移3cm得到△DEF，∴AD=BE=3cm，DE=AB， ∵BC=CE+BE=AD+CE， ∴△ADG与△ECG的周长和为AD+CE+AC+DE=BC+AC+AB=12(cm)，故选：C。 三、期末高频易错点 易错点 1：混淆 “垂线段” 与 “点到直线的距离” • 典例：判断 “直线外一点到这条直线的线段叫做点到直线的距离” 正误。 • 错解：正确。 • 正解：错误。 • 原因：点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数值，不是线段本身，必须包含 “长度” 二字。 易错点2：忽略 “同一平面内” 前提 • 典例：判断 “不相交的两条直线互相平行” 正误。 • 错解：正确。 • 正解：错误。 • 原因：空间中存在异面直线，不相交也不平行，平行线定义必须限定同一平面内。 易错点 3：平移距离理解错误 • 典例：如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF，若BC=8，CE=3，则平移的距离为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 • 错解：平移距离为 3。 • 正解：由平移的性质可知：EF=BC，∵BC=8，∴EF=BC=8，∵CE=3，∴BE=EF-CE=8-3=5，故选C． • 原因：平移距离是对应点之间的线段长度（如 B 到 E、A 到 D），不是图形内部线段长度。 易错点 4：三线八角识别错误 • 典例：混淆内错角、同旁内角、同位角。 • 错解：凭视觉主观判断角的类型。 • 正解：先找准截线和两条被截直线，再结合 F、Z、U 型特征判断。 • 原因：未掌握 “三线八角” 核心识别方法，忽略截线的定位作用。 易错点 5：命题真假判断遗漏前提条件 • 典例：判断 “同位角相等” 是否为真命题。 • 错解：真命题。 • 正解：假命题。 • 原因：同位角相等的前提是两直线平行，缺少前提则命题不成立。 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第七章相交线与平行线知识清单 一、 核心知识总结（必背·期末重点) 1.相交线基础概念与性质 (1)相交线、邻补角、对顶角 相交线定义：在同一平面内，两条直线有且只有一个公共点，称这两条直线为相交线，公共点叫做交点。 b.邻补角 定义：两条直线相交形成的角，有一条公共边，另一边互为反向延长线，这样的两个角互为邻补角。 性质：邻补角之和为180°。 c对顶角 定义：一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，两个角有公共顶点，互为对顶角。 性质：对顶角相等。 补充：两条直线相交，只会产生2对对顶角、4对邻补角。 如图，对顶角：∠1与∠3：∠2与∠4：邻补角：∠1与∠2：∠1与∠4：∠2与∠3；∠3与∠4： (2)垂线 垂直定义：两条直线相交，若夹角为90°，则称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂 线，交点为垂足。 b垂线基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直（点可在直线上，也可在直线 外) c垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 d点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离（距离是长度，不是线 段本身)。 (3)三线八角（同位角、内错角、同旁内角） 两条直线被第三条直线所截，形成八个角，简称“三线八角”，是平行线判定与性质的核心基础： 角的类型 位置特征 简单识别口诀 同位角 在截线同侧，被截两直线同一方 位置相同，形似℉ 内错角 在截线两侧，被截两直线之间 内部交错，形似“Z” 同旁内角 在截线同侧，被截两直线之间 内部同侧，形似“U 如图，同位角：∠1与∠5：∠2与∠6；∠3与∠7；∠4与∠8： 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 内错角：∠3与∠5：∠4与∠6： 同旁内角：∠3与∠6；∠4与∠5： E D 2.平行线相关知识（期末核心重难点） (1)平行线定义与基本事实 定义：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（必须强调“同一平面”，空间中存在不相交也不平行 的直线)。 b.平行基本事实：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 c.平行推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行（传递性）。 (2)平行线的判定（由角的关系推直线平行) 判定是几何推理高频考点，共3个核心判定方法，附加推论： a.同位角相等，两直线平行；b.内错角相等，两直线平行；c.同旁内角互补，两直线平行； d推论：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 (3)平行线的性质（由直线平行推角的关系） 性质与判定互为逆命题，做题极易混淆，需严格区分： a.两直线平行，同位角相等：b.两直线平行，内错角相等：c.两直线平行，同旁内角互补。 (4)平行线间的距离 两条平行线之间的距离处处相等，距离定义为：一条直线上任意一点向另一条平行线作垂线段，垂线段的 长度。 3.命题、定理、证明 (1)命题定义：判断一件事情的语句，叫做命题。命题由题设和结论两部分组成，常可改写为“如果..， 那么..”的形式。 (2)命题分类 a.真命题：题设成立，结论一定成立的命题： b.假命题：题设成立，结论不一定成立的命题（举反例即可证明为假命题）。 (3)定理：经过推理证实的真命题叫做定理，定理可作为后续推理的依据。 (4)证明：一个命题的正确性需要经过推理，这个推理过程叫做证明。 4.平移 (1)平移定义：把一个图形沿某一方向移动一定的距离，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。 (2)平移两大要素：平移方向、平移距离。 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)平移性质 a.平移只改变图形位置，不改变图形的形状、大小： b.对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等； ℃.连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等，线段长度等于平移距离。 (4)应用：利用平移可求不规则图形周长、面积，是几何计算常用技巧。 5.期末复习总结归纳（考前速记卡） (1)相交线速记：对顶角相等，邻补角互补；垂线唯一，垂线段最短。 (2)平行线核心区分：判定（角→平行）、性质（平行→角），二者不可混用。 (3)三线八角识别：F型同位角、Z型内错角、U型同旁内角。 (4)平移速记：形状大小永不变，对应线段平行且相等。 (5)避坑红线 a.点到直线的距离是垂线段的长度，不是垂线段： b.平行线判定和性质不要颠倒推理逻辑： c描述平行线必须强调“同一平面内”； d.平移距离是对应点连线的长度，非图形内部线段长度。 二、高频考点+典例 考点1：垂线与垂线段最短（基础考点） 典例1我们要学会用数学的眼光观察现实世界，下列各选项中能用“垂线段最短”来解释的现象是() 弯曲河道改直 B 木板上弹墨线 测量跳远成绩 D ●两钉子固定木条 线 A 典例2如图，在三角形ABC中，∠C=90°，AC=4,点P是BC边上一动点，AP的长不可能是() A.4 B.5.5 C.3 D.5 考点2：对顶角、邻补角、角度计算（基础必考题） 典例1如图，直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于O,∠EOC=35°，则∠AOD的度数为() A.125°B.115°C.105°D.95° 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M无E六B 典例2若∠ABC-41°20'，则∠ABC的补角的度数为。 考点3：三线八角识别（易错题） 典例如图，下列说法正确的是() E A 21 -B 6入3 一D 8 A.∠1与∠8是同位角 B.∠4与∠7是内错角 C.∠3与∠6是同旁内角 D.∠2与∠5是互为邻补角 考点4：平行线的判定（高频填空、选择、证明题） 典例1在铺设钢轨时，两条钢轨必须是平行的.如图，若测得∠1是直角，则只需测得∠2也是直角，就可 以确定两条钢轨平行.这其中的原理是() 钢轨 轨枕 A.两直线平行，同旁内角相等 B.两直线平行，同旁内角互补 C.同旁内角相等，两直线平行 D.同旁内角互补，两直线平行 典例2如图，由下列条件：①∠B+∠BAD=180°；②∠B=∠5：③∠D=∠5：④∠3=∠4：⑤∠1=∠ 2,能判定AD∥BC的条件为() B 25 C A.①②③④⑤B.①②④ C.①③⑤ D.①②③ 考点5：平行线的性质（计算大题核心考点） 典例1如图，直线a∥b,AC⊥BC,若∠1=55°，则∠2=() B A.35°B.40°C.45°D.50° 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 典例2如图，直线AB∥CD,直线EF与AB、CD分别相交于点M、N,GMLAB,垂足为M,MH平分 ∠BME。 (I)若∠AMF=78°，求∠GMH的度数： (2)若∠DNE-∠GME=58°，求∠AMH的度数。 考点6：平行线判定与性质综合（压轴证明、探究题） 典例如图，AE∥BD,∠A=∠BDC,∠AEC的平分线交CD的延长线于点F。 (1)求证：AB∥CD: (2)探究∠A,∠AEC,∠C之间的数量关系，并说明理由： (3)若∠BDC=140°，∠F=20°，求∠C的度数。 考点7：命题、定理（选择必考） 典例1下列命题中，是真命题的是() A.同位角相等 B.相等的角是对顶角 C.互补的两个角一定一个是锐角，一个是钝角 D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 典例2将命题“对顶角相等改写成“如果.那么”的形式：如果 那么 考点8：平移（计算、图形识别题） 典例1下列比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形平移得到的是() 典例2如图，△ABC的周长为12cm,若将△ABC沿射线BC方向平移3cm后得到△DEF,AC与DE相交 点G,连结AD,则△ADG与△ECG的周长和为() 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.15cm B.13cm C.12cm D.9cm 三、期末高频易错点 易错点1：混淆“垂线段”与“点到直线的距离” ·典例：判断“直线外一点到这条直线的线段叫做点到直线的距离”正误。 ·错解：正确。 ·正解：错误。 ·原因：点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数值，不是线段本身，必须包含“长度”二字。 易错点2：忽略“同一平面内”前提 ·典例：判断“不相交的两条直线互相平行”正误。 ·错解：正确。 ·正解：错误。 ·原因：空间中存在异面直线，不相交也不平行，平行线定义必须限定同一平面内。 易错点3：平移距离理解错误 ·典例：如图，△ABC沿射线BC方向平移到△DEF,若BC=8,CE=3,则平移的距离为() C A.3 B.4 C.5 D.6 ·错解：平移距离为3。 ·正解：由平移的性质可知：EF=BC,,BC=8,EF=BC=8,,CE=3,.BE=EF-CE=8-3=5,故选C. ·原因：平移距离是对应点之间的线段长度（如B到E、A到D),不是图形内部线段长度。 易错点4：三线八角识别错误 ·典例：混淆内错角、同旁内角、同位角。 ·错解：凭视觉主观判断角的类型。 ·正解：先找准截线和两条被截直线，再结合F、Z、U型特征判断。 ·原因：未掌握“三线八角”核心识别方法，忽略截线的定位作用。 易错点5：命题真假判断遗漏前提条件 ·典例：判断“同位角相等”是否为真命题。 ·错解：真命题。 ·正解：假命题。 ·原因：同位角相等的前提是两直线平行，缺少前提则命题不成立。