精品解析：四川省什邡中学2025-2026学年高二上学期11月期中教学质量监测考试数学试题

德阳市高中2024级高二上期期中教学质量监测考试 数学试卷 命题人：广汉中学 说明： 1.本试卷分第I卷和第II卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回. 2.本试卷满分150分，120分钟完卷. 第I卷 选择题（58分） 一.单项选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量，若，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 2. 以为圆心，直径为4的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，且，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 4. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 5. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（ ） A. B. 或 C. 或 D. 7. 中国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”,平面，，,分别为棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的. 9. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”不互为对立的是（ ） A. 至多一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都没有中靶 10. 下列说法正确的是 （ ） A. 已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为. B. 直线的倾斜角的取值范围是. C. ，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件. D. 若直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为. 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离是 C. D. 异面直线与所成角的正切值为4 第II卷 非选择题（92分） 三.填空题，本题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为______. 13. 某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位参赛同学抽到的主题不相同的概率为____________． 14. 已知是棱长为6的正方体的内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为_______. 四.解答题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别为，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积. 16. 如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点. （1）以为一组基底表示向量； （2）若，求. 17. 年全国计算机三级考试分上机考试与笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机三级考试“合格”，并颁发计算机三级证书，甲、乙、丙三人在上机考试中“合格”的概率依次为，在笔试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格互不影响. （1）求甲没有获得计算机三级证书的概率； （2）这三人进行上机考试与笔试两项考试后，求恰有两人获得计算机三级证书的概率. 18. 已知动点与两个定点的距离的比值为，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. （3）若，为直线上一动点，过做曲线的切线，切点为.求面积的最小值. 19. 如图，在四面体ABCD中，平面，分别是线段的中点，点在线段AC上，且. （1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成角的正切值最大，试确定点的位置. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 德阳市高中2024级高二上期期中教学质量监测考试 数学试卷 命题人：广汉中学 说明： 1.本试卷分第I卷和第II卷，共4页.考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试卷、草稿纸上答题无效.考试结束后，将答题卡交回. 2.本试卷满分150分，120分钟完卷. 第I卷 选择题（58分） 一.单项选择题，本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设向量，若，则（ ） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，利用垂直向量的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，因为，可得，解得. 故选：D. 2. 以为圆心，直径为4的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆心和半径可直接写出圆的标准方程. 【详解】因为圆心为，直径为4，即半径为2， 所以该圆的标准方程为. 故选：C 3. 已知直线，且，则实数的值为（ ） A. 2 B. C. 2或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】应用直线平行的系数关系计算求参. 【详解】直线，且， 则，所以或， 当时，直线重合，不合题意，舍去； 当时，直线，符合题意； 所以. 故选：B. 4. 一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（ ） A. B. 事件与事件互斥 C. 事件与事件相互独立 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概型概率公式，分别写出样本空间和事件表示的集合，求出相关事件的概率，利用互斥事件，独立事件的定义与和事件的概率公式计算即可逐一判断可得答案. 【详解】用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，, ，事件，， 事件，， 对于A，，故A错误； 对于B，因为，所以事件与事件不互斥，故B错误； 对于C，，，， 因为，所以事件与事件相互独立，故C正确； 对于D，， ，，故D错误. 故选：C. 5. 如图，一块矿石晶体的形状为四棱柱，底面是正方形，，且，则向量的模长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由，结合向量数量积的运算律求向量的模长. 【详解】由，又底面是正方形，且， 所以， 故. 故选：A 6. 已知点，若直线与线段有公共点，则实数的取值范围（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线过的定点，再得到，，数形结合求得斜率范围，进而求得参数范围. 【详解】由，得. 令，解得，则直线经过定点， 则，， 如图，设直线的斜率为，则或， 即或，解得或. 所以实数的取值范围为或，故C正确. 故选：C 7. 中国古代数学名著《九章算术》第五卷“商功”中，把底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.今有“阳马”,平面，，,分别为棱的中点，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】证明三条线两两垂直，建立空间直角坐标系，得到点坐和空间向量坐标，由空间向量的数量积求得平面的一个法向量，由空间向量的投影求得点到平面的距离. 【详解】∵平面，且平面，平面， ∴，， 在矩形中，， ∴如图建立空间直角坐标系， 则，，，， ∴，，， ，， 设为平面的一个法向量， 则，令，则，即， 则点到平面的距离. 故选：B. 8. 瑞士数学家欧拉1765年在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线.已知的顶点，则的欧拉线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，求得的重心的坐标为，再求得和的垂直平分线所在直线方程，联立方程组，求得外心的坐标，结合点斜式方程，即可求解. 【详解】因为的顶点，可得的重心的坐标为， 由，可得，所以的垂直平分线所在直线的斜率为， 又中点为，可得的垂直平分线所在直线的方程为， 又由，可得的垂直平分线所在直线的斜率为，中点为， 故的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程组，解得，即的外心的坐标为， 所以欧拉线的斜率为，所以欧拉线的方程为，即， 所以的欧拉线方程为. 故选：D 二.多项选择题，本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有几项是符合题目要求的. 9. 某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”不互为对立的是（ ） A. 至多一次中靶 B. 两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都没有中靶 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，结合对立事件的概念，逐项分析判断，即可求解. 【详解】设事件“第一次射击中靶”，“第二次射击中靶”，“至少一次中靶” 则事件至少一次中靶包含：， 对于A，至多一次中靶包含，所以与事件不对立； 对于B，两次都中靶包含，所以与事件不对立； 对于C，只有一次中靶包含，所以与事件不对立； 对于D，两次都没有中靶包含，所以与事件对立. 故选：ABC. 10. 下列说法正确的是 （ ） A. 已知直线过点，且在轴上截距相等，则直线的方程为. B. 直线的倾斜角的取值范围是. C. ，“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件. D. 若直线沿轴向左平移2个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度后，回到原来的位置，则该直线的斜率为. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据直线的截距式方程、两直线垂直的判定，结合直线的平移规律逐一分析即可. 【详解】A：已知直线过点，且在轴，轴上截距相等， 当直线在坐标轴上截距为时，直线方程为，此时满足题意； 当直线在轴，轴上截距为时，直线方程为， 直线过，所以，解得，所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或，故A选项不正确； B：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故B选项正确； C：若直线与直线垂直，则，解得或， 所以由直线与直线垂直不能得到；反之则一定成立. 所以“直线与直线垂直”是“”的必要不充分条件，故C选项正确； D：设直线的方程为：，直线沿轴向左平移个单位，再沿轴向上平移个单位后， 所以变换后的直线方程是： 经过两次平移变换后回到原来的位置，所以必有，解得，故D选项正确 故选：BCD 11. 布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案，如图，把三片这样的达·芬奇方砖拼成组合，把这个组合再转换成空间几何体．若图中每个正方体的棱长为1，则下列结论正确的是（ ） A. B. 点到直线的距离是 C. D. 异面直线与所成角的正切值为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算判断A，建立空间直角坐标系利用空间向量模的坐标求法判断C，利用投影公式结合勾股定理判断B，利用线线角的向量求法判断D即可. 【详解】依题意得，故A正确； 如图，以为坐标原点，建立空间直角坐标系， ， 对于BC，， 所以，设， 则点到直线的距离，故BC正确； 对于D，因为， 所以，所以， 所以异面直线与所成角的正切值为，故D错误． 故选：ABC． 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是建立空间直角坐标系，然后利用投影公式结合勾股定理得到所要求的长度即可． 第II卷 非选择题（92分） 三.填空题，本题共4小题，每小题5分，共15分. 12. 直线的倾斜角为______. 【答案】0## 【解析】 【分析】根据直线与坐标轴平行可得倾斜角. 【详解】因为直线与轴平行，所以直线的倾斜角为. 故答案为： 13. 某学校举办作文比赛，共设6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文．则甲、乙两位参赛同学抽到的主题不相同的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用古典概型计算即可. 【详解】由题意可知甲乙两人抽取主题的情况有种，不相同的情况有种， 所以其概率为. 故答案为： 14. 已知是棱长为6的正方体的内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，则的最大值为_______. 【答案】18 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算、数量积的运算律及正方体的几何特征求解即可. 【详解】设正方体内切球的球心为，正方体内的体对角线长为， 则， , 因为是正方体内切球的一条直径，所以，， 所以． 又点在正方体表面上运动，所以当为正方体顶点时，最大，且最大值为， 所以，所以最大值为18． 故答案为：18 四.解答题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知的三个顶点分别为，求： （1）边所在直线的方程； （2）边上的垂直平分线所在直线的方程； （3）的面积. 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）因为，结合直线的两点式方程，即可求解； （2）由，求得，得到边上的垂直平分线的斜率为，结合直线的点斜式方程，即可求解； （3）先求得点到的距离为和，结合三角形的面积公式，即可求解. 【小问1详解】 解：因为，则的方程为，即. 【小问2详解】 解：因为，可得，且的中点为， 则边上的垂直平分线所在直线的斜率为， 所以边上的垂直平分线所在直线方程为，即． 【小问3详解】 解：由且的方程，可得点到的距离为， 又由，可得， 所以的面积为. 16. 如图，在三棱锥中，点为棱上一点，且，点为线段的中点. （1）以为一组基底表示向量； （2）若，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量的加减运算和数乘向量化简； （2）利用数量积的定义和运算律求值. 【小问1详解】 因为线段的中点，，则，， 则 ； 【小问2详解】 由题意得，，， 则 . 17. 年全国计算机三级考试分上机考试与笔试两部分，每部分考试成绩只记“合格”与“不合格”，两部分考试都“合格”者，则计算机三级考试“合格”，并颁发计算机三级证书，甲、乙、丙三人在上机考试中“合格”的概率依次为，在笔试中“合格”的概率依次为，所有考试是否合格互不影响. （1）求甲没有获得计算机三级证书的概率； （2）这三人进行上机考试与笔试两项考试后，求恰有两人获得计算机三级证书的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件概率乘法公式和对立事件概率公式可求得结果； （2）根据独立事件概率乘法公式可分别求得甲、乙、丙获得计算机三级证书的概率，根据独立事件的积事件与和事件概率的求法可求得结果. 【小问1详解】 记甲，乙，丙三人在计算机三级上机考试中合格依次为事件，在笔试考试中合格依次为， 设甲没有获得执业医师证书的概率为，则. 【小问2详解】 甲、乙、丙获得计算机三级证书依次为事件，并且与，与，与相互独立， 则，，， 事件彼此相互独立 记“恰有两人获得计算机三级证书”为事件， 则， . 18. 已知动点与两个定点的距离的比值为，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线交于两点，若，求直线的方程. （3）若，为直线上一动点，过做曲线的切线，切点为.求面积的最小值. 【答案】（1） （2）和 （3）2 【解析】 【分析】（1）设，利用距离公式列式化简求解即可； （2）按照直线斜率不存在和斜率存在分类讨论，利用弦长公式列方程求解即可； （3）根据相切性质可得，进而转化为点B到直线的距离问题求解即可. 【小问1详解】 设，则，即，化简得， 所以曲线的方程为：； 【小问2详解】 由（1）知曲线的轨迹为圆，其圆心坐标为，半径， 当直线斜率不存在时，的方程为，圆心到直线的距离为1， 所以，故满足题意； 当直线斜率存在时，设的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以的方程为，即的方程为， 综上所述，直线的方程为和； 【小问3详解】 由（1）知为圆心， 由相切关系可得， 故最短时，有最小值， 此时为圆心到直线的距离， 所以最小值为. 19. 如图，在四面体ABCD中，平面，分别是线段的中点，点在线段AC上，且. （1）求证：平面； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值； （3）在（2）的条件下，若为内的动点，平面，且与平面所成角的正切值最大，试确定点的位置. 【答案】（1） 取BD中点，连接PO， 是BM的中点，，且， 在线段CD上取点，使，连接OF，QF， ，，且， ，四边形POFQ为平行四边形，， 又平面平面，平面. （2） （3）点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处 【解析】 【分析】（1）取BD中点，连接PO，在线段CD上取点，使，连接OF，QF，利用比例关系及平行四边形性质得，进而利用线面平行的判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，然后利用面面夹角的向量公式求解即可； （3）先由线面平行的性质定理得点在OM上，设，求得平面的法向量，进而利用线面角的向量公式得，然后利用二次函数性质求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，则，， 取BD中点，则，又平面，平面BCD， 以为原点，OB，OC，OP所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，故， 则，，， ，所以， 故， 易知平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为， 则，即， 取，则，， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为 【小问3详解】 由（2）知为BD中点，为AD中点，连接OM，， 点为内动点且平面QGM， 又平面ABD，平面平面， ，故点在OM上， 设，又，，， 则， ， 易知平面的一个法向量为， 设QG与平面所成角为，则最大时，最大， ， 所以当时，最大，此时最大， 即当点位于中位线靠近的八等分点的第3个点处时，QG与平面所成角最大. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $