专题二 相交线与平行线综合判定2025-2026学年北师大版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦相交线与平行线核心考点，以“概念理解—静态计算—动态旋转—平行应用—模型突破”为逻辑主线，覆盖角度计算、作图实践、综合推理等题型，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |对顶角等综合计算|7题|多线条相交角度计算，含角平分线、垂直|从基本概念（对顶角、余角）到角平分线性质应用，构建角度转化逻辑| |垂线段最短及距离|5题|作图与距离判断，结合方格纸操作|体现“垂线段最短”公理的应用，连接几何作图与度量计算| |旋转综合问题|3题|三角板旋转、内余角定义新题型|静态概念向动态情境延伸，培养空间观念与创新意识| |平行线判定与性质|7题|平行判定与性质互推，含四边形、三角形背景|构建“角关系→线平行→角关系”推理链条，强化逻辑表达| |拐点模型|5题|过拐点作辅助线，含M型、多拐点综合|提炼辅助线添加方法，突破平行线间角度转化难点|

相交线与平行线角度&推理专题训练 专题一、对顶角、余角、补角、垂直的综合计算 1．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线交于点E，过点E作，，求的度数． 2．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）如图，直线和相交于点O，平分，，若，求的度数． 3．（25-26七年级下·重庆秀山·期中）如图，直线，相交于点，． (1)若，求的度数； (2)如果，那么与互相垂直吗？请说明理由． 4．（25-26七年级下·广西河池·期中）如图，直线相交于点，垂足为，平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，直线和相交于点O，平分．若，求的度数． 6．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 7．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 专题二、“垂线段最短”作图题及点到直线的距离相关计算 8．（25-26七年级下·山西晋中·期中）如图，P是的边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为； (2)填空： ①线段___________的长度表示点P到直线的距离； ②______ ；（填“”“”或“”） 9．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 10．（24-25七年级下·河北邢台·阶段检测）如图，点在直线上，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为 ； ②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由． 11．（19-20七年级下·河北沧州·期中）如图，，，相交于点O，平分，，． (1)线段_______的长度表示点M到的距离； (2)比较与的大小（用“”号连接）：_______，并说明理由：______． (3)求的度数． 12．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 专题三、对顶角、余角、补角、直角的旋转综合问题 13．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图1，点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，边在射线上．绕点顺时针旋转直角三角板，当边旋转至射线上时，旋转停止．过点作射线，使射线平分． (1)如图2，若，求的度数； (2)探究和的数量关系，写出你的结论，并说明理由； (3)若，求的度数． 14．（25-26七年级上·河北衡水·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角．例：如图1，若射线，在的内部，且 度，则是的内余角． (1)完成题干中的填空； (2)如图1，，，若是的内余角，求的度数； (3)如图2，已知，将绕点O顺时针方向转动一个角度（）得到，同时将绕点O顺时针方向转动角度得到．若是的内余角，求的值； (4)已知，一块含有角的三角板的边与重合，边与重合，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向转动，如图3，设转动时间为t秒．在转动到与重合前，当射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，直接写出t的值． 15．（25-26七年级上·安徽六安·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线在的内部，且 ，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内余角，则___________； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合（ ），如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转的时间内（即），当射线构成内余角时，请求出的值． 专题四、平行线的判定与性质综合问题 16．（25-26六年级下·山东淄博·期中）如图，在四边形中，E是延长线的一点，连接交于点F，若． (1)求证：，并写出最后一步的依据； (2)若，求的度数． 17．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，点是上一点，，交于点，且． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若，平分，求的度数． 18．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）如图，，． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 19．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，的角平分线和直线交于点，作，已知， (1)求证：； (2)若，求的度数． 20．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 21．（25-26七年级下·吉林四平·阶段检测）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 22．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）某次几何课上，老师借助字母M，命制了如下两小题，请你帮老师写出试题的证明过程． (1)如图1，已知，，求证：． (2)如图2，若，，求证：． 专题五、平行线中的“拐点”模型问题（作辅助线） 23．（23-24七年级下·广西南宁·期末）综合与实践 已知，E，F分别是，上的两点．点G在，之间．探究、与之间的数量关系． (1)当点G在如图1所示位置时，，，则____________． (2)当点G在如图2所示位置时，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，且与的延长线交于点M，作平分，平分相交于点N，当时，若，求的度数． 24．（25-26七年级下·江西南昌·期中）综合与实践： (1)如图1，，E为图形内一点，连接得到，求、、之间的关系，并说明理由． 探究应用：可以利用（1）中结论解决下面问题： (2)如图2，，直线分别交于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． 25．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连接，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若，，平分，求的度数． 26．（25-26七年级下·湖北荆门·期中）如图1，，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图1，点，在，之间，且在的左侧，若，求∠的度数； (3)如图2，点在，之间，点在上，直线平分交的延长线于点，若，求证：平分． 27．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）阅读下列材料： 已知：如图（1），直线，点E是之间的一点，连接得到．求证：．小李是这样做的：证明：过点E作，则有．，．．．即． 请直接利用材料中的结论，完成下面的问题： 已知：直线，直线分别与交于点E，F． (1)如图（2），和的平分线交于点G．直接写出的度数是_______； (2)已知平分（点G在和之间且），H是射线上一点，且． ①如图（3），当点H在线段上时，求证：． ②当点H在线段的延长线上时，直接写出，和的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 相交线与平行线角度&推理专题训练 专题一、对顶角、余角、补角、垂直的综合计算 1．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期中）如图，直线交于点E，过点E作，，求的度数． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 2．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）如图，直线和相交于点O，平分，，若，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】根据得，进而结合角平分线的定义可得，再根据对顶角相等可得，进而计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·重庆秀山·期中）如图，直线，相交于点，． (1)若，求的度数； (2)如果，那么与互相垂直吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由垂线的定义可得，，则，根据对顶角相等可得； （2）由可得，结合可得，因此． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 4．（25-26七年级下·广西河池·期中）如图，直线相交于点，垂足为，平分． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直及平角的定义求解； （2）根据对顶角，角平分线及平角的定义求解． 【详解】（1）解： ⊥， ． 由平角的定义，得， ． （2）解： 和互为对顶角， ． 平分 ． 由平角的定义，得， ． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，直线和相交于点O，平分．若，求的度数． 【答案】 【分析】利用角的和差、对顶角相等以及角平分线的定义进行求解． 【详解】解：因为直线和相交于点O， 所以． 设，则， 所以， 解得， 所以，． 因为平分， 所以， 所以． 6．（25-26九年级下·陕西榆林·期中）直线相交于点平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若，且，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由对顶角相等得到，再由角平分线的定义得到，进而根据即可求解； （2）设 ，由角平分线的定义得到，因此 ．由，得到，即可列出方程，求得，因此，根据对顶角相等即可解答． 【详解】（1）解：和是对顶角， ． 平分， ， （2）解： ， 设 ． 平分， ， ． ， ， ， ， 解得， ， ， ． 7．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）直线、相交于点，在的内部． (1)如图①，当时，求与的度数和； (2)在（1）的条件下，请直接写出图中与互补的角； (3)如图②，若射线平分（在内部），且满足，请判断与的大小关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】此题考查的是角的和差倍分的综合题，熟悉掌握角平分线、补角的性质是解题的关键． （1）根据补角的定义以及角的和差关系计算即可； （2）根据补角的定义解答即可； （3）根据角平分线的定义以及角的和差关系解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴与互补的角有； （3）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 专题二、“垂线段最短”作图题及点到直线的距离相关计算 8．（25-26七年级下·山西晋中·期中）如图，P是的边上的一点，点A、O、P都在格点上，在方格纸上按要求画图并标注相应的字母． (1)过点画的垂线，交于点；过点画的垂线，垂足为； (2)填空： ①线段___________的长度表示点P到直线的距离； ②______ ；（填“”“”或“”） 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）根据题意画图即可； （2）①根据垂线的定义解题即可； ②根据垂线段最短解题即可． 【详解】（1）解：如图，、即为所求； （2）解：①线段的长度表示点P到直线的距离； ②因为垂线段最短，则． 9．（25-26七年级上·重庆黔江·期末）如图，四点均为方格图中的格点，请按下述要求画图并回答问题： (1)作射线； (2)连接，交于点； (3)过点作于点； (4)点到的距离是线段______的长度； (5)图中点______到两点的距离之和最小，依据是______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) (5)，两点之间线段最短． 【分析】本题考查了线段，射线的画法，垂线的画法，垂线的长度，线段的性质，解决本题的关键是熟练掌握作图方法． （1）根据射线的画法作图即可； （2）根据线段的画法作图即可； （3）根据垂线的画法作图即可； （4）根据垂线的长度求解即可； （5）根据线段的性质求解即可． 【详解】（1）解：射线如图1所示， （2）解：连接，交于点，如图2所示， （3）解：过点作于点，如图3所示， （4）解：点到的距离是线段的长度； 故答案为：； （5）解：图中点到两点的距离之和最小，依据是两点之间线段最短． 故答案为：；两点之间线段最短． 10．（24-25七年级下·河北邢台·阶段检测）如图，点在直线上，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为 ； ②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)①8；②线段更长，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，点到直线的距离，垂线段最短，数形结合是解答本题的关键． （1）根据角的和差计算即可； （2）①根据点到直线的距离解答即可； ②根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解： ， . ， ； （2）解：①∵，， ∴点到的距离为， 故答案为：8； ②线段更长， 理由：， ∴， ， ∴， ∴， 在线段中，线段更长． 11．（19-20七年级下·河北沧州·期中）如图，，，相交于点O，平分，，． (1)线段_______的长度表示点M到的距离； (2)比较与的大小（用“”号连接）：_______，并说明理由：______． (3)求的度数． 【答案】(1) (2)；垂线段最短 (3) 【分析】本题考查的是点到直线的距离． （1）根据点到直线的距离解答即可； （2）根据垂线段最短解答即可； （3）根据垂直的定义和角之间的关系解答即可． 【详解】（1）解：线段的长度表示点M到的距离， 故答案为：； （2）解：比较与的大小为：，是因为垂线段最短， 故答案为：；垂线段最短； （3）解：∵，平分， ∴， ∴． 12．（24-25八年级下·陕西西安·阶段检测）已知直线相交于点，点在内部，作射线． (1)如图①，，则_______；_______； (2)如图②，，则_______； (3)如图③，平分，求的度数及点到直线的距离． 【答案】(1)100，50 (2)60 (3)的度数为，点到直线的距离为2 【分析】本题考查了角度的和差计算，角平分线，对顶角相等，点到直线的距离，图形结合分析是解题的关键． （1）根据补角的概念可得，，图形结合分析即可求解； （2）根据垂直的性质可得，由此即可求解； （3）根据对顶角相等可得，根据角平分线的性质可得，再根据角平分线的性质定理即可求出点到直线的距离即为线段的长，由此即可求解． 【详解】（1）解： ， 当时，， ， ， 故答案为：100，50． （2）解：， ， ， 故答案为：60． （3）解：，平分， ， ，， 点到直线的距离等于的长，即为2， ∴的度数为，点到直线的距离为2． 专题三、对顶角、余角、补角、直角的旋转综合问题 13．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）如图1，点为直线上一点，将一直角三角板的直角顶点放在点处，边在射线上．绕点顺时针旋转直角三角板，当边旋转至射线上时，旋转停止．过点作射线，使射线平分． (1)如图2，若，求的度数； (2)探究和的数量关系，写出你的结论，并说明理由； (3)若，求的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查的是角平分线的定义和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和性质并灵活运用． （1）根据角平分线的定义和余角的性质即可得到结论； （2）设，则，根据角平分线的定义得到，根据余角的性质得到，于是得到结论； （3）设，则，分以下两种情况：当在上方时；当在下方时，分别根据角平分线的定义和余角的性质，再结合，列方程求解即可． 【详解】（1）解：由已知得， 又∵是直角，平分， ∴； （2）解：，理由如下： 设，则， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：设，则， 分以下两种情况讨论： 当在上方时，如图 ， ， ∵， ∴， 解得， ∴； 当在下方时，如图， ， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 14．（25-26七年级上·河北衡水·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角．例：如图1，若射线，在的内部，且 度，则是的内余角． (1)完成题干中的填空； (2)如图1，，，若是的内余角，求的度数； (3)如图2，已知，将绕点O顺时针方向转动一个角度（）得到，同时将绕点O顺时针方向转动角度得到．若是的内余角，求的值； (4)已知，一块含有角的三角板的边与重合，边与重合，将三角板绕顶点O以/秒的速度按顺时针方向转动，如图3，设转动时间为t秒．在转动到与重合前，当射线，，，中，两条射线构成的角是另外两条射线构成的角的内余角时，直接写出t的值． 【答案】(1)； (2) (3)α的值为 (4)当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用和角的和差的运算，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． （1）根据内余角定义计算即可； （2）根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； （3）根据旋转的性质分别用含a的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； （4）根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时：当在内部时，根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）解：∵从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角， ∵射线，在的内部，是的内余角， ∴； 故答案为：； （2）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ； （3）解：已知，绕点O顺时针方向旋转一个角度（）得到，绕点O顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得：， ∴α的值为； （4）解：根据题意可得，，三角板绕顶点O以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为t秒， 当在内部时，如图所示， ， ∴，， ∴，， 若是的内余角时， 得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 当在射线下方时，如图所示， ， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得：（秒）； 当在上方时，如图所示， ， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得：（秒）； 当在内部时，如图所示， ， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，t的值为秒或秒． 15．（25-26七年级上·安徽六安·期末）定义：从一个角的顶点出发，在角的内部引两条射线，如果这两条射线所成的角与这个角互余，那么这两条射线所成的角叫做这个角的内余角，如图1，若射线在的内部，且 ，则是的内余角． 根据以上信息，解决下面的问题： (1)如图1，，若是的内余角，则___________； (2)如图2．已知将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．同时将绕点顺时针方向旋转一个角度得到．若是的内余角，求的值； (3)把一块含有角的三角板按图3方式放置，使边与边重合，边与边重合（ ），如图4将三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒，在旋转的时间内（即），当射线构成内余角时，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)秒 【分析】本题主要考查角的和差的运算，一元一次方程的几何应用，掌握内余角的概念及计算方法是解题的关键． (1)根据内余角可求出的度数，再根据即可求解； (2)根据旋转的性质分别用含的式子表示，的度数，再根据是的内余角列式求解即可； (3)根据内余角的概念及计算方法，分类讨论，当在内部时；当在射线下方时；当在上方时；当在内部时；根据旋转的性质表示角的数量关系，求解即可． 【详解】（1）解：∵是的内余角， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （2）解：已知，绕点顺时针方向旋转一个角度得到，绕点顺时针方向旋转一个角度得到， ∴，， ∴，， ∵是的内余角， ∴， ∴， 解得，． ∴的值为； （3）解：根据题意可得，，三角板绕顶点以6度/秒的速度按顺时针方向旋转，旋转时间为秒， ①当在内部时，如图所示， ∴，， ∴，， 若是的内余角时，得， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； ②当在射线下方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ③当在上方时，如图所示， ∴，， 若是的内余角， ∴， 解得，（秒）； ∵ ∴（秒）舍去； ④当在内部时，如图所示， ∴，，， ∴， 若是的内余角， ∴，无解， ∴当在内部时，射线，，，不能构成内余角； 综上所述，当射线，，，构成内余角时，的值为秒． 专题四、平行线的判定与性质综合问题 16．（25-26六年级下·山东淄博·期中）如图，在四边形中，E是延长线的一点，连接交于点F，若． (1)求证：，并写出最后一步的依据； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析，同位角相等，两直线平行（方法不唯一） (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等，得到，即可得证； （2）证明，即可得出结果. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）， ∵， ∴， ∴， ∴． 17．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，点是上一点，，交于点，且． (1)与平行吗？请说明理由． (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，结合，可得，进而得出结论； （2）先根据平行线的性质可得，进而求出，最后利用平行线的性质得出结论的值. 【详解】（1）答：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴. 18．（25-26七年级下·山东菏泽·期中）如图，，． (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】（1）由，，又，则，所以，然后通过平行线的性质即可求解； （2）由平行线的性质可得，，又，则，然后求出，再通过平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以； （2）解：因为， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 19．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，的角平分线和直线交于点，作，已知， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由已知证明 ， 即可证明 ； （2）由垂线的定义得到，根据角平分线的定义求出 ，再结合平行线的性质可得 ，最后利用平角的定义即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， （2）解：， ， ，平分， ， ， ， ． 20．（24-25七年级下·安徽宿州·阶段检测）如图，在中，点D，E在边上，点F在边上，点H在边上，，且． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质得，结合已知可得，即可根据平行线的判定证明结论； （2）根据平行线的性质得，结合角平分线的定义，得到，再结合（1）中的结果，即可求得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， 由（1）知， ． 21．（25-26七年级下·吉林四平·阶段检测）如图，在三角形中，点D、F在边上，点E在边上，点G在边上，与的延长线交于点H，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）首先根据得到，再根据进行角度转化计算即可得到，进而证明； （2）首先根据得到，进行角度转化得到进而得到，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）得：， ∴， ∴， ∵， ∴． 22．（25-26七年级下·甘肃庆阳·期中）某次几何课上，老师借助字母M，命制了如下两小题，请你帮老师写出试题的证明过程． (1)如图1，已知，，求证：． (2)如图2，若，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用得内错角相等，结合，推出内错角相等，从而证明； （2）过点作，过点作，两线交于点；由得，由得；再利用两直线平行，内错角相等，完成角的等量代换，证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． 又∵， ∴． ∴（内错角相等，两直线平行）． （2）证明：过点作，过点作，两线交于点． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵，， ∴（平行于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∴， 即． 专题五、平行线中的“拐点”模型问题（作辅助线） 23．（23-24七年级下·广西南宁·期末）综合与实践 已知，E，F分别是，上的两点．点G在，之间．探究、与之间的数量关系． (1)当点G在如图1所示位置时，，，则____________． (2)当点G在如图2所示位置时，求证：． (3)如图3，在（2）的条件下，作平分，且与的延长线交于点M，作平分，平分相交于点N，当时，若，求的度数． 【答案】(1)105 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义等知识，明确题意，添加合适辅助线，正确识图并找出角角之间的关系是解题的关键． （1）过G作，利用平行线的传递性得出，利用平行线的性质得出，，然后代入，，求出，，即可求解； （2）过G作，利用平行线的传递性得出，利用平行线的性质得出，，即可得证； （3）设，则，利用邻补角定义求出，，利用角平分线定义求出，，，进而求出，由（2）知，利用平行线的性质得出，，则，求出x，即可求解． 【详解】（1）解∶过G作， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为∶105； （2）证明：过G作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （3）解：设， 则， ∴，， ∵平分， 平分， ∴，， 又平分， ∴， ∴， 由（2）知， ∵， ∴，， ∴， 解得， ∴， 又， ∴ 24．（25-26七年级下·江西南昌·期中）综合与实践： (1)如图1，，E为图形内一点，连接得到，求、、之间的关系，并说明理由． 探究应用：可以利用（1）中结论解决下面问题： (2)如图2，，直线分别交于点E、F，和为内满足的两条线，分别与的平分线交于点和，求证：． 【答案】(1)，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）过点E作，则，由平行线的性质得，，可得； （2）利用（1）中结论可得 ， ，由，平分，可得 ，结合，可证． 【详解】（1）解： ， 如图所示，过点E作， ， ， ，， ， ， ， ；     （2）解：利用（1）中结论可得 ， ， ， ，平分， ， 又 ， ， 即． 25．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连接，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若，，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点F作，根据两直线平行内错角相等进行求解即可； （2）设，可得，由（1）得：，利用平行线的性质建立方程求解即可； （3）令，，可得．证明，．结合．再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作， ， ， ， ； （2）解：设， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴； （3）解：∵， ∴令，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）得，， ∴， 解得， ∴． 26．（25-26七年级下·湖北荆门·期中）如图1，，直线交于点，交于点． (1)求证：； (2)如图1，点，在，之间，且在的左侧，若，求∠的度数； (3)如图2，点在，之间，点在上，直线平分交的延长线于点，若，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据两直线平行，同位角相等，可得，再由对顶角相等，可得，这样即可证明； （2）过点分别作的平行线，由可得再根据可计算出，然后再根据两直线平行，内错角相等，即可求出； （3）过点作的平行线，过点作作的平行线，首先利用平行线的内错角相等，将转化为，并将转化为，从而得出与、的关系，接着利用得到与、的关系。最后结合题目给出的条件以及角平分线的定义，通过代数运算和等量代换，最终推导出，从而证明平分． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：如图，过点分别作的平行线， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）证明：过点作的平行线，过点作的平行线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设， 平分， ， ， ， ， ， 平分． 27．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）阅读下列材料： 已知：如图（1），直线，点E是之间的一点，连接得到．求证：．小李是这样做的：证明：过点E作，则有．，．．．即． 请直接利用材料中的结论，完成下面的问题： 已知：直线，直线分别与交于点E，F． (1)如图（2），和的平分线交于点G．直接写出的度数是_______； (2)已知平分（点G在和之间且），H是射线上一点，且． ①如图（3），当点H在线段上时，求证：． ②当点H在线段的延长线上时，直接写出，和的数量关系． 【答案】(1) (2)①见解析；② 【分析】（1）根据平行线的性质得到，由角平分线的定义可得，根据题意可得，据此可得答案； （2）①由平行线的性质得到，由角平分线的定义可得，再由，可得，据此可证明结论；②过点H作，则，由平行线的性质得到，可证明，由角平分线的定义得到，，则可证明，据此可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵和的平分线交于点G， ∴， ∴； （2）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴ 由题意得，， ∵， ∴ ； ②如图所示，过点H作， ∵，， ∴， ∴， ∴ ， ∵平分， ∴，， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $